專題08三角形中的重要模型之弦圖模型、勾股樹模型

弦圖分為內(nèi)弦圖與外弦圖，內(nèi)弦圖是中國古代數(shù)學(xué)家趙爽發(fā)現(xiàn)，既可以證明勾股定理，也可以此命題,

相關(guān)的題目有一定的難度，但解題方法也常常是不唯一的。弦圖之美，美在簡約，然不失深厚，經(jīng)典而久

遠(yuǎn)，被譽(yù)為“中國數(shù)學(xué)界的圖騰”。弦圖蘊(yùn)含的割補(bǔ)思想，數(shù)形結(jié)合思想、圖形變換思想更是課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)

思想滲透的絕佳載體。一個弦圖集合了初中平面幾何線與形，位置與數(shù)量，方法與思想，小身板，大能量,

它就是數(shù)學(xué)教育里的不老神話。廣受數(shù)學(xué)教師和數(shù)學(xué)愛好者研究，近年來也成為了各地中考的熱點(diǎn)問題。

大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒

置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣

才能做到對于所學(xué)知識的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點(diǎn)，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾

何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識幾何模型，認(rèn)真理解每

一個題型，做到活學(xué)活用！

目錄導(dǎo)航一

例題講模型

.........................................................................................................................................................2

模型1.弦圖模型......................................................................2

模型2.勾股樹模型....................................................................7

習(xí)題練模型

......................................................................................................................................................11

例題講模型］

模型1.弦圖模型

“弦圖”就是我國三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽，利用面積相等，形象巧妙的證明方法。所謂弦圖模型就是四個全等

直角三角形的弦互相垂直圍成了一個正方形圖形，當(dāng)弦在圍成的正方形之內(nèi)叫內(nèi)弦圖模型，當(dāng)弦恰恰是圍

城正方形的邊長時(shí)就叫外弦圖模型。

數(shù)學(xué)具有高度的抽象性，考試中有時(shí)候不會直觀明了的出現(xiàn)弦圖模型，所以學(xué)習(xí)中我們要抓住弦圖本質(zhì)靈

活變形，從而增強(qiáng)數(shù)學(xué)的變化性，培養(yǎng)思維靈活性，為學(xué)生提供思維的廣泛聯(lián)想空間，使其在面臨問題時(shí)

能夠從多種角度進(jìn)行考慮，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“舉一反三”。

模型證明

Ar------------------------------------------夕&---DA\―及y----Ai----代---D

(1)內(nèi)弦圖模型：

條件：如圖1,在正方形/5CD中，AELBF于■點(diǎn)、E,皮LLCG于點(diǎn)尸，CG_L?！ㄓ邳c(diǎn)G,DH_LAE于點(diǎn)、H,

結(jié)論：4ABE沿ABCF名ACDG沿ADAH；

證明：:/ABC=NBFC=NAEB=9Q°,：.ZABE+ZFBC=ZFBC+ZFCB=90°.：.ZABE=ZFCB.

又，：AB=BC,.MABE絲ABCF,同理可得A/BE之△BCFZ/iCDG0

(2)外弦圖模型：

條件：如圖2,在正方形A8CD中，E,F,G,〃分別是正方形/BCD各邊上的點(diǎn)，EFG8是正方形,

結(jié)論：4AHE咨4BEF咨4CFG咨ADGti；

證明：?：/B=/EFG=/C=90。,：./BEF+NEFB=NEFB+/GFC=9Q°,：./BEF=/GFC.

又,：EF=FG,：.4EBF咨AFCG.同理可得AEB廠烏CG咨△GAHgZYttiE.

(3)內(nèi)外組合型弦圖模型：

條件：如圖3、4,四邊形/88、EFGH、PQMN、均為正方形；結(jié)論：2s正方形EFG片S正加UBCD+S正方形尸加乂

證明：由（1）（2）中的證明易得：圖3和圖4中的八個直角三角形均全等，并用以表示他們的面積。

S正方影4BCD=S正方形P@W7v+8sA;S正方兆EFGH=S正方形P0&W+4sA；

??S正方形，BCD+S正方彩P%W=S正方形P%CV+8SA+S正方%P2MV=2S正方形P°MN+8sA=2S正方彩EFGH

上述三類弦圖模型除了考查相關(guān)證明外，也常和完全平方公式（知二求二）結(jié)合考查。

（4）半弦圖模型

條件：如圖5,4g于點(diǎn)N,GBLAB于點(diǎn)、B,EF±FG,EF=FG,結(jié)論："FE冬ABGF；EA+GB=AB.

