專題34最值模型之阿氏圓模型

最值問題在中考數(shù)學(xué)常以壓軸題的形式考查，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的

數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的阿氏圓問題進(jìn)

行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

目錄導(dǎo)航

1

6

例題講模型］

模型1.阿氏圓模型

模型解讀

動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之比為定值（即：平面上兩點(diǎn)A、B,動(dòng)點(diǎn)尸滿足PA/PB=k（左為常數(shù)，且厚1））,

那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是圓，因這個(gè)結(jié)論最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的，故稱這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯

圓，簡(jiǎn)稱為阿氏圓。

模型證明

如圖1所示，。。的半徑為廣，點(diǎn)A、8都在。O夕卜，P為。。上一動(dòng)點(diǎn)，已知（即1=左），連

0B

接PA、PB,則當(dāng)“PA+hP8”的值最小時(shí)，尸點(diǎn)的位置如何確定？最小值是多少呢？

OPOBOBOP

'：ZPOC=ZBOP,J.APOC^ABOP,.,.生=左，IPk-PB=PCo

PB

故本題求“PA+kPB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+P。'的最小值。

其中與A與C為定點(diǎn)，尸為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“P4+PC，值最小，如圖3所示。

阿氏圓求最值的本質(zhì)就是通過構(gòu)造母子相似，化去比例系數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩定一動(dòng)將軍飲馬型求最值，難點(diǎn)在

于如何構(gòu)造母子相似。

阿氏圓最值問題常見考法：點(diǎn)在圓外：向內(nèi)取點(diǎn)（系數(shù)小于1）；點(diǎn)在圓內(nèi)：向外取點(diǎn)（系數(shù)大于1）；一內(nèi)

一外：提系數(shù)；隱圓型阿氏圓等。

注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問題中，我們見識(shí)了“八％+尸6’最值問題，其中P點(diǎn)

軌跡是直線，而當(dāng)P點(diǎn)軌跡變?yōu)閳A時(shí)，即通常我們所說的“阿氏圓”問題.

模型運(yùn)用

例1.（2024?安徽合肥?二模）在44BC中，ZACB=90°,AC=6,3c=8,點(diǎn)。是平面上一點(diǎn)，且CD=4,

連接AD、BD,則下列說法正確的是（）

A.4。長(zhǎng)度的最大值是9B.|AD+即的最小值是|加

C.ZCBD=30°D.△ABD面積的最大值是40

例2.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方ABCD的邊長(zhǎng)為6,圓B的半徑為3,點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，則PD--PC的最大值為

2

例3.（2023?北京?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為。O,P是。。上一動(dòng)點(diǎn)，則0

PA+PB的最小值為.

例4.（2024?江蘇?無錫市九年級(jí)期中）如圖，。。與y軸、x軸的正半軸分別相交于點(diǎn)/、點(diǎn)N,。。半徑

為3,點(diǎn)A（0,1）,點(diǎn)8（2,0）,點(diǎn)P在弧MN上移動(dòng)，連接B4,PB,則3P4+PB的最小值為一.

例5.（2024.山東.模擬預(yù)測(cè)）如圖，在AABC中，ZABC=90°,AB=2BC=6,BD=1,P在以3為圓心

3為半徑的圓上，則AP+6PD的最小值為

例6.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,5C=8,D、石分別是邊區(qū)。、

AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DE=4,P是DE的中點(diǎn)，連接上4,PB,則的最小值為.

B

例7.（2024?福建??？家荒＃┤鐖D，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，〃為AB上一點(diǎn)，且3M=2,N為邊BC

上一動(dòng)點(diǎn).連接肱V,將沿；W翻折得到一MN,點(diǎn)尸與點(diǎn)8對(duì)應(yīng)，連接PAPC,貝IJP4+2PC的

最小值為?

例8.（2024?廣東?校考二模）（1）初步研究：如圖1,在△必8中，已知以=2,AB=4,。為AB上一點(diǎn)且AQ=1,

證明：PB=2PQ；（2）結(jié)論運(yùn)用：如圖2,已知正方形的邊長(zhǎng)為4,0A的半徑為2,點(diǎn)P是。A上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推廣：如圖3,已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,ZA=60°,的

半徑為2,點(diǎn)P是。A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求2PC-PB的最大值.

