知識必備01數(shù)與式（公式、定理、結論圖表）

考點一、實數(shù)的有關概念、性質

1.實數(shù)及其分類

實數(shù)可以按照下面的方法分類:

f正整數(shù)

整數(shù)零

有理數(shù)I負整數(shù)

正分數(shù)

實數(shù)負分數(shù)

無理數(shù)｛正無理數(shù)

負無理數(shù)

實數(shù)還可以按照下面的方法分類:

正有理數(shù)｛正整數(shù)

定分數(shù)

正無理數(shù)

實數(shù)零

負整數(shù)

負有理數(shù)｛

負分數(shù)

負無理數(shù)

典例1：實數(shù)一2,0.3.3,-兀中，無理數(shù)的個數(shù)是()

A.2B.3C.4D,5

【思路點撥】常見的無理數(shù)有以下幾種形式：

JT7T

(1)字母型：如TI是無理數(shù)，萬、1等都是無理數(shù)，而不是分數(shù)；

(2)構造型：如2.10100I0001C000…(每兩個1之間依次多一個0)就是一個無限不循環(huán)的小數(shù)；

0)根式型：夜…都是一些開方開不盡的數(shù)；

(4)三角函數(shù)型:sin35。、tan27\cos29。等.

【答案】A；

【解析】本題主要考查無理數(shù)的概念.無理數(shù)是指無限不循環(huán)小數(shù)，V2,-兀都是無限不循環(huán)小數(shù)，

故共有2個無理數(shù).

【總結升華】無理數(shù)通常有以下幾類：①開方開不盡的數(shù)；②含乃的數(shù)；?③看似循環(huán)但實際不循環(huán)的小數(shù)；

④三角函數(shù)型：sin35。、tar.27。、cos29。等.抓住這幾類無理數(shù)特征，則可以輕松解決有關無理數(shù)

的相關試題.

2.數(shù)軸

規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸.每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過

來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù).實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應的關系.

3.相反數(shù)

實數(shù)a和-a叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零.

一般地，數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩個點，分別在原點的兩旁，并且離原點的距離相等.

4,絕對值

一個實數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示這個數(shù)的點與原點的距離.

一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零，即

如果a>0,那么a|=a；

如果a<0,那么a|=-a；

如果a=0,那么a|=0.

典例2:閱讀下面的材料，回答問題：

點點8在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a、b,48兩點之間的距離表示為同用.當力、5兩點中有一點在原

點時，不妨設點力在原點，如圖1T,卜耳=|3二網(wǎng)=,一耳；當力、6兩點都不在原點時：

(1)如圖卜2,點A、B都在原點的右邊，|AB|=|O5|TQ4|=冏一時=6-a=M一4;

O⑷B

___________1________1___________>

0b

圖1T

o力B

111-A

0ab

圖「2

(2)如圖1-3,點A、B都在原點的左邊，\A^=\OF\-\O^=\f^-\d\=-b-(-a)=a-b=\a-t\

(3)如圖卜4,點、A、B在原點的兩邊"蜴=|。4|+|。曰=同+可=4+(-份=所〃=卜一4.

BOA

___________11________1___________>

b0a

圖1-3

BOA

________11_____1________________

b0a

圖1-4

綜上，數(shù)軸上從4兩點之間的距離|A用=|。-小

回答下列問題：

(1)數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是；數(shù)軸上表示-2和-5的兩點之間的距離

_；數(shù)軸上表示1和-3的兩點之間的距離是_______________.

(2)數(shù)軸上表示》和-1的兩點A和B之間的距離是______________.如果|4臼=2,那么車

【答案】⑴3,3,4；(2)x=l或內=一3.

依據(jù)閱讀材料，所獲得的結論為|A用一凡結合各問題分別代入求解.

(1)|2-5|=3,|-2-(-5)|=3,|1-(-3)|=4;(2)\AB\=\X-(-^=\X+1\；

因為|A@=2,所以|x+l|=2,所以x+l=2或元+1=—2,所以x=l或x=-3.

5.實數(shù)大小的比較

(1)在數(shù)軸上表示兩個數(shù)的點，右邊的點所表示的數(shù)較大.

(2)正數(shù)都大于0；負數(shù)都小于0,兩個負數(shù)絕對值大的那個負數(shù)反而小.

(3)對于實數(shù)a、b,a-bX)oa>l^a-b=0oa=bia-Z?<0oa<b.

