2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國(guó)版）

第六章圖形的變化

6.1尺規(guī)作圖

考點(diǎn)分布考查頻率命題趨勢(shì)

考點(diǎn)1基本尺規(guī)作圖及相幾何作圖題分尺規(guī)作圖和無(wú)刻度作圖，是全國(guó)中考的

☆☆

應(yīng)判斷熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國(guó)中考的必考內(nèi)容。每年都有一些

考生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范

等原因?qū)е率Х帧?/p>

從考點(diǎn)頻率看，尺規(guī)作圖是幾何作圖的基礎(chǔ)，也是高

考點(diǎn)2無(wú)刻度直尺作圖☆頻考點(diǎn)、必考點(diǎn)，所以必須熟練尺規(guī)作圖，而無(wú)刻度

作圖是近幾年的新考法，有幾個(gè)省市著重考查此類(lèi)題

型。從題型角度看，以解答題為主，分值8分左右，

著實(shí)不少！但選擇題、填空題考查幾何作圖題也不少。

☆☆☆代表必考點(diǎn)，☆☆代表?？键c(diǎn)，☆星表示中頻考點(diǎn)。

夯實(shí)基礎(chǔ)

考點(diǎn)1.基本尺規(guī)作圖及相應(yīng)判斷

1.由作角平分線(xiàn)過(guò)程求解。這類(lèi)作圖主要考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理和尺規(guī)作圖，勾股定理、菱形

判定等知識(shí)。

2.由作垂直平分線(xiàn)過(guò)程求解。這類(lèi)作圖主要考查了垂直平分線(xiàn)的作法和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和

三角形內(nèi)角和定理，掌根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)等。

考點(diǎn)2.無(wú)刻度直尺作圖

1.網(wǎng)格中有一線(xiàn)的無(wú)刻度作圖。這類(lèi)作圖主要考查作圖-對(duì)稱(chēng)變換，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題。

2.網(wǎng)格中有一三角形的無(wú)刻度作圖。這類(lèi)作圖主要考查格點(diǎn)作圖，平行四邊形的判定及性質(zhì)，勾

股定理，全等三角形、相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

3.網(wǎng)格中有四邊形的無(wú)刻度作圖。這類(lèi)作圖主要考查了復(fù)雜作圖、位似圖形、勾股定理、平行四邊

形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握尺規(guī)作圖的常見(jiàn)作法是解題關(guān)鍵。

4.特殊圖形中的無(wú)刻度作圖。這類(lèi)作圖主要考查了作圖—復(fù)雜作圖，解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基

本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作，也考查了全等

三角形的判定與性質(zhì)和線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)等。

5.平行四邊形中的無(wú)刻度作圖。這類(lèi)作圖主要考查作圖-復(fù)雜作圖、平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟

練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)。

6.矩形、菱形、正方形中的無(wú)刻度作圖。這類(lèi)作圖主要考查了復(fù)雜作圖，掌握特殊平行四邊形的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵。

【提示】幾何作圖題分尺規(guī)作圖和無(wú)刻度作圖，是全國(guó)中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國(guó)中考的必考內(nèi)容。

每年都有一些考生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

1．從考點(diǎn)頻率看，尺規(guī)作圖是幾何作圖的基礎(chǔ)，也是高頻考點(diǎn)、必考點(diǎn)，所以必須熟練尺規(guī)作圖，

而無(wú)刻度作圖是近幾年的新考法，有幾個(gè)省市著重考查此類(lèi)題型。

2．從題型角度看，以解答題形式出現(xiàn)的情況成為常態(tài)，分值8分左右。

考點(diǎn)1.基本尺規(guī)作圖及相應(yīng)判斷

【例題1】（2024深圳）在如圖的三個(gè)圖形中，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，能判斷射線(xiàn)AD平分BAC

的是（）

A.B.C.D.只有

【答①案②】B①③②③①

【解析】本題考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是理解作法、掌握角平分

線(xiàn)的定義．利用基本作圖對(duì)三個(gè)圖形的作法進(jìn)行判斷即可．在圖①中，利用基本作圖可判斷AD平分

BAC；在圖③中，利用作法得AEAF，AMAN，可證明AFM≌AEN，有

AMDAND，可得MENF，進(jìn)一步證明△MDE≌△NDF，得DMDN，繼而可證明

△ADM≌△ADN，得MADNAD，得到AD是BAC的平分線(xiàn)；在圖②中，利用基本作

圖得到D點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，則AD為BC邊上的中線(xiàn)．

【詳解】在圖①中，利用基本作圖可判斷AD平分BAC；

在圖③中，利用作法得AEAF，AMAN，

在△AFM和△AEN中，

AEAF

BACBAC，

AMAN

∴AFM≌AENSAS，

∴AMDAND，

AMAEANAF

MENF

在MDE和NDF中

AMDAND

MDENDF，

MENF

∴MDE≌NDFAAS，

∴DMDN，

∵ADAD,AMAN，

∴ADM≌ADNSSS，

∴MADNAD，

∴AD是BAC的平分線(xiàn)；

在圖②中，利用基本作圖得到D點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，則AD為BC邊上的中線(xiàn)．

則①③可得出射線(xiàn)AD平分BAC．故選：B．

【變式練1】（2024長(zhǎng)春一模）如圖，在ABC中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說(shuō)法不一定正確的

