PAGE1-3.4不等式的實際應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.能依據(jù)實際情景建立不等式模型．(難點)2．駕馭運用不等式學(xué)問，解決實際問題的方法、步驟．(重點)1.通過利用不等式解決實際應(yīng)用題的學(xué)習(xí)，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．2．借助不等式解決不同類型的實際應(yīng)用問題，提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).1．重要結(jié)論若b>a>0，m>0，則eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b).另外，若a>b>0，m>0，則有eq\f(a＋m,b＋m)<eq\f(a,b)成立．2．不等式解決實際問題的步驟(1)設(shè)未知數(shù)：用字母表示題中的未知數(shù)．(2)列不等式(組)：找出題中的不等量關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式(組)．(3)解不等式(組)：運用不等式學(xué)問求解不等式，同時要留意未知數(shù)在實際問題中的取值范圍．(4)答：規(guī)范地寫出答案．1．若產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺)之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝3000＋20x－0.1x2(0<x<240)，若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本(銷售收入不小于總成本)時的最低產(chǎn)量是()A．100臺 B．120臺C．150臺 D．180臺C[由題意可得25x－y＝0.1x2＋5x－3000≥0，即x2＋50x－30000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)，所以150≤x<240，x∈N.]2．有如圖所示的兩種廣告牌，其中圖①是由兩個等腰直角三角形構(gòu)成的，圖②是一個矩形，從圖形上看，這兩個廣告牌面積的大小關(guān)系為________，并將這種大小關(guān)系用含字母a，b的不等式表示出來為________．圖①廣告牌面積大于圖②廣告牌面積eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)b2>ab[圖①廣告牌面積大于圖②廣告牌面積．設(shè)圖①面積為S1，則S1＝eq\f(a2,2)＋eq\f(b2,2)，圖②面積為S2，則S2＝ab，∴eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)b2＞ab．]3．一輛汽車原來每天行駛xkm，假如這輛汽車每天行駛的路程比原來多19km，那么在8天內(nèi)它的行程超過2200km，寫成不等式為________；假如它每天行駛的路程比原來少12km，那么它原來行駛8天的路程就得花9天多的時間，用不等式表示為________．8(x＋19)>2200eq\f(8x,x－12)>9[原來每天行駛xkm，現(xiàn)在每天行駛(x＋19)km.則不等關(guān)系“在8天內(nèi)的行程超過2200km”，寫成不等式為8(x＋19)>2200.若每天行駛(x－12)km，則不等關(guān)系“原來行駛8天的路程就得花9天多的時間”用不等式表示為eq\f(8x,x－12)>9.]利用比較法解決實際生活問題【例1】某商品安排兩次提價，有甲、乙、丙三種方案如下，其中p>q>0，方案第一次(提價)其次次(提價)甲p%q%乙q%p%丙eq\f(1,2)(p＋q)%eq\f(1,2)(p＋q)%經(jīng)過兩次提價后，哪種方案提價幅度大？[解]設(shè)商品原價為a，設(shè)按甲、乙、丙三種方案兩次提價后價格分別為N甲，N乙，N丙，則N甲＝a(1＋p%)(1＋q%)，N乙＝a(1＋q%)(1＋p%)，N丙＝aeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)p＋q%))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)p＋q%))＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(p＋q,200)))2.明顯甲、乙兩種方案最終價格是一樣的，因此，只需比較aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(p＋q,200)))2與a(1＋p%)(1＋q%)的大?。甆甲－N丙＝aeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(p,100)＋\f(q,100)＋\f(pq,1002)－1－\f(p＋q,100)－\f(p＋q2,2002)))＝eq\f(a,2002)(2pq－p2－q2)＝－eq\f(a,2002)(p－q)2<0.∴N丙>N甲，∴按丙方案提價比甲、乙方案提價幅度大．比較法在實際中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在決策優(yōu)化問題中，解決的關(guān)鍵是兩個量表示后用作差法或作商法進(jìn)行大小比較，然后作出實際問題的解答．1．有一批貨物的成本為A元，假如本月初出售，可獲利100元，然后可將本利都存入銀行．已知銀行的月利息為2%，假如下月初出售，可獲利120元，但貨物貯存要付5元保管費，試問是本月初還是下月初出售好？