專(zhuān)題08平行四邊形與多邊形（分層訓(xùn)練）

\J

分層訓(xùn)練

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2023?上海?模擬預(yù)測(cè)）下列命題是真命題的是（）

A.一組對(duì)邊平行，一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形

B.有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形

C.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形

D.對(duì)角形互相垂直平分且相等的四邊形是正方形

【答案】D

【分析】根據(jù)平行四邊形，矩形，菱形和正方形的的判定定理判斷即可.

【詳解】解：A選項(xiàng)有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，所以此項(xiàng)錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，所以此項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以此項(xiàng)錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)對(duì)角形互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，所以此項(xiàng)正確；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形，矩形，菱形以及正方形的判定定理，熟練掌握平行四邊形，矩形，菱

形以及正方形的判定定理是解決本題的關(guān)鍵.

2.（2023下?浙江臺(tái)州?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖0ABe中,AB=3,AC=7,BC=10,。、E分別是AB、2c的

中點(diǎn)，則。E的長(zhǎng)為（）

A.3B.5C.7D.9

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的中位線定理即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：SD、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，

*皿，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的中位線定理，解題的關(guān)鍵是記住三角形的中位線定理.

3.（2023?河南許昌?統(tǒng)考二模）如圖，EL4BC。的對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)。，且回OCD=90。.若E是BC

邊的中點(diǎn)，BD=10,AC=6,則OE的長(zhǎng)為（）

AD

N

REC

A.1.5B.2C.2.5D.3

【答案】B

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出04=3,08=5,進(jìn)而利用勾股定理得出A3的長(zhǎng)，利用三角形中位線

得出0E即可.

【詳解】解：^ABCD,30=10,AC=6,

團(tuán)0A=3,0B=5,AB^\DC,

回團(tuán)OC0=90°,

釀3Ao=90°,

^AB=y/0B2-0A2=V52-32=4,

團(tuán)E是BC邊的中點(diǎn)，OA=OC,

mOE=AB,

團(tuán)0E=2,

故選:B.

【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出。4=3,0厭5解答.

4.（2023?山東濟(jì)寧?統(tǒng)考中考真題）如圖，正五邊形ABCDE中，4L40的度數(shù)為（）

CD

A.72°B.45°C.36°D.35°

【答案】C

【分析】首先由正五邊形的性質(zhì)得到回△4E0,AC=AD,AB=BC=AE=ED,然后由正五邊形

48CQE內(nèi)角度數(shù)，求出乙B4c和乙及4。的度數(shù)，進(jìn)而求出4C/0的度數(shù).

【詳解】解：團(tuán)五邊形4BCDE為正五邊形，

MB=BC=AE=DE,乙ABC=AAED=(BAE=108°,

[2]△ABE=^AED,

EL4C=AD,乙BAC=LEAD=|(180°-108°)=36°,

團(tuán)乙CAD=乙BAE-ABAC-AEAD=108°-36°-36°=36°.

故選：c

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)：各邊相等，各角相等，掌握正多邊形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

5.(2023上?廣西崇左?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，一個(gè)直角三角形紙片，剪去直角后，得到一個(gè)四邊形，貝靦1+回2

=()

A.90°B.180°C.270°D.360°

【答案】C

【分析】首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理算出N3+N4的度數(shù)，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360。，計(jì)算出N1+N2的

度數(shù).

【詳解】解：?；45=90。，

???Z3+Z4=180°-90°=90°,

■:z.3+z.4+z.1+Z.2=360°,

.??41+42=360°-90°=270°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，多邊形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是利用三角形的內(nèi)角和180。,

四邊形的內(nèi)角和360。.

6.（2023?安徽合肥?統(tǒng)考三模）如圖，菱形力BCD中，點(diǎn)E,F,G分別為AB,BC,CD的中點(diǎn)，EF=2,FG=4,

則菱形4BCD的面積為（）

A.12B.16C.20D.32

【答案】B

【分析】先根據(jù)三角形中位線定理得到AC=4,BD=8,再根據(jù)菱形的面積等于其對(duì)角線乘積的一半進(jìn)行

求解即可.

【詳解】解：如圖所示，連接AC、BD,

團(tuán)點(diǎn)E,尸分別為AB,BC的中點(diǎn)，

EIEF是AABC的中位線，

EL4c=2EF=4,

同理可得BD=2FG=8,

團(tuán)四邊形4BCD是菱形，

團(tuán)S菱形4BCD=/C?BC=aX4x8=16,

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，三角形中位線定理，熟知三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊

長(zhǎng)的一半是解題的關(guān)鍵.

7.（2023?湖南永州?統(tǒng)考中考真題）下列多邊形中，內(nèi)角和等于360。的是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【分析】根據(jù)W邊形內(nèi)角和公式5-2)-180。分別求解后，即可得到答案

【詳解】解：A.三角形內(nèi)角和是180。，故選項(xiàng)不符合題意；

B.四邊形內(nèi)角和為(4-2)X180。=360。，故選項(xiàng)符合題意；

C.五邊形內(nèi)角和為(5-2)xl8(r=540。，故選項(xiàng)不符合題意；

D.六邊形內(nèi)角和為(6-2)*180。=720。，故選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了“邊形內(nèi)角和，熟記〃邊形內(nèi)角和公式(n-2)?180。是解題的關(guān)鍵.