證明：于點(diǎn)/,GBLAB于點(diǎn)、B,EF±FG,:.NA=/B=/EFG=90°

：.ZAFE+ZAEF=ZAEF+ZBFG=90°.：.ZAFE=ZBFG.

又"：EF=FG,:AAFE義ABGF,：.AE=BF,AF=BG,：.EA+GB=BF+AF=AB0

條件：如圖6,E4J_4B于點(diǎn)/,GB_L48于點(diǎn)3,EF±FG,EF=FG,結(jié)論：AAFE”ABGF；EA-GB=AB。

證明：同圖5證明可得：“FE冬ABGF,：.AE=BF,AF=BG,：.EA-GB=BF-AF=AB.

條件：如圖7,在必A/BE和必△BCD中，AB=BC,AELBD,結(jié)論：MBE妾ABCD；AB-CD=EC.

證明：?.?△Z8E和△BCD是火/△,AE±BD,：.ZABE=ZC=ZAFB=90°o

：.ZA+ZABF=ZABF+ZDBC=90°.：.ZA=ZDBCo

又；AB=BC,:MABEmABCD,：.BE=CD,：.AB-CD=BC-BE=EC.

上面三類半弦圖模型的共同特點(diǎn)是兩個直角三角形，他們的弦互相垂直。所以做題中見著這樣的關(guān)鍵字眼

就要想到用弦圖的相關(guān)知識解決問題。

模型運(yùn)用

例1.（23-24八年級下?北京門頭溝?期末）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽利用一幅“弦圖”，證明了勾股定理，后人稱

該圖為“趙爽弦圖”.如圖，“趙爽弦圖”是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案.如

果該大正方形面積為49,小正方形面積為4,用x,V表示直角三角形的兩直角邊（x＞力,

下歹!J四個推斷：@x2+y2=49；②x-y=2；③2砂+4=49；@x+y=7.

C.①③④D.①②③④

例2.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，圖1是北京國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，它取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽

的“弦圖”，是由四個全等的直角三角形拼成.若圖1中大正方形的面積為24,小正方形的面積為4,現(xiàn)將這

四個直角三角形拼成圖2,則圖2中大正方形的面積為（）

C.40D.44

例3.（2023?山東棗莊,二模）勾股定理被記載于我國古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了

證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖圖②由弦圖變化得到，它是由八

個全等的直角三角形拼接而成.記圖中正方形N8CD,正方形跖G8,正方形M3的面積分別為

印邑，邑.若正方形跖G8的邊長為2,則H+邑+$3=

圖①圖②

例4.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）如圖所示的圖案是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》中“趙爽弦圖”

經(jīng)修飾后的圖形，四邊形/BCD與四邊形EFG"均為正方形，點(diǎn)石是DE的中點(diǎn)，陰影部分的面積為27,

例5.（23-24八年級下?福建龍巖?階段練習(xí)）如圖中左圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四

個全等的直角三角形圍成的，若/C=6,BC=5,將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一

倍，得到如圖2中右圖所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長是（）

例6.（2023?河北?八年級期末）如圖所示的是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”,

它是由4個全等的直角三角形與1個小正方形拼成的一個大正方形，若大正方形的邊長為5,小正方形的邊

長為1.（1）如圖1,若用a,b表示直角三角形的兩條直角邊（a<b）,則仍=.

（2）如圖2,若拼成的大正方形為正方形N8C3,中間的小正方形為正方形￡P(guān)G〃，連接NC,交BG于點(diǎn)、

P，父DE于點(diǎn)A/,—S&JGP=_____-

例7.（2024?山東濟(jì)南?二模）公元三世紀(jì)，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出了“趙爽弦圖”.將

兩個大小相同的“趙爽弦圖”（如圖1）中的兩個小正方形和八個直角三角形按圖2方式擺放圍成邊長為10

的正方形/BCD,則空白部分面積為

A

例8.(23-24八年級上?浙江溫州?期中)如圖，在V4BC中，NACB=90°,AC=BC,/E是3c邊上的中

線，過點(diǎn)C作垂足為尸，過點(diǎn)3作8c的垂線交C尸的延長線于點(diǎn)D.