是（）

1

A.AFBFB.AEAC

2

C.DBFDFB90D.BAFEBC

【答案】B

【解析】根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可得DF垂直平分AB，BE是ABC的角平分線(xiàn)，根據(jù)垂直平分線(xiàn)的

性質(zhì)和角平分線(xiàn)的定義，直角三角形兩銳角互余，等邊對(duì)等角的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．

【詳解】根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可得DF垂直平分AB，BE是ABC的角平分線(xiàn)，

AFBF,BDF90,ABFCBE，

ABFBAF,DBFDFB90，

BAFEBC，

綜上，正確的是A、C、D選項(xiàng)，故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線(xiàn)和角平分線(xiàn)的作圖，垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，直角三角

形兩銳角互余，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．

【變式練2】（2024江蘇連云港一模）如圖，在ABCD中，ABC150．利用尺規(guī)在BC、BA

1

上分別截取BE、BF，使BEBF；分別以E、F為圓心，大于EF的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在

2

CBA內(nèi)交于點(diǎn)G；作射線(xiàn)BG交DC于點(diǎn)H．若AD31，則BH的長(zhǎng)為_(kāi)________．

【答案】2

【解析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥BC于M，由作圖方法可知，BH平分∠ABC，即可證明∠CBH=∠CHB，

得到CHBC31，從而求出HM，CM的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BM的長(zhǎng)，即可利用勾股定理求出BH

的長(zhǎng)．

【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥BC于M，

由作圖方法可知，BH平分∠ABC，

∴∠ABH=∠CBH，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BCAD31，AB∥CD，

∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°，

∴∠CBH=∠CHB，

∴CHBC31，

131

∴HMCH，

22

33

∴CMCH2CM2，

2

31

∴BMBCCM，

2

∴BHHM2BM22，

故答案為：2．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線(xiàn)的尺規(guī)作圖，平行四邊形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，

勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，正確求出CH的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．

【變式練3】（2024山東煙臺(tái)一模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝45°．

（1）請(qǐng)用尺規(guī)作出⊙O的切線(xiàn)AD（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；

（2）在（1）的條件下，若AB與切線(xiàn)AD所夾的銳角為75°，⊙O的半徑為2，求BC的長(zhǎng)．

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）23

【解析】【分析】（1）連接OA,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥AO即可；

（2）連接OB，OC．先證明∠ACB＝75°，再利用三角形內(nèi)角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，

求出CH可得結(jié)論．

【詳解】(1)解：如圖，切線(xiàn)AD即為所求；

(2)如圖：連接OB，OC．

∵AD是切線(xiàn)，

∴OA⊥AD，

∴∠OAD＝90°，

∵∠DAB＝75°，

∴∠OAB＝15°，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA＝15°，

∴∠BOA＝150°，

1

∴∠BCA＝∠AOB＝75°，

2

∵∠ABC＝45°，

∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，

∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，

∵OB＝OC＝2，

∴∠BCO＝∠CBO＝30°，

∵OH⊥BC，

∴CH＝BH＝OC?cos30°＝3，

∴BC＝23．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圓的、三角形的外接圓、切線(xiàn)的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，

解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．

考點(diǎn)2.無(wú)刻度直尺作圖

【例題2】（2024武漢市）如圖是由小正方形組成的34網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．ABC

三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)．僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個(gè)畫(huà)圖任務(wù)，每個(gè)任務(wù)的畫(huà)線(xiàn)不得超過(guò)三

條．

（1）在圖（1）中，畫(huà)射線(xiàn)AD交BC于點(diǎn)D，使AD平分ABC的面積；

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，在射線(xiàn)AD上畫(huà)點(diǎn)E，使ECBACB；

（3）在圖（2）中，先畫(huà)點(diǎn)F，使點(diǎn)A繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到點(diǎn)C，再畫(huà)射線(xiàn)AF交BC于點(diǎn)G；

（4）在（3）的基礎(chǔ)上，將線(xiàn)段AB繞點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)180，畫(huà)對(duì)應(yīng)線(xiàn)段MN（點(diǎn)A與點(diǎn)M對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B

與點(diǎn)N對(duì)應(yīng)）．

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析

（2）作圖見(jiàn)解析（3）作圖見(jiàn)解析

（4）作圖見(jiàn)解析

【解析】【分析】本題考查了網(wǎng)格作圖．熟練掌握全等三角形性質(zhì)，平行四邊形性質(zhì)，等腰三角形性

質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．

（1）作矩形HBIC，對(duì)角線(xiàn)HI交BC于點(diǎn)D，做射線(xiàn)AD，即可；

（2）作OP∥BC,射線(xiàn)AROP于點(diǎn)Q，連接CQ交AD于點(diǎn)E，即可；

（3）在AC下方取點(diǎn)F，使AFCF5，△ACF是等腰直角三角形，連接CF，AF，AF

交BC于點(diǎn)G，即可；

（4）作OP∥BC，交AG于點(diǎn)M，作ST∥AG，交BC于點(diǎn)N，連接MN，即可．

【小問(wèn)1詳解】

如圖，作線(xiàn)段HI，使四邊形HBIC是矩形，HI交BC于點(diǎn)D，做射線(xiàn)AD，點(diǎn)D即為所求作；

【小問(wèn)2詳解】

如圖，作OP∥BC,作AROP于點(diǎn)Q，連接CQ交AD于點(diǎn)E，點(diǎn)E即為作求作；

【小問(wèn)3詳解】

如圖，在AC下方取點(diǎn)F，使AFCF5，連接CF，連接并延長(zhǎng)AF，AF交BC于點(diǎn)G，

點(diǎn)F，G即為所求作；

【小問(wèn)4詳解】

如圖，作OP∥BC，交射線(xiàn)AG于點(diǎn)M，作ST∥AG，交BC于點(diǎn)N，連接MN，線(xiàn)段MN即為

所求作．

【變式練1】（2024湖南長(zhǎng)沙一模）如圖是76的正方形網(wǎng)格，已知格點(diǎn)△ABC（頂點(diǎn)在小正方形頂

點(diǎn)處的三角形稱(chēng)為格點(diǎn)三角形），請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺完成下列作圖（要求保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作