8.(2022,浙江杭州?統(tǒng)考二模)如圖，五邊形ABCCE是正五邊形，F(xiàn),G是邊CD,DE1上的點(diǎn)，且8而4G.若

0CFB=57°,則0AGZ)=()

A.108°B.36°C.129°D.72°

【答案】C

【分析】過(guò)點(diǎn)。作DHIIFB交AB于點(diǎn)H,根據(jù)平行線的性質(zhì)先求出NCD"=57。，然后求出NHDG=51。,

最后利用平行線的性質(zhì)求得乙4GD即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作DHIIFB交A2于點(diǎn)

???乙CFB=57°,

.-.乙CDH=乙CFB=57。，

在正五邊形ABCDE中，乙CDE=108°,

???乙HDE=乙CDE-乙CDH=108°-57°=51°,

VBFWAG,

???N4GD=180°-ACDH=180°-51°=129°,

故選：C.

B

H

【點(diǎn)睛】本題考查了正五邊形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，構(gòu)造輔助線是解決本題的關(guān)鍵.

9.（2023?河南信陽(yáng)?校考三模）如圖，在回/lBCD中，將△4DC沿4C折疊后，點(diǎn)。恰好落在DC的延長(zhǎng)線上的

點(diǎn)E處.若N8=58。，則NSD為（）

A.42°B.38°C.32°D.58°

【答案】C

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到乙4CD=乙4CE=90。,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到NB=AD,即可求出NC4D.

【詳解】解：由折疊可得，乙4C。=/-ACE=90。，

在團(tuán)力BCD中，4B=LD.

又EINB=58°.

0ZD=58°

0ZC4D=32°.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得到N4CD=^ACE=

90°.

10.（2023?海南僧州?統(tǒng)考一模）如圖，已知。、E分別是△ABC的邊BC、［。的中點(diǎn),2G是A4BE的中線,

連接BE、AD,GD,若△ABC的面積為40,則陰影部分△2DG的面積為（）

A

A.10B.5C.8D.4

【答案】B

【分析】連接DE,如圖，先判斷。G為aBCE的中位線，則。GaAC,根據(jù)平行線之間的距離和三角形面積

公式得到SzAQGnSzEQG,然后利用三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，再根據(jù)三角形的面積公

式進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：連接。E,如圖，

團(tuán)￡＞為BC的中點(diǎn)，G為BE的中點(diǎn),

E1DG為回BCE的中位線，

^DGSAC,

BSAADG=SAEDG,

SE點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，

11

^SABCE=-SAABC=^0=20,

回。點(diǎn)為8C的中點(diǎn)，

_11

^1SABDE=-SAEBC=-^20=10,

回G點(diǎn)為BE的中點(diǎn)，

_11

^EDG=-SABDE=-^1Q=5.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積：三角形的面積等于底邊長(zhǎng)與高線乘積的一半，即S=|x底x高；三角形的

中線將三角形分成面積相等的兩部分.也考查了三角形中位線性質(zhì).

11.（2023?安徽滁州??？级＃┤鐖D，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)〃為DC邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△BCM沿直線

翻折，使得點(diǎn)C落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)。處，連接DL并延長(zhǎng)交正方形力BCD一邊于點(diǎn)N.當(dāng)BN=￡W時(shí)，CM

的長(zhǎng)為（）

A.8—4禽或2一次B.2或8—4舊

C.2D.2或2—機(jī)

【答案】B

【分析】分兩種情形：如圖1中，當(dāng)BN=OM時(shí)，連接CC'交BM于/.如圖2中，當(dāng)BN=DM時(shí)，過(guò)點(diǎn)C'作

CT1CD于7.分別求解即可.

【詳解】解：如圖1中，當(dāng)BN=DM時(shí)，連接CC'交BM于人

圖1

?:BN=DM,BNWDM,

.?.四邊形BNDM是平行四邊形,

BM||DN,

:.乙BMC=4NDM,乙BMC'=4DC'M,由折疊知，MC'=MC,/.BMC=/.BMC',

：.4NDM=ADCM,

MC=MD,

?-.CM=DM^-CD=2.

2

如圖2中，當(dāng)BN=DM時(shí)，過(guò)點(diǎn)C'作C'T_LCO于T.

AD

圖2

???CB=CD,BN=DM,

???CN=CM=MC,

在ABCM和ADCN中，

'CB=CD

乙BCM=4DCN,

.CM=CN

???△BCM^AZ)CW(SAS),

.-.Z.CDN=/.CBM,

■：乙CBM+LBCC'=90°,Z.BCC+/.CCD=90°,

???乙CBM=乙C,CD,

.-./.CCD=乙CDN,

CD=CC,

■■■CT1CD,

DT=TC=2,

CT||CN,

DC=CN,

-1

TCN

C=-2,

設(shè)C'T=x,貝IJCN=CM=MC=2x,TM=V3x,

2%+V3x=2,

???%=4—2A/3,

CM=8-4V3,

綜上所述，CM的值為2或8-4次.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角

形中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題.

