第10講新高考新結(jié)構(gòu)命題下的

概率統(tǒng)計(jì)解答題綜合訓(xùn)練

(9類核心考點(diǎn)精講精練)

1他.考情探究?

在新課標(biāo)、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推進(jìn)。這不僅僅是一

場(chǎng)考試形式的變革，更是對(duì)教育模式和教育理念的全面革新。

當(dāng)前的高考試題設(shè)計(jì)，以“三維”減量增質(zhì)為核心理念，力求在減少題目數(shù)量的同時(shí)，提升題目的質(zhì)

量和考查的深度。這具體體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：

(1)三考

題目設(shè)計(jì)著重考查學(xué)生的知識(shí)主干、學(xué)習(xí)能力和學(xué)科素養(yǎng)，確保試題能夠全面、客觀地反映學(xué)生的實(shí)

際水平。

(2)三重

強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生思維深度、創(chuàng)新精神和實(shí)際應(yīng)用能力的考查，鼓勵(lì)學(xué)生不拘泥于傳統(tǒng)模式，展現(xiàn)個(gè)人的獨(dú)

特見解和創(chuàng)造力。

(3)三突出

試題特別突出對(duì)學(xué)生思維過程、思維方法和創(chuàng)新能力的考查，通過精心設(shè)計(jì)的題目，引導(dǎo)學(xué)生深入思

考和探索，培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力。

面對(duì)新高考新結(jié)構(gòu)試卷的5個(gè)解答題，每個(gè)題目的考查焦點(diǎn)皆充滿變數(shù)，無法提前預(yù)知。概率統(tǒng)計(jì)版

塊作為一個(gè)重要的考查領(lǐng)域，其身影可能悄然出現(xiàn)在第15題中，作為一道13分的題目，難度相對(duì)較為適

中，易于學(xué)生入手。同樣不能忽視的是，概率統(tǒng)計(jì)版塊也可能被置于第18、19題這樣的壓軸大題中，此時(shí)

的分值將提升至17分，挑戰(zhàn)學(xué)生的解題能力和思維深度，難度自然相應(yīng)加大。

面對(duì)如此多變的命題趨勢(shì)，教師在教學(xué)備考過程中必須與時(shí)俱進(jìn)。不僅要深入掌握不同題目位置可能

涉及的知識(shí)點(diǎn)及其命題方式，更要能夠靈活應(yīng)對(duì)，根據(jù)試題的實(shí)際情況調(diào)整教學(xué)策略。本文基于新高考新

結(jié)構(gòu)試卷的特點(diǎn)，結(jié)合具體的概率統(tǒng)計(jì)解答題實(shí)例，旨在為廣大師生提供一份詳盡的概率統(tǒng)計(jì)解答題綜合

訓(xùn)練指南，以期在新高考中取得更好的成績。

?2?考點(diǎn)梳理

考點(diǎn)8概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列雜程

考點(diǎn)9概率統(tǒng)計(jì)與導(dǎo)數(shù)雜糅

考點(diǎn)一、條件概率

1.（2024?江蘇?模擬預(yù)測(cè)）某設(shè)備由相互獨(dú)立的甲、乙兩個(gè)部件組成，若兩個(gè)部件同時(shí)出現(xiàn)故障，則設(shè)備停

止運(yùn)轉(zhuǎn)；若有且只有一個(gè)部件出現(xiàn)故障，則設(shè)備出現(xiàn)異常.在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)，甲部件出現(xiàn)故障的概率為（，

乙部件出現(xiàn)故障的概率為;.甲部件出現(xiàn)故障，檢修費(fèi)用為3千元；乙部件出現(xiàn)故障，檢修費(fèi)用為2千元，

在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)，甲、乙兩個(gè)部件至多各出現(xiàn)一次故障.

⑴試估算一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)的平均檢修費(fèi)用；

⑵求在設(shè)備出現(xiàn)異常的情況下，甲部件出現(xiàn)故障的概率.

2.（2024?遼寧?一模）某植物園種植一種觀賞花卉，這種觀賞花卉的高度（單位：cm）介于［15,25］之間，現(xiàn)對(duì)

植物園部分該種觀賞花卉的高度進(jìn)行測(cè)量，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示.

2

'頻率/組距

0.100

0.075

0.050

O\151719212325高度/cm

⑴求。的值；

⑵以頻率估計(jì)概率，完成下列問題.

⑺若從所有花卉中隨機(jī)抽4株，記高度在［19,21）內(nèi)的株數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）；

（泌若在所有花卉中隨機(jī)抽取3株，求至少有2株高度在［21,25］的條件下，至多1株高度低于23cm的概率.

3.（2022?全國?高考真題）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為

良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾

病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好良好

病例組4060

對(duì)照組1090

⑴能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件"選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好"，B表示事件"選到的人患有該疾

病"?然當(dāng)與H星的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為凡

（0）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P（A|B）,P（A|酚的估計(jì)值，并利用（回）的結(jié)果給出R的估計(jì)值.

n(ad—be)。

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

4.（2024?廣東佛山?三模）隨著春季學(xué)期開學(xué)，某市市場(chǎng)監(jiān)管局加強(qiáng)了對(duì)學(xué)校食堂食品安全管理，助力推廣

校園文明餐桌行動(dòng)，培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以“小餐桌"帶動(dòng)"大文明"，同時(shí)踐行綠色發(fā)展理念.該

市某中學(xué)有A，B兩個(gè)餐廳為老師與學(xué)生們提供午餐與晚餐服務(wù)，王同學(xué)、張老師兩人每天午餐和晚餐都在

學(xué)校就餐，近一個(gè)月（30天）選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計(jì)如下：

選擇餐廳情況（午餐，晚餐）（AA）（AB）（B,A）（B,B）

3

王同學(xué)9天6天12天3天

張老師

6天6天6天12天

假設(shè)王同學(xué)、張老師選擇餐廳未目互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.

⑴估計(jì)一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；

（2）記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；

⑶假設(shè)M表示事件"A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件"某學(xué)生去A餐廳就餐"，尸（M）＞0,已知推出優(yōu)惠

套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會(huì)比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明：

5.（2024?河南駐馬店?二模）某汽車銷售公司為了提升公司的業(yè)績，現(xiàn)將最近300個(gè)工作日每日的汽車銷售

情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如圖所示.

