第十八章

平行四邊形18.1平行四邊形18.1.1平行四邊形的性質(zhì)第1課時

平行四邊形邊和角的性質(zhì)單元內(nèi)容結(jié)構(gòu)圖學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷平行四邊形定義的形成過程,理解平行四邊形的定義,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).2.通過觀察、度量及推理,探索并掌握平行四邊形的性質(zhì),滲透類比、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生的推理能力與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力.3.通過平行四邊形性質(zhì)的應(yīng)用,理解兩平行線間距離的意義,能度量兩平行線間的距離,發(fā)展學(xué)生的幾何直觀以及推理能力.學(xué)習(xí)重點：平行四邊形的性質(zhì)的探究.學(xué)習(xí)難點：平行四邊形性質(zhì)的證明.學(xué)習(xí)重難點回顧復(fù)習(xí)思考：回顧研究三角形及其性質(zhì)的研究路徑和方法，設(shè)計四邊形的研究路徑.1.三角形的研究路徑：定義-性質(zhì)-判定-應(yīng)用.

(由一般到特殊)

2.三角形性質(zhì)的研究路徑：(1)對稱性;(2)組成圖形的要素間的關(guān)系：位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.回顧復(fù)習(xí)導(dǎo)入新課觀察下列圖片，從中找出四邊形，并談一談它們有哪些共同特性和不同特性？探究新知學(xué)生活動一【一起探究】觀察“導(dǎo)入新課”中找出的四邊形，這些圖形邊的位置有什么特征？解:兩組對邊互相平行.探究新知1.定義:兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.2.表示方法:平行四邊形ABCD記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”．3.幾何語言：AB∥CDAD∥BC四邊形ABCD是平行四邊形探究新知4.平行四邊形的相關(guān)概念：（1）對邊、對角;（2）鄰邊、鄰角;（3）對角線.探究新知學(xué)生活動二【探究性質(zhì)】思考：平行四邊形除了“兩組對邊分別平行”外，它的邊之間還有什么關(guān)系？它的角之間有什么關(guān)系？思考:對上述發(fā)現(xiàn)，你能說明理由嗎？小組合作完成.解:如圖，發(fā)現(xiàn)：

相等的線段：AB=CD，AD=BC.

相等的角：∠BAD=∠DCB,∠CBA=∠ADC.探究新知已知：如圖,四邊形ABCD是平行四邊形.求證：AB=CD,AD=BC,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC.證明:如圖所示,連接BD.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥CB,AB∥CD.∴∠ADB=∠CBD,∠ABD=∠CDB.又∵BD=DB,∴△ABD≌△CDB.∴AD=CB,AB=CD,∠BAD=∠BCD.∵∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠CBD,∴∠ABD+∠CBD=∠CDB+∠ADB,即∠ABC=∠ADC.探究新知你能用三種語言表達(dá)平行四邊形邊和角的性質(zhì)嗎？1.文字語言：平行四邊形的對邊相等，對角相等.2.圖形語言：3.符號語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB=CD,AD=BC,∠ABC=∠ADC,∠DAB=∠DCB.探究新知學(xué)生活動三【應(yīng)用性質(zhì)】例

如圖,在?ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分別為E,F.求證:AE=CF.證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C，AD=CB.又∠AED=∠CFB=90°,∴△ADE≌△CBF.∴AE=CF.探究新知如果兩條直線平行，那么一條直線上所有的點到另一條直線的距離都相等.定義：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離.平行線間的距離處處相等.兩條平行線間的距離:拓展應(yīng)用1.如圖,在?ABCD中,對角線AC的垂直平分線分別交AD,BC于點E,F,連接CE,若△CED的周長為6,則?ABCD的周長為(

)A.6B.12C.18D.24B拓展應(yīng)用2.如圖,E,F分別是?ABCD的邊AD,BC上的點,EF＝6,∠DEF＝60°,將四邊形EFCD沿EF翻折,得到四邊形EFC′D′,ED′交BC于點G,則△GEF的周長為(

)A.6B.12C.18D.24C拓展應(yīng)用3.如圖,在?ABCD中,已知∠B＋∠D＝260°，求∠A,∠C的度數(shù)．解:

在?ABCD中,∠A＝∠C,∠B＝∠D，AD//BC.∵∠B＋∠D＝260°,∴∠B＝∠D＝130°.又∵AD//BC,∴∠C＝180°-∠D＝180°-130°＝50°.∴∠A＝∠C＝50°.拓展應(yīng)用4.如圖，將?ABCD沿對角線BD進(jìn)行折疊，折疊后點C落在點F處，DF交AB于點E.(1)求證:∠EDB＝∠EBD；證明:由折疊可知∠CDB＝∠EDB.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB.∴∠CDB＝∠EBD，∴∠EDB＝∠EBD.拓展應(yīng)用(2)判斷AF與BD是否平行，并說明理由．解:AF∥BD.理由:∵∠EDB＝∠EBD,∴DE＝BE.由折疊可知DC＝DF.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴DC＝AB.∴AB＝DF.∴AB-BE＝DF-DE,即AE＝EF.∴∠EAF＝∠EFA.在△BED中,∠EDB＋∠EBD＋∠DEB＝180°,即2∠EDB＋∠DEB＝180°,同理在△AEF中,2∠EFA＋∠AEF＝180°.∵∠DEB＝∠AEF.∴∠EDB＝∠EFA.∴AF∥BD.回顧反思1.本節(jié)課探究了平行四邊形的哪些問題？2.在探尋平行四邊形的定義及證明其性質(zhì)時,你經(jīng)歷了什么？這個過程中用到了哪些數(shù)學(xué)方法？積累了哪些活動經(jīng)驗？3.在研究一個圖形時,圖形的定義、性質(zhì)、判定是重要的研究問題，你能說一說它們的邏輯關(guān)系嗎？對于平行四邊形,后續(xù)還會研究哪些內(nèi)容？當(dāng)堂訓(xùn)練1.如圖，在?ABCD中，CE⊥AB交BA的延長線于點E，若∠BCD=125°，則∠AFC的度數(shù)為(

)A.145°B.135°C.125° D.115°A當(dāng)堂訓(xùn)練2.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，?

OMNP的頂點P的坐標(biāo)是(3,4)，頂點M的坐標(biāo)是(4,0),則頂點N的坐標(biāo)是

(

)A.(7,4) B.(8,4)C.(7,3) D.(8,3)A當(dāng)堂訓(xùn)練3.如圖,l1∥l2,AB∥CD,則下列結(jié)論錯誤的是（）A.AB=CD

B.CE=FGC.A,B兩點間的距離就是線段AB的長度 D.l1與l2之間的距離就是線段CD的長度4.?ABCD中,AB∶BC=4∶3，周長是28cm,則AD=

,CD=

.

D6cm8cm當(dāng)堂訓(xùn)練5.如圖,在平行四邊形ABCD中,∠BAD的平分線交BC于點E,交DC的延長線于點F．(1)若AB=4，BC=6,求EC的長；解:∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC,AB∥CD.∴∠DAF=∠AEB.又∵AE平分∠BAD,∴∠DAF=∠BAE.∴∠AEB=∠BAE.∴AB=BE=4.∴EC=BC-BE=6-4=2.當(dāng)堂訓(xùn)練(2)若∠F=55°,求∠BAE和∠D的度數(shù)．解:∵AB∥CD，∴∠BAE=∠F=55°.∴∠FAD=∠BAE=55°.在△ADF中,∠D=180°﹣∠1﹣∠F=70°．1.我們把

的四邊形叫做平行四邊形.2.平行四邊形的性質(zhì):對邊

且

;對角

;鄰角

.3.兩條平行線中,

叫做這兩條平行線之間的距離.知識梳理兩組對邊分別平行平行相等相等互補一條直線上任意一點到另一條直線的距離課后作業(yè)1.在?ABCD中,如果∠A+∠C=140°,那么∠C等于(

)A.70°

B.60°

C.40°

D.20°2.如圖,在?ABCD中,BE平分∠ABC交AD于點E,且DE=4,BC=10,則CD的長為(

)A.6 B.5 C.4 D.3A課時學(xué)業(yè)質(zhì)量評價A3.如圖所示,在?ABCD中,已知AC=3cm,若△ABC的周長為8cm,則平行四邊形的周長為(

)A.5cm B.10cm C.16cm D.11cm4.已知?ABCD中,∠A比∠B小20°,那么∠C=

°,∠D=

°.