12.（2023?安徽?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在一塊正三角形飛鏢游戲板上畫(huà)一個(gè)正六邊形（圖中陰影部分），假設(shè)飛

鏢投中游戲板上的每一點(diǎn)是等可能的（若投中邊界或沒(méi)有投中游戲板，則重投1次），任意投擲飛鏢1次,

則飛鏢投中陰影部分的概率為（）

【答案】D

【分析】設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為a,根據(jù)正三角形性質(zhì)和正六邊形的定義分別求出陰影部分的面積和正三角形

的面積，再根據(jù)幾何概率的求法即可得出答案.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)4作交川于點(diǎn)M,設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為a,

團(tuán)六邊形DEFGH/為正六邊形,

SDE=EF=FG=GH=HI=DI=a,

每個(gè)外角的度數(shù)為：360。+6=60。，

0Z4￡>/=/.AID=乙BEF=乙BFE=乙CGH=乙CHG=60°,

0AADI,ABFE和ACHG都是等邊三角形，且邊長(zhǎng)都等于a,

0A力BC為正三角形，

回=CA=AB=AD+DE+BE=a+a+a=3a,

ABAC=（B=60°

在aAD1^\LBFE^\LCHG中

2ADI=乙BFE=乙CHG

DI=FE=HG

^AID=乙BEF=乙CGH

[?]△ADI=△BFE=△C”G（ASA）,

回S—。/=S^BFE=S^CHG，

^Z.ADl=Z.B=60°,

E1DZIIBC,

國(guó)4N1BC,

團(tuán)乙4NB=90°,

^AMD=(ANB=90°,

[HA40/和4ZBC都為正三角形且邊長(zhǎng)分別為a和3a,

13

WM=-a.BN=-a,

22

團(tuán)AM=7AD?—DM?=Ja2_Qa)=/a,

AN=7AB2一BN?=J(3a)2一(|/=言。,

團(tuán)S^AD/——DI?AM=3QxCL-小，

S—BC=—BC,AN=—x3ax———CL=——小，

2224

回S^BFE=S^CHG~^LADl=fa2，

團(tuán)S正六邊形OEFGH/=S—BC-3s△，￡)/=a2—3

S3V3

團(tuán)飛鏢投中陰影部分的概率為衛(wèi)警空膽=喜

【點(diǎn)睛】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來(lái)，一般用陰影區(qū)域表示所求

事件力；然后計(jì)算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個(gè)比例即事件4發(fā)生的概率.本題還考查了等邊

三角形的性質(zhì)，正六邊形的定義及外角和，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識(shí).根

據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及正六邊形的定義得出陰影部分的面積解題的關(guān)鍵.

13.（2023上?福建泉州?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在回ABCD中，M、N為BD的三等分點(diǎn)，連接CM并延長(zhǎng)交

AB與點(diǎn)E,連接EN并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F,則DF：FC等于（

【答案】B

【分析】由題意可得DN=NM=MB,據(jù)止匕可得DF：BE=DN：NB=1：2,再根據(jù)BE：DC=BM：MD=1：2,AB=DC,

故可得出DF：FC的值.

【詳解】解：由題意可得DN=NM=MB,AB//CD,AB//BC

00DFN00BEN,ODMC00BME,

EIDF：BE=DN：NB=1：2,BE：DC=BM：MD=1：2,

又E1AB=DC,

0DF：AB=1：4,

E1DF：FC=1：3

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，兩相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例，要注意比例線段的應(yīng)用.

14.（2023?河南洛陽(yáng)?統(tǒng)考一模）如圖，在AABC中，BC=12,D、E分別是4B,AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是OE上一點(diǎn),

DF=1,連接2F、CF,若N4FC=90。，貝必。的長(zhǎng)度為（）

A.10B.12C.13D.16

【答案】A

【分析】根據(jù)在A/IBC中，D、E分別是的中點(diǎn)，得到DE是AABC的中位線，由中位線性質(zhì)得到DE=

15C=6,從而得到=—。尸=6—1=5,再由乙4FC=90。，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜

邊的一半即可得到AC=2EF=10.

【詳解】解：???在中，D、E分別是4B,AC的中點(diǎn)，

由中位線定義可知DE=（BC=6,

???DF=1,

???EF=OE-OF=6—1=5,

???/.AFC=90°,

.?.在RtZkAFC中，F(xiàn)E為斜邊AC上的中線，貝以。=2EF=10,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形中位線的定義與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，根據(jù)題意，結(jié)

合性質(zhì)與定義，數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

15.（2023上?廣東惠州?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，EC,BD是正五邊形ABCDE的對(duì)角線，則回1的大小為（）

A.72°B.75°C.60°D.80°

【答案】A

【分析】首先根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到BC=CD=DE,0BCD=0CDE=1O80,然后利用三角形內(nèi)角和定理得

0CBD=0CDB=0CED=0DCE=36°,再利用三角形的外角的性質(zhì)求解.

【詳解】回五邊形ABCDE為正五邊形，

[3BC=CD=DE,I3BCD=I3CDE=1O8°,

[R0°-1f）Q°

00CBD=ECDB=ECED=EDCE=-!^—^-=36°,

2

[ffll=l3BDC+l3DCE=72°.

故選：A.

【點(diǎn)睛】考查的是多邊形內(nèi)角與外角，正五邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)

鍵是利用數(shù)形結(jié)合.

