專題01數(shù)列大題解題秘籍解題秘籍等差數(shù)列通項(xiàng)公式：或等比數(shù)列通項(xiàng)公式：的類型，公式數(shù)列求和的常用方法：對(duì)于等差、等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；等差數(shù)列求和，等比數(shù)列求和對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求和；萬能公式：形如的數(shù)列求和為，其中，，（3）對(duì)于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項(xiàng)相消法求和.或通項(xiàng)公式為形式的數(shù)列，利用裂項(xiàng)相消法求和.即常見的裂項(xiàng)技巧：；；指數(shù)型；對(duì)數(shù)型.等模擬訓(xùn)練模擬訓(xùn)練一、解答題1．（22·23·保定·二模）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．2．（22·23·濰坊·三模）已知數(shù)列和滿足．(1)證明：和都是等比數(shù)列；(2)求的前項(xiàng)和．3．（22·23·廣州·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：．4．（22·23·山東·二模）已知兩個(gè)正項(xiàng)數(shù)列，滿足，．(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，其中表示不超過的最大整數(shù)，求的前項(xiàng)和．5．（22·23下·紹興·二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.6．（22·23·濟(jì)寧·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.7．（22·23下·無錫·三模）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求除以3的余數(shù).8．（22·23下·蘇州·三模）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2023項(xiàng)和.9．（22·23下·江蘇·三模）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前2023項(xiàng)的和.10．（22·23下·鎮(zhèn)江·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.等差數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)將數(shù)列滿足__________（在①②中任選一個(gè)條件）的第項(xiàng)取出，并按原順序組成一個(gè)新的數(shù)列，求的前20項(xiàng)和.①，②，其中.11．（22·23·張家口·三模）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.12．（22·23·汕頭·三模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則稱是“緊密數(shù)列”.(1)若，判斷是否是“緊密數(shù)列”，并說明理由；(2)若數(shù)列前項(xiàng)和為，判斷是否是“緊密數(shù)列”，并說明理由；(3)設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.若數(shù)列與都是“緊密數(shù)列”，求的取值范圍.13．（22·23·衡水·一模）已知數(shù)列，滿足，是等比數(shù)列，且的前項(xiàng)和.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列，的前項(xiàng)和為，證明：.14．（22·23·東莞·三模）已知數(shù)列和，，，.(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.15．（22·23·深圳·二模）已知是等差數(shù)列，，，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，記，求.16．（22·23·梅州·三模）已知數(shù)列滿足，，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列.(2)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.17．（22·23下·長沙·三模）已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求和：.18．（22·23下·岳陽·三模）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其公比，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．19．（22·23·濟(jì)南·三模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.20．（23·24上·永州·一模）已知數(shù)列是公比的等比數(shù)列，前三項(xiàng)和為39，且成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和．21．（23·24上·郴州·一模）在數(shù)列中，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若.求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（22·23下·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.23．（22·23下·武漢·三模）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)單調(diào)遞增等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列．（ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ⅱ）設(shè)，試確定與的大小關(guān)系，并給出證明．24．（22·23下·襄陽·三模）已知數(shù)列滿足，且的前100項(xiàng)和(1)求的首項(xiàng)；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.25．（22·23下·武漢·三模）已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若恒成立，求正整數(shù)的最大值.26．（23·24上·湖北·一模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足：．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證．27．（22·23·日照·三模）已知數(shù)列滿足：.(1)當(dāng)時(shí)，求數(shù)列中的第10項(xiàng)；(2)是否存在正數(shù)，使得數(shù)列是等比數(shù)列，若存在求出值并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.28．（22·23下·煙臺(tái)·三模）已知數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和29．（22·23·菏澤·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．(1)分別求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列，求出數(shù)列的前項(xiàng)和．30．（22·23·福州·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.31．（22·23·唐山·二模）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，當(dāng)時(shí)，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．