⑴求。的值以及該公司這300個(gè)工作日每日汽車銷售量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作

代表）；

⑵以頻率估計(jì)概率，若在所有工作日中隨機(jī)選擇4天，記汽車銷售量在區(qū)間［200,250）內(nèi)的天數(shù)為X,求X

的分布列及數(shù)學(xué)期望；

⑶為增加銷售量，公司規(guī)定顧客每購買一輛汽車可以進(jìn)行一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則如下：抽獎(jiǎng)區(qū)有A3兩個(gè)盒

子，其中A盒中放有9張金卡、1張銀卡，B盒中放有2張金卡、8張銀卡，顧客在不知情的情況下隨機(jī)選擇

其中一個(gè)盒子進(jìn)行抽獎(jiǎng)，直到抽到金卡則抽獎(jiǎng)結(jié)束（每次抽出一張卡，然后放回原來的盒中，再進(jìn)行下次

抽獎(jiǎng)，中途可更換盒子），卡片結(jié)果的排列對(duì)應(yīng)相應(yīng)的禮品.已知顧客小明每次抽獎(jiǎng)選擇兩個(gè)盒子的概率相同，

求小明在首次抽獎(jiǎng)抽出銀卡的條件下，第二次從另外一個(gè)盒子中抽獎(jiǎng)抽出金卡的概率.

考點(diǎn)二、全概率公式與貝葉斯公式

1.（2023?河南?三模）某學(xué)校安排甲、乙、丙三個(gè)班級(jí)同時(shí)到學(xué)校禮堂參加聯(lián)歡晚會(huì)，已知甲班藝術(shù)生占比

8%,乙班藝術(shù)生占比6%,丙班藝術(shù)生占比5%.學(xué)生自由選擇座位，先到者先選.甲、乙、丙三個(gè)班人數(shù)

分別占總?cè)藬?shù)的;，若主持人隨機(jī)從場(chǎng)下學(xué)生中選一人參與互動(dòng).

4

⑴求選到的學(xué)生是藝術(shù)生的概率；

(2)如果選到的學(xué)生是藝術(shù)生，判斷其來自哪個(gè)班的可能性最大.

2.(2024?福建廈門?模擬預(yù)測(cè))甲箱裝有2個(gè)黑球和4個(gè)白球，乙箱裝有2個(gè)黑球和3個(gè)白球，這些球除顏

色外完全相同.某人先從兩個(gè)箱子中任選一個(gè)箱子，再從中隨機(jī)摸出一球.

⑴求摸出的球是黑球的概率；

(2)若已知摸出的球是黑球，用概率公式判斷該球取自哪個(gè)箱子的可能性更大.

3.(2024?新疆?二模)某人工智能研究實(shí)驗(yàn)室開發(fā)出一款全新聊天機(jī)器人棋型，它能夠通過學(xué)習(xí)和理解人類

的語言來進(jìn)行對(duì)話.聊天機(jī)器人棋型的開發(fā)主要采用RLHF(人類反饋強(qiáng)化學(xué)習(xí))技術(shù)，在測(cè)試它時(shí)，如果

輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤，則它的回答被采納的概率為90%,當(dāng)出現(xiàn)語法錯(cuò)誤時(shí)，它的回答被采納的概率

為50%.

⑴在某次測(cè)試中輸入了7個(gè)問題，聊天機(jī)器人棋型的回答有5個(gè)被采納，現(xiàn)從這7個(gè)問題中抽取4個(gè)，以J

表示抽取的問題中回答被采納的問題個(gè)數(shù)，求4的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)設(shè)輸入的問題出現(xiàn)語法錯(cuò)誤的概率為P,若聊天機(jī)器人棋型的回答被采納的概率為80%,求P的值.

4.(23-24高二下?福建南平?階段練習(xí))某運(yùn)動(dòng)隊(duì)為評(píng)估短跑運(yùn)動(dòng)員在接力賽中的作用，對(duì)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行數(shù)據(jù)

分析.運(yùn)動(dòng)員甲在接力賽中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四個(gè)位置，統(tǒng)計(jì)以往多場(chǎng)比賽，其出場(chǎng)率與

出場(chǎng)時(shí)比賽獲勝率如下表所示.

比賽位置第一棒第二棒第三棒第四棒

出場(chǎng)率0.30.20.2.0.3

比賽勝率0.60.80.70.7

⑴當(dāng)甲出場(chǎng)比賽時(shí)，求該運(yùn)動(dòng)隊(duì)獲勝的概率.

(2)當(dāng)甲出場(chǎng)比賽時(shí)，在該運(yùn)動(dòng)隊(duì)獲勝的條件下，求甲跑第一棒的概率.

5.(2024?遼寧?三模)隨著中國科技的進(jìn)步，涌現(xiàn)了一批高科技企業(yè)，也相應(yīng)產(chǎn)生了一批高科技產(chǎn)品，在城

市S,生產(chǎn)某高科技產(chǎn)品X的本地企業(yè)有甲、乙兩個(gè)，城市S的高科技產(chǎn)品X的企業(yè)市場(chǎng)占有率和指標(biāo)T的

優(yōu)秀率如下表：

市場(chǎng)占有率指標(biāo)T的優(yōu)秀率

企業(yè)甲50%80%

企業(yè)乙30%40%

其它20%40%

⑴從城市S的高科技產(chǎn)品X的市場(chǎng)中隨機(jī)選一件產(chǎn)品，求所選產(chǎn)品的指標(biāo)T為優(yōu)秀的概率；

(2)從城市S的高科技產(chǎn)品X的市場(chǎng)中隨機(jī)選一件產(chǎn)品，若已知所選產(chǎn)品的指標(biāo)T為優(yōu)秀，求該產(chǎn)品是產(chǎn)自

企業(yè)甲的概率；

⑶從城市S的高科技產(chǎn)品X的市場(chǎng)中依次取出6件指標(biāo)T為優(yōu)秀的產(chǎn)品，若已知6件產(chǎn)品中恰有4件產(chǎn)品

產(chǎn)自企業(yè)甲，記離散型隨機(jī)變量自表示這6件產(chǎn)品中產(chǎn)自企業(yè)乙的件數(shù)，求自的分布列和數(shù)學(xué)期望.