16.（2022?廣東深圳?統(tǒng)考二模）如圖，在團(tuán)4BCD中，E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)為4D上一點(diǎn)，ADEF=ZC.若

DE=4,AF=^,貝的長(zhǎng)是（）

AFD

E

A.—B.-C.6D.—

324

【答案】A

【分析】先利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合已知證得△DFE0E4利用相似三角形的性質(zhì)得到。產(chǎn)^DF-AD,

進(jìn)而求出4。的長(zhǎng)，最后求出BC問(wèn)題得解.

【詳解】解：如圖

AFD

E

回四邊形48CD是平行四邊形，

BAD=BC,Z-A=Z.C.

國(guó)KDEF=Z-C,

國(guó)乙DEF=Z.A.

國(guó)4EDF=Z.ADE,

[?]△DFE?匕DEA.

「OEAD

0—=—.

DFDE

0DE2=DF-AD,

7

助E=4,AF=-,

3

7

國(guó)DF=AD—.

3

042=（AD-^AD,

EL4D=y,AD=-3（舍去）.

國(guó)BC=AD=—,

3

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，合理的選擇恰當(dāng)?shù)娜切蜗嗨?，并學(xué)會(huì)利用相似三

角形的性質(zhì)求解線段是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

17.（2022?河北保定??？家荒＃?shù)學(xué)課上，大家一起研究三角形中位線定理的證明.已知點(diǎn)點(diǎn)七分別

為48、4C的中點(diǎn)，求證：DEWBC,DE=匏。.小麗在思考后嘗試作了一種輔助線.如圖.在試圖證明4。=CF

時(shí)，小麗想到了兩種作法，①通過(guò)證明AZDE三△CFE得到AD=CT；②通過(guò)證明四邊形4DCF是平行四邊

形得到4D=CF,則下列說(shuō)法正確的是（）

小麗的輔助線作法：

延長(zhǎng)DE至ijF,使EF=DE,

連接DC、AF,FC.

A.①、②作法都可以B.①、②作法都不可以

C.①作法可以、②作法不可以D.①作法不可以、②作法可以

【答案】A

【分析】試著按兩種方法進(jìn)行證明即可.

【詳解】解：①?lài)?guó)點(diǎn)E分別為4C的中點(diǎn)，

^\AE=CE,

在△40E和中，

AE=CE

Z.AED=乙CEF

、DE=EF

[?]△ADECFE(SAS)

SAD=CF,故①可以；

②回點(diǎn)E分別為AC的中點(diǎn),

國(guó)4E=CE,

BEF=DE,

團(tuán)四邊形4DCF是平行四邊形，

SAD=CF,故②可以；

綜上，①、②作法都可以，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理的證明，本題介紹的兩種思路，作輔助線，證全等和構(gòu)建平行四邊

形解決問(wèn)題，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定是關(guān)鍵.

18.（2023?福建福州?福建省福州第十六中學(xué)?？级＃┤鐖D，在五邊形中，0C=0￡）=0￡

=90°,DE=DC=3,AB=V2,則五邊形ABCDE的周長(zhǎng)是（）

D

AB

A.12+V2B.11+V2C.10+V2D.9+V2

【答案】C

【分析】可連接CE,作A況CE,8G0CE于八G,根據(jù)多邊形的內(nèi)角和以及等腰直角三角形的性質(zhì)，即可

求出AE、BC,進(jìn)而求出答案.

【詳解】連接CE,作A箍ICE,BG2CE于尸、G,

D

根據(jù)五邊形的內(nèi)角和定理和已知條件,可得回COE,BAERSBCG都是等腰直角三角形，則CE=夜理=3VL

0FG=AB=42,

???EF—GC—>J2,

AE=BC=2,

團(tuán)所以五邊形的周長(zhǎng)是2+2+V2+3+3=10+V2,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和以及等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意熟練應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)定理是

解題的關(guān)鍵.

19.（2023?海南僧州?海南華僑中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在團(tuán)4BCD中，AB=4,BC=6,4E平分

乙BAD,。尸平分Z71DC,且AE,。尸相交于點(diǎn)。，若點(diǎn)尸為線段EF的中點(diǎn)，連接。P,則線段0P的長(zhǎng)為（）

【答案】D

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義得出BE=4B,CF=CD,

再證明A0EF為直角三角形，0P為中線，進(jìn)而解答即可.

【詳解】解：回四邊形2BCD是平行四邊形，

即WIIBC,ABWCDAB=CD=4,BC=AD=6?

BIND力E=/.AEB,

EL4E平分/BAD,

S/.DAE=/.EAB,

國(guó)匕AEB=Z.EAB,

BBE=48=4,

同理可得，CF=CD=4,

BEF=BE+CF-BC=4+4—6=2,

^ABWCD,

國(guó)乙DAB+4ADC=180°,

斯E平分28/0,平分440C,

1i

^Z.EAD=-￡.BAD￡.FDA=-/-ADF,

22f

^OAD+Z.0DA=|^BAD+NC￡M)=90°,

ElNEOF=/.AOD=90°,

0AFOE是直角三角形，

團(tuán)點(diǎn)尸為線段EF的中點(diǎn)，

OOP是Rt△FOE的斜邊EF的中線，

SOP=-EF=1,

2

故選：D.

