第19章四邊形義務(wù)教育滬科版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)19.2平行四邊形回顧復(fù)習(xí)

活動(dòng)1：如果將一個(gè)三角形的兩邊分別按如圖的方式平移，會(huì)得到什么圖形？

思考：請(qǐng)觀察顏色相同的兩組對(duì)邊，它們有怎樣的位置關(guān)系呢？活動(dòng)2：觀察圖形，說(shuō)出下列圖形的對(duì)邊有什么位置特征.兩組對(duì)邊都不平行一組對(duì)邊平行，一組對(duì)邊不平行兩組對(duì)邊分別平行平行四邊形概念學(xué)習(xí)1.兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．

幾何語(yǔ)言：

∵AB∥CD，AD∥BC，∴

四邊形

ABCD是平行四邊形.2.記作：

ABCD；讀作：平行四邊形

ABCD.3.平行四邊形中不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)連成的線段叫它的

對(duì)角線.如圖中的

AC.平行四邊形邊和角的性質(zhì)觀察平行四邊形的對(duì)邊平行，相鄰的內(nèi)角互為補(bǔ)角除此以外，平行四邊形中，邊、角還有什么性質(zhì)呢?已知：如圖19－11，四邊形ABCD

中，AB∥DC，AD∥BC.求證：(1)AB

＝DC，AD

＝BC；(2)∠DAB

＝

∠DCB，

∠B

＝

∠D.(1)AB

＝DC，AD

＝BC；證明連接AC.∵AB∥DC，AD∥BC.∴∠BAC

＝

∠DCA，∠BCA

＝∠DAC.在△ABC

和△CDA

中，∠BCA

＝

∠DAC，AC＝

CA，∠BAC

＝

∠DCA，(1)AB

＝DC，AD

＝BC；∴△ABC

≌△CDA.(ASA)∴AB

＝DC，AD

＝BC.(2)∠DAB＝∠DCB，∠B

＝∠D.解由(1)知△ABC≌△CDA.∴AB

＝DC，AD

＝BC，∠B

＝∠D.∠DAB

＝

∠BAC

＋∠DAC＝

∠DCA

＋

∠BCA＝∠DCB.由此得到平行四邊形的下列性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等.性質(zhì)1性質(zhì)2平行四邊形的對(duì)角相等.例題例1已知：如圖19－12，ABCD

中BE平分∠ABC交AD

于點(diǎn)E.(1)如果AE

＝2，求CD的長(zhǎng)；(2)如果∠AEB

＝40°，

求∠C的度數(shù).(1)如果AE

＝2，求CD的長(zhǎng)；解∵BE平分∠ABC，

并且AD∥BC，∴∠ABE＝∠EBC＝∠AEB.∴AB

＝AE

＝2.又∵CD

＝AB

，∴CD

＝2.(2)如果∠AEB

＝40°，

求∠C的度數(shù).解由(1)知：∠AEB

＝

∠ABE

＝40°，∴∠A

＝180°－(40°＋40°)＝100°又∵∠C

＝

∠A

，∴∠C

＝100°.如圖19－13，直線l1∥直線l2，AB，CD是夾在直線ll，l2之間的兩條平行線段.由上面性質(zhì)1，可得如下結(jié)論：夾在兩條平行線之間的平行線段相等.由上述結(jié)論可知:如果兩條直線平行，那么一條直線上所有的點(diǎn)到另一條直線的距離都相等.因此，可以用點(diǎn)到直線的距離來(lái)定義兩條平行線間的距離.兩條平行線之間的距離處處相等.如圖19－13中AE

＝

CF.例題例2已知：如圖19－14，ABCD

中，AB＝4，AD

＝5，∠B

＝45°求直線AD

和直線BC

之間的距離，直線AB

和直線DC之間的距離.解過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為點(diǎn)E、點(diǎn)F，∴線段AE，AF的長(zhǎng)分別為點(diǎn)A

到直線BC和直線CD的距離.EF∴線段AE

的長(zhǎng)為直線AD

和直線BC之間的距離，

線段AF的長(zhǎng)為直線AB

和直線CD之間的距離.EF∵在Rt△ABE

中，∠AEB

＝90°，

∠B

＝45°AB

＝4，∴∠B

＝

∠BAE.∴BE

＝

AE.又∵AE2

＋

BE2

＝AB2，∴2AE2

＝

16.