5

6.（2024?安徽?模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)需要抽取甲、乙兩個(gè)箱子的商品，檢驗(yàn)其是否合格.其中甲箱中有9個(gè)正品和1

個(gè)次品；乙箱中有8個(gè)正品和2個(gè)次品.從這兩個(gè)箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)箱子，再從該箱中等可能抽出一個(gè)商

品，稱為首次檢驗(yàn).將首次檢驗(yàn)的商品放回原來的箱子，再進(jìn)行二次檢驗(yàn)，若兩次檢驗(yàn)都為正品，則通過檢

驗(yàn).首次檢驗(yàn)選到甲箱或乙箱的概率均為二.

⑴求首次檢驗(yàn)抽到合格產(chǎn)品的概率；

⑵在首次檢驗(yàn)抽到合格產(chǎn)品的條件下，求首次檢驗(yàn)選到的箱子為甲箱的概率；

⑶將首次檢驗(yàn)抽出的合格產(chǎn)品放回原來的箱子，繼續(xù)進(jìn)行二次檢驗(yàn)時(shí)有如下兩種方案：方案一，從首次檢

驗(yàn)選到的箱子中抽?。环桨付?，從另外一個(gè)箱子中抽取.比較兩個(gè)方案，哪個(gè)方案檢驗(yàn)通過的概率大.

考點(diǎn)三、二項(xiàng)分布

1.（2024?山東棗莊?模擬預(yù)測(cè)）在一個(gè)袋子中有若干紅球和白球（除顏色外均相同），袋中紅球數(shù)占總球數(shù)

的比例為P.

⑴若有放回摸球，摸到紅球時(shí)停止.在第2次沒有摸到紅球的條件下，求第3次也沒有摸到紅球的概率；

（2）某同學(xué)不知道比例P,為估計(jì)。的值，設(shè)計(jì)了如下兩種方案：

方案一：從袋中進(jìn)行有放回摸球，摸出紅球或摸球5次停止.

方案二：從袋中進(jìn)行有放回摸球5次.

分別求兩個(gè)方案紅球出現(xiàn)頻率的數(shù)學(xué)期望，并以數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，分析哪個(gè)方案估計(jì)。的值更合理.

2.（2024?安徽?模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校組織一場(chǎng)由老師與學(xué)生進(jìn)行的智力問題比賽，最終由小明同學(xué)和唐老師入

圍決賽，決賽規(guī)則如下：

①學(xué)生：回答〃個(gè)問題，每個(gè)問題小明回答正確的概率均為;；若小明回答錯(cuò)誤，可以行使學(xué)生權(quán)益，即

可以進(jìn)行場(chǎng)外求助，由場(chǎng)外同學(xué)小亮幫助答題，且小亮每個(gè)問題回答正確的概率均為P（O<P<1）.

②教師：回答,個(gè)問題，每個(gè)問題唐老師回答正確的概率均為W

假設(shè)每道題目答對(duì)與否相互獨(dú)立，最終答對(duì)題目多的一方獲勝.

2

（1）若〃=3,p=-f記小明同學(xué)答對(duì)問題（含場(chǎng)外求助答對(duì)題數(shù)）的數(shù)量為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望：

（2）若〃=2,且小明同學(xué)獲勝的概率不小于言，求p的最小值.

3.（2024?河北?三模）某學(xué)校的數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)學(xué)校學(xué)生的冰雪運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行調(diào)研，發(fā)現(xiàn)約有《的學(xué)生喜歡

滑雪運(yùn)動(dòng).從這些被調(diào)研的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行調(diào)查，假設(shè)每個(gè)學(xué)生被選到的可能性相等.

⑴記X表示喜歡滑雪運(yùn)動(dòng)的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望.

（2）若該數(shù)學(xué)興趣小組計(jì)劃在全校學(xué)生中抽選一名喜歡滑雪運(yùn)動(dòng)的學(xué)生進(jìn)行訪談.抽選規(guī)則如下：在全校學(xué)

生中隨機(jī)抽選一名學(xué)生，如果該學(xué)生喜歡滑雪運(yùn)動(dòng)，就不再抽選其他學(xué)生，結(jié)束抽選活動(dòng)；如果該學(xué)生不

喜歡滑雪運(yùn)動(dòng)，則繼續(xù)隨機(jī)抽選，直到抽選到一名喜歡滑雪運(yùn)動(dòng)的學(xué)生為止，結(jié)束抽選活動(dòng).并且規(guī)定抽

6

取的次數(shù)不超過〃（〃eN*）次，其中“小于當(dāng)次調(diào)查的總?cè)藬?shù).設(shè)在抽選活動(dòng)結(jié)束時(shí)，抽到不喜歡滑雪運(yùn)動(dòng)

的學(xué)生的人數(shù)為y,求抽到y(tǒng)名學(xué)生不喜歡滑雪運(yùn)動(dòng)的概率.

4.（2024?北京西城?三模）根據(jù)2024城市魅力排行榜，一線城市4個(gè)，分別為：上海、北京、深圳、廣州；

新一線城市15個(gè)，分別為：成都、杭州、重慶、蘇州、武漢、西安、南京、長沙、天津、鄭州、東莞、無

錫、寧波、青島、合肥.其中城區(qū)常住人口超過一千萬的超大城市10個(gè)，分別為：上海、北京、深圳、重慶、

廣州、成都、天津、東莞、武漢、杭州.

⑴從10個(gè)超大城市中隨機(jī)抽取一座城市，求該城市是一線城市的概率；

⑵從10個(gè)超大城市按不可放回抽樣的方式隨機(jī)抽取3個(gè)城市，隨機(jī)變量X表示新一線城市的數(shù)量，求隨機(jī)

變量X的分布列和期望；

⑶從10個(gè)超大城市中按可放回抽樣的方式隨機(jī)抽取3個(gè)城市，隨機(jī)變量F表示新一線城市的數(shù)量，比較E

（X）與E（Y）的大小關(guān)系.（直接寫出結(jié)果）

5.（2024?黑龍江齊齊哈爾?三模）甲、乙兩同學(xué)進(jìn)行射擊比賽，已知甲射擊一次命中的概率為：，乙射擊一

2

2

次命中的概率為比賽共進(jìn)行”輪次，且每次射擊結(jié)果相互獨(dú)立，現(xiàn)有兩種比賽方案，方案一：射擊”次，

每次命中得2分，未命中得。分；方案二：從第一次射擊開始，若本次命中，則得6分，并繼續(xù)射擊；若

本次未命中，則得0分，并終止射擊.

