第01講數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法(精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）現(xiàn)有下列說法：①元素有三個(gè)以上的數(shù)集就是一個(gè)數(shù)列；②數(shù)列1，1，1，1，…是無窮數(shù)列；③每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式；④根據(jù)一個(gè)數(shù)列的前若干項(xiàng)，只能寫出唯一的通項(xiàng)公式；⑤數(shù)列可以看著是一個(gè)定義在正整數(shù)集上的函數(shù)．其中正確的有（

）．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【詳解】對(duì)于①，數(shù)列是按一定次序排成的一列數(shù)，而數(shù)集的元素?zé)o順序性，①不正確；對(duì)于②，由無窮數(shù)列的意義知，數(shù)列1，1，1，1，…是無窮數(shù)列，②正確；對(duì)于③，不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)，如按精確度為得到的不足近似值，依次排成一列得到的數(shù)列沒有通項(xiàng)公式，③不正確；對(duì)于④，前4項(xiàng)為1，1，1，1的數(shù)列通項(xiàng)公式可以為，等，即根據(jù)一個(gè)數(shù)列的前若干項(xiàng)，寫出的通項(xiàng)公式可以不唯一，④不正確；對(duì)于⑤，有些數(shù)列是有窮數(shù)列，不可以看著是一個(gè)定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，⑤不正確，所以說法正確的個(gè)數(shù)是1.故選：B2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）兩千多年前，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題．他們?cè)谏碁┥袭嫵鳇c(diǎn)或用小石子表示數(shù)，按照點(diǎn)或小石子能排列的形狀對(duì)數(shù)進(jìn)行分類，如下圖中實(shí)心點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次為5，9，14，20，…，這樣的一組數(shù)被稱為梯形數(shù)，記此數(shù)列為，則（

）．A．B．C．D．【答案】D【詳解】解：觀察梯形數(shù)的前幾項(xiàng)，得：…由此可得故選：D．3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）數(shù)列滿足，若，，則=（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【詳解】解：因?yàn)?，，，則，，，，，，.故選：C.4．（2022·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）設(shè)數(shù)列滿足，則（

）A．0 B．4 C．5 D．8【答案】B【詳解】由題意得：.故選：B.5．（2022·北京豐臺(tái)·高二期末）設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（

）A．-21 B．11 C．27 D．35【答案】B【詳解】由得，，所以,故選：B6．（2022·福建省龍巖第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】∵a1=1，－=1，∴是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，∴，即，∴（）.當(dāng)時(shí)，也適合上式，.故選：A.7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，，則（

）．A．659 B．661 C．663 D．665【答案】D【詳解】因?yàn)椋?，，…，，所以，故．故選：D.8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為＝，=（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，即，∴是首項(xiàng)為1，公比為-2的等比數(shù)列，∴，所以.故選：B.二、多選題9．（2022·廣東·順德市李兆基中學(xué)高二期中）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】由題，，故A錯(cuò)；，故B對(duì)；，故C對(duì)；，故D錯(cuò).故選：BC10．（2022·全國(guó)·高二期末）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則（）A．是遞增數(shù)列 B．C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)或4時(shí)，取得最大值【答案】BCD【詳解】解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)也成立，所以，所以，即是遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤；，故B正確；令，解得，故C正確；，所以當(dāng)或時(shí)，故D正確；故選：BCD三、填空題11．（2022·福建省龍巖第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______.【答案】##【詳解】由得，又故是以公比為2的等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，因此，故,故答案為：12．（2022·福建省連城縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則_______.【答案】50【詳解】根據(jù)題意，令，得因?yàn)?，所以，又，所以是首?xiàng)為的常數(shù)列，故，即，故，所以.故答案為：50.四、解答題13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，令(1)求證：是等比數(shù)列；【答案】(1)證明見解析（1）證明：，，①②①-②得，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)上式也成立，即.所以即，且.所以是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列.14．（2022·全國(guó)·高二期末）已知數(shù)列滿足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)①②①減②得，則因?yàn)楫?dāng)時(shí)，符合上式，所以B能力提升15．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在謝賓斯基三角形中，(1)每個(gè)三角形中黑色小三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)時(shí)，求在大黑色三角形內(nèi)共去掉幾個(gè)小三角形的個(gè)數(shù)．【答案】(1)(2)(1)根據(jù)所給圖形規(guī)律可知：當(dāng)每增加時(shí)，黑色小三角形的個(gè)數(shù)變?yōu)樵瓉淼谋叮磾?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，.(2)根據(jù)所給圖形規(guī)律可知：當(dāng)每增加時(shí)，去掉的小三角形的個(gè)數(shù)是原來的倍再加個(gè)；設(shè)去掉小三角形個(gè)數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則，又，，，，，，即當(dāng)時(shí)，求在大黑色三角形內(nèi)共去掉