DC

DC

圖1圖2圖3

例9.（2023?山東煙臺(tái)?統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y=ad+6x+5與x軸交于兩點(diǎn)，與>軸交于點(diǎn)

C,AB=4.拋物線的對(duì)稱軸尤=3與經(jīng)過點(diǎn)A的直線、=履-1交于點(diǎn)。，與x軸交于點(diǎn)E.

（1）求直線AD及拋物線的表達(dá)式；（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)使得△AD似是以AD為直角邊的直角三角

形?若存在，求出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）以點(diǎn)8為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)、P為OB

上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出尸C+；尸4的最小值.

習(xí)題練模型

1.（2024?安徽六安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形A3CD中，已知AB=3,18c=6,E為AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△ME

沿BE翻折到AEBE的位置，點(diǎn)A與點(diǎn)尸重合，連接DECF,則。的最小值為（）

2.（2024年廣東深圳中考模擬試題）如圖，矩形ABCD中AB=8,AD=6,點(diǎn)E是矩形ABCD內(nèi)部一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，且EB=4,連接CE,則DE+三分之二CE的最小值為（）

A.8B.—C.—D.9

33

3.（2024?安徽六安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，已知AB=3,BC=6,E為AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，將AABE

沿BE翻折到AEBE的位置，點(diǎn)A與點(diǎn)產(chǎn)重合，連接ORCF,則。尸+:b的最小值為（）

A.-B.叵C.4D.

222

4.（2024?山東泰安?二模）如圖，在吊AABC中，NACB=90。，CB=2gAC=9,以C為圓心，3為半

徑作G）C,尸為。C上一動(dòng)點(diǎn)，連接釬、BP,則［AP+B尸的最小值為（）

A

A.1B.2C.3D.4

5.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,AZ）=9,點(diǎn)P為邊CO的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AD

上，連接3尸，點(diǎn)P為3尸上的動(dòng)點(diǎn)，則￡尸+典8歹的最小值為.

10

6.（2024.安徽合肥?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，正方形ABCD邊長(zhǎng)為8,M為8C中點(diǎn)，E為AC上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為

班上的點(diǎn)，且昉=3,連接DE,貝！J2MF+DE的最小值是（）

A.病B.3幣C.2V14D.2歷

7.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?二模）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABC。中，E、尸分別為3C、CD上的動(dòng)點(diǎn)，BE=CF,

連接AE、BF交于點(diǎn)P,則PD+多C的最小值為一.

8.（2024?浙江溫州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)M,N分別在邊A3,2C上（不與頂點(diǎn)重合），

且滿足=連接AN,DM交于點(diǎn)P.E,歹分別是邊AB,2C的中點(diǎn)，連結(jié)接PE,PF.若正方

形的邊長(zhǎng)為8,則PE+/的最小值為

F

N

AMEB

9.（2024.廣西?一模）圖所示，在半徑為6的扇形ABC中，/3AC=60。，點(diǎn)。，E分別在半徑AB,

3

AC上，且8O=CE=2,點(diǎn)尸是弧8C上的動(dòng)點(diǎn)，連接。REF,則。尸+不歷的最小值為.

BDA

10.（23-24九年級(jí)上?江蘇徐州?階段練習(xí)）如圖正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4,。4的半徑是2,點(diǎn)E是。A上一

動(dòng)點(diǎn)，連接E3,EC.則EC+14的最小值=__________.

2

11.（2024九年級(jí).廣東.專題練習(xí)）如圖，在VABC中，ZACB=9Q°,AC=BC=4,?C的半徑為2,。是。C

上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在CB上，CE=l,連接A。,DE,則,4。+2。石的最小值_____

2

12.（2024.四川??？家荒＃┤鐖D，為。。的直徑，3=2,點(diǎn)C與點(diǎn)。在的同側(cè)，且3C_LAB,

AD=1,BC=3,點(diǎn)尸是。。上的一動(dòng)點(diǎn)，則正尸。+PC的最小值為

2

13.（23-24九年級(jí)上.江蘇鹽城?期末）已知：等腰RtaABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,。是AB上一

點(diǎn)，以。為圓心的半圓與AC、均相切，P為半圓上一動(dòng)點(diǎn)，連尸C、PB,如圖，則PC+交尸8的最小

2

值是.