法）．

1

(1)圖1中，在AB邊上找一點(diǎn)D，作線(xiàn)段CD，使得SS；

ACD2ABC

3

(2)圖2中，在AB邊上找一點(diǎn)E，作線(xiàn)段CE，使得SS．

ACE5ABC

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析

【分析】本題考查作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、三角形的面積、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是

理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．

（1）取線(xiàn)段AB的中點(diǎn)D，連接CD，則點(diǎn)D即為所求．

（2）取格點(diǎn)M，N，使AM:BN3:2，且AM∥BN，連接MN，交AB于點(diǎn)E，連接CE，則點(diǎn)E即

為所求．

【詳解】（1）

解：如圖1，取線(xiàn)段AB的中點(diǎn)D，連接CD，

1

SACDSABC

則得2，

則點(diǎn)D即為所求；

（2）

解：如圖2，取格點(diǎn)M，N，使AM:BN3:2，且AM∥BN，

連接MN，交AB于點(diǎn)E，連接CE，

則△AME∽△BNE，

AEAM3

則BEBN2，

SACE:SBCE3:2，

3

SS

ACE5ABC，

則點(diǎn)E即為所求．

【變式練2】（2024廣州一模）如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，四邊形ABCD的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，僅

用無(wú)刻度的直尺在所給定的網(wǎng)格中按要求完成下列畫(huà)圖，畫(huà)圖過(guò)程用虛線(xiàn)表示，畫(huà)圖結(jié)果用實(shí)線(xiàn)表示．

1

(1)在圖1中，先以點(diǎn)A為位似中心，將四邊形ABCD縮小為原來(lái)的2，畫(huà)出縮小后的四邊形AB1C1D1，

再在AB上畫(huà)點(diǎn)E，使得DE平分四邊形ABCD的周長(zhǎng)；

(2)在圖2中，先在AB上畫(huà)點(diǎn)F，使得CFBC，再分別在AD，AB上畫(huà)點(diǎn)M，N，使得四邊形BCMN

是平行四邊形．

【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解

、、

【分析】（1）取AB、AC、AD的中點(diǎn)B1C1D1，然后順次連接即可；根據(jù)勾股定理可得AB5，

ADCD22，結(jié)合圖形可知BC3，故ABBC8，取格點(diǎn)P，使得PBAB5，則有

BAPBPA，連接AP，再取點(diǎn)Q，連接CQ，此時(shí)可有ACPB4，AC∥PB，即四邊形APQC

為平行四邊形，則有CQ∥AP，易得BQEBPA，BEQBAP，所以BEQBQE，易得

BEBQ1，連接DE，則DE平分四邊形ABCD的周長(zhǎng)；

（2）取格點(diǎn)G，H，J，使得CG3，GH4，HJ3，連接GJ交AB于F，易證明ABC≌GJH，

所以HGJCAB，結(jié)合BCAB90，可得GB90，即BGF為直角三角形，因?yàn)?/p>

CGBC3，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半”，可得CFBC；在網(wǎng)格中取點(diǎn)K，

連接CK交AD于點(diǎn)M，則CK∥AB，過(guò)點(diǎn)M作MN∥BC，交AB為點(diǎn)N，即可獲得答案．

【詳解】（1）解：如下圖，四邊形AB1C1D1，線(xiàn)段DE即為所求；

（2）如下圖，CF，四邊形BCMN即為所求．

【變式練3】（2024深圳一模）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E為AD的中點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直

尺作圖：

(1)在BC上取點(diǎn)M，使四邊形ABME為平行四邊形；

(2)在CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)F，使四邊形BDFA為平行四邊形．

【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解

【分析】（1）連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接EO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M，則點(diǎn)M即為所求，因?yàn)樗倪呅?/p>

ABCD為平行四邊形，則AE∥BM，又因?yàn)镋為AD的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，所以O(shè)EBA，即

EM∥AB，所以四邊形ABME為平行四邊形；

（2）連接BE并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接AF，則點(diǎn)F即為所求，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四

邊形，則FC∥AB，所以ABEDFE，又因?yàn)镋為AD的中點(diǎn)，所以AEDE，且AEBDEF，

△≌△

所以ABEDFEAAS，即ABDF，所以四邊形BDFA為平行四邊形．

【詳解】（1）解：點(diǎn)M即為所求：

（2）解：如圖，點(diǎn)F即為所求：

考點(diǎn)1.基本尺規(guī)作圖及相應(yīng)判斷

1.（2024河北省）觀(guān)察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得線(xiàn)段BD一定是ABC的（）

A.角平分線(xiàn)B.高線(xiàn)C.中位線(xiàn)D.中線(xiàn)

【答案】B

【解析】本題考查的是三角形的高的定義，作線(xiàn)段的垂線(xiàn)，根據(jù)作圖痕跡可得BDAC，從而可得

答案．

由作圖可得：BDAC，

∴線(xiàn)段BD一定是ABC的高線(xiàn)；故選B

2.（2024四川成都市）如圖，在YABCD中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑

1

作弧，分別交BA，BC于點(diǎn)M，N；②分別以M，N為圓心，以大于MN的長(zhǎng)為半徑作弧，

2

兩弧在ABC內(nèi)交于點(diǎn)O；③作射線(xiàn)BO，交AD于點(diǎn)E，交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．若CD3，

DE2，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.ABECBEB.BC5

BE5

C.DEDFD.