EF

例3已知：如圖19－15，過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，分別作對(duì)邊的平行線，這三條直線兩兩相交，得△A′B′C′.求證：△ABC的頂點(diǎn)分別是△A'B'C'三邊的中點(diǎn).分析：如圖19－15，要證明點(diǎn)A是B′C′的中點(diǎn)，只要證明AB′＝AC′.證明∵AB∥B′C，BC∥AB′.∴AB′＝

BC.同理：AC′＝

BC.∴AB′＝

AC′.同理：BC′＝BA′，CA′＝CB′.所以△ABC

的頂點(diǎn)分別是△A′BC三邊的中點(diǎn).練習(xí)1.在ABCD中，已知∠A＝60°，求∠B，∠C，∠D的度數(shù).在

ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，

∠A＋∠B＝180°.∵∠A＝60°∴∠B＝180°－60°＝120°，∠C＝∠B＝60°?！唷螪＝∠B＝120°.2.在ABCD

中，已知AB

＝

a，BC

＝

b，求這個(gè)平行

四邊形的周長(zhǎng).∴CD＝AB＝a，DA＝BC＝b.∴周長(zhǎng)為：AB＋BC＋CD＋DA

＝a＋b＋a＋b

＝2a＋2b.∵在

ABCD中，AB＝a，BC＝b，3.在ABCD中，BC

＝2AB，點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn).

求證：AE⊥ED證明：∵

四邊形ABCD是平行四邊形，∴

AB＝CD，AB∥CD，∴

∠B＋∠C＝180°，∵

點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，∴

BC＝2BE＝2CE，

探究如圖19－16，ABCD的兩條對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O.圖中共有幾對(duì)全等三角形?有哪些線段相等?你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形的對(duì)角線有什么性質(zhì)嗎?在ABCD中，∵AB∥DC.∴∠OAB

＝

∠OCD，

∠OBA

＝

∠ODC.又AB

＝

DC，∴△OAB≌△OCD.(為什么?)∴OB＝OD，OA＝OC.性質(zhì)3平行四邊形對(duì)角線互相平分.例題例4已知：如圖19－17，ABCD

中對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB⊥AC，AB

＝3，AD

＝5，求BD的長(zhǎng).3535解∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC

＝AD

＝5.∵AB

⊥AC，∴△ABC

是直角三角形，∴AC

＝BC2－AB2

＝52

－32

＝4.

35

練習(xí)1.

ABCD中，AC＝24cm，BD＝38cm，AD＝28cm，若對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)O，求△OBC

周長(zhǎng).如圖所示：

∵在

ABCD中，對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，2.

ABCD中，對(duì)角線AC與BD互相垂直，那么，這個(gè)四邊形的鄰邊有什么關(guān)系，為什么?這個(gè)四邊形的鄰邊相等，理由如下：

∵

ABCD中，對(duì)角線AC與BD互相垂直，∴

AB＝BC＝CD＝AD，即這個(gè)四邊形的鄰邊相等.∴

ABCD是菱形，平行四邊形的判定思考將線段AB

按圖19－18中所給的方向和距離，平移成線段A′B′，順次連接點(diǎn)A，B，B′，A′，構(gòu)成一個(gè)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形ABB′A′.你能說(shuō)出它一定是平行四邊形嗎?為什么?ABA′B′已知：如圖19－19，四邊形ABCD

中，AB∥DC，且AB＝

DC.求證：四邊形ABCD為平行四邊形.證明連接AC.∵AB∥DC.∴∠BAC＝∠DCA.又AB＝CD，AC＝CA∴△ABC≌△CDA.∴∠ACB≌∠CAD.∴AD∥BC.因此，四邊形ABCD是平行四邊形.由此得到判定四邊形是否為平行四邊形的方法有：定理1一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.常用符號(hào)“”表示“平行且相等”“AB