⑴設(shè)甲同學(xué)在方案一中射擊〃輪次總得分為隨機(jī)變量是X“，求E（X2t,）；

⑵甲、乙同學(xué)分別選取方案一、方案二進(jìn)行比賽，試確定N的最小值，使得當(dāng)“2N時(shí)，甲的總得分期望

大于乙.

6.（2024?河南駐馬店?二模）某汽車銷售公司為了提升公司的業(yè)績，現(xiàn)將最近300個(gè)工作日每日的汽車銷售

情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如圖所示.

⑴求。的值以及該公司這300個(gè)工作日每日汽車銷售量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作

代表）；

（2）以頻率估計(jì)概率，若在所有工作日中隨機(jī)選擇4天，記汽車銷售量在區(qū)間［200,250）內(nèi)的天數(shù)為X,求X

的分布列及數(shù)學(xué)期望；

⑶為增加銷售量，公司規(guī)定顧客每購買一輛汽車可以進(jìn)行一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則如下：抽獎(jiǎng)區(qū)有兩個(gè)盒

子，其中A盒中放有9張金卡、1張銀卡，B盒中放有2張金卡、8張銀卡，顧客在不知情的情況下隨機(jī)選擇

其中一個(gè)盒子進(jìn)行抽獎(jiǎng)，直到抽到金卡則抽獎(jiǎng)結(jié)束（每次抽出一張卡，然后放回原來的盒中，再進(jìn)行下次

7

抽獎(jiǎng)，中途可更換盒子），卡片結(jié)果的排列對(duì)應(yīng)相應(yīng)的禮品.已知顧客小明每次抽獎(jiǎng)選擇兩個(gè)盒子的概率相同，

求小明在首次抽獎(jiǎng)抽出銀卡的條件下，第二次從另外一個(gè)盒子中抽獎(jiǎng)抽出金卡的概率.

考點(diǎn)四、超幾何分布

1.（2024?上海長寧?二模）盒子中裝有大小和質(zhì)地相同的6個(gè)紅球和3個(gè)白球；

（1）從盒子中隨機(jī)抽取出1個(gè)球，觀察其顏色后放回，并同時(shí)放入與其顏色相同的球3個(gè)，然后再從盒子隨

機(jī)取出1個(gè)球，求第二次取出的球是紅球的概率；

⑵從盒子中不放回地依次隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)2個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)為X,求X的分布、期望與方差；

2.（2023,陜西榆林?模擬預(yù)測(cè)）某校體育節(jié)組織比賽，需要志愿者參加服務(wù)的項(xiàng)目有：60米袋鼠跳、100米、

200米、1500米、3000米、4x100米接力.

⑴志愿者小明同學(xué)可以在6個(gè)項(xiàng)目中選擇3個(gè)項(xiàng)目參加服務(wù)，求小明在選擇60米袋鼠跳服務(wù)的條件下，選

擇3000米服務(wù)的概率；

（2）為了調(diào)查志愿者選擇服務(wù)項(xiàng)目的情況，從志愿者中抽取了15名同學(xué)，其中有9名首選100米，6名首選

4x100米接力.現(xiàn)從這15名同學(xué)中再選3名同學(xué)做進(jìn)一步調(diào)查.將其中首選4x100米接力的人數(shù)記作X,

求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

3.（2024?河南信陽?模擬預(yù)測(cè)）袋中有8個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中1個(gè)黑球，3個(gè)白球，4個(gè)紅球.

⑴若從袋中一次性取出兩個(gè)小球，即取到的紅球個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑵若從袋中不放回的取3次，每次取一個(gè)小球，取到黑球記0分，取到白球記2分，取到紅球記4分，在

最終得分為8分的條件下，恰取到一個(gè)紅球的概率.

4.（2024?山西?三模）袋中裝有大小、形狀、材質(zhì)完全相同的w個(gè)小球，其中有機(jī)個(gè)紅球.

⑴若〃=5,,”=3,現(xiàn)從袋中隨機(jī)摸出2個(gè)小球，其中紅球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的方差"X）

⑵從袋中有放回地摸取小球N次，每次摸出一個(gè)小球，其中摸到紅球的次數(shù)為隨機(jī)變量乙若V的期望

E（Y）=n,方差D（y）=2.4,求N；

⑶若〃=100,現(xiàn)從袋中有放回地摸取小球10次，每次摸出1個(gè)小球，記錄顏色后將摸出的小球放回袋中.

以摸出紅球的頻率估計(jì)袋中紅球所占比例，若m=30,求紅球占比估計(jì)值的誤差不超過10%的概率P.

參考數(shù)據(jù)：

k012345678910

0.3晨0.7皿0.0280.0120.0050.0020.0010.0000.0000.0000.0000.0000.000

21220421000

5.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）某自然保護(hù)區(qū)經(jīng)過幾十年的發(fā)展，某種瀕臨滅絕動(dòng)物數(shù)量有大幅度的增加.已知這

種動(dòng)物「擁有兩個(gè)亞種（分別記為A種和8種）.為了調(diào)查該區(qū)域中這兩個(gè)亞種的數(shù)目，某動(dòng)物研究小組計(jì)

劃在該區(qū)域中捕捉100個(gè)動(dòng)物P,統(tǒng)計(jì)其中A種的數(shù)目后，將捕獲的動(dòng)物全部放回，作為一次試驗(yàn)結(jié)果.重

復(fù)進(jìn)行這個(gè)試驗(yàn)共20次，記第i次試驗(yàn)中A種的數(shù)目為隨機(jī)變量X,（i=1,2,…,20）.設(shè)該區(qū)域中A種的數(shù)目為

M,B種的數(shù)目為N（M,N均大于100）,每一次試驗(yàn)均相互獨(dú)立.

8

⑴求Xi的分布列;

（2）記隨機(jī)變量又=.已知E（X,+XJ=E（X,）+E（X）,D（Xi+X,）=￡>（X,）+）

zu,-i

（i）證明：E（Q=E（xJ,。岡=：￡）（xj；

（ii）該小組完成所有試驗(yàn)后，得到X1的實(shí)際取值分別為X;.（z=1,2,...,20）擻據(jù)X］?=1,2,…,20）的平均值

還30,方差$2=1.采用房和d分別代替石岡和。岡，給出〃，N的估計(jì)值.