20.(2023?安徽滁州?統(tǒng)考二模)如圖，在平行四邊形4BCD中，E是8。的中點(diǎn)，點(diǎn)M在4。上，連接ME并延

長(zhǎng)交8C于點(diǎn)N,連接ON交MC于點(diǎn)F.則下列四個(gè)結(jié)論:①4M=CN；②若MD=AM,^A=90°,貝IBM=CM-,

③若MD=2AM,則SAMNC=S^BNE；④若小=MN,則^MFN與ADFC全等.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】依次分析各選項(xiàng)，進(jìn)行推理論證即可；其中①可通過(guò)證明△DME三△BNE(AAS),進(jìn)一步轉(zhuǎn)換后

可以得到結(jié)論，②可先得到該平行四邊形是矩形，利用矩形的性質(zhì)等得到MN垂直平分BC,即可完成求證，

③可以先證明兩個(gè)三角形的共線邊上的高的關(guān)系，再利用三角形面積公式即可完成證明，④可以先證明△

MND=AOCM(SAS)后可進(jìn)一步證明小MNF=△DCF(AAS),即可完成求證.

【詳解】解：?.?平行四邊形4BCD中，E是BD的中點(diǎn)，

???BE=DE,ADWBC,AD=BC,

：.4MDE=ANBE,乙DME=4BNE,

???△DME=△BNE(AAS),

???DM=BN,

?-.AM=CN,

故①正確；

若乙4=90°,

則平行四邊形4BCD是矩形，

由矩形的對(duì)角線相等，而點(diǎn)E是矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)可知，

E點(diǎn)到8、C兩點(diǎn)的距離相等，

E點(diǎn)在BC的垂直平分線上，

由MD=AM,AM=CN,可得BN=CN,

所以N點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，

.-?MN垂直平分8C,

BM=CM,

故②正確；

EIMD=2AM,AD=BC,AM=CN,

EIBN=BC-CN=AD-AM=MD=2AM=2CN,

如圖1,分別過(guò)D、E兩點(diǎn)向BC作垂線，垂足分別為Q點(diǎn)和P點(diǎn),

圖I

???E點(diǎn)是BD中點(diǎn)，

DQ=2EP,

「S”=\CN-DQ=\CN-2EP=CN-EP,

11

S&BNE=2BN,EP=/X2CN-EP=CN-EP

S^MNC=S&BNE，

故③正確；

若AB=MN,

因?yàn)榱=DC,

所以DC=MN,

分別過(guò)N、C兩點(diǎn)向4。作垂線，垂足分別為H、K,

：.Rt△NHM三Rt△C7<D(HL),

.-.乙NMD=Z.CDM,

HMD=DM,4NMD=/.CDM,MN=DC,

???AMNDDCM(SAS),

???乙MND=Z.DCM,

又???Z.NFM=Z.CFD,MN=DC,

???△MNFdDCF(AAS),

故④正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)、全等

三角形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念與性質(zhì)，能熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性

質(zhì)進(jìn)行角或邊之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化等.

二、填空題

21.(2023下?廣東云浮?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在回4BCD中，AD=8,E為4。上一點(diǎn)，M,N分別為BE,

CE的中點(diǎn)，則MN的長(zhǎng)為.

ED

【答案】4

【分析】首先由平行四邊形的對(duì)邊相等的性質(zhì)求得BC=4D=8；然后利用三角形中位線定理求得MN=

1

-BC=4.

2

【詳解】解：如圖，在平行四邊形2BCC中，BC=AD=8.

團(tuán)M,N分別為BE,CE的中點(diǎn)，

EIMN是AEBC的中位線，

EIMN=-BC=4.

2

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線定理，解題過(guò)程中是利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)

合三角形中位線定理來(lái)求有關(guān)線段的長(zhǎng)度的.

22.（2023,內(nèi)蒙古錫林郭勒盟??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形力BCD中，F(xiàn)是邊4D上的一點(diǎn)，射線CF和

B4的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,如果沁=；,那么/的值是_______

CACDF2^AEBC

【分析】在平行四邊形力BCD中，根據(jù)4BIICD,得出△EM”△CDF,根據(jù)磬絲=得出差=證明△EAF，

C“DF2DF2

△EBC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：回四邊形/BC。是平行四邊形，

團(tuán)AD=BC,AFWBC,AEWCD.

[?]△瓦4F~△CDF,

0^￡=1,

C&CDF2

武=工，

DF2

1

^AFWBC,

IHAEAFEBC,

&￡=（竺）2邛「

SXEBC、BC）\379’

故答案為："

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題

的關(guān)鍵.

23.（2023上?安徽宣城?九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）若幾邊形的一個(gè)內(nèi)角和為1800。，則幾=.

【答案】12

【分析】根據(jù)180。x（n-2）=1800°,計(jì)算求解即可.

【詳解】解：由題意知,180°x（n-2）=1800°,

解得n=12,

故答案為：12.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和.解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用.

24.（2023?山東聊城?二模）如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)。是斜梁A8的中點(diǎn)，立柱BC,DE垂直于橫

梁AC,AB=8m,BABC=60°,則。E=m.