常用方法：0數(shù)軸圖示法；②作差法；③作商法；④平方法等.

6.有理數(shù)的運算

運算律：

加法交換律a+b=b+a；

加法結合律(a+b)+c=a+(b+c)；

乘法交換律ab=ba；

乘法結合律(ab)c=a(bc)；

分配律a(b+c)=ab+ac.

(3)運算順序：在加、減、乘、除、乘方、開方這六種運算中，力口、減是第一級運算，乘、除是第二

級運算,乘方、開方是第三級運算.在沒有括號的算式中.首先進行第三級運算,然后進行第二級運篁.

最后進行第一級運算，也就是先算乘方、開方，再算乘、除，最后算加、減.

算式里如果有括號，先進行括號內的運算.

如果只有同一級運算，從左到右依次運算.

典例3:-1+5_|2.

8-6+12;x(-2.4);

2(517、2

【答案】----H-----1—x(—2.4)=-----1.5+0.4—1.4=—1.5—1.4=-2.9

518612；5

7.平方根

如果x?=a,那么x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).

8.算術平方根

正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術平方根.零的算術平方根是零.

9.近似數(shù)及有效數(shù)字

近似地表示某一個量準確值的數(shù)，叫做這個量準確值的近似數(shù).一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就

說這個近似數(shù)精確到哪一位.這時.從左邊第一個不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止，所有的數(shù)字都叫

這個數(shù)的有效數(shù)字.

10.科學記數(shù)法

把一個數(shù)記成士ax10”的形式(其中n是整數(shù)，a是大于或等于1而小于10的數(shù)),稱為用科學記數(shù)法

表示這個數(shù).

考點二、二次根式、分式的相關概念、性質

1.二次根式的概念

形如&(a，0)的式子叫做二次根式.

2.最簡二次根式和同類二次根式的概念

最簡二次根式是指滿足下列條件的二次根式：

(1)被開方數(shù)不含分母；

(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方便因數(shù)或因式.

幾個二次根式化成最簡二次根式以后,如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式.

3.二次根式的主要性質

(1)G0(〃20)；

(2)("?)=4(4之0)；

a(tz>0)

(3)\[a^h止，

-a(a<0)

(4)積的算術平方根的性質：加=8?瓜aNO,b>0);

⑸商的算術平方根的性質：(?>0?b>0).

4.二次根式的運算

(1)二次根式的加減

二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把同類二次根式分別合并.

(2)二次根式的乘除

二次根式相乘除，把被開方數(shù)相乘除，根指數(shù)不變.

典例4:(1)x/(L5->/24+2j-+70.125-76；

【思路點撥】

在進行二次根式的加減運算時，一般先化成最簡二次根式，再合并同類二次根式.在進行二次根式

的乘除運算時，一般先進行乘除運算，再化成最簡二次根式.無論進行何種運算，最后結果一定要化成最

簡二次根式的形式.

【答案與解析】

⑴后-必+2&而&娓咚一2娓+當［一巫=哼+當一3"

【總結升華】

在二次根式運算中，要注意根據(jù)題目特點，靈活運用二次根式的性質.能夠運用乘法公式使運箕簡

捷一些的，可以應用乘法公式.

5.代數(shù)式的有關概念

(1)代數(shù)式：用運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子，叫做

代數(shù)式.

用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的結果，叫做代數(shù)式的值.

代數(shù)式的分類：

整式評項式

聲理式多項式

代數(shù)式?分式

I無理式

(2)有理式：只含有加、減、乘、除、乘方運算(包含數(shù)字開方運算)的代數(shù)式，叫做有理式.

(3)整式：沒有除法運算或者雖有除法運算但除式里不含字母的有理式叫做整式.

整式包括單項式和多項式.

(4)分式：除式中含有字母的有理式，叫做分式.分式的分母取值如果為零，分式沒有意義.

6.整式的運算

(1)整式的加減：整式的加減運算，實際上就是合并同類項.在運算時,如果遇到括號，根據(jù)去括號

法則，先去括號，再合并同類項.

(2)整式的乘法：

①正整數(shù)幫的運算性質：

建?a”=*n；

(ab)m=am^bm;

am^an=an,~n(a#0.m>n).

其中叭n都是正整數(shù).

②整式的乘法：單項式乘單項式，用它們的系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對于相同字母，用它們的指數(shù)的

和作為積里這個字母的指數(shù)，對于只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個因式.