EF3

【答案】D

【解析】本題考查角平分線(xiàn)的尺規(guī)作圖、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定以及相似性質(zhì)與判定

的綜合．先由作圖得到BF為ABC的角平分，利用平行線(xiàn)證明AEBABE，從而得到

AEABCD3，再利用平行四邊形的性質(zhì)得到BCADAEED325，再證明

BE3

△AEB∽△DEF，分別求出，DF2，則各選項(xiàng)可以判定．

EF2

【詳解】由作圖可知，BF為ABC的角平分，

∴ABECBE，故A正確；

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴ADBC,ABCD,ADBC，

∵AD∥BC

∴AEBCBE，

∴AEBABE，

∴AEABCD3，

∴BCADAEED325，故B正確；

∵ABCD，

∴ABEF，

∵AEBDEF，

∴△AEB∽△DEF，

BEABAE

∴，

EFDFED

BE33

∴，

EFDF2

BE3

∴，DF2，故D錯(cuò)誤；

EF2

∵DE2，

∴DEDF，故C正確，故選：D．

3.（2024武漢市）小美同學(xué)按如下步驟作四邊形ABCD：①畫(huà)MAN；②以點(diǎn)A為圓心，1個(gè)單

位長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AM，AN于點(diǎn)B，D；③分別以點(diǎn)B，D為圓心，1個(gè)單位長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，

兩弧交于點(diǎn)C；④連接BC，CD，BD．若A44，則CBD的大小是（）

A.64B.66C.68D.70

【答案】C

【解析】本題考查了基本作圖，菱形的判定和性質(zhì)，根據(jù)作圖可得四邊形ABCD是菱形，進(jìn)而根據(jù)

菱形的性質(zhì)，即可求解．

【詳解】解：作圖可得ABADBCDC

∴四邊形ABCD是菱形，

∴ADBC,ABDCBD

∵A44，

∴MBCA44，

11

∴CBD180MBC1804468，故選：C．

22

4.（2024湖南?。┤鐖D，在銳角三角形ABC中，AD是邊BC上的高，在BA，BC上分別截取線(xiàn)

1

段BE，BF，使BEBF；分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，在ABC內(nèi)，

2

兩弧交于點(diǎn)P，作射線(xiàn)BP，交AD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MNAB于點(diǎn)N．若MN2，AD4MD，

則AM________．

【答案】6

【解析】本題考查了尺規(guī)作圖，角平分線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)作圖可知BP平分ABC，根據(jù)角平

分線(xiàn)的性質(zhì)可知DMMN2，結(jié)合AD4MD求出AD，AM．

【詳解】作圖可知BP平分ABC，

∵AD是邊BC上的高，MNAB，MN2，

∴MDMN2，

∵AD4MD，

∴AD8，

∴AMADMD6，故答案為：6．

5.（2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交x

1

軸正半軸于點(diǎn)M，交y軸正半軸于點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩

2

弧在第一象限交于點(diǎn)H，畫(huà)射線(xiàn)OH，若H2a1,a1，則a______．

【答案】2

【解析】此題主要考查了角平分線(xiàn)的尺規(guī)作圖和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，根據(jù)作圖方法可得點(diǎn)H

在第一象限的角平分線(xiàn)上，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)和第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)可得答案．

【詳解】根據(jù)作圖方法可得點(diǎn)H在第一象限角平分線(xiàn)上；點(diǎn)H橫縱坐標(biāo)相等且為正數(shù)；

2a1a1，

解得：a2．

6.（2024貴州?。┤鐖D，在ABC中，以點(diǎn)A為圓心，線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC于點(diǎn)D，

連接AD．若AB5，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)_____．

【答案】5

【解析】本題考查了尺規(guī)作圖，根據(jù)作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段的作法可得出ADAB，即可求解．

由作圖可知∶ADAB，

∵AB5，

∴AD5．

7.（2024河南?。┤鐖D，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線(xiàn)，BE∥DC交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)

于點(diǎn)E．

（1）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作ECM，使ECMA，且射線(xiàn)CM交BE于點(diǎn)F（保留作圖

痕跡，不寫(xiě)作法）．

（2）證明（1）中得到的四邊形CDBF是菱形

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，菱形的判定，直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)

鍵是：

（1）根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的方法作圖即可；

（2）先證明四邊形CDBF是平行四邊形，然后利用直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)得出

1

CDBDAB，最后根據(jù)菱形的判定即可得證．

2

【小問(wèn)1詳解】

解：如圖，

；

【小問(wèn)2詳解】

證明：∵ECMA，

∴CM∥AB，

∵BE∥DC，

∴四邊形CDBF是平行四邊形，

∵在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線(xiàn)，

1

∴CDBDAB，

2

∴平行四邊形CDBF是菱形．

8.（2024四川達(dá)州）如圖，線(xiàn)段AC、BD相交于點(diǎn)O．且AB∥CD，AEBD于點(diǎn)E．

（1）尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)C作BD的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)F、連接AF、CE；（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，

