截長(zhǎng)補(bǔ)短

典例精析

【典型題1】★★如圖,已知在AABC中2C=2/B,/l=/2.求證:AB=AC+CD.

【思路分析】從結(jié)論入手分析，顯然沒有直接關(guān)系能證明AB=AC+CD,必須進(jìn)行“等量轉(zhuǎn)化”.需要將AB、AC

和CD中的1至！I2條線段轉(zhuǎn)化成其他線段.因此需要做輔助線來實(shí)現(xiàn).

我們可通過添加輔助線，在AB上“構(gòu)造”一條線段AE使其為求證中的一條線段AC,再證BE和CD相等；

或者通過添加輔助線，延長(zhǎng)短線段AC,再證明延長(zhǎng)后的線段和AB相等。其本質(zhì)還是通過構(gòu)造全等三角形來實(shí)現(xiàn).

【答案解析】

證法一，截長(zhǎng)法.

如圖①，在AB上取一點(diǎn)E,使AE=AC,連接DE.

AE=AC,Z1=Z2,AD=AD,

AACDgAAED,.*.CD=DE,ZC=Z3,

ZC=2ZB,.\Z3=2ZB=Z4+ZB,

Z4=ZB,.*.DE=BE,.*.CD=BE.

*.?AB=AE+BE,AB=AC+CD.

證法二,補(bǔ)短法.

如圖②，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)E.使CE=CD,連接DE.

圖②

VCE=CD,.\Z4=ZE.

Z3=Z4+ZE,.\Z3=2ZE.

,/Z3=2ZB,.\ZE=ZB.

VZ1=Z2,AD=AD,

/.AEADABAD,AE=AB.

又：AE=AC+CE,

AAB=AC+CD.

【規(guī)律總結(jié)】截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系.截長(zhǎng)，指在長(zhǎng)線段中截取一段等于已知的線段；

補(bǔ)短，指將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于已知線段.該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句，可以

采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程.

截長(zhǎng)補(bǔ)短

如圖①，若證明線段AB、CD、EF之間存在EF=AB+CD,可以考慮截長(zhǎng)補(bǔ)短法.>―ic—D

"II

截長(zhǎng)法：如圖②，在EF上截取EG=AB,再證明GF=CD即可.:圖？：

.EGF

__圖⑨

補(bǔ)短法：如圖③，延長(zhǎng)AB至H點(diǎn)，使BH=CD,再證明AH=EF即可.??....?

ABH

圖③

【典型題2]★★已知在AABC中,/A=2NB,CD是NACB的平分線,AC=16,AD=8,求線段BC的長(zhǎng).

【思路分析】正向推導(dǎo)，從題目條件進(jìn)行分析，根據(jù)已知“CD是NACB的平分線”，在BC邊上截取CE=AC,

構(gòu)造全等三角形，將BC等代轉(zhuǎn)化為CE+EB,為后續(xù)計(jì)算提供便利條件.

【答案解析】

解如圖在BC邊上截取CE=AC,連接DE易證AACD絲AECD(SAS)(證明過程略.)

；.AD=DE,/A=/1,：NA=2/B,

/1=2NB,可得；./B=/EDB,

.\EB=ED,.\EB=DA=8,

BC=EC+BE=AC+DA=16+8=24.

【規(guī)律總結(jié)】當(dāng)已知條件中出現(xiàn)如本題圖CD為NACB的平分線、AD不具備特殊位置時(shí)，輔助線的作法一

般為在BC邊上截取CE=AC,連接DE即可構(gòu)造全等三角形，利用全等條件解決問題.

【典型題3】★★★如圖,R3ACB中,AC=BC,AD平分/BAC交BC于點(diǎn)D,CE，AD交AD于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)

E.求證:AD=2DF+CE.

【思路分析】從結(jié)論分析，顯然沒有直接關(guān)系證明AD=2DF+CE,必須進(jìn)行“等量轉(zhuǎn)化”.必須將AD、DF和CE

中的1到2條線段轉(zhuǎn)化成其他線段.因此需要做輔助線來實(shí)現(xiàn)根據(jù)上題思路，我們用截長(zhǎng)法解此題.

在AD上取一點(diǎn)G,使AG=CE,連接CG，要證明結(jié)論，必然有DF=GF,要證明DF=GF,必定有/4=/2,根據(jù)題

目條件分析證明即可.

【答案解析】解：在AD上取一點(diǎn)G，使AG=CE,連接CG.

CE_LAD,ZAFC=90°,Z1+ZACF=90°.

,.?Z2+ZACF=9O°,/.Z1=Z2.

：AC=BC,AG=CE,

AACG^ACBE,.,.Z3=ZB=45°,

/.Z2+Z4=90o-Z3=45o.