（已知隨機(jī)變量x服從超幾何分布記為：x~H（P,n,Q）（其中尸為總數(shù)，。為某類元素的個(gè)數(shù)，〃為抽取的

個(gè)數(shù)）,貝皿x）吟唱［蕓］）

考點(diǎn)五、正態(tài)分布

1.（2024?黑龍江?三模）為建立健全國家學(xué)生體質(zhì)健康監(jiān)測(cè)評(píng)價(jià)機(jī)制，激勵(lì)學(xué)生積極參加身體鍛煉，教育部

印發(fā)了《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》，要求各學(xué)校每學(xué)年開展覆蓋本校各年級(jí)學(xué)生的《標(biāo)準(zhǔn)》測(cè)試工作.為做好

全省的迎檢工作，某市在高三年級(jí)開展了一次體質(zhì)健康模擬測(cè)試，并從中隨機(jī)抽取了500名學(xué)生的數(shù)據(jù)，

根據(jù)他們的健康指數(shù)繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

O455565758595健康指數(shù)

⑴估計(jì)這500名學(xué)生健康指數(shù)的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

⑵由頻率分布直方圖知,該市學(xué)生的健康指數(shù)X近似服從正態(tài)分布N（〃，4）,其中〃近似為樣本平均數(shù):，

/近似為樣本方差/（$2=84.75）.

①求產(chǎn)（60.294X487.92）；

②已知該市高三學(xué)生約有30000名，記健康指數(shù)在區(qū)間［60.29,87.92］的人數(shù)為試求E（J）.

附：參考數(shù)據(jù)：V8475?9.21,若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（〃，a2）,貝|「（必-。VXW〃+。）B0.683,

P（"—2cr<X<ju+2b）?0.955,P（"—3cr<X<//+3b）?0.997.

2.（2024.湖北.模擬預(yù)測(cè)）某品牌專賣店統(tǒng)計(jì)歷史消費(fèi)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：進(jìn)店消費(fèi)的顧客的消費(fèi)額X（單位：元）

服從正態(tài)分布N（330,252）.為回饋廣大顧客，專賣店對(duì)消費(fèi)達(dá)一定金額的顧客開展了品牌知識(shí)有獎(jiǎng)答題活

動(dòng)，顧客需要依次回答兩類試題，若顧客答對(duì)第一類題，則回答第二類題，若顧客沒有答對(duì)第一類題，則

不再答第二類題，直接結(jié)束有獎(jiǎng)答題活動(dòng).對(duì)于每一類題，答錯(cuò)得。分，答對(duì)得10分，兩類題總分20分，

答題結(jié)束后可減免與得分相同數(shù)額的現(xiàn)金（單位：元）.每類試題均有兩次答題機(jī)會(huì)，在任意一類試題中,

若第一次回答正確，則認(rèn)為答對(duì)該類試題，就不再進(jìn)行第二次答題.若第一次回答錯(cuò)誤，則進(jìn)行第二次答

題，若第二次答題正確，則也認(rèn)為答對(duì)該類試題；若第二次回答錯(cuò)誤，則認(rèn)為答錯(cuò)該類試題.

9

⑴若某天有200位進(jìn)店消費(fèi)的顧客，請(qǐng)估計(jì)該天消費(fèi)額X在（305,+8）內(nèi)的人數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；

附：若X~N（〃,cr2）,貝!jP（〃-XW〃+cr卜0.6827,P（〃-2crWX4//+2o■卜0.9545.

3

⑵某顧客消費(fèi)達(dá)到指定金額后可參與答題活動(dòng)，A類題中的兩次答題機(jī)會(huì)答對(duì)的概率都是:，B類題中的

4

2

兩次答題機(jī)會(huì)答對(duì)的概率都是且每次答題相互獨(dú)立.若答題結(jié)束后可減免的現(xiàn)金數(shù)額為X元，求X的

分布列和數(shù)學(xué)期望.

3.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）"公平正義”是社會(huì)主義和諧社會(huì)的重要特征，是社會(huì)主義法治理念的價(jià)值追

求."考試”作為一種公平公正選拔人才的有效途徑，正被廣泛采用.一般地，對(duì)于一次成功的考試來說，所有

考生得考試成績應(yīng)服從正態(tài)分布.某單位準(zhǔn)備通過考試（按照高分優(yōu)先錄取的原則）錄用300人，其中275

個(gè)高薪職位和25個(gè)普薪職位.實(shí)際報(bào)名人數(shù)為2000名，考試滿分為400分.記考生的成績?yōu)閄,且

已知所有考生考試的平均成績〃=180,且360分及其以上的高分考生有30名.

⑴求b的值.（結(jié)果保留位整數(shù)）

（2）該單位的最低錄取分?jǐn)?shù)約是多少？（結(jié)果保留為整數(shù)）

⑶考生甲的成績?yōu)?86分，若甲被錄取，能否獲得高薪職位？若不能被錄取，請(qǐng)說明理由.

參考資料：①當(dāng)X~N（〃Q2）時(shí)，令y=則y?N（0,l）.

②當(dāng)y?N（0,l）,P（r<2.17）~0.985,P（r<1.28）?0.900,P（r<1.09）?0.863,P（K<1.04）~0.85.

4.（2024?福建福州?三模）已知某種機(jī)器的電源電壓U（單位：V）服從正態(tài)分布N（220,202）.其電壓通常

有3種狀態(tài)：①不超過200V；②在200V~240V之間③超過240V.在上述三種狀態(tài)下，該機(jī)器生產(chǎn)的零件

為不合格品的概率分別為0.15,0.05,0.2.

⑴求該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品時(shí)，電壓不超過200V的概率；

（2）從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取"（n>2）件，記其中恰有2件不合格品的概率為p“，求P”取得最大值

時(shí)n的值.

附：若Z~N（〃,cr2）,取尸（〃-cr<Z<〃+cr）=0.68,P（〃-2cr<Z<〃+2cr）=0.95.

5.（2024?福建龍巖?三模）某企業(yè)對(duì)某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進(jìn)行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級(jí)劃分為五個(gè)層

級(jí)，分別對(duì)應(yīng)如下五組質(zhì)量指標(biāo)值：[45,55）,[55,65）,[65,75）,[75,85）,[85,95].根據(jù)長期檢測(cè)結(jié)果，得到芯片的

質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布并把質(zhì)量指標(biāo)值不小于80的產(chǎn)品稱為A等品，其它產(chǎn)品稱為B等品.

