專(zhuān)題四代數(shù)推理題(2024年新增題型)1.若n為任意整數(shù),如果(n+2)2-kn2的值總能被4整除,那么整數(shù)k不能取()A.-3 B.1 C.2 D.52.1202年數(shù)學(xué)家斐波那契在《計(jì)算之書(shū)》中記載了一列數(shù):1,1,2,3,5,….這一列數(shù)滿(mǎn)足:從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始,每一個(gè)數(shù)都等于它的前兩個(gè)數(shù)之和.則在這一列數(shù)的前2024個(gè)數(shù)中,奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A.676 B.674 C.1348 D.13503.請(qǐng)你利用不等式的基本性質(zhì)1和2證明不等式的基本性質(zhì)3.已知:a>b,c<0.求證:ac<bc,ac<b4.設(shè)a,b,c是不全相等的任意實(shí)數(shù),若x=b2-ac,y=c2-ab,z=a2-bc.求證:x,y,z至少有一個(gè)大于零.5.閱讀材料:已知方程p2-p-1=0,1-q-q2=0且pq≠1,求pq+1q解:由p2-p-1=0及1-q-q2=0可知p≠0,q≠0.又∵pq≠1,∴p≠1q∵1-q-q2=0可變形為1q2-根據(jù)p2-p-1=0和1q2-∴p,1q是方程x2則p+1q=1,即pq+1根據(jù)閱讀材料所提供的方法,完成下面的解答.已知:2m2-5m-1=0,1n2+(1)mn的值.(2)1m2+6.若一個(gè)三位自然數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不相同且后一位減去前一位的差都是一個(gè)固定的常數(shù),則稱(chēng)這個(gè)三位自然數(shù)為“等差數(shù)”,并且稱(chēng)這個(gè)固定的常數(shù)為這個(gè)“等差數(shù)”的公差,如:123,2-1=3-2=1,則123為“等差數(shù)”,這個(gè)等差數(shù)的公差為1,如321,2-3=1-2=-1,則321也是“等差數(shù)”,這個(gè)“等差數(shù)”的公差為-1;125,2-1≠5-2,則125不是“等差數(shù)”.(1)248“等差數(shù)”,246“等差數(shù)”.(選填“是”或“不是”)(2)求能被9整除并且公差為正整數(shù)的所有三位“等差數(shù)”.7.材料一:楊輝三角(如圖1),出現(xiàn)在中國(guó)宋朝時(shí)期數(shù)學(xué)家楊輝的著作《詳解九章算法》中,是我國(guó)數(shù)學(xué)史上一顆璀璨的明珠,是居于世界前列的數(shù)學(xué)成就.楊輝三角兩腰上的數(shù)都是1,其余每個(gè)數(shù)為它的上方(左右)兩數(shù)之和,揭示了(a+b)n(n為非負(fù)整數(shù))展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的相關(guān)規(guī)律,蘊(yùn)含很多有趣的數(shù)學(xué)性質(zhì),運(yùn)用規(guī)律可以解決很多數(shù)學(xué)問(wèn)題.材料二:斐波那契數(shù)列是意大利數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契從兔子繁殖問(wèn)題中引入的一列神奇數(shù)字,用an表示這一列數(shù)中的第n個(gè),則數(shù)列為a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,a5=5,…,數(shù)列從第三項(xiàng)開(kāi)始,每一項(xiàng)都等于其前兩項(xiàng)之和,即an+2=an結(jié)合材料,回答以下問(wèn)題:(1)多項(xiàng)式(a+b)5展開(kāi)式共有項(xiàng),各項(xiàng)系數(shù)和為,利用展開(kāi)式的規(guī)律計(jì)算:125-5×124+10×123-10×(2)我們借助楊輝三角中第三斜行的數(shù):1,3,6,10,…記b1=1,b2=3,b3=6,b4=10,…則b8=,bn=(用n表示);1b1+1b2+1b(3)如圖2,把楊輝三角左對(duì)齊排列,將同一條斜線(xiàn)上的數(shù)字求和,計(jì)算可得a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,a5=5,a6=8,…若Tn=a1+a2+a3+…+an,且T2024=k,結(jié)合材料二,求a2026的值(用k表示).