B801005.如圖,在平行四邊形ABCD中,E,F是直線AC上兩點,且AE=CF.求證:BE∥DF.證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ACD=∠CAB.∵CF=AE,∴△CFD≌△AEB(SAS).∴∠F=∠E,∴BE∥DF.第十八章平行四邊形18.1平行四邊形18.1.1平行四邊形的性質(zhì)《第1課時平行四邊形邊和角的性質(zhì)》同步練習(xí)平行四邊形的概念1.如圖,在△ABC中,D是BC上的點,DE∥AB交AC于點E,DF∥AC交AB于點F,則下列結(jié)論中不一定成立的是 (

)

A.四邊形AFDE是平行四邊形B.FD=FBC.∠BFD=∠DECD.DF=AE

B基礎(chǔ)通關(guān)2.如圖,在?ABCD中,∠A=140°,則∠B的度數(shù)是 (

)A.40° B.70° C.110°D.140°3.【易錯題】在?ABCD中,連接AC,∠ACD=80°,作∠EAC交射線BC于點E,且∠EAC=10°,則∠BAE的度數(shù)是

.

70°或90°A平行四邊形邊的性質(zhì)4.在?ABCD中,下列結(jié)論不一定正確的是 (

)A.AB=CD B.AC=AD

C.AD=BC D.∠BAD=∠BCD5.如圖,E為?ABCD內(nèi)任一點,且?ABCD的面積為6,則圖中陰影部分的面積為

.

B3平行四邊形角的性質(zhì)6.[教材第43頁練習(xí)第1題改編]在?ABCD中,∠B+∠D=200°,則∠A=

°.

807.如圖,在?ABCD中,點E,F在對角線AC上,∠CBE=∠ADF.求證:(1)AE=CF;

(2)BE∥DF.證明:由(1),得△ABE≌△CDF,∴∠AEB=∠CFD.∵∠AEB+∠BEF=∠CFD+∠EFD=180°,∴∠BEF=∠EFD.∴BE∥DF.

C=因為平行線間的距離處處相等,所以S△ABC和S△DBC是同底等高的兩個三角形,因此面積相等

能力突破

512.如圖,已知在?ABCD中,F是AD的中點,連接CF并延長交BA的延長線于點E.(1)若CF平分∠BCD,求證:BC=2AB;證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB=CD,AB∥CD,BC=AD.∴∠E=∠DCF.∵F是AD中點,∴AF=DF.∵∠EFA=∠CFD,∴△AFE≌△DFC(AAS).∴CD=AE.∴AB=AE.∵CF平分∠BCD,∴∠BCF=∠DCF=∠E.∴BE=BC.∴BC=BE=2AB.(2)在(1)的條件下,若∠E=30°,CE=8,求BC的長.

證明:在?ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠ADC,∴∠DAC=∠BCA,AD=BC,AB=CD.∵BE,DG分別平分∠ABC,∠ADC,∴∠ADG=∠CBE.∴△ADG≌△CBE(ASA).∴BE=DG.∵∠DGE=∠DAC+∠ADG,∠BEG=∠BCA+∠CBE,∴∠DGE=∠BEG.∴BE∥DG.

14.【幾何直觀、推理能力】問題:如圖,在?ABCD中,AB=8,AD=5,∠DAB,∠ABC的平分線AE,BF分別與直線CD交于點E,F,求EF的長.素養(yǎng)達(dá)標(biāo)探究:(1)把“問題”中的條件“AB=8”去掉,其余條件不變.①當(dāng)點E與點F重合時,求AB的長;解:如圖所示,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴CD=AB,BC=AD=5,AB∥CD.∴∠DEA=∠BAE.∵AE平分∠DAB,∴∠DAE=∠BAE.∴∠DEA=∠DAE.∴DE=AD=5.同理可得BC=CF=5.∵點E與點F重合,∴AB=CD=DE+CF=10.②當(dāng)點E與點C重合時,求EF的長.解:如圖所示,∵點E與點C重合,∴DE=DC=5.∵CF=BC=5,∴點F與點D重合.∴EF=DC=5.