【答案】2

【分析】由于BC、。“垂直于橫梁AC,可得BC〃DE,利用平行線分線段成比例定理可得AE：CE=AD：

BD,而。是AB中點(diǎn)，可知AB=BD,從而有AE=CE,即可證DE是MBC的中位線，可得。在

RtAABC中易求BC,進(jìn)而可求OE.

【詳解】解：回立柱BC、OE垂直于橫梁AC,

0BC//DE,

0AE：CE=AD：BD,

回。是AB中點(diǎn),

^\AD=BD,

^\AE=CE,

團(tuán)OE是財(cái)BC的中位線，

0DE=|BC,

在RtMBC中，0ABe=60。，

^BC=-AB=^,

2

回DE=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的中位線、含有30。的直角三角形，解題的關(guān)鍵在于判斷出OE是朋BC的

中位線.

25.（2022?云南玉溪?統(tǒng)考一模）如圖，8。是她8C的中線，點(diǎn)后在線段8C上，連接AE交80于點(diǎn)R點(diǎn)

G為AE中點(diǎn)，連接DG,若黑=：，則襄=_____.

DF3BC

【答案】|/0.4

【分析】由三角形中位線可知。G08C,DG=^EC,然后可得ABEFsADGF,進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

可進(jìn)行求解.

【詳解】解：SBO是EABC的中線，點(diǎn)G為AE中點(diǎn)，

1

回。G05C,DG=—EC9

2

[?]△BEF?匕DGF9

「BEBF4

回==—,

DGDF3

4

^\BE=-DG,

3

2

^\BE=-EC,

3

津=2；

BC5

故答案為|.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形中位線及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握三角形中位線及相似三角形的

性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

26.(2022,遼寧阜新,?？家荒?如圖，平行四邊形4BC。中，延長(zhǎng)至點(diǎn)E,使。連接BE,交

CD于點(diǎn)F,若回CBE的面積為8cm2,則0A2E的面積為.

【答案】18cm2

【分析】根據(jù)平行線和相似三角形的性質(zhì)，分別通過(guò)證明ADEFfCBF、^ABE-ADFE,即可完成求解.

【詳解】國(guó)平行四邊形A2CD

^AD//BC,BC=AD,

5\Z.DEF=Z.CBF,乙DEF=4BCF,

0ADEFCBF,

椿3吠—DE?—(ID)」「1

SxCBF~BC2~AD2~4’

團(tuán)團(tuán)C5廠的面積為8cm2,

團(tuán)尸=7sAeBF~2cm2,

團(tuán)平行四邊形ABCD,

^AB//CD,

BZ-ABE=Z-DFE,乙BAE=Z-FDE,

[?]△ABEDFE,

3=叱=（她+豺?=9

S&DFE~DE2~（I。）'—，

回SAABE=9S"DFE18cm2.

故答案為：18cm2.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形、相似三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)，從而完

成求解.

27.（2023?山東泰安,統(tǒng)考一模）平行四邊形ABC。中，4B=4,BC=3,勖=60。，AE為8c邊上的高，將0ABE

沿AE所在直線翻折后得刻產(chǎn)E,那么她小與四邊形AECD重疊部分的面積是.

【分析】由折疊特點(diǎn)可知她F貝崛尸=M=60。，設(shè)CD與A尸相交于點(diǎn)尸，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)

推出回CFP為等邊三角形，SAFE與四邊形AECQ重疊部分的面積是0AEF與團(tuán)CFP的面積之差.

【詳解】如圖，

根據(jù)沿直線折疊特點(diǎn)，^AFE^ABE,

05=60°,

在■中，回8=60°,AB=4,貝！JAE=2^,BE=2,

^AFE=5^ABE=ix2x2V3=2V3,

CF=EF-EC=BE-(BC-BE)=1,

El在平行四邊形A8CO中，CD^AB,

00PCF=0B=60°=EF,

EHCfP為等邊三角形，底邊CF=EF-EC=BE-（BC-BE）=1,高為?，

^SCFP=—,

A4

^SM=S^AFE-SACFP=2^3--=—.

44

故答案為：斗.

4

【點(diǎn)睛】已知折疊問(wèn)題就是已知圖形的全等，考查學(xué)生對(duì)全等三角形性質(zhì)的應(yīng)用及三角形面積的求法.

28.（2023上?湖南長(zhǎng)沙?八年級(jí)長(zhǎng)郡中學(xué)?？计谀┤鐖D，在AABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°,AB=2,

。是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。不與點(diǎn)A、B重合），連接CD,過(guò)點(diǎn)。作CO的垂線交射線CA于點(diǎn)E.當(dāng)

AADE為等腰三角形時(shí)，A。的長(zhǎng)度為.

【答案】1或日

【分析】分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)E在AC上，AE=DE時(shí)，貝峋EDA=EIBAC=30°,由含30。角的直角三角形的性

質(zhì)得出BC=L加=60。，證出ABCD是等邊三角形，得出AD=AB-BD=1；②當(dāng)點(diǎn)E在射線CA上，AE=

AD時(shí)，得出EIE=I3ADE=：15。，由三角形內(nèi)角和定理求出國(guó)ACD=EICDA,由等角對(duì)等邊得出AD=AC=V^即可.