并標(biāo)明相應(yīng)的字母）

（2）若ABCD，請(qǐng)判斷四邊形AECF的形狀，并說(shuō)明理由．（若前問(wèn)未完成，可畫(huà)草圖完成此

問(wèn)）

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）四邊形AECF是平行四邊形，理由見(jiàn)解析

【解析】【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定，垂線(xiàn)的尺規(guī)作圖，全等三角形的性質(zhì)與判定：

（1）先根據(jù)垂線(xiàn)的尺規(guī)作圖方法作出點(diǎn)F，再連接AF、CE即可；

（2）先證明ABO≌CDOASA，得到OAOC，再證明AE∥CF，∠AEO∠CFO90，

進(jìn)而證明AOE≌COFAAS，得到AECF，即可證明四邊形AECF是平行四邊形．

【小問(wèn)1詳解】

解：如圖所示，即為所求；

【小問(wèn)2詳解】

解：四邊形AECF是平行四邊形，理由如下：

∵AB∥CD，

∴∠B∠D，∠OAB∠OCD，

又∵ABCD，

∴ABO≌CDOASA，

∴OAOC，

∵AEBD，CFBD，

∴AE∥CF，∠AEO∠CFO90，

又∵AOECOF，

∴AOE≌COFAAS，

∴AECF，

∴四邊形AECF是平行四邊形．

9.（2024廣西）如圖，在ABC中，A45，ACBC．

（1）尺規(guī)作圖：作線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)l，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E：（要求：保留作圖痕跡，

不寫(xiě)作法，標(biāo)明字母）

（2）在（1）所作的圖中，連接BE，若AB8，求BE的長(zhǎng)．

【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）42

1

【解析】（1）分別以A、B為圓心，大于AB為半徑畫(huà)弧，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，作直線(xiàn)DE，

2

則直線(xiàn)l即為所求．

（2）連接BE，由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得出BEAE，由等邊對(duì)等角可得出EBAA45，

由三角形內(nèi)角和得出BEA90，則得出ABE為等腰直角三角形，再根據(jù)正弦的定義即可求出

BE的長(zhǎng)．

【小問(wèn)1詳解】

解：如下直線(xiàn)l即為所求．

【小問(wèn)2詳解】

連接BE如下圖：

∵DE為線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，

∴BEAE，

∴EBAA45，

∴BEA90，

∴ABE為等腰直角三角形，

BE2

∴sinA，

AB2

22

∴BEAB842

22

【點(diǎn)睛】本題主要考查了作線(xiàn)段的垂線(xiàn)平分線(xiàn)，線(xiàn)段的垂線(xiàn)平分線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角

形內(nèi)角和定理以及正弦的定義．掌握線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

10.（2024廣州）如圖，Rt△ABC中，ABC90．

（1）尺規(guī)作圖：作AC邊上的中線(xiàn)BO（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；

（2）在（1）所作的圖中，將中線(xiàn)BO繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180得到DO，連接AD，CD．求證：

四邊形ABCD是矩形．

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析

【解析】（1）解：如圖，線(xiàn)段BO即為所求；

（2）證明：如圖，

∵由作圖可得：AOCO，由旋轉(zhuǎn)可得：BODO，

∴四邊形ABCD為平行四邊形，

∵ABC90，

∴四邊形ABCD為矩形．

11.（2024福建?。┤鐖D，已知直線(xiàn)l1l2．

（1）在l1,l2所在的平面內(nèi)求作直線(xiàn)l，使得ll1l2，且l與l1間的距離恰好等于l與l2間的距離；

（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若l1與l2間的距離為2，點(diǎn)A,B,C分別在l,l1,l2上，且ABC為等腰直角三

角形，求ABC的面積．

5

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）ABC的面積為1或．

2

【解析】本題主要考查基本作圖，平行線(xiàn)的性質(zhì)，全等三角形的判定，勾股定理以及分類(lèi)討論思想：

（1）先作出與l2的垂線(xiàn)，再作出夾在l1,l2間垂線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)即可；

（2）分BAC90,ABAC；ABC90,BABC；ACB90,CACB三種情況，結(jié)

合三角形面積公式求解即可

【小問(wèn)1詳解】如圖，

直線(xiàn)l就是所求作的直線(xiàn)．

【小問(wèn)2詳解】

①當(dāng)BAC90,ABAC時(shí)，

ll1l2，直線(xiàn)l1與l2間的距離為2，且l與l1間的距離等于l與l2間的距離，根據(jù)圖形的對(duì)稱(chēng)性可

知：BC2，

ABAC2，

1

S△ABAC1．

ABC2

②當(dāng)ABC90,BABC時(shí)，

分別過(guò)點(diǎn)A,C作直線(xiàn)l1的垂線(xiàn)，垂足為M,N，

AMBBNC90．

ll1l2，直線(xiàn)l1與l2間的距離為2，且l與l1間的距離等于l與l2間的距離，

CN2,AM1．

MABABM90，NBCABM90，

MABNBC，△AMB≌△BNC，

BMCN2．

在RtABM中，由勾股定理得AB2AM2BM2，

AB5．

15

S△ABBC．

ABC22

5

③當(dāng)ACB90,CACB時(shí)，同理可得，S．

ABC2

5

綜上所述，ABC的面積為1或．

2

12.（2024甘肅臨夏）根據(jù)背景素材，探索解決問(wèn)題．

平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF

背

六等分圓原理，也稱(chēng)為圓周六等分問(wèn)題，是一個(gè)古老而經(jīng)典的幾何問(wèn)題，

景

旨在解決如何使用直尺和圓規(guī)將一個(gè)圓分成六等份的問(wèn)題．這個(gè)問(wèn)題由

素

歐幾里得在其名著《幾何原本》中詳細(xì)闡述．

材

已

知

點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，點(diǎn)D在x軸的正半軸上且坐標(biāo)為2,0