單項式乘多項式，用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.

多項式乘多項式，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.

③乘法公式：

(a+/?)(tz-b)=a2-h2;

(a±b)2=a2±2ab+b2.

④零和負整數(shù)指數(shù)：在(a#0,m,n都是正整數(shù))中，當m=n時，規(guī)定以°=1；

當m<n時，如m-n=-p(p是正整數(shù))，規(guī)定.

7.因式分解

(1)因式分解的概念

把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做多項式的因式分解.

在因式分解時，應注意：

CU在指定數(shù)(有理數(shù)、實數(shù))的范圍內進行因式分解，一定要分解到不能再分解為止，題目中沒有指

定數(shù)的范圍，一般是指在有理數(shù)范圍內分解.

②因式分解以后，如果有相同的因式，應寫成鬲的形式，并且要把各個因式化簡.

(2)因式分解的方法

①提公因式法：ma+mb+mc=u(a+b+c).

②運用公式法：-b~=(a+b)(a-b);a2±2ab+b2=(a±b)2;

③十字相乘法：/+(a+〃)x+"=(x+a)(x+3.

④運用求根公式法：若爾+汝+。=0(〃￥0)的兩個根是“：、七，

1

則有：ax+bx+c=a(x-X1--v2)

(3)因式分解的步驟

①多項式的各項有公因式時，應先提取公因式；

②考慮所給多項式是否能用公式法分解.

8.分式

(1)分式的概念

A

形如q的式子叫做分式，其中A和B均為整式，B中含有字母，注意B的值不能為零.

D

(2)分式的基本性質

分式的分子與分母都乘(或除以)同一個不等于厚的整式，分式的值不變.

4=4^771?(其中M是不等于零的整式)

BBxMBB+M

(3)分式的運算

2-a、ba±ba.cad±be

①加減法：一±-=——.-±-=——-.

cccbaba

、一上acac

②乘法：7?：=77.

babet

?人—acadad

③除法：.

babcbe

(aXan

④乘方：(n為正整數(shù)).

解分式方程的注意事項：

(1)去分母化成整式方程時不要與通分運算混淆；

(2)解完分式方程必須進行檢驗，驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0,如

果為0,即為增根，不為0,就是原方程的解.

列分式方程解應用題的基本步驟

(1)審----仔細審題?找出等量關系

(2)設—合理設未知數(shù)

(3)列——根據(jù)等星關系列出方程

(4)解—解出方程

(5)驗—檢驗增根

⑹答一一答題

x+2x-\}x-4

典例：計算?(2-.r)2

2x2-2xx2-4x4-4)x

【思路點撥】在進行分式的四則運算時，一定要注意按運算順序進行，并注意結合題目的具體情況及時化

簡，以便簡化運算過程.

【答案與解析】

x+2x-1

--(2-x)2

x2-2xx2-4x+4;x

x+2x-\

A-U-2)(x-2)2

x+2X2x-\X2

----------??(x-2)?------?(x-2)

x(x-2)x-4---------------(x-2)27x-4

x2-4x2-x(X2-4)-(A2-X)

x-4x-4x-4

x-4,

=------=1.

x—4

【總結升華】在進行分式的四則運算E寸，要注意利用運算律，尋找合理的運算途徑.

知識必備02方程與不等式（公式、定理、結論圖表）

「思維導圖

分式方程

方程一元二次方程

列方程（組）解應用題

方程組

不

一元一次不等式等

式

實

際(

組

問)

題

的

應

不等式的性質用

|、知識梳理

考點一、一元一次方程

1.方程

含有未知數(shù)的等式叫做方程.

2.方程的解

能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值可做方程的解.

3.等式的性質

（1）等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，所得結果仍是等式.

（2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能是零），所得結果仍是等式.

4.一元一次方程

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程a%+b=

0（x為未知數(shù),a叫做一元一次方程的標準形式，a是未知數(shù)x的系數(shù)，b是常數(shù)項.

5.一元一次方程解法的一般步驟

整理方程一一去分母一一去括號——移項一一合并同類項一一系數(shù)化為1——(檢驗方程的解).

6.列一元一次方程解應用題

(1)讀題分析法：多用于“和，差，倍，分問題”

仔細讀題，找出表示相等關系的關鍵字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，為，完成，增加，

減少，配套”，利用這些關鍵字列出文字等式，并且根據(jù)題意設出未知數(shù)，最后利用題目中的量與量的關

系填入代數(shù)式，得到方程.

