2024-2025學年高中數(shù)學第2章解析幾何初步33.3空間兩點間的距離公式（教師用書）教學實錄北師大版必修2授課內(nèi)容授課時數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點授課時間教材分析2024-2025學年高中數(shù)學第2章解析幾何初步3.3節(jié)，北師大版必修2《空間兩點間的距離公式》教學實錄。本節(jié)內(nèi)容與課本緊密關(guān)聯(lián)，通過推導(dǎo)空間兩點間距離公式，幫助學生理解空間幾何知識，提高空間想象力和計算能力，為后續(xù)學習打下基礎(chǔ)。核心素養(yǎng)目標分析培養(yǎng)學生空間觀念，通過空間兩點間距離公式的學習，提升學生的邏輯推理能力和數(shù)學建模能力。同時，強化學生的幾何直觀，提高運用數(shù)學知識解決實際問題的能力，培養(yǎng)嚴謹求實的科學態(tài)度。學習者分析1.學生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識：

學生在此前已經(jīng)學習了平面幾何中的距離公式和點的坐標表示，具備了一定的坐標計算和幾何推理基礎(chǔ)。然而，空間幾何的學習對學生來說是新挑戰(zhàn)，他們需要從二維思維過渡到三維空間思維。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：

高中學生對幾何學通常抱有較高的興趣，特別是當幾何知識與實際問題相結(jié)合時。學生在數(shù)學能力上存在個體差異，部分學生可能在空間想象和抽象思維方面表現(xiàn)較好，而另一些學生可能在理解和記憶幾何公式時遇到困難。學習風格上，有的學生偏好通過視覺和圖形來學習，而有的學生則更依賴于公式和邏輯推理。

3.學生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

學生在學習空間兩點間的距離公式時可能遇到的困難包括：

-空間想象力的不足，難以在腦海中形成空間幾何圖形；

-對坐標系和空間點表示的理解不夠深入，導(dǎo)致坐標計算錯誤；

-推理過程中邏輯混亂，難以正確應(yīng)用公式解決問題；

-對公式推導(dǎo)過程理解不透，難以靈活運用公式進行計算。教學資源準備1.教材：確保每位學生都有本節(jié)課所需的教材或?qū)W習資料，包括北師大版必修2《空間兩點間的距離公式》相關(guān)章節(jié)。