圖1圖2圖3第十八章

平行四邊形18.1平行四邊形18.1.1平行四邊形的性質(zhì)第2課時

平行四邊形對角線的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷平行四邊形性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)及證明過程,體會合情推理用于探索思路,發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理用于證明結(jié)論.培養(yǎng)學(xué)生的推理能力與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力.2.通過平行四邊形性質(zhì)的應(yīng)用,滲透轉(zhuǎn)化的思想,發(fā)展推理能力和幾何直觀的核心素養(yǎng).學(xué)習(xí)重點：平行四邊形的對角線互相平分及其應(yīng)用.學(xué)習(xí)難點：綜合運用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)論證和計算.學(xué)習(xí)重難點回顧復(fù)習(xí)回憶上一節(jié)課的研究過程.思考:學(xué)習(xí)了平行四邊形的哪些性質(zhì)？你是怎樣發(fā)現(xiàn)平行四邊形的性質(zhì)的？你是怎樣證明的？

導(dǎo)入新課觀察:如圖,在

?ABCD中,除了AB=CD,AD=BC外,圖中還有相等的線段嗎？思考：對于上述發(fā)現(xiàn)，你能說明理由嗎？發(fā)現(xiàn):OA=OC,OB=OD.探究新知學(xué)生活動一【一起探究】已知:如圖,在?ABCD

中,對角線AC,BD相交于點O.求證:OA=OC，OB=OD.證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD,AB∥CD.∴∠BAO=∠DCO.又∵∠AOB=∠COD,∴△AOB≌△COD.∴OA=OC,OB=OD.探究新知你能用三種語言表達(dá)平行四邊形的對角線的性質(zhì)嗎？1.文字語言:平行四邊形的對角線互相平分.2.圖形語言:3.符號語言:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC,OB=OD.學(xué)生活動二【表述性質(zhì)】探究新知學(xué)生活動三【應(yīng)用性質(zhì)】例

如圖,在?

ABCD中,AB=10,AD=8,AC⊥BC.求BC,CD,AC,OA的長,以及?

ABCD的面積．

拓展應(yīng)用1.如圖,在?ABCD中,對角線AC,BD

相交于點O,AE⊥BD

于點E,CF⊥BD于點F,連接AF,CE,則下列結(jié)論：①CF＝AE；②OE＝OF；③DE＝BF；④圖中共有四對全等三角形．其中正確結(jié)論的個數(shù)是(

)A.4個B.3個C.2個D.1個B拓展應(yīng)用2.已知:如圖,?ABCD的周長為60cm,對角線AC,BD相交于點O,△AOB的周長比△DOA的周長多5cm,求?ABCD各邊的長．解:∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB=OD,AB=CD,AD=BC.∵△AOB的周長比△DOA的周長多5cm，∴AB-AD=5cm.①又∵?ABCD的周長為60cm,∴AB+AD=30cm.②由①②,得AB=17.5cm,AD=12.5cm.∴則?ABCD各邊的長分別為AB=CD=17.5cm,AD=BC=12.5cm.拓展應(yīng)用3.如圖，EF過?ABCD的對角線AC,BD的交點O,△AOE與△COF的面積有何關(guān)系？四邊形AEFD與四邊形BCFE的面積有何關(guān)系？解:△AOE與△COF的面積相等.四邊形AEFD與四邊形BCFE的面積相等.拓展應(yīng)用總結(jié)：過對角線交點的任意一條直線都將平行四邊形分成面積相等的兩部分.回顧反思1.我們從哪些方面研究了平行四邊形的性質(zhì)？分別有哪些性質(zhì)？2.平行四邊形的性質(zhì)是怎樣發(fā)現(xiàn)并證明的？通過這個探究過程你學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)方法？積累了哪些數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗？3.根據(jù)你的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，請你規(guī)劃平行四邊形后續(xù)的研究進(jìn)程.當(dāng)堂訓(xùn)練1.如圖,在?ABCD中,AC與BD相交于點O,則下列結(jié)論不一定成立的是(