(2)畫圖分析法：多用于“行程問題”

利用圖形分析數(shù)學問題是數(shù)形結合思想在數(shù)學中的體現(xiàn)，仔細讀題，依照題意畫出有關圖形，使圖形

各部分具有特定的含義，通過圖形找相等關系是解決問題的關鍵，從而取得布列方程的依據(jù)，最后利用量

與量之間的關系(可把未知數(shù)看作已知量)，填入有關的代數(shù)式是獲得方程的基礎.

列方程解應用題的常用公式：

(1)行程問題：距離=速度X時間速度時間=端

工時=工黑、

(2)工程問題：工作量=工效X工時工效-W

(3)比率問題：部分=全體X比率比率=百全體=總'

(4)順逆流問題：順流速度;靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度-水流速度：

⑸商品價格問題：售價=定價?折?白，利潤=售價-成本，利潤率=當學乂100%；

10成本

(6)周長、面積、體積問題：CM=2nR,Sg="R-,Ctu^=2(a+b),S長力形=ab,C王方形=4a,

S正方形=a"，S不形=n(Rf),V長方體=abh，V正方體=a',V??：=nR2h，VnRh.

考點二、一元二次方程

1.一元二次方程

含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式

ax2+bx+c=0(a工0),它的特征是：等式左邊是一個關于未知數(shù)x的二次多項式，等式右邊是零,

其中Q/叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項.

3.一元二次方程的解法

(1)直接開平方法

利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法.直接開平方法適用于解

形如(x+Q)2=b的一元二次方程.根據(jù)平方根的定義可知，無+Q是b的平方根，當力20時，x+a=±Vb,

x=-a±Vb,當b<0時，方程沒有實數(shù)根.

(2)配方法

配方法是一種重要的數(shù)學方法，它不僅在解一元二次方程上有所應用，而且在數(shù)學的其他領域也有著

廣泛的應用.配方法的理論根據(jù)是完全平方公式a2±2Qb+b2=(Q±m(xù)2,把公式中的a看做未知數(shù)x,并

用X代替，則有尢212bx+b2=(X1b)2.

(3)公式法

公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.

一元二次方程Q%2+bx+c=0(a=0)的求根公式：必,2=但：：-4"(匕2-4ac>0)

(4)因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程

最常用的方法.

4.一元二次方程根的判別式

一元二次方程a/+bX+c=0(aH0)中，b2-4ac叫做一元二次方程Q/+匕無+c=0(a,0)的根的

判別式，通常用2”來表示，即』=/-4QC.

5.一元二次方程根與系數(shù)的關系

如果方程Q%2+bx+c=0(aH0)的兩個實數(shù)根是M，x2,那么%1+%2=-\勺％2=5也就是說，

對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反

數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商.

要點詮釋：

一元二次方程的解法中直接開平方法和因式分解法是特殊方法，比較簡單，但不是所有的一元二次方程

都能用這兩種方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用這兩種方法去解.

(1)判斷一個方程是不是一元二次方程，應把它進行整理，化成一般形式后再進行判斷，注意一元

次方程一般形式中Q*0.

(2)用公式法和因式分解的方法解方程時要先化成一般形式.

(3)用配方法時二次項系數(shù)要化1.

(4)用直接開平方的方法時要記得取正、負.

典例1：已知關于x的一元二次方程/一(小一1)工+小一3=0.

(1)求證：不論m取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)若直線y=(771-1)%+3與函數(shù)y=/+m的圖象的一個交點的橫坐標為2,求關于工的一元二

次方程%2-(m-1)%+m-3=0的解.

【答案】(1)證明：4=[—(m-l)]2-4(m—3)

=m2—2m+1—4m+12=m2—6n+13

=(m—3)z+4

?不論m取何值時，(m-3y30

/.(m-3)2+4>0,即4>0

?.?不論m取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)將％=2代入方程％2-(ni-l)x+m-3=0,得m=3

再將m=3代入，原方程化為二-2%=0,解得必=0,亞=2.

考點三、分式方程

1.分式方程

分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.

2.解分式方程的一般方法

解分式方程的思想是將“分式方程”轉化為“整式方程”.它的一般解法是：

①去分母，方程兩邊都乘以最簡公分母；

2解所得的整式方程；

③驗根：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應該舍去；若不等于有，就是原方程的根.

口訣：“一化二解三檢驗”.