參考答案1.C2.D解析:這一列數(shù)為1,1,2,3,5,8,13,21,34,…可以發(fā)現(xiàn)每三個(gè)數(shù)為一組,每一組前2個(gè)數(shù)為奇數(shù),第三個(gè)數(shù)為偶數(shù).由于2024÷3=674……2,即前2024個(gè)數(shù)共有674組,且余2個(gè)數(shù),∴奇數(shù)有674×2+2=1350個(gè).故選D.3.證明:∵a>b,c<0,∴a-(a+b)>b-(a+b),-c>0,即-b>-a,-c>0,∴(-b)·(-c)>(-a)·(-c),-b-c即ac<bc,ac<b綜上所述,若a>b,c<0,則ac<bc,ac<b4.證明:假設(shè)x,y,z都小于零,則b2-ac+c2-ab+a2-bc<0,∴2b2-2ac+2c2-2ab+2a2-2bc<0,∴(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2<0,這與偶次方的非負(fù)性相矛盾,∴假設(shè)不成立,∴x,y,z至少有一個(gè)大于零.5.解析:由2m2-5m-1=0知m≠0,∴1m2+∵m≠n,∴1m≠1∵1n2+∴1m和1n是方程x(1)由1m和1n是方程x2+5x-2=0的兩個(gè)根,得1m∴mn=-12經(jīng)檢驗(yàn):mn=-12(2)由1m和1n是方程x2+5x-2=0的兩個(gè)根,得1m+1n=-5,∴1m2+1n2=6.解析:(1)不是;是.(2)設(shè)百位上的數(shù)字為a,十位上的數(shù)字為b,個(gè)位上的數(shù)字為c,則“等差數(shù)”為abc,由題意得b-a=c-b,即a+c=2b,abc表示為100a+10b+c=99a+12b.∵abc為能被9整除的三位等差數(shù),公差為正整數(shù),∴99a+12b9=11a+4∴b只能為3或6.①當(dāng)b=3時(shí),a+c=6,∵abc為三位“等差數(shù)”,且公差為正整數(shù),∴當(dāng)b=3時(shí),a=1,此時(shí)等差數(shù)abc為135,234,②當(dāng)b=6時(shí),a+c=12,abc為三位等差數(shù),且公差為正整數(shù),∴當(dāng)b=6時(shí),a=3,c=9,a=4,c=8,綜上所述,能被9整除并且公差為正整數(shù)的所有三位“等差數(shù)”有135,234,369,468,567.7.解析:(1)6;32;-132提示:∵多項(xiàng)式(a+b)展開(kāi)式共有1+1=2項(xiàng),各項(xiàng)系數(shù)和為1+1=2=21;多項(xiàng)式(a+b)2展開(kāi)式共有1+2=3項(xiàng),各項(xiàng)系數(shù)和為1+2+1=4=22;多項(xiàng)式(a+b)3展開(kāi)式共有1+3=4項(xiàng),各項(xiàng)系數(shù)和為1+3+3+1=8=23;多項(xiàng)式(a+b)4展開(kāi)式共有1+4=5項(xiàng),各項(xiàng)系數(shù)和為1+4+6+4+1=16=24;多項(xiàng)式(a+b)5展開(kāi)式共有1+5=6項(xiàng),各項(xiàng)系數(shù)和為1+5+10+10+5+1=32=25.令(a+b)5中,a=1212-15=125-5×124∴125-5×124+10×123-10×12(2)36;(1+n)n提示:b1=1,b2=1+2=3=(1+2)×22b3=1+2+3=6=(1+3)×32b4=1+2+3+4=10=(1+4)×42……∴b8=(1+8)×82=36,bn=(1+1b1+1b2=1(1+1)×12+1(1+2)×22=22×1+23×2+2=21=21?12+12(3)∵a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,a5=5,a6=8,∴a3=2=a1+a2,a4=3=a2+a3,a5=5=a3+a4,a6=8=a4+a5,……∴an=an-2+an-1,∵Tn=a1+a2+a3+…+an,