⑴求證：AE=CD.(2)若8。=1,求4E.

例9.(23-24八年級下?廣東揭陽?期末)綜合實(shí)踐：我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，制作了如圖1

所示的“趙爽弦圖”，弦圖中四邊形/BCD,四邊形EFCH和四邊形〃總都是正方形.某班開展綜合與實(shí)踐

活動時(shí)，選定對“趙爽弦圖”進(jìn)行觀察、猜想、推理與拓展.

G

圖1

(1)小亮從弦圖中抽象出一對全等三角形如圖2所示，請你猜想線段/瓦3G,48之間的數(shù)量關(guān)系:、

(2)小紅從弦圖中抽象出另一對全等三角形如圖3所示，請你猜想線段歡,KG之間的數(shù)量關(guān)系：:

(3)小明將圖3中的KG延長至點(diǎn)"，使得KM=KF,連接瓦0與K尸相交于點(diǎn)N,請你在圖3中畫出圖形.若

FN=3NK,求線段與疝之間的數(shù)量關(guān)系.

模型2.勾股樹模型

模型解讀

勾股樹，也叫“畢達(dá)哥拉斯樹”。是由畢達(dá)哥拉斯根據(jù)勾股定理所畫出來的一個可以無限重復(fù)的樹形圖形，如

下圖。又因?yàn)橹貜?fù)多次后的形狀好似一棵樹，所以被稱為勾股樹。

模型特征：在直角三角形外，分別以三條邊作相同的圖形，則兩直角邊所作圖形面積之和等于斜邊所作圖

形的面積。該模型主要根據(jù)勾股定理的關(guān)系及等式性質(zhì)求解，常用來解決相關(guān)面積問題。

模型證明

條件：如圖，在直角三角形外，分別以直角三角形三邊為元素向外作形狀相同的圖形，若分別以兩直角邊

為元素所作圖形的面積為Si,S2,以斜邊為元素所作的圖形的面積為邑。結(jié)論：Sl+S2=$3

證明：設(shè)圖中兩直角邊為a、b,斜邊為c；且°、b、C三邊所對應(yīng)的等邊三角形面積分別為$、$2、邑。

由等邊三角形和勾股定理易得：S1的高為：立4；

2

.?5=/母"%'同理：邑="；

由題意可得：a2+b2=c2;.?.*+52=必/+也〃="年+陰=",2=邑

444v74

由于該類模型的證明基本相同，故此只證明等邊三角形。除了圖中的三類圖形，也常考等腰直角三角形。

第一代勾股樹第二代勾股樹

條件：如圖，正方形Z3CD的邊長為。，其面積標(biāo)記為百，以C0為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角

三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為邑，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，結(jié)論：。

證明：：正方形48CD的邊長為a,ACOE為等腰直角三角形，

222

：.DE+CE=CD,DE=CE,AS2+S2=St.觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

22

Sz=；S]=；/，=1^=^a>S4=153=|a>…，Sn=a

2ZzoI2/

條件：如圖，“勾股樹”是以邊長為加的正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角

邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一一棵樹而得名.假設(shè)

下圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，

結(jié)論：第〃代勾股樹中正方形的個數(shù)為：N,,=2向-1;第"代勾股樹中所有正方形的面積為：S?=（?+l）.m2-

證明：由題意可知第一代勾股樹中正方形有1+2=3=22-1（個），

第二代勾股樹中正方形有1+2+2?=7=23-1（個），

第三代勾股樹中正方形有1+2+2?+2?=15=2￡1（個），

由此推出第〃代勾股樹中正方形有1+2+2?+23+…+2"=2向-1（個）。

設(shè)第一代勾股樹中間三角形的兩直角邊長為。和方,斜邊長為c,根據(jù)勾股定理可得：a2+b2=c2=m2,

第一代勾股樹中所有正方形的面積為=/+〃+c2=c2+c2=2m2；

2

同理可得：第二代勾股樹中所有正方形的面積為=2/+2〃+c?=3c2=3m;

第三代勾股樹中所有正方形的面積為=4c?=；

第n代勾股樹中所有正方形的面積為=（n+l）c2=（n+l）-m2?