3.分式方程的特殊解法

換元法：

換元法是中學數(shù)學中的一個重要的數(shù)學思想，其應用非常廣泛，當分式方程具有某種特殊形式，一般的去

分母不易解決時，可考慮用換元法.

要點詮釋：

解分式方程時，有可能產生增根，增根一定適合分式方程轉化后的整式方程，但增根不適合原方程，

可使原方程的分母為零，因此必須驗根.

增根的產生的原因：

對于分式方程，當分式中，分母的值為零時.無意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取那些使分母的

值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件.當把分式方程轉化為整式方程以后，這種限制

取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴大了，如果轉化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許

值之外的值，那么就會出現(xiàn)增根.

典例2：近年來，由于受國際石油市場的影響，汽油價格不斷上漲.請你根據(jù)下面的信息，幫小明計算今

年5月份汽油的價格.如圖所示.

今年份的汽油價格比去年5月

6）每升多L8元.用150元給汽車加的

油拉比去年少18.75升.

【思路點撥】根據(jù)“用150元給汽車加油今年比去年少18.75升”列方程.

【答案與解析】解：設今年5月份汽油價格為x元/升，則去年5月份的汽油價格為（x1.8）元/升.

根據(jù)題意，得提-子=18.75.

整理，得力2-1.8%-14.4=0.

解這個方程，得k=4.8,乂2=-3.

經檢驗兩根都為原方程的根，但X2=-3不符合實際意義，故舍去.

【總結升華】

解題的關鍵是從對話中挖掘出有效的數(shù)學信息，構造數(shù)學模型，從而解決問題，讓同學們更進一步

地體會到數(shù)學就在我們身邊.

考點四、二元一次方程（組）

1.二元一次方程

含有兩個未知數(shù)，并且未知項的最高次數(shù)是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是

ax+by=c（a#0,b#0）.

2.二元一次方程的解

使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對未知數(shù)的值.叫做二元一次方程的一個解.

3.二元一次方程組

兩個（或兩個以上）二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.

4.二元一次方程組的解

使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值.叫做二元一次方程組的解.

5.二元一次方程組的解法

①代入消元法；②加減消元法.

6.三元一次方程（組）

（1）三元一次方程

把含有二個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程叫二元次方程.

（2）三元一次方程組

由三個（或三個以上）一次方程組成,并且含有三個未知數(shù)的方程組，叫做三元一次方程組.

要點詮釋：

二元一次方程組的解法：

消元：將未知數(shù)的個數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想.

（1）代入消元法：將一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元,

進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法.

（2）加減消元法：當兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相減,

就能消去這個未知數(shù)，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法.

（3）二元一次方程組的解有三種情況，即有唯一解、無解、無限多解.教材中主要是研究有唯一解的

情

況對于其他情況，可根據(jù)學生的接受能力給予滲透.

典例3:如圖所示，是在同一坐標系內作出的一次函數(shù)山、丫2的圖象人、12,設％=自4+瓦，y2=k2x+

必則方程組黑獴'的解是（）

T

廠+TTTT

++

卜+++

+++

卜++'+

++

卜+++

+4-干

斗

卜

，:

?+

；

++-：:

，

本:

卜++++T

+?

卜+++++T

'

卜+++++T

++

卜

土-+T

+-

」-1」

.!..￡.□.

1-2X-X3

A-2,-C-3,D-

-23y-3y4

【思路點撥】圖象，］、，2的交點的坐標就是方程組的解?

【答案】B；

【解析】由圖可知圖象匕、%的交點的坐標為(-2,3),

所以方程組3::黑底’的解為kJ

【總結升華】

方程組與函數(shù)圖象結合體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想，這也是中考所考知識點的綜合與相互滲透.

考點五、不等式(組)

1.不等式的概念

(1)不等式

用不等號表示不等關系的式子,叫做不等式.

(2)不等式的解集

對于一個含有未知數(shù)的不等式，任何一個適合這個不等式的未知數(shù)的值，都叫做這個不等式的解.

對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的

解集.

求不等式的解集的過程，叫做解不等式.

2.不等式基本性質

(1)不等式兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變；

(2)不等式兩邊都乘以(或除以)同一個正數(shù).不等號的方向不變；

(3)不等式兩邊都乘以(或除以)同一個負數(shù).不等號的方向改變.

3.一元一次不等式

(1)一元一次不等式的概念

一般地，不等式中只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1,且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式

叫做一元一次不等式.

