第一章函數(shù)、極限與連續(xù)PARTTHREE第三節(jié)

函數(shù)的極限學(xué)習目標：

1.理解極限的概念，能根據(jù)極限概念描述函數(shù)的變化趨勢.理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左極限、右極限之間的關(guān)系，趨于無窮大時函數(shù)的極限存在的充分必要條件.

2.了解函數(shù)極限的定義，能正確敘述函數(shù)極限的定義.

3.了解極限的性質(zhì)：唯一性，有界性和保號性.一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限自變量的變化趨勢：

x

x0，x

x0-，x

x0+，x

，x

-

，x

+

．f(x)=A或f(x)

A(當x

x0)．函數(shù)極限的通俗定義：

在自變量的某個變化過程中，如果對應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限接近于某一確定的常數(shù)A，那么這個確定的常數(shù)A就叫做在這一變化過程中函數(shù)f(x)的極限．當x

x0時，f(x)以A為極限記為分析：當x

x0時，f(x)

A

當|x-x0|

0時，|f(x)-A|能任意小

任給e>0，當|x-x0|小到某一時刻，有|f(x)-A|<e

任給e>0，存在d>0，使當0<|

x-x0|<d時，有|f(x)-A|<e．f(x)=A或f(x)

A(當x

x0)．f(x)=A

e>0，

d>0，當0<|x-x0|<d時，有|f(x)-A|<e

．函數(shù)極限的精確定義：設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義．如果對于任意給定的正數(shù)e(不論它多么小)，總存在正數(shù)d，使得對于適合不等式0<|x-x0|<d的一切x

，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)-A|<e

，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當x

x0時的極限，記為函數(shù)極限的幾何意義：y=f(x)Ax0O

yxA-eA+ex0-dx0+d則e>0，

d>0，使當0<|x-x0|<d時，有|f(x)-A|<e

的幾何意義：

若f(x)=A，因此對于任意給定的正數(shù)e，任意取一正數(shù)d，當0<|x-x0|<d時，都有|f(x)-A|=|c-c|=0<e成立，所以舉例：

證明:這里|f(x)-A|=|c-c|=0，成立．|f(x)-A|=|x-x0|<e當0<|x-x0|<d=e時，總可取d=e，因此對于任意給定的正數(shù)e，能使不等式所以

證明：這里|f(x)-A|=|x-x0|，|f(x)-1|=|(2x-1)-1|=2|x-1|<e

，使當0<|x-1|<d時，有只要|x-1|<，即取d=．

證明：因為

e>0，d=>0，

所以

分析：|f(x)-A|=|(2x-1)-1|=2|x-1|，為了使|f(x)-A|<e

，

證明：因為

e>0，d=e>0，所以只需|x-1|<d，即取d=e．|f(x)-2|=|x-1|<e

，使當0<|x-1|<d，有|f(x)-2|=|-2|=|x+1-2|=|x-1|，要使|f(x)-2|<e，

分析：注意函數(shù)在x=1是沒有定義的．但這與函數(shù)在該點是否有極限并無關(guān)系．單側(cè)極限:例如,左極限右極限

例5

函數(shù)當x

0時f(x)的極限不存在．

因為f(x)的左極限右極限所以極限不存在．

若當x

時，f(x)無限接近于某常數(shù)A，二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限類似地，有和記為f(x)當x

時的極限，則常數(shù)A叫作函數(shù)討論：極限的通俗定義：敘述？三者之間的關(guān)系如何？

e>0，

X>0，當|x|>X，有|f(x)-A|<e

，

設(shè)f(x)當|x|大于某一正數(shù)時有定義．如果對于任意給定的正數(shù)e，總存在著正數(shù)X，使得對于適合不等式|x|>X的一切x，對應(yīng)的函數(shù)數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)-A|<e，則常數(shù)A叫作函數(shù)f(x)當x

時的極限．極限的精確定義：另外兩種情形:所以．

證明：故取X=．解不等式得，不等式成立．當|x|>X時，要證存在正數(shù)X，

分析：設(shè)e是任意給定的正數(shù)．因為對

e>0，

X=，使當|x|>X時，有.水平漸近線：直線y=0是函數(shù)y=的圖形的水平漸近線．已知．xyO11如果，Oxy

p2p2y=arctanx

例如，函數(shù)

y=arctanx的圖形的水平漸近線有兩條：則直線y=c是函數(shù)y=f(x)的圖形的水平漸近線．一般地，和．三、函數(shù)極限的性質(zhì)1.局部有界性2.唯一性三、函數(shù)極限的性質(zhì)

定理2

如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)f(x)

0(或f(x)

0)，而且點x0的某