???z2=zl=-zBXC=22.5°,

2

.??N4=450-N2=22.5。，

JZ4=Z2=22.5°.

又；CF=CF,DG_LCF,

ACDF^△CGF,DF=GF.

AD=AG+DG,AD=CE+2DF.

【規(guī)律總結(jié)】截長(zhǎng)補(bǔ)短法其實(shí)也屬于角平分線相關(guān)輔助線的一種，同學(xué)們做題時(shí)應(yīng)該注重思路分析，采用哪

種方法都是殊途同歸。同時(shí)這兩種方法本質(zhì)上都是構(gòu)造全等三角形或者特殊三角形，需要深刻理解.

【典型題4]★★★⑴如圖①所示，在AABC中.AD是ABAC的外角平分線,P是AD上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，試

比較PB+PC與AB+AC的大小，并說明理由.

BD

圖①

⑵如圖②所示,AD是AABC的內(nèi)角平分線，其他條件不變,試比較PC-PB與AC-AB的大小，并說明理由.

圖②

【思路分析】本題從結(jié)論入手分析，證明線段和差的不等式，文章開頭我們就總結(jié)到：“在證明線段和（或差）

的不等式時(shí)，總是把各有關(guān)線段“等量轉(zhuǎn)化”在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，然后利用三角形三邊關(guān)系定理來解決”因此需

要作輔助線進(jìn)行線段的等量轉(zhuǎn)化.輔助線作法如上題：截取線段，構(gòu)造全等三角形.

【答案解析】解：

（DPB+POAB+AC

證明:在BA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E,使AE=AC,連接PE.

VAD平分NCAM

ZCAD=ZEAD,

在AAEP與AACP中，

AE=AC,ZCAD=ZEAD,

AP=AP,AAEP^AACP(SAS),

...PE=PC

「在APBE中:PB+PE>BE,

BE=AB+AE=AB+AC,

APB+POAB+AC

(2)AC-AB>PC-PB

證明:在AABC中,在AC上取一點(diǎn)E,使AE=AB，連接PE,?.AC-AE=AC-AB=EC,

：AD平分/BAC,；.ZEAP=ZBAP,

：AE=AB,AP=AD,

AAEP^AABP(SAS),PE=PB,

?.?在ZiCPE中

CE>CP-PE,.\AC-AB>PC-PB.

【規(guī)律總結(jié)】①在證明線段和（或差）的不等式時(shí)，總是把各有關(guān)線段“等量轉(zhuǎn)化”在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，然后

利用三角形三邊關(guān)系定理來解決；②輔助線作法：截取線段，構(gòu)造全等三角形.

如圖，P是/MON的平分線上的一點(diǎn)，點(diǎn)A是射線0M上任意一點(diǎn)，在ON上截取OB=0A,連接PB,則AOPB

^△OPA.

【典型題5]★★如圖，在△ABC中,/ABC和NACB的平分線交于點(diǎn)E.過點(diǎn)E作MN〃BC交AB于M點(diǎn)，交

AC于N點(diǎn)若BM+CN=9,則線段MN的長(zhǎng)為

【思路分析】根據(jù)題目已知條件推導(dǎo)即可.注意可將求MN轉(zhuǎn)化為求ME+EN的長(zhǎng)度.

【答案解析】解:：NABC、ZACB的平分線相交于點(diǎn)E,

->.MBE=ZEBC,ZECN=ZECB.

VMN//BC,.\ZEBC=ZMEB,ZNEC=ZECB.

ZMBE=ZMEB,ZNEC=ZECN.

.\BM=ME,EN=CN.

；.MN=ME+EN,即MN=BM+CN.

VBM+CN=9,.*.MN=9.

【典型題6］如圖梯形ABCD中,AD〃BC,點(diǎn)E在CD上，且AE平分/BAD.BE平分/ABC.求證:AD=AB-BC.

【思路分析】從結(jié)論分析，顯然沒有直接關(guān)系證明AD=AB-BC,必須進(jìn)行“等量轉(zhuǎn)化”，將AD、AB和BC中的

1到2條線段轉(zhuǎn)化成其他線段，因此需要作輔助線來實(shí)現(xiàn).碰見角平分線，我們還可以在角平分線上一點(diǎn)作角的一

邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形.

【答案解析】證明:延長(zhǎng)AD、BE交于點(diǎn)F.

VAD//BC,.*.Z2=ZF.VZ1=Z2,

/.Z1=ZF..,.AB=AF.

：AE平分/BAD；.BE=EF.

ZDEF=ZCEB,.\ADEF^ACEB.