(2)一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步驟：

①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤將x項的系數(shù)化為1.

4.一元一次不等式組

(1)一元一次不等式組的概念

幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組.

幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集.

求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組.

當任何數(shù)X都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集.

（2）一元一次不等式組的解法

①分別求出不等式組中各個不等式的解集；

②利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集.

由兩個一元一次不等式組成的一元一次不等式組的解集的四種情況如下表.

不等式組圖示解集口訣

（其中a>b）

1x>aJ________x>a（同大取大）

ba

x<ax<b（同小取小）

^x<b___J__d___A

ba,

x<ab<x<a（大小取中間）

Lx>b—

x>a無解（大大、小小

Vx<h—b4~

（空集）找不到）

注：不等式有等號的在數(shù)軸上用實心圓點表示.

要點詮釋：

用符號”"k表示不等關系的式子，叫做不等式.

（1）不等式的其他性質：①若a>b,貝ljb<a；②若a>b,b>c,則a>c；③若aNb,且bma,則

a=b，④若a2^0,貝IJa=0；⑤若ab>0或（,0,貝lja、b同號；⑥若ab<0或￡V0,貝lja、b異號.

（2）任意兩個實數(shù)a、b的大小關系：?a-b>00a>b；?a-b=0?a=b；③a-b<00a<b.

不等號具有方向性，其左右兩邊不能隨意交換：但a<匕可轉換為。>氏c'd可轉換為"We

f3（x+l）>5x+4,0

典例4：解不等式組x-lr2X-1⑸并將解集在數(shù)軸上表示出來.

【思路點撥】

此題考查一元一次不等式組的解法，解出不等式組中的每個不等式，根據(jù)不等式組解的四種情況,

看看屬于哪種情況.

【答案與解析】

解不等式①得：》<一］

解不等式②得：x/7.

所以不等式組的解集為TWx<

其解在數(shù)軸上表示為如圖所示：

—140

【總結升華】注意解不等式組的解題步驟.

典例5:為了美化家園，創(chuàng)建文明城市，園林部門決定利用現(xiàn)有的36co盆甲種花卉和2900盆乙種花卉搭

配A、B兩種園藝造型共50個，擺放在迎賓大道兩側，搭配每個造型所需花卉的情況如下表所示；

造型甲乙

A90盆30盆

B40盆100盆

綜合上述信息，解答下列問題：

(1)符合題意的搭配方案有哪兒種?

(2)若搭配一個A種造型的成本為1000元、搭配一個B種選型的成本為1200元，試說明選用(1)中哪

種方案成本最低？

【思路點撥】

本題首先需要從文字和表格中獲取信息，建立不等式(組)，然后求出其解集，根據(jù)實際問題的意義,

再求出正整數(shù)解，從而確定搭配方案.

【答案與解析】

解：(D設搭配x個A種造型，則需要搭配(50-x)個B種造型，由題意.得

90x4-40(50-x)<3600,

解得30WXW32.

30x+100(50-x)<2900,

所以x的正整數(shù)解為30,31,32.

所以符合題意的方案有3種，分別為：

“種造型30個，B種造型20個；

4種造型31個，B種造型19個；

A種造型32個，B種造型18個.

(2)由題意易知，三種方案的成本分別為：

第一種方案:30x1000+20x1200=54000；

第二種辦案：31x1000+19x1200=53800;

第三種方案：32x1000+18x1200=53600.

所以第二種方案成本最低.

【總結升華】實際問題的“最值問題"一般是指"成本最低”、“利潤最高”、“支出最少”等問題.

知識必備03函數(shù)及其圖像(公式、定理、結論圖表)

1、思維導圖

平面直角坐標系

一次函數(shù)的圖像與性質

實

際

問函數(shù)的應用

題

二次函數(shù)的圖像與性質

1、知識梳理

考點一、平面直角坐標系

點P&,y)到坐標軸及原點的距離：

(1)點P(x,y)到x軸的距離等于N;

(2)點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于|也_____

(3)點P(x,y)到原點的距離等于廬衣.

典例1：(2023?靜安區(qū)二模)在平面直角坐標系xO.v中，我們定義點八(乂)，)的“關聯(lián)點”為8(x+)，,x-y),

如果已知點A在直線)，=4+3上，點B在O的內部，的半徑長為3&(如圖所示)，那么點人的橫坐

【分析】根據(jù)題意設點A的坐標為(IM+3),則點8的坐標為(2a+3,-3),利用兩點間距離公式表示出

OB、根據(jù)點4在的內部可得到不等式，解出不等式即可.