模型運(yùn)用

例1.（23-24八年級下?河北承德?期末）如圖，已知直角三角形的直角邊分別為a、b,斜邊為c,以直角三

角形的三邊為邊（或直徑），分別向外作等邊三角形、半圓、等腰直角三角形和正方形.那么，這四個圖形

中，直角三角形外，其他幾個圖形面積分別記作品、$2、

結(jié)論I：H、S、$3滿足岳+邑=$3只有（4）；

結(jié)論n：：a+6>c,，SI+S2>S3的有（1）（2）（3）.

對于結(jié)論I和II,判斷正確的是（）.

A.I對n不對B.I不對n對c.I和II都對D.I和II都不對

例2.（23-24八年級下?河南開封?期中）如圖，在四邊形ABCD中，NDAB=NBCD=90°，分別以四邊形ABCD

的四條邊為邊向外作四個正方形，面積分別為a,b,c,d.若6+c=12,則a+d=.

例3.（23-24九年級上?遼寧盤錦?開學(xué)考試）如圖，正方形/BCD的邊長為2,其面積標(biāo)記為H，以CD為

斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S?,....按

照此規(guī)律繼續(xù)下去，則5201的值為.

例4.（23-24八年級下?山東日照?期中）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三

角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹而

得名.假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，如果

第一個正方形面積為1,則第2024代勾股樹中所有正方形的面積為.

第一代勾股樹第二代勾股樹第三代勾股樹

例5.（2023春?重慶?八年級專題練習(xí)）如圖是按照一定規(guī)律“生長”的“勾股樹”:

圖(4)

圖（3）

經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖（1）中共有3個正方形，圖（2）在圖（1）的基礎(chǔ)上增加了4個正方形，圖（3）在

圖（2）的基礎(chǔ)上增加了8個正方形，……，照此規(guī)律“生長”下去，圖（6）應(yīng)在圖（5）的基礎(chǔ)上增加的正

方形的個數(shù)是（）

A.12B.32C.64D.128

例6.（2023春?廣西南寧?八年級統(tǒng)考期中）勾股定理是平面幾何中一個極為重要的定理，世界上各個文明

古國都對勾股定理的發(fā)現(xiàn)和研究做出過貢獻(xiàn)，特別是定理的證明，據(jù)說有400余種.如圖是希臘著名數(shù)學(xué)家

歐幾里得證明這個定理使用的圖形.以RMBCQBC=90°）的三邊a,6,c為邊分別向外作三個正方形：正方

形4CED、正方形AFHB、正方形BCNM,再作CG_LF/7垂足為G,交48于尸，連接3。，CF.則結(jié)論：

①NDAB=NCAF,②ADABACAF,③S正方彩圓=2號的，④S矩畛咿=2$以-正確的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

習(xí)題練模型1

1.（2023秋?湖北?九年級校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)其原型是

我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股弦圖》，它是由四個全等的直角三角形拼接而成如.如果大正方形的面積是16,

直角三角形的直角邊長分別為Q,b,且/+/=必+10,那么圖中小正方形的面積是（）

A.2D.5

2.（2024?廣西?中考真題）如圖，邊長為5的正方形力BCD,E,F,G,〃分別為各邊中點(diǎn)，連接/G,BH,

CE,DF,交點(diǎn)分別為N,P,Q,那么四邊形”人？。的面積為（）

A.1B.2C.5D.10

3.（2024?江西吉安?二模）如圖，“趙爽弦圖”是一個由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼接成的大正

5,連接5方并延長交CD于點(diǎn)則。M的長為（

A.(

B.1

4.（2024?廣東汕頭?一模）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是數(shù)形結(jié)合的重要紐帶.數(shù)

學(xué)家歐幾里得利用如圖驗(yàn)證了勾股定理：以直角三角形N3C的三條邊為邊長向外作正方形正方形

ABED,正方形BCG尸，連接3/,CD,過點(diǎn)C作C/，DE于點(diǎn)J,交4B于點(diǎn)K.設(shè)正方形NCHZ的面積

為岳，正方形BCG尸的面積為S2,長方形NKJD的面積為邑，長方形K畫的面積為反，下列結(jié)論：①

25-8=5；②H=星；③S[+S4=S2+S3；④椒商=肉+邑.其中正確的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.（2024?浙江?中考真題）如圖，正方形ABCD由四個全等的直角三角形瓦ABCRACDG,△刃〃）和