現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件作為樣本，統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的頻率分布直方圖.

10

t頻率/組距

0.040---------------i~~

0.025---------------

0.015--------------------------

0.010?--------------------------

°455565758595質(zhì)量指標(biāo)值

⑴根據(jù)長期檢測(cè)結(jié)果，該芯片質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差S的近似值為11,用樣本平均數(shù)元作為〃的近似值，用

樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為b的估計(jì)值.若從生產(chǎn)線中任取一件芯片，試估計(jì)該芯片為A等品的概率(保留小數(shù)點(diǎn)后面

兩位有效數(shù)字)；

(①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表；②參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量4服從正態(tài)分布則

P"—cr<^<//+cr)?0.6827,P("—2b<J<〃+2b)?0.9545,尸(〃一3bv4rv〃+3b)?0.9973.)

(2)(i)從樣本的質(zhì)量指標(biāo)值在［45,55)和［85,95］的芯片中隨機(jī)抽取3件，記其中質(zhì)量指標(biāo)值在［85,95］的芯

片件數(shù)為明求〃的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(ii)該企業(yè)為節(jié)省檢測(cè)成本，采用隨機(jī)混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝.已知一件A等品芯片

的利潤是根(1〈加<24)元，一件B等品芯片的利潤是ln(25-〃?)元，根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，試求機(jī)的值，使得

每箱產(chǎn)品的利潤最大.

6.(2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè))某工廠為了提高精度，采購了一批新型機(jī)器，現(xiàn)對(duì)這批機(jī)器的生產(chǎn)效能進(jìn)行測(cè)試,

對(duì)其生產(chǎn)的第一批零件的內(nèi)徑進(jìn)行測(cè)量，統(tǒng)計(jì)繪制了如下圖所示的頻率分布直方圖.

木頻率

3.5---------

3.0---------

1.0---------I—

05b7T-卜++一一!—>

O2.352.452552.652.752.85內(nèi)徑/mm

⑴求。的值以及這批零件內(nèi)徑的平均值元和方差s'(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);

(2)以頻率估計(jì)概率，若在這批零件中隨機(jī)抽取4個(gè)，記內(nèi)徑在區(qū)間［2.45,2.55)內(nèi)的零件個(gè)數(shù)為Z,求Z的

分布列以及數(shù)學(xué)期望；

⑶已知這批零件的內(nèi)徑X(單位：mm)服從正態(tài)分布現(xiàn)以頻率分布直方圖中的平均數(shù)元作為〃

的估計(jì)值，頻率分布直方圖中的標(biāo)準(zhǔn)差s作為。的估計(jì)值，則在這批零件中隨機(jī)抽取200個(gè)，記內(nèi)徑在區(qū)間

11

[2.285,2.705]上的零件個(gè)數(shù)為y,求y的方差.

參考數(shù)據(jù)：0.105,若X~N出吟,則尸(〃—bWXW〃+b)%0.6827,

P(〃-2。WXW〃+2力0.9545,尸(〃-3bWXW〃+3。卜0.9973.

考點(diǎn)六、獨(dú)立性檢驗(yàn)

1.（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè)）春夏之交因晝夜溫差大，細(xì)菌、病毒等活躍，是流感高發(fā)季節(jié).某校高二年

級(jí)某組團(tuán)統(tǒng)計(jì)了流感暴發(fā)前的半個(gè)月與流感暴發(fā)后的半個(gè)月的學(xué)生請(qǐng)假情況，得到如下數(shù)據(jù)：

因發(fā)燒請(qǐng)假非發(fā)燒請(qǐng)假合計(jì)

流感暴發(fā)前1030

流感暴發(fā)后30

合計(jì)70

⑴完成2x2列聯(lián)表，并依據(jù)&=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否認(rèn)為流感暴發(fā)對(duì)請(qǐng)假的同學(xué)中發(fā)燒的人數(shù)有

影響.

⑵后經(jīng)過了解，在全校因發(fā)燒請(qǐng)假的同學(xué)中男生占比為40%,且20%的因發(fā)燒請(qǐng)假的男生需要輸液治療，

30%的因發(fā)燒請(qǐng)假的女生需要輸液治療.學(xué)校隨機(jī)選擇一名因發(fā)燒請(qǐng)假在醫(yī)院輸液的同學(xué)進(jìn)行慰問，求這

名同學(xué)是女生的概率.

n(ad-be)2

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.050.010.001

3.8416.63510.828

2.（2024?山西太原?模擬預(yù)測(cè)）貴州省"美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽在比賽間隙進(jìn)行蘆笙舞、侗族大歌等非物質(zhì)文化

遺產(chǎn)展演，這項(xiàng)活動(dòng)將體育運(yùn)動(dòng)與當(dāng)?shù)孛褡迕袼孜幕嘤|合，創(chuàng)造出獨(dú)特的文體公共產(chǎn)品.為了打造更具

吸引力的賽事，某平臺(tái)發(fā)起了群眾觀賽意見反饋調(diào)查，共收回了200份調(diào)查問卷.

性別關(guān)注賽事不關(guān)注賽事

男8436

女4040

⑴通過進(jìn)一步分析關(guān)注賽事群眾的調(diào)查問卷得知，關(guān)注表演的女性用戶有24名，現(xiàn)從關(guān)注賽事的群眾中抽

取一人，設(shè)"抽取的一人為男性"為事件4"抽取的一人關(guān)注表演"為事件8,若P（叫"尸（，同=￡,則以

此次調(diào)查的數(shù)據(jù)為依據(jù)，估計(jì)從平臺(tái)用戶中任意抽取一名用戶，該用戶關(guān)注表演的概率為多少；

（2）是否有99.5%的把握認(rèn)為是否關(guān)注賽事與性別有關(guān)？

12

附：K：J/":、，其中〃=a+6+c+d.