條

件

操①分別以點(diǎn)C，D為圓心，CD長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P；

作②以點(diǎn)P為圓心，PC長(zhǎng)為半徑作圓；

步③以CD的長(zhǎng)為半徑，在P上順次截取DEEFFAAB；

驟

④順次連接DE，EF，F(xiàn)A，AB，BC，得到正六邊形ABCDEF．

問(wèn)題解決

任根據(jù)以上信息，請(qǐng)你用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在圖中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫(xiě)

務(wù)作法）

一

任

務(wù)將正六邊形ABCDEF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)E所在位置的坐標(biāo)：______．

二

【答案】任務(wù)一：見(jiàn)解析；任務(wù)二：4,0

【解析】本題考查尺規(guī)作圖，弧、弦、圓心角的關(guān)系，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．

任務(wù)一：根據(jù)操作步驟作出P，再根據(jù)弧、弦、圓心角的關(guān)系，分別作出DEEFAFABCD，

即得出DEEFFAAB，最后順次連接即可；

任務(wù)二：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知DEOD2，即得出OEDEOD4，即此時(shí)點(diǎn)E所在位置的

坐標(biāo)為4,0．

【詳解】解：任務(wù)一：如圖，正六邊形ABCDEF即為所作；

任務(wù)二：如圖，

由旋轉(zhuǎn)可知DEOD2，

∴OEDEOD4，

∴E4,0．

13.（2024甘肅威武）馬家窯文化以發(fā)達(dá)的彩陶著稱(chēng)于世，其陶質(zhì)堅(jiān)固，器表細(xì)膩，紅、黑、白彩共

用，彩繪線(xiàn)條流暢細(xì)致，圖案繁縟多變，形成了絢麗典雅的藝術(shù)風(fēng)格，創(chuàng)造了一大批令人驚嘆的彩陶

藝術(shù)精品，體現(xiàn)了古代勞動(dòng)人民的智慧．如圖1的彩陶紋樣呈現(xiàn)的是三等分圓周，古人用等邊三角形

三點(diǎn)定位的方法確定圓周的三等分點(diǎn)，這種方法和下面三等分圓周的方法相通．如圖2，已知O和

圓上一點(diǎn)M．作法如下：

①以點(diǎn)M為圓心，OM長(zhǎng)為半徑，作弧交O于A，B兩點(diǎn)；

②延長(zhǎng)MO交O于點(diǎn)C；

即點(diǎn)A，B，C將O的圓周三等分．

（1）請(qǐng)你依據(jù)以上步驟，用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在圖2中將O的圓周三等分（保留作圖痕跡，

不寫(xiě)作法）；

（2）根據(jù)（1）畫(huà)出的圖形，連接AB，AC，BC，若O的半徑為2cm，則ABC的周長(zhǎng)為_(kāi)_____cm．

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）63

【解析】【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖的基本步驟解答即可；

（2）連接AM，設(shè)AB,OM的交點(diǎn)為D，得到ADOM，根據(jù)O的半徑為2cm，MC是直徑，

ABC是等邊三角形，計(jì)算即可．

本題考查了尺規(guī)作圖，圓的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握尺規(guī)作圖的方法和圓的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵．

【小問(wèn)1詳解】

根據(jù)基本作圖的步驟，作圖如下：

則點(diǎn)A，B，C是求作的O的圓周三等分點(diǎn)．

【小問(wèn)2詳解】

連接AM，設(shè)AB,OM的交點(diǎn)為D，

根據(jù)垂徑定理得到ADOM，

∵O的半徑為2cm，MC是直徑，ABC是等邊三角形，

∴CAM90，CMAB60,MC4cm，

∴ACMCsinCMAsin60423cm，

∴ABC的周長(zhǎng)為ABBCAC63cm，

故答案為：63．

考點(diǎn)2.無(wú)刻度直尺作圖

1.（2024天津市）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,F,G均在格點(diǎn)上．

（1）線(xiàn)段AG的長(zhǎng)為_(kāi)_____；

（2）點(diǎn)E在水平網(wǎng)格線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)A,E,F作圓，經(jīng)過(guò)圓與水平網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)作切線(xiàn)，分別與AE,AF

的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)B,C,△ABC中，點(diǎn)M在邊BC上，點(diǎn)N在邊AB上，點(diǎn)P在邊AC上．請(qǐng)用無(wú)．

刻．度．的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫(huà)出點(diǎn)M,N,P，使△MNP的周長(zhǎng)最短，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)M,N,P

的位置是如何找到的（不要求證明）______．

【答案】①.2②.圖見(jiàn)解析，說(shuō)明見(jiàn)解析

【解析】【分析】此題考查了勾股定理、切線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意正確作圖是解題的關(guān)鍵．