/.DF=BC.AD=AF-DF=AB-BC.

【規(guī)律總結(jié)】有角平分線時(shí)，常過角平分線上一點(diǎn)作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形，為證明結(jié)論提供

更多的條件.體現(xiàn)了角平分線與等腰三角形之間的密切關(guān)系.

鞏固練習(xí)

【鞏固練習(xí)1]☆

如圖，在五邊形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,ZB+ZE=180。,求證:AD平分/CDE.

【鞏固練習(xí)2]

已知四邊形ABCD中,NABC+ZADC=180°,AB=BC,如圖，點(diǎn)P,Q分別在線段AD,DC上，滿足PQ=AP+CQ,求

-1

證:NPBQ=90。-^AADC.

【鞏固練習(xí)3]★★

四邊形ABCD中,BD>AB,AD=DC,DE_LBC,BD平分/ABC.

(1)證明:/BAD+/BCD=180°

(2)DE=3,BE=6,求四邊形ABCD的面積.

【鞏固練習(xí)4]

如圖，在AABC中,NA=60。,BD,CE分別平分NABC和/ACB,BD、CE交于點(diǎn)0,試判斷BE、CD、BC的數(shù)量

關(guān)系，并加以證明.

E,D

BC

【鞏固練習(xí)5]

如圖,AABC中.BD_LAC于點(diǎn)D,CE，AB于點(diǎn)E,且BD、CE交于點(diǎn)F,點(diǎn)G是線段CD上一點(diǎn)，連接AF,GF,若

AF=GF,BD=CD.求NCAF的度數(shù)，判斷線段FG與BC的位置關(guān)系，并說明理由.

【鞏固練習(xí)6]

如圖,BE是AABC的中線，點(diǎn)F在BE上，延長(zhǎng)AF交BC于點(diǎn)D.若BF=3FE廁器=

如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，且CF=3DF,AE、BF相交于點(diǎn)G,則

AAGF的面積為一.

【鞏固練習(xí)8]

在AABC中,/BAC為銳角,AB>AC,AD平分NBAC交BC于點(diǎn)D.

⑴如圖①，若aABC是等腰直角三角形，判斷線段AC,CD,AB之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

⑵BC的垂直平分線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連接CE、BE.

①如圖②，若/ABE=60。,判斷AC,CE,AB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系并加以證明；

圖③

②如圖③，若AC+4B=求/BAC的度數(shù).

【鞏固練習(xí)9］

［證明體驗(yàn)］

⑴如圖①,AD為ZkABC的角平分線,/ADC=60。,點(diǎn)E在AB上,AE=AC.求證:DE平分NADB.

［思考探究］

⑵如圖②，在⑴的條件下,F為AB上一點(diǎn)，連接FC交AD于點(diǎn)G.若FB=FC,DG=2,CD=3,求BD的長(zhǎng)

［拓展延伸］

(3)如圖③，在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC平分^BAD,^BCA=24DC4點(diǎn)E在AC上,/EDC=/ABC.若.BC=

5,CD=2V5,AD=2AE,求AC的長(zhǎng).

1.證明:如圖,連接AC,將AABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)NBAE的度數(shù)至AAEF的位置.；AB=AE,/.AB與AE重合

ZABC+ZAED=180°,且/AEF=NABC,

/.ZAEF+ZAED=180°

D,E,F三點(diǎn)在同一直線上,AC=AF,BC=EF.

在AADC和AADF中，

DF=DE+EF=DE+BC=CD,

AF=AC,AD=AD,

.,.△ADC^AADF(SSS)

ZADC=ZADF,即AD平方/CDE.

2.證明:如圖2,延長(zhǎng)QC到K,使得CK=AP,連接BK,

D

VZABC+ZADC=180°,

.,.ZBAD+ZBCD=180°,

ZBCD+ZBCK=180°,

:.ZBAD=ZBCK,

在4BPA和ZiBKC中，

(AP=CK

I/.BAP=4BCK,

[AB=CB

：.ABPA^ABKC(SAS),

AZ1=Z2,BP=BK,

VPQ=AP+CQ,

???PQ=QK,

在"BQ和ZkKBQ中，

(BP=BK

<BQ=BQ,

[PQ=KQ

：.APBQ^AKBQ(SSS),

AZPBQ=ZKBQ,

???Z-PBQ=z_2+Z.CBQ=Z1+乙CBQ,

i

...(PBQ=^ABCt

<ZLBAP=ABCK,

[A3=CB

：.ABPA^ABKC(SAS),

AZ1=Z2,BP=BK,

VPQ=AP+CQ,

???PQ=QK,

在aPBQ和ZkKBQ中，

BP=BK

<BQ=BQ,

PQ=KQ

：.APBQ^AKBQ(SSS),

ZPBQ=ZKBQ,

???NPBQ=N2+NCBQ=Nl+NCBQ,

i

?.?"BQ=^ABCf

VZABC+ZADC=180°,

.*.ZABC=180°-ZADC,

|zXBC-|(180。-N/WC)=90。-*DC,

1

???Z.PBQ=90。-*DC.