^a+b)^c+d)(<a+c)(b+d)

P^K2>k]0.0500.0100.0050.001

k3.8416.6357.87910.828

3.（2024?重慶渝中?模擬預(yù)測(cè)）為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下的列聯(lián)表（單位:

只）：

疾病

藥物合計(jì)

未患病患病

未服用5040

服用

合計(jì)75200

⑴請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；

⑵依據(jù)a=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為藥物有效呢？從概率的角度解釋得到的結(jié)論；

⑶為了進(jìn)一步研究，現(xiàn)按分層抽樣的方法從未患病動(dòng)物中抽取10只作為樣本，從該樣本中隨機(jī)抽取4只,

設(shè)其中未服用藥物的動(dòng)物數(shù)為X,求X的分布列及期望.

n(ad-be)2

附表及公式：x?=

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)，

a0.150.100.050.025

%2.0722.7063.8415.024

4.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校為了研究不同性別的學(xué)生對(duì)"村瓦1"賽事的了解情況，進(jìn)行了一次抽樣

調(diào)查，分別隨機(jī)抽取男生和女生各80名作為樣本，設(shè)事件M="了解村B4",N="學(xué)生為女生”，據(jù)統(tǒng)計(jì)

尸(MN)=\,P(N\M)=1.

⑴根據(jù)已知條件，補(bǔ)全2x2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值以=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷該校學(xué)生對(duì)"村8A”的了

解情況與性別是否有關(guān)？

了解不了解總計(jì)

男生

女生

13

總計(jì)

⑵現(xiàn)從該校不了解“村BA”的學(xué)生中，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10名學(xué)生，再從這10名學(xué)生隨機(jī)抽取

4人，設(shè)抽取的4人中男生的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

2n(ad-bc^

附：Zib+c+小

P^x2>左)0.0500.0100.0050.001

k3.8416.6357.87910.828

5.(2024?安徽,模擬預(yù)測(cè))元宵節(jié)是中國的傳統(tǒng)節(jié)日，為慶祝元宵節(jié)，某大學(xué)開展吃元宵、吃酒圓、猜燈謎

等一系列活動(dòng).

⑴為探究元宵節(jié)吃湯圓和吃元宵的地域差異，某小組開展調(diào)研，得到如下2x2列聯(lián)表，已知

P(Z2>3.841)^0.05,是否有95%的把握認(rèn)定吃湯圓或元宵與地域有關(guān)？

北方南方

湯圓1636

元宵2424

(2)在猜燈謎活動(dòng)中共有10道標(biāo)有序號(hào)的各不相同的題目，甲同學(xué)隨機(jī)抽取其中的5道回答.

(i)求抽取的5道題中恰有5道題序號(hào)均相鄰的概率；

(ii)已知：若*,?=1,2廣.,〃)是兩點(diǎn)分布，且尸(X,=1)=0，則=若甲抽取的題目中有X

對(duì)相鄰序號(hào)的題目，計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望.

附：/=______Mad-be)2_______

(a+Z?)(c+d)(a+c)(6+d)

6.(2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))在學(xué)校食堂就餐成為了很多學(xué)生的就餐選擇.學(xué)校為了解學(xué)生食堂就餐情況，

在校內(nèi)隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，其中男生和女生人數(shù)之比為1：1,現(xiàn)將一周內(nèi)在食堂就餐超過8次的學(xué)生認(rèn)

定為"喜歡食堂就餐”，不超過8次的學(xué)生認(rèn)定為"不喜歡食堂就餐喜歡食堂就餐"的人數(shù)比"不喜歡食堂就

餐”人數(shù)多20人，"不喜歡食堂就餐"的男生只有10人.

男生女生合計(jì)

喜歡食堂就餐

不喜歡食堂就餐10

14

合計(jì)100

⑴將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并依據(jù)小概率值￡=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析學(xué)生喜歡食堂就餐是否與性別

有關(guān)：

⑵用頻率估計(jì)概率，從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取10名，記其中“喜歡食堂就餐”的人數(shù)為X.事件"X=M的概率

為P（x=k）,求隨機(jī)變量X的期望和方差.

參考公式：其中幾=Q+b+C+d.

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

考點(diǎn)七、線性回歸直線方程

1.（2024?山東濟(jì)南?三模）近年來，我國眾多新能源汽車制造企業(yè)迅速崛起.某企業(yè)著力推進(jìn)技術(shù)革新，利

潤穩(wěn)步提高.統(tǒng)計(jì)該企業(yè)2019年至2023年的利潤（單位：億元），得到如圖所示的散點(diǎn)圖.其中2019年

至2023年對(duì)應(yīng)的年份代碼依次為1,2,3,4,5.

儼潤y（億元）

100

90?

80?

75???

70

_______?1__?__?__?___?

012345年份代碼x

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y="+法和＞=。+加哪一個(gè)適宜作為企業(yè)利潤y（單位：億元）關(guān)于年份代碼尤的回

歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

⑵根據(jù)（1）中的判斷結(jié)果，建立y關(guān)于X的回歸方程；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)果，估計(jì)2024年的企業(yè)利潤.

參考公式及數(shù)據(jù)；

"_

八Zzy一〃％y人

另二號(hào)------,a=y-bx,

-nx

i=\

j=li=li=ii=ij=i

Ex；=55,￡無：=979,￡N=390,=1221,￡尤浜=4607.9

55555

2.（2024?福建南平?模擬預(yù)測(cè)）某大型商場(chǎng)的所有飲料自動(dòng)售賣機(jī)在一天中某種飲料的銷售量y（單位：瓶）

與天氣溫度x（單位：。C）有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，為能及時(shí)給飲料自動(dòng)售賣機(jī)添加該種飲料，該商場(chǎng)對(duì)天氣溫

度尤和飲料的銷售量y進(jìn)行了數(shù)據(jù)收集，得到下面的表格：

15

X10152025303540

y41664256204840968192

經(jīng)分析，可以用y=4?2次作為y關(guān)于X的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.

⑴根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求y關(guān)于X的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；

（2）若飲料自動(dòng)售賣機(jī)在一天中不需添加飲料的記1分，需添加飲料的記2分，每臺(tái)飲料自動(dòng)售賣機(jī)在一天

中需添加飲料的概率均為（，在商場(chǎng)的所有飲料自動(dòng)售賣機(jī)中隨機(jī)抽取3臺(tái)，記總得分為隨機(jī)變量X,求X

的分布列與數(shù)學(xué)期望.