32．（22·23·寧德·二模）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前15項(xiàng)和．33．（22·23·三明·三模）已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，的前項(xiàng)和為，證明：.34．（22·23·廈門·三模）記為數(shù)列的前項(xiàng)和.已知.(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若，，成等比數(shù)列，求的最小值.35．（22·23·龍巖·二模）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差，前項(xiàng)和為，且為常數(shù)．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，證明：．36．（22·23下·浙江·二模）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)且，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．37．（22·23下·浙江·二模）記為正數(shù)列的前項(xiàng)和，已知是等差數(shù)列.(1)求；(2)求最小的正整數(shù)，使得存在數(shù)列，.38．（22·23下·江蘇·二模）已知等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，.(1)求的前項(xiàng)和；(2)若數(shù)列滿足，，求的通項(xiàng)公式.39．（22·23下·溫州·二模）已知等差數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，其中為數(shù)列的前項(xiàng)和.設(shè)表示不超過的最大正整數(shù)，求使的最大正整數(shù)的值.40．（22·23·滄州·三模）設(shè)公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列前100項(xiàng)的和.專題01數(shù)列大題解題秘籍解題秘籍等差數(shù)列通項(xiàng)公式：或等比數(shù)列通項(xiàng)公式：的類型，公式數(shù)列求和的常用方法：對(duì)于等差、等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；等差數(shù)列求和，等比數(shù)列求和對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求和；萬能公式：形如的數(shù)列求和為，其中，，（3）對(duì)于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項(xiàng)相消法求和.或通項(xiàng)公式為形式的數(shù)列，利用裂項(xiàng)相消法求和.即常見的裂項(xiàng)技巧：；；指數(shù)型；對(duì)數(shù)型.等模擬訓(xùn)練模擬訓(xùn)練一、解答題1．（22·23·保定·二模）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于與的方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由裂項(xiàng)相消法代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，由題意可得，解得，∴.（2）由（1）可知，∴．2．（22·23·濰坊·三模）已知數(shù)列和滿足．(1)證明：和都是等比數(shù)列；(2)求的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由，兩式相加、相減，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；（2）由（1）可得，，即可求出和的通項(xiàng)公式，從而得到，再利用分組求和法及等邊數(shù)列求和公式計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，，又由，得，，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．（2）由（1）得，，所以，，所以，所以．3．（22·23·廣州·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用和的遞推式，得出，進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消法求得，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，即，所以．即，又，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．所以.（2），故數(shù)列的前項(xiàng)和，因?yàn)?，所以，所以?．（22·23·山東·二模）已知兩個(gè)正項(xiàng)數(shù)列，滿足，．(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，其中表示不超過的最大整數(shù)，求的前項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）依題意可得，，即可求出、；（2）根據(jù)高斯函數(shù)先推出的解析式，再運(yùn)用等差數(shù)列求和公式計(jì)算可得.【詳解】（1）由，得，由，得，，因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列，，；（2）因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)滿足，所以.5．（22·23下·紹興·二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列求得，即，再根據(jù)與的關(guān)系采用相減法即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由題意得，利用等比數(shù)列求和公式即可得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，.時(shí)，也符合（2）顯然于是6．（22·23·濟(jì)寧·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用與的關(guān)系得到為等比數(shù)列求解即可;（2）利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即，又因?yàn)?，滿足上式，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則.（2）因?yàn)椋?7．（22·23下·無錫·三模）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求除以3的余數(shù).【答案】(1)(2)2【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義和增位相減以及累乘法即可求解；（2）根據(jù)等比數(shù)列求和和二項(xiàng)式定理即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以是首?xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，所以，即①，所以②，由②－①可得，即，所以.（2）由（1）可得，則，所以，所以所以除以3的余數(shù)為2.8．（22·23下·蘇州·三模）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2023項(xiàng)和.【答案】(1)(2)1012【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及給定的條件求出公差d和；（2）根據(jù)數(shù)列的周期性求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，即解得，所以；（2）由（1）可知，，對(duì)于任意，有，所以，故數(shù)列的前2023項(xiàng)和為.9．