（1）利用勾股定理即可求解；

（2）根據(jù)圓的相關(guān)性質(zhì)和網(wǎng)格特點(diǎn)進(jìn)行作圖即可．

【詳解】（1）由勾股定理可知，AG12122，

故答案為：2

（2）如圖，根據(jù)題意，切點(diǎn)為M；連接ME并延長(zhǎng)，與網(wǎng)格線(xiàn)相交于點(diǎn)M1；取圓與網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)

D和格點(diǎn)H，連接DH并延長(zhǎng)，與網(wǎng)格線(xiàn)相交于點(diǎn)M2；連接M1M2，分別與AB,AC相交于點(diǎn)N,P，

則點(diǎn)M,N,P即為所求．

2.（2024吉林省）圖①、圖②均是44的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)．點(diǎn)A，B，C，

D，E，O均在格點(diǎn)上．圖①中已畫(huà)出四邊形ABCD，圖②中已畫(huà)出以O(shè)E為半徑的O，只用無(wú)刻

度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫(huà)圖．

（1）在圖①中，面出四邊形ABCD的一條對(duì)稱(chēng)軸．

（2）在圖②中，畫(huà)出經(jīng)過(guò)點(diǎn)E的O的切線(xiàn)．

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，切線(xiàn)的判定，畫(huà)對(duì)稱(chēng)軸

等等：

（1）如圖所示，取格點(diǎn)E、F，作直線(xiàn)EF，則直線(xiàn)EF即為所求；

（2）如圖所示，取格點(diǎn)G、H，作直線(xiàn)GH，則直線(xiàn)GH即為所求．

【小問(wèn)1詳解】

解：如圖所示，取格點(diǎn)E、F，作直線(xiàn)EF，則直線(xiàn)EF即為所求；

易證明四邊形ABCD是矩形，且E、F分別為AB，CD的中點(diǎn)；

【小問(wèn)2詳解】

解：如圖所示，取格點(diǎn)G、H，作直線(xiàn)GH，則直線(xiàn)GH即為所求；

易證明四邊形OGTH是正方形，點(diǎn)E為正方形OGTH的中心，則OEGH．

3.（2024江西?。┤鐖D，AC為菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，請(qǐng)僅用無(wú)．刻．度．的．直．尺．按要求完成以下作圖（保

留作圖痕跡）

（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線(xiàn)；

（2）如圖2，點(diǎn)E為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線(xiàn)．

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）作圖見(jiàn)解析．

【解析】【分析】（1）作直線(xiàn)BD，由菱形的性質(zhì)可得BDAC，即BD為AC的垂線(xiàn)；

（2）連接CE并延長(zhǎng)，與DA的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)M，作直線(xiàn)BM，因?yàn)辄c(diǎn)E為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，

所以AEBE，因?yàn)锳M∥BC，所以EAMEBC，EMAECB，故可得

△AEM≌△BEC，得到MECE，所以四邊形ACBM為平行四邊形，即BM∥AC；

本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，掌握菱形的性質(zhì)及平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．

【小問(wèn)1詳解】

解：如圖，BD即為AC所求；

【小問(wèn)2詳解】

解：如圖，BM即為所求．

考點(diǎn)1.基本尺規(guī)作圖及相應(yīng)判斷

1.如圖，在ABC中，AB=AC，∠A=36°，由圖中的尺規(guī)作圖得到的射線(xiàn)與AC交于點(diǎn)D，則以下推斷

錯(cuò)誤的是（△）

1

A.BDBCB.ADBDC.ADB108D.CDAD

2

【答案】D

【解析】根據(jù)作圖過(guò)程可得BD平分∠ABC，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．

∵AB=AC，∠A=36°，

1

∴∠ABC=∠ACB=（180°-36°）=72°，

2

根據(jù)作圖過(guò)程可知：BD平分∠ABC，

1

∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，

2

∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，∠ADB=∠DBC+∠ACB=36°+72°=108°，故選項(xiàng)C成立；

∵∠BDC=∠ACB=72°，

∴BD=BC，故選項(xiàng)A成立；

∵∠ABD=∠A=36°，

∴AD=BD，故選項(xiàng)B成立；

1

沒(méi)有條件能證明CD=AD，故選項(xiàng)D不成立；故選：D．

2

【點(diǎn)睛】考查了作圖-基本作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．

2．（2021湖北黃石）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步驟作圖：①以B為圓心，任

意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交BA、BC于M、N兩點(diǎn)；②分別以M、N為圓心，以大于MN的長(zhǎng)為半徑

作弧，兩弧相交于點(diǎn)P；③作射線(xiàn)BP，交邊AC于D點(diǎn)．若AB＝10，BC＝6，則線(xiàn)段CD的長(zhǎng)為（）

A．3B．C．D．

【答案】A

【解析】利用基本作圖得BD平分∠ABC，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于E，如圖，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到

則DE＝DC，再利用勾股定理計(jì)算出AC＝8，然后利用面積法得到?DE×10+?CD×6＝×6×8，

最后解方程即可．

解：由作法得BD平分∠ABC，

過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于E，如圖，則DE＝DC，

在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，

∵S△ABD+S△BCD＝S△ABC，

∴?DE×10+?CD×6＝×6×8，

即5CD+3CD＝24，

∴CD＝3．

故選：A．

3.如圖，已知直線(xiàn)AB和AB上的一點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)AB的垂線(xiàn)，步驟如下：

第一步：以點(diǎn)C為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)D和點(diǎn)E；

第二步：分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，以a為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F；