CD”讀作“AB平行且等于CD”.＝

＝

思考1.如圖19－20，過(guò)點(diǎn)A

畫兩條線段AB，AD，以點(diǎn)B為圓心、AD長(zhǎng)為半徑畫弧，再以點(diǎn)D為圓心、AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)C，ABDC連接BC，DC.這樣畫出的四邊形ABCD

的兩組對(duì)邊分別相等，它是平行四邊形嗎?為什么?ABDC2.如圖19－21，作兩條直線l1，l2相交于點(diǎn)O，在直線l1上截取OA

＝OC，在直線12上截取OB

＝OD，連接AB，BC，CD，DA.這樣畫出的四邊形ABCD的對(duì)角線互相平分，它是平行四邊形嗎?為什么?l1l2O由此可知，判定四邊形為平行四邊形的方法還有：定理2定理3兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.例題例5已知：如圖19－22，點(diǎn)EF是ABCD的對(duì)角線AC上兩點(diǎn)且AE

＝CF.

求證：四邊形BEDF

是平行四邊形.證明連接BD交AC于點(diǎn)O.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO

＝CO，BO＝DO.∵

AE

＝

CF.∴

OE＝AO－AE＝CO－CF＝OF.∴四邊形BEDF

是平行四邊形.例6已知，直線l1，l2，l3；互相平行(圖19－23)，直線AC

和直線A1C1

分別交直線l1，l2，l3；

于點(diǎn)A，B，C

和點(diǎn)A1，B1，C1，且AB

＝

BC.

求證：A1B1＝

B1C1.證明過(guò)點(diǎn)B1作EF//AC，分別交直線l1，l3于點(diǎn)E，F(xiàn).∴四邊形ABB1E，BCFB1，都是平行四邊形.∴

EB1＝

AB，B1F

＝

BC.∵AB

＝BC，∴EB1＝B1F.又∵∠A1EB1

＝

∠B1FC1，∠A1B1E＝

∠C1B1F，∴△A1B1E≌△C1B1F.∴A1B1＝B1C1.由此得到如下結(jié)論：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等.作為上述結(jié)論的特例，應(yīng)有如下推論：經(jīng)過(guò)三角形一邊中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊.在圖19－23中直線A1C1向左平移，使得點(diǎn)A1和點(diǎn)A重合，則可得到上面推論.

證明過(guò)點(diǎn)D作DE′∥BC，DE′交AC于點(diǎn)E′.根據(jù)例6

得到的結(jié)論，點(diǎn)E′應(yīng)與點(diǎn)E重合.∴DE∥BC.同理，過(guò)點(diǎn)D作DF//AC，DF交BC

于點(diǎn)F，則點(diǎn)F為BC

的中點(diǎn).∴四邊形DFCE

為平行四邊形.

連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.由此得到：三角形中位線定理

三角形兩邊中點(diǎn)連線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.你能通過(guò)添加不同的輔助線來(lái)證明三角形中位線定理嗎?練習(xí)1.已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝

∠D.試判斷四邊形ABCD是否是平行四邊形，并說(shuō)明

理由，

2.畫ABCD，使AB

＝2cm，BC

＝3cm，AC

＝4cm.3.已知三角形各邊長(zhǎng)分別為6cm，9cm，10cm，求連

接各邊中點(diǎn)所組成三角形的周長(zhǎng).

4.證明平行四邊形判定定理2，3.①已知四邊形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD

，

求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

證明：連接AC，∵AD

＝BC，AB

＝CD，AC

＝CA，∴△ABC≌△CDA

，∴∠ACB

＝∠DAC，∠BAC

＝∠DCA，∴AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形.②已知：四邊形ABCD中，AC與BD相交于O，