【詳解】解：分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)E在AC上，AE=DE時(shí)，

EHEDA=E1BAC=3O°,

0DE0CD,

00BDC=6O°,

EBACB=90°,EIBAC=30°,

0BC=-AB=1,fflB=60°,

2

團(tuán)團(tuán)BCD是等邊三角形，

團(tuán)BD=BC=1,

團(tuán)AD=AB—BD=1；

②當(dāng)點(diǎn)E在射線CA上，AE=AD時(shí)，如圖所示:

c

00E=EIADE=15O,

ODEEICD,

fflCDA=90°-15°=75°,

00ACD=180°-30°-75°=75°=I3CDA,

0AD=AC=V22-I2=V3,

綜上所述：AD的長(zhǎng)度為1或百；

故答案為：1或8.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的

判定與性質(zhì)等知識(shí)；靈活運(yùn)用各性質(zhì)進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

29.（2023?陜西榆林,統(tǒng)考二模）如圖，在團(tuán)4BCD中，AB=4,BC=6,zS=60°,點(diǎn)E為邊力D上一點(diǎn)，且

AE^^AD,點(diǎn)。為回48CD的中心，連接E0并延長(zhǎng)交邊BC于點(diǎn)R過(guò)點(diǎn)C作CG14B于點(diǎn)G,CG交EF于

【答案】半層四

66

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)，可得CF=4E=2,在RtAABP中，由乙8=60。，AB=4,可得到8P=2,

從而可得PF=AE=2,進(jìn)而得到四邊形AEFP是矩形，即NCFH=90。,在Rt△CFH中，NFCH=30°,CF=2,

可得到△CFH的面積為不，在RtABCG中，NB=60。，BC=6.可得到△BCG的面積為手，從而可得到四

邊形BGHF的面積為受I

6

【詳解】解：連接4C,過(guò)點(diǎn)A作2P18C于點(diǎn)尸,

回四邊形2BCD是平行四邊形，

EL40IIBC,AO=CO,/.EAO=Z.FCO,Z.EOA=Z.FOC,

0AEAO三AFC。(ASA),

EICF=AE=2,

在RtZiABP中，由NB=60。，AB=4,

1

^\BP=-AB=2,

2

團(tuán)PF=6-2—2=2=ZE,

^\AE\\PF,

團(tuán)四邊形AEFP是平行四邊形，

BAP1BC,

團(tuán)四邊形AEF尸是矩形，

回乙CFH=90°,

在RtaCF”中，Z.FCH=30°,CF=2,

團(tuán)HF=旭,

3

0ACFH的面積為］x2x竽=子，

在RtABCG中，NB=60。，BC=6,

0BG=|BC=3,CG=3V3,

可得到△BCG的面積為:x3x=#,

回四邊形BGHF的面積為度--=—,

236

故答案為：笠&

6

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，含30度角的

直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造矩形，利用矩形的對(duì)邊相等

得出結(jié)論.

30.(2023?山東威海,統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，團(tuán)ABC。的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別(8,0),

(3,4).點(diǎn)。、E三等分線段。8；延長(zhǎng)CO,CE交OA,于點(diǎn)尸，G,連接FG.

對(duì)于下列結(jié)論：

①尸是0A的中點(diǎn)：

@A0FD與ABEG相似；

③四邊形。EG尸的面積是g；

【答案】①③

【分析】①證明ACDB?△FD。，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出差=骼再由。、E為08的三等分點(diǎn)，則

(JrOD

差=；=2,可得結(jié)論正確；

0D1

②如圖2,延長(zhǎng)8C交y軸于H證明回。4貝！］乙40BANEBG,所以△0FD?△BEG不成立；

③如圖3,利用面積差求得：SMFG=SB0ABC-SAOFC-SACBG—SAAFG=12,根據(jù)相似三角形面積的比等

于相似比的平方進(jìn)行計(jì)算并作出判斷；

④根據(jù)勾股定理計(jì)算OB的長(zhǎng)，再根據(jù)點(diǎn)。E把線段。8三等分可得結(jié)論.

【詳解】解：①如圖，

0BC//O4,BC=OA,

0ACDBFD0,

0^-BC=—BD

OFOD

團(tuán)。、E為05的三等分點(diǎn)，

常=2=2,

0D1

喘=2，

02。=20/，

^OA=WF,

SF是。4的中點(diǎn)；

回①結(jié)論正確；

②如圖2延長(zhǎng)BC交y軸于”,

由C(3,4)知：08=4,CH=3,

0OC=5,

OAB=OC=5,

E1A(8,0),

回。4=8,

004豐AB,

0ZXOB中乙EBG,

0AOFD-△BEG不成立，

所以②結(jié)論不正確；

③由①知：歹為OA的中點(diǎn)，同理得；G是AB的中點(diǎn),

EIFG是I3OA8的中位線，

MG=；08,FG//0B.