【解答】解：???點A在直線y=x+3上，

設點A的坐標為(a,a+3),則點B的坐標為(2a+3,-3),

OB=J(Oi+3j+(-3)2,

.?點B在O的內部，

J(勿+3/+(-3/<3底，

整理得：/+3a<0,

-3va<0,

.,.點A的橫坐標x的取值范圍是-3<%v0.

故答案為：一3<%<0.

【點評】本題主要考查一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、兩點間的距離公式、點與圓的位置關系，理解新定

義，熟知兩點間的距離公式，并根據(jù)點與圓的位置關系列出不等式是解題關鍵.

考點二、函數(shù)及其圖象

由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟：

(1)列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應值；

(2)描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內描出相應的點；

(3)連線：按照自變量由小到大的順序,把所描各點用平滑的曲線連接起來.

考點三、一次函數(shù)

確定一個正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式y(tǒng)=k.Y(kwo)中的常數(shù)k;確定一個一次函數(shù)，

典例2：(2023?延慶區(qū)--模)如圖，用繩子圍成周長為10/〃的矩形，記矩形的?邊長為.一〃，它的鄰邊長

為ym.當x在一定范圍內變化時，J，隨x的變化而變化，則y與x滿足的函數(shù)關系是（）

y

A.一次函數(shù)關系B.二次函數(shù)關系

C.正比例函數(shù)關系D.反比例函數(shù)關系

【分析】矩形的周氏為2（x+y）=10,可用x來表示y即可.

【解答】解：由題意得，

2(x+y)=10,

.\x+y=5

y=5-x,

即），與x是一次函數(shù)關系，

故選：A.

【點評】本題考查了?次函數(shù)的應用等知識，理清題中的數(shù)量關系并熟練掌握?次函數(shù)的解析式形式是解

題的關鍵.

典例3：（2023?江岸區(qū)二模）如圖，是某工程隊修路的長度），（單位：〃?）與修路時間，（單位：天）之間

的函數(shù)關系.該工程隊承擔了一項修路任務，任務進行一段時間后，工程隊提高了工作效率，則該工程隊

提高效率前每天修路的長度是（）米.

【分析】設工程隊提高了工作效率后修路的長度y與修路時間/之間的函數(shù)關系為y=U+〃，用待定系數(shù)

法求出函數(shù)解析式，然后求出x=2時；y的值，再根據(jù)除以2即可.

【解答】解：設工程隊提高了工作效率后修路的長度y與修路時間/之間的函數(shù)關系為），=&+/攵/0）,

4k+b=370

把(437。)和(5,48。)代入解析式得：$皿:48。

攵=110

解得

b=-70

，工程隊提高了工作效率后修路的長度y與與修路時間，之間的函數(shù)關系為y=110x-70,

當％=2時，y=H0x2-70=150,

該I.程隊提局效率前每天修路的長度是曰=75(米).

2

故選：C.

【點評】本題考查一次函數(shù)應用，關鍵是用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.

考點四、反比例函數(shù)

、性質易錯分析與舉例

k

(1)定義：形如y=JkX0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，k叫做二匕例系

例：函數(shù)y=3x"'"，當m=-2

時，則該函數(shù)是反比例困藪

1.反比例函數(shù)，自變量的取值范圍是韭雯的一切實數(shù).

數(shù)的概念(2)形式：反比例函數(shù)有以下三種基本形式:

k

①y=L<g^=kx-L③3y=k.(其中k為常數(shù)，且k聲0)

X

k的符號圖象經過象限y隨x變化的情況(1)判斷點是否在反比例函數(shù)

圖象上的方法：①把點的橫、縱

坐標代入看是否滿足其解析式；

k>0圖象經過第每個象限內，函數(shù)y

②把點的橫、縱坐標相靈，判斷

一、三象限的值隨X的增大而減

其乘積是否等于k.

2.反比例函(X、y同小.

易錯分析

數(shù)的圖象和號)

(2)反比例函數(shù)值大小的比較

性質k<0圖象經過第每個象限內，函數(shù)y

時，首先要判斷自變量的取值是

二、四象限的值隨X的增大而增

否同號，即是否在同一個象限

(x、y異大.

內，若不在則不能運用性質進行