（22·23下·江蘇·三模）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前2023項(xiàng)的和.【答案】(1)(2)2023【分析】（1）由遞推關(guān)系式，結(jié)合累加法求得的通項(xiàng)公式，分析可得的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)的關(guān)系式，結(jié)合并項(xiàng)求和即可得的前2023項(xiàng)的和.【詳解】（1）對(duì)任意的，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，符合，所以，.（2），所以當(dāng)時(shí)，，故.10．（22·23下·鎮(zhèn)江·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.等差數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)將數(shù)列滿足__________（在①②中任選一個(gè)條件）的第項(xiàng)取出，并按原順序組成一個(gè)新的數(shù)列，求的前20項(xiàng)和.①，②，其中.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)利用可得，利用等差數(shù)列定義可求得；（2）選擇①②都可以得到新組成的數(shù)列是原來數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)，利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可得.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列滿足①，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，②②-①得，即因，所以，從而，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.所以.因?yàn)榈炔顢?shù)列滿足.所以.設(shè)公差為，則，解得.所以.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）若選①，則有.所以取出的項(xiàng)就是原數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)，所以是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以；若選②，則有，因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的，由二項(xiàng)展開式可知能被3整除，此時(shí)為整數(shù)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的，由二項(xiàng)展開式可知所以除以3的余數(shù)是1，不能整除，即此時(shí)不是整數(shù)，不滿足題意；所以取出的項(xiàng)就是原數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)，所以是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以.11．（22·23·張家口·三模）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，求得；當(dāng)時(shí)，可得，兩式相減得，得到，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，得到，結(jié)合裂項(xiàng)法求和，求得，即可得證.【詳解】（1）解：由題意，數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，可得，解得；當(dāng)時(shí)，可得，兩式相減得，所以，當(dāng)時(shí)，，適合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）解：令，由，可得，所以，因?yàn)?，可得，所?12．（22·23·汕頭·三模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則稱是“緊密數(shù)列”.(1)若，判斷是否是“緊密數(shù)列”，并說明理由；(2)若數(shù)列前項(xiàng)和為，判斷是否是“緊密數(shù)列”，并說明理由；(3)設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.若數(shù)列與都是“緊密數(shù)列”，求的取值范圍.【答案】(1)不是“緊密數(shù)列”，理由見解析(2)數(shù)列是“緊密數(shù)列”，理由見解析(3)【分析】（1）利用“緊密數(shù)列”的定義判斷即可；（2）利用求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再證得，由此證得是“緊密數(shù)列”；（3）先根據(jù)是“緊密數(shù)列”，求得的一個(gè)取值范圍，對(duì)于對(duì)分成、和三種情況，利用列不等式組，由此求得的取值范圍.【詳解】（1），所以不是“緊密數(shù)列”；（2）數(shù)列為“緊密"數(shù)列；理由如下：數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又，即滿足，因此，所以對(duì)任意，所以，因此數(shù)列為“緊密”數(shù)列；（3）因?yàn)閿?shù)列是公比為的等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，有，所以，滿足題意；當(dāng)時(shí).，因?yàn)闉椤熬o密"數(shù)列，所以.即或，當(dāng)時(shí)，，，所以，滿足為“緊密”數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，不滿足為“緊密"數(shù)列；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.13．（22·23·衡水·一模）已知數(shù)列，滿足，是等比數(shù)列，且的前項(xiàng)和.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列，的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）由前項(xiàng)和與通項(xiàng)之間關(guān)系可求得，進(jìn)而由已知等式得到，推導(dǎo)可得；（2）由（1）可得，采用裂項(xiàng)相消法可整理得到，結(jié)合和可證得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)且時(shí)，，；經(jīng)檢驗(yàn)：滿足，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)且時(shí)，，，；經(jīng)檢驗(yàn)：滿足，.（2）由（1）知：，；，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，；又，.14．（22·23·東莞·三模）已知數(shù)列和，，，.(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過題中關(guān)系，可得，進(jìn)而可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）可得，，則，可利用分組求和與錯(cuò)位相減求和解題.【詳解】（1）由，，得，整理得，而，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列（2）由（1）知，∴，∴，設(shè)，則，兩式相減得，從而∴.15．（22·23·深圳·二模）已知是等差數(shù)列，，，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，記，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程，求出，即可求出通項(xiàng)；（2）由（1）可得，在分為偶數(shù)、奇數(shù)兩種情況討論，利用并項(xiàng)求和法計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，，，且，，成等比數(shù)列，所以，即，解得或（舍去），所以．