參考公式及數(shù)據(jù)：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（和％）,（/，%），…，（Z，％），經(jīng)驗(yàn)回歸方程》=標(biāo)+&的斜率和截距的最小二

乘估計(jì)公式分別為另=上匕----------,a=y-bx-x=25^6-x）2=700

E（x,-x）2t

4=1

3.（2024?河北滄州?模擬預(yù)測(cè)）"南澳牡蠣"是我國地理標(biāo)志產(chǎn)品，產(chǎn)量高、肉質(zhì)肥、營養(yǎng)好，素有"海洋牛奶

精品”的美譽(yù).2024年該基地考慮增加人工投入，現(xiàn)有以往的人工投入增量x（人）與年收益增量y（萬元）

的數(shù)據(jù)如下：

人工投入增量X（人）234681013

年收益增量y（萬元）13223142505658

該基地為了預(yù)測(cè)人工投入增量為16人時(shí)的年收益增量，建立了y與尤的兩個(gè)回歸模型：

模型①：由最小二乘公式可求得y與x的線性回歸方程：j=4.1x+11.8;

模型②：由散點(diǎn)圖的樣本點(diǎn)分布，可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在曲線：y=+a的附近，對(duì)人工投入增量尤做

_77

變換，令t=G，貝!=且有4=2.5,y=38.9,￡&一才）（,一V）=81.0,=3.8.

i=lz=l

年收益增量近萬元）

（ii）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的決定系數(shù)長，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測(cè)人

工投入增量為16人時(shí)的年收益增量.

回歸模型模型①模型②

16

y=by[x-va

回歸方程y=4.lx+11.8

訃「%）2

182.479.2

（2）根據(jù)養(yǎng)殖規(guī)模與以往的養(yǎng)殖經(jīng)驗(yàn)，產(chǎn)自某南澳牡蠣養(yǎng)殖基地的單個(gè)“南澳牡蠣"質(zhì)量（克）在正常環(huán)境下

服從正態(tài)分布N（32,16）.購買10只該基地的“南澳牡蠣"，會(huì)買到質(zhì)量小于20g的牡蠣的可能性有多大？

附：若隨機(jī)變量則P（〃-3b<Z<〃+3b）=0.9974,O.998710?0.9871；

樣本y）（7=1,2,…,n）的最小二乘估計(jì)公式為:

B----------，京，R2=i-號(hào)---------

2(—)21(7

i=li=l

4.（2024?山東淄博?二模）汽車尾氣排放超標(biāo)是導(dǎo)致全球變暖、海平面上升的重要因素.我國近幾年著重強(qiáng)

調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大新能源項(xiàng)目的支持力度，積極推動(dòng)新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展.某汽車制造企業(yè)對(duì)某地

區(qū)新能源汽車的銷售情況進(jìn)行調(diào)查，得到下面的統(tǒng)計(jì)表：

年份t20152016201720182019

年份代碼x(x=t-2014)12345

銷量y（萬輛）1012172026

（1）計(jì)算銷量〉關(guān)于年份代碼x的線性相關(guān)系數(shù)r,并判斷是否可以認(rèn)為y與x有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系（若

|r|>0.75,則認(rèn)為有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系）.若是，求出>關(guān)于X的線性回歸方程：若不是，說明理由；

⑵為了解購車車主的性別與購車種類（分為新能源汽車與傳統(tǒng)燃油汽車）的情況，該企業(yè)又隨機(jī)調(diào)查了該

地區(qū)100位購車車主的購車情況，假設(shè)一位車主只購一輛車.男性車主中購置傳統(tǒng)燃油汽車的有40名，購

置新能源汽車的有30名：女性車主中有一半購置新能源汽車.將頻率視為概率，已知一位車主購得新能源

汽車，請(qǐng)問這位車主是女性的概率.

附：若（工，必），（%,%）,…為樣本點(diǎn)，

￡（%一元）（%一9）^x^-nxy

相關(guān)系數(shù)公式：產(chǎn)日口，一y=6尤+a為回歸方程，則

I,2=.tI

?。ㄓ?無）2?區(qū)y.（-y）32一扇.區(qū)

Vz=iVi=iVi=iVi=i

￡(x,一元)(％一》)^x,.y,.-nxy

&=-------------=號(hào)-----------

a=y—bx?

￡(x,-君,位2

i=li=l

5.（2024?海南?模擬預(yù)測(cè)）某海鮮餐廳在試營業(yè)期間，同時(shí)采用自助餐和團(tuán)購套餐兩種營銷模式，其中自助

餐模式是指顧客可隨意享用餐廳內(nèi)所有菜品，最長可用餐2小時(shí)；團(tuán)購套餐是指顧客在APP上購買團(tuán)購券

后到店消費(fèi)，只可享用套餐內(nèi)所包含的菜品，用餐時(shí)間不限.該餐廳為了了解這兩種營銷模式的受歡迎程度，

現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查了130位顧客對(duì)這兩種營銷模式的意見反饋，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：

17

認(rèn)為自助餐更有性價(jià)比認(rèn)為團(tuán)購套餐更有性價(jià)比

男性顧客4020

女性顧客3040

⑴依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷能否認(rèn)為顧客對(duì)這兩種營銷模式的意見與顧客的性別有關(guān);

4

（2）店長統(tǒng)計(jì)了第4，%,%，匕天自助餐的用餐人數(shù)兀統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下（已知2（%-元）2=5）：

1=1

（天）Xx213%

（用餐人數(shù)）y32527395

經(jīng)計(jì)算得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=2b+10.5,以樣本（4乂）。=1,2,3,4）的相關(guān)系數(shù)廠為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)該經(jīng)驗(yàn)回歸方程

的擬合效果進(jìn)行說明.

E七%-nxy￡（尤，-x）（%-y）

附：（i）在經(jīng)驗(yàn)回歸方程＞=嬴+4中，務(wù)='「一二7=-....——

Zx；-W（x）2￡（尤,-X）2

z=li=\

力a-＞）（-一＞）

（ii）相關(guān)系數(shù)”一”_若舊＞075,可認(rèn)為該模型擬合效果良好，反之，則認(rèn)為該模型擬合效

住（占-x迂（y；—y）2

Yi=li=l

果不好.

(幣)/=______"")2_______________

其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(l>+d)'

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

6.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）氮氧化物是一種常見的大氣污染物，它是由氮和氧兩種元素組成的化合物，有多

種不同的形式.下圖為我國2014年至2022年氮氧化物排放量（單位：萬噸）的折線圖，其中，年份代碼1~

9分別對(duì)應(yīng)年份2014~2022.

年氮氧化物排放量y

18

9/99

計(jì)算得￡%=12200,2(%-歹)-=1125,=52640.

z=lYi=li=i

⑴是否可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系？請(qǐng)用折線圖和相