BOB=3DE,

3

國(guó)FG=-2DE,

曜=

過(guò)。作CQ1于。，如圖3,S^0ABC=OA-OH=AB-CQ,

77

0ce=y,

11

13SAOFC=-OF-0W=-X4X4=8,

11S42

SLCGB=-BG-CQ=-x-x—=8f

△3斤2225

1

S—FG=5X4X2=%

團(tuán)S^CFG=Som/Bc—S〉OFC~S^CBG~^^AFG=8x4—8—8—4=12,

即E〃FG,

[2]△CDE-△CFG,

聲理=(―)2=1,

S&CFGFG9

言四邊形DEGF5

0-------=一，

S^CFG9

0s四邊形DEGF=|SACFG=g，

所以③結(jié)論正確；

④在RtAOHB中，由勾股定理得:

OB2=BH2+0H2,

WB=43+8)2+42=V137,

WD=叵，

3

所以④結(jié)論不正確；

本題結(jié)論正確的有：①③.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、勾股定理、三

角形的中位線定理、平行四邊形和三角形面積的計(jì)算等知識(shí)，難度適中，熟練掌握平行四邊形和相似三角

形的性質(zhì)是關(guān)鍵.

31.（2023?北京朝陽(yáng)?二模）正方形2BCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)M,N在對(duì)角線2C上（可與點(diǎn)4c重合），MN=2,

點(diǎn)P,Q在正方形的邊上.下面四個(gè)結(jié)論中，

①存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形PMQN是平行四邊形；

②存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形PMQN是菱形；

③存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形PMQN是矩形；

④至少存在一個(gè)四邊形PMQN是正方形.

所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①②④

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：①設(shè)正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，若MN的中點(diǎn)恰好是點(diǎn)0,則經(jīng)過(guò)點(diǎn)。任意一直線PQ,分

別與正方形的邊AD,BC交于點(diǎn)P,G,通過(guò)正方形的性質(zhì)對(duì)稱(chēng)性易得OP=OG,則四邊形PMQN是平行四邊形,

由于PQ的任意性，則存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形PMQN是平行四邊形，故①正確；

②過(guò)MN的中點(diǎn)E作垂線，分別與正方形的相鄰兩邊交于P,Q,根據(jù)正方形的對(duì)稱(chēng)性可得，PE=GE,則四邊

形PMQN是菱形，由于MN的任意性，則存在四邊形PMQN是菱形；③由①存在由無(wú)數(shù)個(gè)平行四邊邊形,

要是的四邊形為正方形則PQ=MN=2=CD,故此時(shí)PQ經(jīng)過(guò)正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，且與正方形的邊BC垂直，

是唯一的，故不存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形PMQN是矩形；④由②知存在菱形，故只需滿足回PMQ=90。時(shí)，則四邊

形PMQN時(shí)正方形，此時(shí)M與點(diǎn)A重合即可，故存在至少存在一個(gè)四邊形PMQN是正方形；

故正確的結(jié)論序號(hào)是①②④.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟記各定理是

解題的關(guān)鍵.

32.（2023?江蘇蘇州?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知在13ABe中，AB=AC=13,BC=10,點(diǎn)M是AC邊上任意一

點(diǎn)，連接MB,以MB、MC為鄰邊作平行四邊形MCNB,連接MN,則MN的最小值是

【分析】設(shè)MN與8C交于點(diǎn)。連接AO,過(guò)點(diǎn)。作O/fflAC于"點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理

可求A。和OH長(zhǎng)，若MN最小，則M。最小即可，而。點(diǎn)到AC的最短距離為長(zhǎng)，所以最小值是

2OH.

【詳解】解：設(shè)與BC交于點(diǎn)。，連接AO,過(guò)點(diǎn)。作OH0AC于H點(diǎn),

0四邊形MCNB是平行四邊形,

團(tuán)。為BC中點(diǎn)，MN=2MO.

0AB=AC=13,BC=10,

0AO0BC.

在RtfflAOC中，利用勾股定理可得

AO^y/AC2-CO2="32-52=12.

利用面積法：AOxCO=ACxOH,

即12x5=13x0"解得?！?詈

當(dāng)最小時(shí)，則MN就最小，。點(diǎn)到AC的最短距離為0H長(zhǎng)，

所以當(dāng)M點(diǎn)與H點(diǎn)重合時(shí)，MO最小值為長(zhǎng)是號(hào).

所以此時(shí)MN最小值為2?！?詈.

故答案為：詈.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是

分析出點(diǎn)到某線段的垂線段最短，由此進(jìn)行轉(zhuǎn)化線段，動(dòng)中找靜.

33.（2022?浙江杭州?統(tǒng)考二模）如圖，在平行四邊形4BCD中，4C與BD交于點(diǎn)。，NO4B=45°,AAB0=60°,

3￡?=8.點(diǎn)0從8點(diǎn)出發(fā)沿著8。方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)。停止運(yùn)動(dòng).連接2P,點(diǎn)B關(guān)于直線2P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q.當(dāng)

點(diǎn)Q落在4C上時(shí)，貝UOQ=.在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)Q到直線8。的距離的最大值為.

【答案】2+2舊-2遙2

【分析】如圖1,點(diǎn)B關(guān)于直線2P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q,當(dāng)點(diǎn)Q落在47上時(shí)，則連接過(guò)點(diǎn)。作OH0AB

于點(diǎn)H,貝崛O8B=EIOHA=90。，在RdBOH中，BH=2,OH=2顯,在RfAAOH中，AH=OH=2y/3,AO

=2①AB=AQ=BH+AH=2+2V5,即可求得0Q=4。-4。=2+2%一2伉；如圖2,以點(diǎn)A為圓心，AB

長(zhǎng)