4.(1)過點(diǎn)D作DELBA,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E

,?BD平分/ABC,DE±BA,DF±BC

/.DE=DF

在RtAADE和RtACDF中

(DE=DF

\AD-CD

：.RtAADE^RtACDF(HL)

:.ZBCD=ZDAE

VZDAE+ZBAD=180°

JZBAD+ZBCD=180°

(2)在RtAEBD和RtAFBD中

BD=BD

DE=DF

RtAEBD^RtAFBD

SEBD=SFBD

S四邊形ABCD-"BD+SBCD

=SEBD+^BFD

=2x-x3x6

2

5.BC=BE+CD.證明:在BC上截取BF二BE,連接OF.丁BD平分NABC,NEBONFBO.又VOB=OB,AAEBO

之△FBO.JNEOB=/FOB.

NA=6(r,BD,CE分另！］平分/ABC和NACB,

???乙BOC=180°-Z.OBC-乙OCB=180°

2

Z.ABC-1^ACB=180°-^1(180°-z^4)=120°,

???NEOB=NDOC=60。.，ZBOF=60°,ZFOC=ZDOC=60°.

CE平分NDCB,JZDCO=ZFCO，XVOC=OC,AADCO^AFCO.ACD=CF.ABC=BF+CF=BE+CD.

6.(1)VBD±AC,CE±AB,

.\ZBEF=ZCDF=90°,

ZEFB=ZDFC,

JZEBF=ZFCD,

VBD=CD,ZADB=ZCDF,

AABD^AFCD,

???AD=DF,

???△ADF是等腰直角三角形，

???ZCAF=45°;

(2)FG〃BC,理由是：

,.*AF=FG,

???ZFGA=ZCAF=45°,

VBD±AC,BD二CD,

???△BDC是等腰直角三角形，

???ZDCB=45°,

JZFGA=ZDCB,

???FG〃BC.

7.|解析:如圖.：BE是△ABC的中線，二點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，二祭=/過點(diǎn)E作EG||DC交AD于點(diǎn)G,易得

(zpAF1FF1,_,1

AGEADC,=i,.-.DC=2GE.-：BF=3FE—=-.-：GEBD,易得AGFEADFB,opopBD=3GE,.-.

DCAC2BF33

BD_3GE_3

DC-2GE―2

A

如圖，過點(diǎn)c作交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,易得△AEFAACM,6.FBDAMCD.AE=CE,BF=3EF,

一EF=一AE=一1CM=c2EllF,???一BD=一BF=——3EF=3

CMAC2DCCM2EF2

A

8過點(diǎn)F作FM1AB,,垂足為M,過點(diǎn)G作GN148,垂足為G,

???乙FMB=乙GNB=90°,

:四邊形ABCD是正方形，

.-./.ABC=NC=90°,AB=BC=CD=4,

；?四邊形MBCF是矩形，

.-.FM=BC=4,BM=CF,

丁點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

BE=-BC=2,

2

???CF=3DFf

CF=-CD=3,

4

.?.BM=CF=3,

???乙NBG=乙MBF,

△MBF△NBG,

.BM_BN_3

"MF-NG-

J設(shè).BN=3xfNG=4x,

???乙ABC=Z-ANG=90°,angleBAE=乙NAG,

△ABE△ANG,

tAN_NG

''AB-BE"

.4-3x_4x

"4一2」

4

???X=—.

11

'NG=4尤=9,

A/IGF的面積==△AFB的面積--A48G的面積

=-AB-FM--AB-NG

22

=-1x4.x4.--1x4.x1—6

2211

56

△4G人的面積為

9..解:（（1）4B=AC+CD.

套路千萬條，本題就一條.先截相等邊，再證三角形全等.

理由如下:如解圖①，過點(diǎn)D作DE±AB于點(diǎn)E,

C

'：AD平分/BAC,DC_LAC,

；.CD=DE,

在RtAACD和RtAAED中,

DC=DE

-AD=AD

RtAACD^RtAAED（HL）,

；.AC=AE,

AABC為等腰直角三角形，

ZB=45°,BPABDE為等腰直角三角形,

；.CD=DE=EB,

貝!IAB=AE+EB=AC+CD;

(2)①AB=AC+CE.

證明：如解圖②，在線段A