第三步：作直線(xiàn)CF，直線(xiàn)CF即為所求．

下列關(guān)于a的說(shuō)法正確的是（）

1111

A.a≥DEB.a≤DEC.aDED.aDE

2222

【答案】C

【解析】根據(jù)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)的步驟，結(jié)合三角形三邊關(guān)系判斷即可．

1

由作圖可知，分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，以a為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F，此時(shí)aDE．

2

【點(diǎn)睛】本題考查作圖基本作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．

4．如圖，在△ABC中，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AB、AC于點(diǎn)M、N；再分別以M、

N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P；連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D．則下列說(shuō)法正

確的是（）

A．AD+BD＜ABB．AD一定經(jīng)過(guò)△ABC的重心

C．∠BAD＝∠CADD．AD一定經(jīng)過(guò)△ABC的外心

【答案】C

【解析】根據(jù)題意判斷AD是∠BAC的角平分線(xiàn)，可知C正確，根據(jù)重心和外心定義可知B、D選項(xiàng)

錯(cuò)誤，根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊可知A錯(cuò)誤．

由題可知AD是∠BAC的角平分線(xiàn)，

A、在△ABD中，AD+BD＞AB，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；

B、△ABC的重心是三條中線(xiàn)的交點(diǎn)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；

C、∵AD是∠BAC的角平分線(xiàn)，∴∠BAD＝∠CAD，故選項(xiàng)C正確，符合題意；

D、△ABC的外心是三邊中垂線(xiàn)的交點(diǎn)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意．

5．如圖，等腰△AOB中，頂角∠AOB＝40°，用尺規(guī)按①到④的步驟操作：

①以O(shè)為圓心，OA為半徑畫(huà)圓；

②在O上任取一點(diǎn)P（不與點(diǎn)A，B重合），連接AP；

③作⊙AB的垂直平分線(xiàn)與O交于M，N；

④作AP的垂直平分線(xiàn)與⊙O交于E，F(xiàn)．

結(jié)論Ⅰ：順次連接M，E，⊙N，F(xiàn)四點(diǎn)必能得到矩形；

結(jié)論Ⅱ：O上只有唯一的點(diǎn)P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．

對(duì)于結(jié)論⊙Ⅰ和Ⅱ，下列判斷正確的是（）

A．Ⅰ和Ⅱ都對(duì)B．Ⅰ和Ⅱ都不對(duì)C．Ⅰ不對(duì)Ⅱ?qū)．Ⅰ對(duì)Ⅱ不對(duì)

【答案】D

【解析】如圖，連接EM，EN，MF．NF．根據(jù)矩形的判定證明四邊形MENF是矩形，再說(shuō)明∠MOF

≠∠AOB，可知（Ⅱ）錯(cuò)誤．

解：如圖，連接EM，EN，MF．NF．

∵OM＝ON，OE＝OF，

∴四邊形MENF是平行四邊形，

∵EF＝MN，

∴四邊形MENF是矩形，故（Ⅰ）正確，

觀(guān)察圖象可知∠MOF≠∠AOB，

∴S扇形FOM≠S扇形AOB，故（Ⅱ）錯(cuò)誤，故選：D．

1

6.如圖，線(xiàn)段AB是半圓O的直徑。分別以點(diǎn)A和點(diǎn)O為圓心，大于AO的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交

2

于M，N兩點(diǎn)，作直線(xiàn)MN，交半圓O于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)E，連接AC，BC，若AE1，則BC

的長(zhǎng)是（）

AB.C.D.

.234632

【答案】A

【解析】【分析】根據(jù)作圖知CE垂直平分AC，即可得ACOC，AEOE1，根據(jù)圓的半徑

得AC2，AB4，根據(jù)圓周角的推論得ACB90，根據(jù)勾股定理即可得

BCAB2AC223．

【詳解】根據(jù)作圖知CE垂直平分AC，

∴ACOC，AEOE1，

∴OCOBAOAEEO2，

∴ACOCAOAEEO2，

即ABAOBO4，

∵線(xiàn)段AB是半圓O的直徑，∴ACB90，

在RtACB中，根據(jù)勾股定理得，

BCAB2AC2422223，故選A．

【點(diǎn)睛】本題考查了圓，勾股定理，圓周角推論，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．

7．已知線(xiàn)段AB，按如下步驟作圖：①作射線(xiàn)AC，使AC⊥AB；③以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作

??；④過(guò)點(diǎn)E作EP⊥AB于點(diǎn)P，則AP：AB＝（）

A．1：B．1：2C．1：D．1：

【答案】D

【解析】直接利用基本作圖方法得出AP＝PE,再結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)表示出AE,AP的長(zhǎng)，即

可得出答案．

∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°,

∵AD平分∠BAC,∴∠EAB＝×90°＝45°,

∵EP⊥AB,∴∠APE＝90°,

∴∠EAP＝∠AEP＝45°,∴AP＝PE,∴設(shè)AP＝PE＝x,

故AE＝AB＝x,

∴AP：AB＝x:x＝1:．

8．已知：?AOCD的頂點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)C在x軸的正半軸上，按以下步驟作圖：

①以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交OA于點(diǎn)M，交OC于點(diǎn)N．

②分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠AOC內(nèi)相交于點(diǎn)E．

③畫(huà)射線(xiàn)OE，交AD于點(diǎn)F（2，3），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）

A．（，3）B．（3﹣，3）C．（﹣，3）D．（2﹣，3）

【答案】A

【解析】利用基本作圖得到∠AOF＝∠COF，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥OC，接著證明∠AOF

＝∠AFO得到