OA

＝

OC、OB

＝OD

，求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證明：∵OA

＝OC，OB

＝OD，∠AOB

＝∠COD，

∴△OAB≌△OCD.∴∠OAB

＝

∠OCD，∴AB∥CD，同理：AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形.閱讀與思考三角形的重心1.三角形重心的力學(xué)證明.重心是一個(gè)物理概念.重力在物體上的作用點(diǎn)，叫做重心.一根質(zhì)量分布均勻的細(xì)棒，用針尖頂住它的什么地方，它在空中就能保持平衡呢?這一點(diǎn)顯然是該棒的中點(diǎn).細(xì)棒的中點(diǎn)就是它的重心.一塊質(zhì)量均勻的三角形薄板沿底邊畫平行線把它分成許多平行狹條(圖19－25).當(dāng)這些狹條分得很細(xì)時(shí)，每條的重心就在它的中點(diǎn).所有這些狹條的重心就構(gòu)成三角形薄板底邊上的中線，三角形薄板的重心必定在這條中線上.同樣道理，這個(gè)三角形薄板的重心也在另外兩條中線上.由此可見(jiàn)：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)就是三角形的重心.(以上關(guān)于三角形重心的力學(xué)證明內(nèi)容摘自吳文俊教授所著的《力學(xué)在幾何中的一些應(yīng)用》)類似地，一塊質(zhì)量均勻的平行四邊形薄板的重心一定在一組對(duì)邊中點(diǎn)的連線上(圖19－26)，也在另一組對(duì)邊中點(diǎn)的連線上，因而平行四邊形的重心就是上述兩條線的交點(diǎn)，也就是這個(gè)平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn).矩形、菱形、正方形的重心在什么地方呢?2.三角形重心的幾何證明.本節(jié)中例7以平行四邊形性質(zhì)為基礎(chǔ)，推導(dǎo)了三角形的一個(gè)性質(zhì).下面，再利用平行四邊形性質(zhì)，推導(dǎo)三角形的另一個(gè)性質(zhì).已知：如圖19－27，AD，BE和CF是△ABC的三條中線.

證明

中線BE和CF

必定相交，設(shè)它們的交點(diǎn)為O.取OB的中點(diǎn)G和OC的中點(diǎn)H，連接GH，HE，EF和FG.∵GH是△OBC的中位線，F(xiàn)E是△ABC的中位線，

∴

GH//FE，CH＝FE.∴四邊形EFGH是一個(gè)平行四邊形.∴

GO

＝

OE、HO

＝

OF.

∴AD和BE

的交點(diǎn)也就是O.∴AD，BE和CF相交于一點(diǎn)O，并且

三角形三條中線的交點(diǎn)就是三角形的重心.這個(gè)性質(zhì)，可敘述為：三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)和各邊中點(diǎn)的距離等于相應(yīng)各邊上中線的三分之一.上述三角形重心的性質(zhì)，九年級(jí)時(shí)用相似形知識(shí)證明更為簡(jiǎn)單.習(xí)題19.21.填空：(1)在ABCD中，∠A－∠B＝60°，則∠A

＝_________，∠B

＝_______；(2)在ABCD中，∠A＋∠C

＝120°，則∠A

＝_________，∠B＝________；(3)如果ABCD的周長(zhǎng)為35cm，AB∶BC

＝3∶4，

那么AB＝_______cm，BC＝_______cm.120°60°60°120°

102.如圖，如果直線l1∥l2

，那么△ABC

與△A1BC

面積

相等嗎?為什么?相等；∵l1∥l2，∴l(xiāng)1，l2之間的距離是固定的，∴△ABC和△A′BC的BC邊上的高相等?！唷鰽BC和△A′BC的面積相等.3.求證：平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)到一組對(duì)邊的距離相等.如圖，已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于O，過(guò)O作OE⊥AD，OF⊥BC，垂足分別是E、F，求證：OE＝OF.∠AEO＝∠CFO

∠DAC＝∠BCA，OA＝OC∴△AOE≌△COF(AAS)，∴OE＝OF.求證：OE＝OF.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠DAC

＝

∠BCA，∵OE⊥AD，OF⊥BC，∴∠AEO＝∠CFO＝90°在△AOE和△COF中，4.以不在同一直線上的三點(diǎn)為三個(gè)頂點(diǎn)作平行四邊形，