中間一個小正方形組成，連接。E.若4E=4,BE=3,則DE=（）

6.（2024?云南九年級一模）如圖是按照一定規(guī)律“生長”的“勾股樹”:

孑…

圖⑴圖（2）圖（3）圖⑷

經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖（1）中共有3個正方形,圖（2）在圖（1）的基礎(chǔ)上增加了4個正方形，圖（3）在

圖（2）的基礎(chǔ)上增加了8個正方形，……，照此規(guī)律“生長”下去，圖（6）應(yīng)在圖（5）的基礎(chǔ)上增加的正

方形的個數(shù)是（）

A.12B.32C.64D.128

7.（2024?福建?中考真題）如圖，正方形43CD的面積為4,點(diǎn)E,F,G,H分別為邊BC,CD,

AD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的面積為

8.（2024?北京?中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)￡在上，AFLDE于點(diǎn),F,CG_LZ）￡于點(diǎn)G.若

AD=5,CG=4,則△/￡1尸的面積為

9.（23-24九年級上?山西晉中?期末）如圖，標(biāo)號為①，②，③，④的四個直角三角形和標(biāo)號為⑤的正方形

恰好拼成對角互補(bǔ)的四邊形相鄰圖形之間互不重疊也無縫隙，①和②分別是等腰RM/BE和等腰

RtASCF,③和④分別是RtACDG和RMD4”,⑤是正方形EFGH,直角頂點(diǎn)E,F,G,H分別在邊防，

DG5

CG,DH,4E■上.若——=—,/〃=3cm,則8E的長是cm.

GH4

B

10.（23-24九年級上?湖南長沙?期中）素有“千古第一定理”之稱的勾股定理，它是人類第一次將數(shù)與形結(jié)合

在一起的偉大發(fā)現(xiàn)，也是人類最早發(fā)現(xiàn)并用于生產(chǎn)、觀天、測地的第一個定理，它導(dǎo)致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，

引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，它使數(shù)學(xué)由測量計(jì)算轉(zhuǎn)變?yōu)橥评碚撟C.在中國，也被稱為“商高定理”，西方則稱其

為“畢達(dá)哥拉斯定理”，幾千年來，太多的溢美之詞給了這一定理，由于它迷人的魅力，人們冥思苦索給出了

數(shù)百種證明方法，成為了證明方法最多的定理，其中，利用等面積法證明勾股定理最為常見，現(xiàn)有四名網(wǎng)

友為證明勾股定理而提供的圖形，其中提供的圖形（可以作輔助線）能證明勾股定理的網(wǎng)友是（填

寫數(shù)字序號即可）.

①皿汨。（懂得都懂）②VKOS（永遠(yuǎn)的神）③心。（覺醒年代）④0G7W（強(qiáng)國有我）

13.（2024?浙江?二模）如圖，AB_LBD于點(diǎn)、B,CD_L3。于點(diǎn)。，P是50上一點(diǎn)，且4P=尸C,APIPC.

⑴求證：ZX/B尸絲△尸DC；（2）若NB=1,CD=2,求NC的長.

14.（23-24八年級下?浙江杭州?期末）綜合與實(shí)踐

問題情境:第二十四屆國際數(shù)學(xué)家大會合徽的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)是1700多年前中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”.如圖1,

在綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們繪制了“弦圖”并進(jìn)行探究，獲得了以下結(jié)論：該圖是由四個全等的直角三角形

（ADAE,A4BF,ABCG,ACDH）和中間一個小正方形EFG8拼成的大正方形4BCD,_&ZABF>ZBAF.

特殊化探究：連接談BF=a,AF=b.

“運(yùn)河小組”從線段長度的特殊化提出問題：（1）若NB=5,FG=\,求aAB尸的面積.

“武林小組”從。與b關(guān)系的特殊化提出問題：（2）若6=2°,求證：ZBAE=ZBHE.

深入探究：老師進(jìn)一步提出問題：（3）如圖2,連接8E,延長見到點(diǎn)/，使4=48,作矩形8EU.設(shè)矩形

8FZ7的面積為H，正方形4BCD的面積為$2，若仍平分N4B五，求證：5,=S,.請你解答這三個問題.