（2）由題意知，，所以．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．綜上．16．（22·23·梅州·三模）已知數(shù)列滿足，，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列.(2)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由已知遞推式可得，結(jié)合，可得，即可證明數(shù)列為以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列；（2）由已知，得，，兩式作差可得，再由錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】（1），．已知，，得，可得，數(shù)列為以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）知，，由，①取，得，可得；當(dāng)時(shí)，，②①②得：，即．也滿足上式，．，，兩式作差得：，．17．（22·23下·長沙·三模）已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求和：.【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式與性質(zhì)得到，從而結(jié)合條件求得公差，從而得解；（2）先利用推遞作差法求得，從而求得，再利用錯(cuò)位相減法即可得解.【詳解】（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列前項(xiàng)和為，所以，又，所以，又，所以是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以的通項(xiàng)公式為.（2）因?yàn)?，所以，兩式相減得：，又滿足上式，所以，又，所以.所以，，兩式相減得：.18．（22·23下·岳陽·三模）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其公比，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知條件求出公比，，直接寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；（2）由（1）得，分組求和即可，注意分類討論的思想.【詳解】（1）因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，公比為，則，所以，解得，由，可得，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）得，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)；綜上所述：.19．（22·23·濟(jì)南·三模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式計(jì)算可得答案；（2）由題意可知，利用錯(cuò)位相減求和可得答案.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?所以，所以，，所以；（2）由題意可知，所以①，②，①②得，，，，.20．（23·24上·永州·一模）已知數(shù)列是公比的等比數(shù)列，前三項(xiàng)和為39，且成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組，求出首項(xiàng)和公比，即可得答案；（2）利用（1）的結(jié)論化簡，利用裂項(xiàng)求和法即可求得答案.【詳解】（1）由題意可得，即得，則，即，可得，由于，故得，則，故；（2）由（1）結(jié)論可得，故的前項(xiàng)和.21．（23·24上·郴州·一模）在數(shù)列中，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若.求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由前n項(xiàng)和求遞推關(guān)系，應(yīng)用等比數(shù)列定義證明等比求通項(xiàng)公式；（2）應(yīng)用裂項(xiàng)相消法計(jì)算即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，即，易知，所以.所以是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.故.（2），22．（22·23下·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過基本量計(jì)算可得，然后由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得，利用定義可證；（2）由錯(cuò)位相減法可得.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以1，所以，即，又正項(xiàng)等比數(shù)列，所以，解得，因?yàn)?，所以，得，所以所以，，所以，又，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；（2）由（1）得，，所以，所以①②①-②得，整理得：.23．（22·23下·武漢·三模）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)單調(diào)遞增等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列．（ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ⅱ）設(shè)，試確定與的大小關(guān)系，并給出證明．【答案】(1)，(2)（?。?，；（ⅱ），，證明見解析【分析】(1)根據(jù)與的關(guān)系計(jì)算即可，同時(shí)注意討論的情況；(2)對(duì)于（?。┙Y(jié)合上問結(jié)果及等比中項(xiàng)的性質(zhì)建立方程計(jì)算公差即可；對(duì)于（ⅰi）由，可放縮，裂項(xiàng)求和即可證明結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，整理得．又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，不滿足．所以，.（2）（ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為．因?yàn)?，，成等比?shù)列，且，，，所以，即．又因?yàn)?，所以．所以?shù)列的通項(xiàng)公式為，．（ⅰi）．證明如下：由（?。┲?，，易知所以．，，．24．（22·23下·襄陽·三模）已知數(shù)列滿足，且的前100項(xiàng)和(1)求的首項(xiàng)；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）分為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況進(jìn)而討論即可求解；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)相消法即可求解.【詳解】（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；則偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以1為公差的等差數(shù)列，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，則，又，所以，解得，.（2）由（1）得，，，，當(dāng)時(shí)，，∴，綜上，知.25．（22·23下·武漢·三模）已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若恒成立，求正整數(shù)的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，求得，當(dāng)時(shí)，得到，兩式相減化簡求得，得到數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）求得，結(jié)合當(dāng)時(shí)，和當(dāng)時(shí)，，即可求解.