)A.BO=DOB.CD=ABC.∠BAD=∠BCDD.AC=BDD當(dāng)堂訓(xùn)練

D當(dāng)堂訓(xùn)練3.如圖,在?ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,OE⊥BD交AD于點E,連接BE,若?ABCD的周長為28,則△ABE的周長為（

）A.28 B.24 C.21 D.14D當(dāng)堂訓(xùn)練4.如圖,在

?ABCD中,對角線AC,BD交于點O,AC=10,BD=8,則AD的取值范圍是

.1＜AD＜9當(dāng)堂訓(xùn)練5.已知:如圖,?ABCD的對角線AC,BD相交于點O,M是OA的中點，N為OC的中點,求證:BM=DN,BM∥DN.證明:在?ABCD中,OA=OC,OB=OD，又∵M(jìn)是OA

的中點,N是OC的中點，∴OM=ON.∵∠BOM=∠DON,∴△MOB≌△NOD.∴BM=DN,∠MBO=∠NDO.∴BM∥DN.平行四邊形的對角線

.知識梳理互相平分課后作業(yè)1.下列選項中,平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是(

)A.兩組對邊分別平行B.兩組對邊分別相等C.對角線互相平分 D.對角線相等2.如圖,在?ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,且AC⊥BC,?ABCD的面積為54,OA=3,則BC的長為(

)A.6B.9C.12D.13D課時學(xué)業(yè)質(zhì)量評價B3.已知一個平行四邊形的兩條對角線長是6cm和8cm,則下列線段長度可以是它的邊長的是(

)A.10cm

B.9cm

C.8cm

D.5cm4.如圖,?ABCD的對角線AC和BD相交于點O,過點O的直線分別交AB和DC于點E,F,若設(shè)該平行四邊形的面積為10,則圖中陰影部分的面積為

.

D55.如圖,在?ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,且AC=6,BD=10,AB=4.(1)求∠BAC的度數(shù);

(2)求?ABCD的面積.

第十八章平行四邊形18.1平行四邊形18.1.1平行四邊形的性質(zhì)《第2課時平行四邊形對角線的性質(zhì)》同步練習(xí)平行四邊形對角線互相平分1.如圖,在?ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,則下列結(jié)論一定正確的是 (

)

A.AC=BDB.OA=OCC.AC⊥BDD.∠ADC=∠BCDB基礎(chǔ)通關(guān)2.在?ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,且AC+BD=10cm,AB=4cm,則△COD的周長為 (

)A.14cm B.9cm C.7cm D.5cm3.【易錯題】如圖,?ABCD的對角線AC,BD相交于點O,EF過對角線的交點O,則圖中全等三角形的對數(shù)有 (

)A.4對 B.5對

C.6對 D.7對CB4.證明:平行四邊形對角線互相平分.已知:四邊形ABCD是平行四邊形,如圖所示.求證:OA=OC,OB=OD.以下是排亂的證明過程,正確的順序應(yīng)是(

)①∴∠ABO=∠CDO,∠BAC=∠DCA.②∵四邊形ABCD是平行四邊形,③∴AB∥CD,AB=CD.④∴△AOB≌△COD.⑤∴OA=OC,OB=OD.A.②①③④⑤ B.②③⑤①④C.②③①④⑤ D.③②①④⑤C7.如圖,?ABCD的周長為16cm,AC,BD交于點O,且AD>CD,過點O作OM⊥AC,交AD于點M,連接CM,則△CDM的周長為

cm.

6.平行四邊形對角線長分別為x,y,一邊長為12,則x,y的值可能是下列各組數(shù)中的 (

)A.8與14 B.10與14C.18與20 D.10與485.[教材第44頁例2改編]如圖,平行四邊形的對角線AC與BD相交于點O,AB⊥AC,若AB=4,AC=6,則BD的長是(

)A.12 B.10 C.8 D.11BC88.如圖,在?ABCD中,EF過對角線的交點O,AB=8,AD=6,OE=2,求四邊形BCEF的周長.解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,AB∥CD,AD=BC,OA=