2.輔助材料：準備與教學內(nèi)容相關(guān)的圖片、圖表、視頻等多媒體資源，如空間幾何圖形的動畫演示，以幫助學生直觀理解。

3.教學工具：準備直尺、圓規(guī)等基本繪圖工具，用于課堂練習和演示。

4.教室布置：設(shè)置分組討論區(qū)，方便學生進行合作學習，并確保實驗操作臺或白板等教學設(shè)施齊全。教學過程一、導(dǎo)入（約5分鐘）

1.激發(fā)興趣：以實際生活中的空間距離問題為例，如建筑設(shè)計中的空間布局，引發(fā)學生思考，激發(fā)他們對空間距離公式的興趣。

2.回顧舊知：引導(dǎo)學生回顧平面直角坐標系中兩點間距離公式的推導(dǎo)過程，為新知識的學習做好鋪墊。

二、新課呈現(xiàn)（約30分鐘）

1.講解新知：詳細講解空間直角坐標系中兩點間距離公式的推導(dǎo)過程，包括向量表示和數(shù)量積的應(yīng)用。

2.舉例說明：通過具體的空間點坐標，演示如何運用公式計算兩點間的距離，讓學生理解公式的實際應(yīng)用。

3.互動探究：組織學生進行小組討論，讓他們嘗試自己推導(dǎo)公式，并在課堂上展示自己的推導(dǎo)過程。

三、鞏固練習（約20分鐘）

1.學生活動：學生獨立完成教材上的練習題，計算給定空間點的距離，加深對公式應(yīng)用的理解。

2.教師指導(dǎo)：對學生的練習情況進行巡視，對普遍存在的問題進行講解和指導(dǎo)，確保每位學生都能正確應(yīng)用公式。

四、深化理解（約15分鐘）

1.提出問題：引導(dǎo)學生思考公式推導(dǎo)過程中涉及的幾何意義和數(shù)學原理。

2.學生討論：學生分組討論，分享對公式的理解和在計算過程中的經(jīng)驗。

3.教師總結(jié)：對學生的討論進行總結(jié)，強調(diào)公式推導(dǎo)過程中的關(guān)鍵步驟和數(shù)學思想。

五、應(yīng)用拓展（約10分鐘）

1.課堂延伸：提供一些實際問題，如計算地球表面上兩點間的直線距離，讓學生運用所學公式解決。

2.學生展示：選取幾名學生進行展示，講解他們是如何應(yīng)用公式解決實際問題的。

六、課堂小結(jié)（約5分鐘）

1.教師總結(jié)：回顧本節(jié)課的學習內(nèi)容，強調(diào)空間兩點間距離公式的應(yīng)用和重要性。

2.學生反饋：請學生分享對本節(jié)課內(nèi)容的理解和學習心得。

七、作業(yè)布置（約5分鐘）

1.作業(yè)內(nèi)容：布置教材課后習題，包括計算題和應(yīng)用題，以鞏固學生對空間兩點間距離公式的理解和應(yīng)用。

2.作業(yè)要求：要求學生獨立完成作業(yè)，并按時上交，以便教師檢查學生的學習效果。教學資源拓展1.拓展資源：

-空間幾何圖形的計算機輔助設(shè)計（CAD）軟件介紹：通過CAD軟件，學生可以直觀地繪制和操作空間幾何圖形，加深對空間兩點間距離公式的理解。

-空間幾何問題在實際工程中的應(yīng)用案例：收集并整理一些空間幾何問題在建筑、工程、地理信息等領(lǐng)域的應(yīng)用實例，如建筑設(shè)計中的空間距離計算、地理信息系統(tǒng)中的距離測量等。

-空間幾何的歷史發(fā)展簡介：介紹空間幾何的發(fā)展歷程，包括歐幾里得幾何、非歐幾何等，以及這些幾何體系在數(shù)學發(fā)展中的地位和影響。

2.拓展建議：

-學生可以通過在線資源或圖書館查閱關(guān)于空間幾何的歷史資料，了解空間幾何的發(fā)展背景。

-利用CAD軟件，學生可以自行設(shè)計一些空間幾何問題，如計算兩個空間點的最短距離，通過實際操作加深對距離公式的理解。

-組織學生進行小組合作，針對實際案例，如城市規(guī)劃中的空間布局問題，應(yīng)用空間兩點間距離公式進行計算和分析。

-鼓勵學生參與數(shù)學競賽或科學展覽，通過解決實際問題展示他們在空間幾何學習中的成果。

-引導(dǎo)學生閱讀相關(guān)的數(shù)學期刊或論文，了解空間幾何在當代數(shù)學研究中的應(yīng)用和最新進展。

-設(shè)計一些開放性的問題，如探討空間兩點間距離公式的適用范圍和局限性，激發(fā)學生的探究精神和創(chuàng)新思維。

-通過制作幾何模型或動畫，幫助學生直觀地理解空間幾何圖形和距離公式的幾何意義。

-結(jié)合地理信息系統(tǒng)（GIS）的知識，探討空間距離在地理信息處理中的應(yīng)用，如地圖縮放、距離測量等。課堂小結(jié)，當堂檢測課堂小結(jié)：

1.回顧本節(jié)課的學習內(nèi)容，強調(diào)空間兩點間距離公式的推導(dǎo)過程和幾何意義。

2.總結(jié)公式在解決實際問題中的應(yīng)用，如建筑設(shè)計、地理信息系統(tǒng)等。

3.強調(diào)空間幾何在數(shù)學發(fā)展中的重要地位，以及其在現(xiàn)代科技中的應(yīng)用價值。

4.鼓勵學生在日常生活中關(guān)注空間幾何現(xiàn)象，提高空間思維能力。

當堂檢測：

1.單項選擇題（每題5分，共20分）

-在空間直角坐標系中，點A(1,2,3)和點B(4,5,6)之間的距離是（）

A.2B.3C.4D.5

-下列哪個選項不是空間兩點間距離公式的應(yīng)用？（）

A.計算地球表面上兩點間的直線距離

B.建筑設(shè)計中的空間布局

C.化學反應(yīng)中的分子間距離

D.地理信息系統(tǒng)中的距離測量

2.判斷題（每題5分，共20分）

-空間兩點間距離公式只適用于空間直角坐標系中的點。（）

-空間兩點間距離公式可以推導(dǎo)出平面直角坐標系中兩點間的距離公式。（）

-空間兩點間距離公式的推導(dǎo)過程中，向量數(shù)量積的計算非常重要。（）

-空間兩點間距離公式在解決實際問題時具有廣泛的應(yīng)用。（）

3.計算題（每題10分，共30分）

-在空間直角坐標系中，點A(2,3,4)和點B(-1,2,3)之間的距離是多少？

-已知空間直角坐標系中，點C(1,2,3)和點D(4,5,6)之間的距離為5，求點C關(guān)于平面x+y+z=1的對稱點E的坐標。

4.應(yīng)用題（每題15分，共30分）

-在建筑設(shè)計中，需要計算兩個相鄰建筑物之間的距離，已知建筑物A的坐標為(1,2,3)，建筑物B的坐標為(4,5,6)，求兩建筑物之間的距離。

-在地理信息系統(tǒng)中，需要測量兩點之間的直線距離，已知兩點坐標分別為(100,200,300)和(150,250,350)，求兩點之間的直線距離。板書設(shè)計①重點知識點：

-空間直角坐標系

-向量表示

-向量數(shù)量積

-空間兩點間距離公式

②關(guān)鍵詞：

-坐標

-向