14.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?二模）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E、歹分別為3C、CD上的動(dòng)點(diǎn)，BE=CF,

連接AE、BF交于點(diǎn)、P,則PD+%C的最小值為一.

15.（2024?江蘇??？级＃┤鐖D，在AABC中，ZACB=90°,BC=12,AC=9,以點(diǎn)C為圓心，6為半徑的圓

上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D連接A。、BD、CD,則2AD+38D的最小值是

c

16.（23-24九年級(jí)上?江蘇南京?期末）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=S,D、E分別是

邊BC、AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且止=4,尸是。E的中點(diǎn)，連接2,PB,則PA+!PB的最小值為

17.（2024?江蘇?無錫市九年級(jí)階段練習(xí)）問題提出：如圖①，在Rt^ABC中，/C=90。，CB=4,CA=6,

0c的半徑為2,P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP,求AP+gBP的最小值.

（1）嘗試解決:為了解決這個(gè)問題,下面給出一種解題思路:如圖①,連接CP,在CB上取一點(diǎn)D,使CD=1,

CDCP1PDCD1

貝!J*上=匕=士.又ZPCD=ZBCP,所以APCDS^BCP.所以0二士=士.

CPCB2BPCP2

所以PD=；PB,所以+=AP+尸。.

請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+；8P的最小值為；

（2）自主探索：在“問題提出”的條件不變的前提下，求gA?+BP的最小值；

（3）拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，ZCOD=90",0C=6,OA=3,OB=5,P是CO上一點(diǎn),

求2上4+尸8的最小值.

18.（2023春?江蘇宿遷?九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）

圖4圖5

【問題呈現(xiàn)】如圖1,ZAOB=90°,OA=4,。2=5,點(diǎn)尸在半徑為2的。。上，求』4尸+8尸的最小值.

2

OC1OP

【問題解決】小明是這樣做的：如圖2,在上取一點(diǎn)C使得。。=1,這樣可得±=±=匕，又因?yàn)?

OP2OA

CPOP111

COP=ZPOA,所以可得ACOPsZVPOA,所以一=一=-,得CP=-A尸所以一+=

APOA222

又因?yàn)镃P+3P2CB=yJOC2+OB2，所以;4尸+BP最小值為一.

【思路點(diǎn)撥】小明通過構(gòu)造相似形（圖3）,將;AP轉(zhuǎn)化成CP,再利用“兩點(diǎn)之間線段“最短“求出CP+BP

的最小值.

2

【嘗試應(yīng)用】如圖4,ZAOB=60°,04=10,。2=9,點(diǎn)P是半徑為6的。。上一動(dòng)點(diǎn)，求最小值.

【能力提升】如圖5,ZABC=120°,BA=BC=8,點(diǎn)。為平面內(nèi)一點(diǎn)且3CD,連接A。，則AAB。面積

的最大值為一.

19.(2023?江蘇連云港?統(tǒng)考一模)如圖1,平面內(nèi)有一點(diǎn)尸到AABC的三個(gè)頂點(diǎn)的距離分別為R4、PB、PC,

若有PA2=PB2+PC2,則稱點(diǎn)P為AABC關(guān)于點(diǎn)A的勾股點(diǎn).

圖1圖2圖3圖4

(1)如圖2,在5x5的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B、C、D、E均在小正方形的格點(diǎn)上，則

點(diǎn)。是AABC關(guān)于點(diǎn)的勾股點(diǎn)；若點(diǎn)尸在格點(diǎn)上，且點(diǎn)E是△ABb關(guān)于點(diǎn)歹的勾股點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)诜礁窦?/p>

中畫出△ABF；(2)如圖3,菱形A3CD中，AC與30交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是平面內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)。是△口￡關(guān)于

點(diǎn)E的勾股點(diǎn).①求證：OE=AB；②若=OB