【詳解】（1）解：由題意，各項(xiàng)均不為零的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足且，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，因?yàn)閿?shù)列中各項(xiàng)均不為零，即.所以數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）解：由（1）知數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，可得，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，即不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，.故正整數(shù)的最大值為.26．（23·24上·湖北·一模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足：．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由，把用1代入算出首項(xiàng)，再用退位相減法發(fā)現(xiàn)其為等差數(shù)列，則數(shù)列通項(xiàng)可求；（2）由（1）可先算出，代入求得通項(xiàng)并裂項(xiàng)，再求和即可證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，由①，可得，②①②得：，即．，．是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）由（1）可得，，，，，，，，.27．（22·23·日照·三模）已知數(shù)列滿足：.(1)當(dāng)時(shí)，求數(shù)列中的第10項(xiàng)；(2)是否存在正數(shù)，使得數(shù)列是等比數(shù)列，若存在求出值并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)存在，，證明見解析【分析】(1)根據(jù)隔項(xiàng)等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式即可求解；(2)根據(jù)是等比數(shù)列的必要條件解出，再根據(jù)證明充分性即可.【詳解】（1）由已知，所以，相除得；又，所以，所以.（2）假設(shè)存在正數(shù)，使得數(shù)列是等比數(shù)列，由得，由，得，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，，即，下面證明時(shí)數(shù)列是等比數(shù)列，由（1）知數(shù)列和都是公比是的等比數(shù)列，所以，；所以為奇數(shù)時(shí)，，為偶數(shù)時(shí)，，所以對(duì)一切正整數(shù)，都有，所以，所以存在正數(shù)使得數(shù)列是等比數(shù)列.28．（22·23下·煙臺(tái)·三模）已知數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】(1)(2)【分析】（1）先把題干條件等價(jià)變成，然后用累加法進(jìn)行求解；（2）結(jié)合特殊的三角函數(shù)值，利用分組求和進(jìn)行求解.【詳解】（1）由得，，所以時(shí)，，故，又，則，當(dāng)時(shí)，成立，所以，．（2）由（1）知，，所以，，因?yàn)?，于是，所以，．故?shù)列的前項(xiàng)和為．29．（22·23·菏澤·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．(1)分別求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列，求出數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，根據(jù)，利用兩式相減得，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出；根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法可求出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，所以是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，則，（2）由（1）知，，，所以，所以，，所以，所以，化簡得.30．（22·23·福州·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由與的關(guān)系可求出通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，得，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，所以.（2）由（1）可得，所以，所以31．（22·23·唐山·二模）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，當(dāng)時(shí)，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件求出可得答案；（2）利用裂項(xiàng)相消求和可得答案．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，即，所以，

數(shù)列的首項(xiàng)為3，公差為1，則，即；（2）由，得，所以．32．（22·23·寧德·二模）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前15項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解，（2）根據(jù)分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，且，，，，．（2）由（1）可知其中．故的前15項(xiàng)和為．33．（22·23·三明·三模）已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）取倒數(shù)結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)計(jì)算即可；（2）利用裂項(xiàng)法求得，結(jié)合，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所?所以，所以為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差，所以，所以（2）證明：因?yàn)椋?所以，因?yàn)?，所以，?34．（22·23·廈門·三模）記為數(shù)列的前項(xiàng)和.已知.(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若，，成等比數(shù)列，求的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）應(yīng)用等差數(shù)列定義證明等差數(shù)列；（2）應(yīng)用等比數(shù)列列式求參，再應(yīng)用等差數(shù)列求和公式計(jì)算求解.【詳解】（1）證明：由，①，把換成，，②，②-①可得：，整理得：，由等差數(shù)列定義可得為等差數(shù)列；（2）由已知有，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，由（1）可得其公差為1，故，解得，故，所以，故可得：，，，故在或者時(shí)取最小值，，故的最小值為.35．（22·23·龍巖·二模）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差，前項(xiàng)和為，且為常數(shù)．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由為常數(shù)，則為常數(shù)，即，然后結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；（2）由（1）可得，然后累加求和