15.（23-24八年級下?湖北武漢?期中）問題發(fā)現(xiàn)：梓航在學(xué)完勾股定理后，翻閱資料，發(fā)現(xiàn)《幾何原本》中

有一種很好的勾股定理的證法：如圖1,作CGLFH于點(diǎn)G,交N8于點(diǎn)P,通過證明/方形3c=S長方物/5，

S正方形BCMVf=S長方形BHGP的方法來證明勾股定理.

愛思考的梓航發(fā)現(xiàn)一個結(jié)論，如圖2,若以RQ48C的直角邊/C,為邊向外任意作口BCNM,

斜邊48上的延長DE,MN交于有、Q,直線0c被口/即3所截線段為尸G,當(dāng)CQ=PG時(shí)，此

時(shí)工ADEC+$口BCNM=^uABHF成立.請你幫他完成證明.

FGHFGHJFGTHFGH

圖1圖2圖3圖4

問題證明：（1）先將問題特殊化，如圖3,當(dāng)四邊形ADEC,四邊形8CNM,四邊形均為矩形，且

CQ=PG時(shí)，求證：S^DEC+S矩BCNM=S?^HF，（按梓航的分析，完成填空）

分析：過A作K7〃尸Q交直線。。，HF于K,J,過B作RT〃PQ交QM,HF于R,T；

==

可證S也（DECSa4Koe=^oAPGJ；同理可證S矩BCNM^aBCQR=^cBTGP；

另外易得/\AFJ=可得S也（DEC+SjgflCNM=^oABJT=^^ABHF成AL.

（2）再探究一般情形，如圖2,當(dāng)四邊形4DEC,四邊形BGVM,四邊形48HF均為平行四邊形，且C。=尸G

時(shí)，求證：S°ADEC+SOBCNM=S。ABHF-

問題探索：（3）將圖2特殊化，如圖4,若ND=ZCNM==60。，/。=,CN="，/F=f,且ZQPB=75°,

請你直接寫出/的值（用含加，〃的式子表示）.

16.（24-25八年級上?湖北荊州?階段練習(xí)）通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：

【模型呈現(xiàn)】某興趣小組從漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖（如圖1,由外到內(nèi)含三個正方形）中提煉出兩個三角形

全等模型圖（如圖2、圖3）,即“一線三直角”模型和“K字”模型.

圖4

【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖2,已知，V48c中，CA=CB,ZACB=90°,一直線過頂點(diǎn)C,過42分別作其

垂線，垂足分別為￡,F.求證：EF=AE+BF；

【問題提出】（2）如圖3,改變直線的位置，其余條件與（1）相同，若BF=4AE,EF=3,求VBC尸的面

積；（3）如圖4,四邊形4BCD中，N4BC=/C4B=/4DC=45°,的面積為20,且CD的長為8,

求△BCD的面積.

17.（2020?山西?模擬預(yù)測）綜合與實(shí)踐：正方形內(nèi)“奇妙點(diǎn)”及性質(zhì)探究

定義：如圖1,在正方形4BCD中，以8c為直徑作半圓O,以。為圓心，Q4為半徑作左，與半圓。交

于點(diǎn)P.我們稱點(diǎn)P為正方形ABCD的一個“奇妙點(diǎn)”.過奇妙點(diǎn)的多條線段與正方形ABCD無論是位置關(guān)系

還是數(shù)量關(guān)系，都具有不少優(yōu)美的性質(zhì)值得探究.

（圖1）（圖2）

性質(zhì)探究：如圖2,連接DP并延長交NB于點(diǎn)E,則DE為半圓。的切線.

證明：連接。尸，OD.由作圖可知，DP=DC,OP=OC,

又?.?OO=OD.:.xOPDaOCDlSSS）/OPD=NOCD=90°,DE是半圓。的切線.

問題解決：（1）如圖3,在圖2的基礎(chǔ)上，連接OE.請判斷NBOE和/CDO的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

（圖4）（圖5）

（2）在（1）的條件下，請直接寫出線段DE,BE,CD之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖4,已知點(diǎn)尸為正方形/3CD的一個“奇妙點(diǎn)”，點(diǎn)。為3c的中點(diǎn)，連接DP并延長交N8于點(diǎn)￡,

連接。并延長交43于點(diǎn)尸，請寫出BE和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（4）如圖5,已知點(diǎn)E,