能作幾個(gè)?如圖，以不在同一直線上的A，B，C

三點(diǎn)為其中的三個(gè)頂點(diǎn)，能作三個(gè)平行四邊形：ABCD，

ABFC，AEBC.5.已知三條線段的長(zhǎng)分別為22cm，16cm，18cm，以哪

兩條為對(duì)角線，其余一條為邊，可以畫出平行四邊形?分三種情況討論：①由22cm，16cm的兩條線段為對(duì)角線，18cm的線段為邊作一平行四邊形，兩對(duì)角線的一半分別是11cm和8cm，由11＋8＞18，故能構(gòu)成平行四邊形；②由16cm，18cm的兩條線段為對(duì)角線，22cm的線段為邊作一平行四邊形，兩對(duì)角線的一半分別是8cm和9cm，由8+9<22，故不能構(gòu)成平行四邊形；③由22cm，18cm的兩條線段為對(duì)角線，16cm的線段為邊作一平行四邊形，兩對(duì)角線的一半分別是11cm和9cm，由11+9>16，故能構(gòu)成平行四邊形；綜上所述，可以畫出形狀不同的平行四邊形個(gè)數(shù)為2個(gè).6.已知：如圖，在ABCD

中，EF∥BC，分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)；GH∥AB，分別交AD，BC于點(diǎn)G，H；EF，GH的交點(diǎn)P在BD

上.問(wèn)圖中面積相等的平行四

邊形有哪幾對(duì)?為什么?圖中S□AEPG＝S□CFPH，S□ABHG

＝S□BCFE，S□ADFE＝S□CDGH，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BC，AB∥CD∵EF∥BC，GH∥AB∴AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC∴

四邊形EBHP，四邊形GPFD，四邊形ABHG，四邊形AEPG，四邊形EBCF，四邊形CFPH，四邊形CDGH，

四邊形ADFE都是平行四邊形.∴S△ABD

＝S△BCD，S△EBP

＝

S△HBP，

S△GPD

＝

S△FPD.∴S△ABD

－S△EBP

－

S△GPD

＝

S△BCD－

S△HBP

－

S△FPD∴S□AEPG＝

S□CFPH∴S□AEPG＋S□BEPH＝

S□CFPH＋S□BEPH，

S□AEPG＋

S□GPFD＝

S□CFPH＋

S□GPFD，∴S□ABHG

＝S□BCFE，

S□ADFE＝S□CDGH.∴圖中面積相等的平行四邊形有S□AEPG＝S□CFPH，S□ABHG

＝S□BCFE，S□ADFE＝S□CDGH共3對(duì).7.如圖，在ABCD的邊BC

上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作對(duì)

角線BD

的平行線與CD交于點(diǎn)

Q，連接PA，PD，QA，QB，則與△ABP

面積相等的三角形有幾個(gè)?寫出它們，

并說(shuō)明理由.與△ABP面積相等的三角形有2個(gè)，分別為△PBD，△BDQ，理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴S△BDP＝S△ABP，∵PQ∥BD，∴S△BDQ＝S△PBD，∴S△PBD＝S△ABP，∴與△ABP面積相等的三角

形有2個(gè)，分別為△PBD，

△BDQ.8.判斷下列說(shuō)法是否正確：(1)一組對(duì)邊平行、一組對(duì)角相等的四邊形是平行

四邊形.()(2)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形.()(3)一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行

四邊形.()???(4)對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是平行四邊形.()(5)一組對(duì)角相等、一組鄰角互補(bǔ)的四邊形是平行四

邊形.()(6)相鄰兩角都互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形.()???9.已知：如圖，在ABCD中，AE，CF分別是∠DAB，

∠BCD的平分線，求證：四邊形AFCE

是平行四邊形.

1234又∵∠3＝∠CFB.∴∠2＝

∠CFB，∴AE∥CF，又∵CE∥AF∴

四邊形AFCE是平行四邊形.123410.已知：如圖，在ABCD

中，BE

＝

DF.求證：四邊形AE