并說明理由．[解]若本月初出售到下月初獲利為m元，下月初出售獲利為n元．則m＝100＋(100＋A)·2%＝102＋0.02A．n＝120－5＝115，故n－m＝13－0.02A，令n－m＝0，得A①當(dāng)A＝650元時，本月初、下月初出售獲利相同．②當(dāng)A>650元時，n－m<0即n<m，本月初出售好．③當(dāng)A<650元時，n>m，下月初出售好．一元二次不等式的實際應(yīng)用【例2】某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)200元收購某農(nóng)產(chǎn)品，并按每100元納稅10元(又稱征稅率為10個百分點)，安排可收購a萬擔(dān)，政府為了激勵收購公司多收購這種農(nóng)產(chǎn)品，確定將征稅率降低x(x≠0)個百分點，預(yù)料收購量可增加2x個百分點．(1)寫出稅收y(萬元)與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)要使此項稅收在稅率調(diào)整后，不少于原安排稅收的83.2%，試確定x的取值范圍．[解](1)降低稅率后為(10－x)%，農(nóng)產(chǎn)品的收購量為a(1＋2x%)萬擔(dān)，收購總金額為200a(1＋2x依題意：y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝eq\f(1,50)a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10)．(2)原安排稅收為200a·10%＝20依題意得：eq\f(1,50)a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化簡得，x2＋40x－84≤0，∴－42≤x≤2.又∵0＜x＜10，∴0＜x≤2.∴x的取值范圍是(0,2]．不等式應(yīng)用題常以函數(shù)、數(shù)列為背景出現(xiàn)，多是解決現(xiàn)實生活、生產(chǎn)中的最優(yōu)化問題，在解題中主要涉及到不等式的解法等問題，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型是解不等式應(yīng)用題的關(guān)鍵．2．某市新建一處公園，要對園內(nèi)一塊長為800m，寬為600m的長方形地面進(jìn)行綠化，規(guī)劃四周種花卉(花卉帶的寬度相同)，中間種草坪，若要求草坪的面積不小于總面積的一半，求花卉帶寬度的范圍．[解]設(shè)花卉帶的寬度為xm，則中間草坪的長為(800－2x)m，寬為(600－2x)m．依據(jù)題意可得(800－2x)(600－2x)≥eq\f(1,2)×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0<x≤100或x≥600，x≥600不符合題意，舍去．故所求花卉帶寬度的范圍為(0,100]m.均值不等式的實際應(yīng)用[探究問題]1．某單位確定投資3200元建一長方體倉庫，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米造價40元，兩側(cè)用磚墻，每米造價45元，頂部每平方米造價20元．若設(shè)鐵柵長為x米，一側(cè)磚墻長為y米，那么x，y之間有何關(guān)系？你能建立倉庫底面積S與x，y之間的關(guān)系嗎？[提示]x與y之間的關(guān)系為40x＋2×45y＋20xy≤3200，S與x，y間的關(guān)系為S＝xy.2．在探究1中若要求S的最大值能用只含一個自變量的函數(shù)求最值嗎？若不能，如何求S的最大值？[提示]在S＝xy中含兩個變量x，y，而x，y滿意40x＋90y＋20xy≤3200，利用該關(guān)系不能將S表示為關(guān)于x或只關(guān)于y的函數(shù)，故不能用求函數(shù)最值的方法求解，可用均值不等式進(jìn)行如下求解．解：設(shè)鐵柵長為xm，一側(cè)磚墻長為ym，則有S＝xy.由題意得40x＋2×45y＋20xy≤3200.由均值不等式，得3200≥2eq\r(40x·90y)＋20xy＝120eq\r(xy)＋20xy＝120eq\r(S)＋20S，∴S＋6eq\r(S)≤160，即(eq\r(S)＋16)(eq\r(S)－10)≤0.∵eq\r(S)＋16＞0，∴eq\r(S)－10≤0，∴S≤100.∴S的最大允許值是100m2.【例3】某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉的價格為1800元，面粉的保管等其他費用為平均每噸每天3元，購買面粉每次需支付運費900元．(1)求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少？(2)某供應(yīng)面粉的公司規(guī)定：當(dāng)一次購買面粉不少于210噸時，其價格可享受9折實惠，問該廠是否考慮利用此實惠條件？請說明理由．[思路探究]平均每天所支付的總費用＝eq\f(x天支付的總費用,天數(shù)x)，依據(jù)題意列出函數(shù)式，利用均值不等式求解．[解](1)設(shè)該廠應(yīng)每x天購買一次面粉，其購買量為6x噸，由題意知，面粉的保管等其他費用為3[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝3×eq\f(x6x＋6,2)＝9x(x＋1)，設(shè)平均每天所支付的總費用為Y1元，則Y1＝eq\f(9xx＋1＋900,x)＋1800×6＝9x＋eq\f(900,x)＋10809≥2eq\r(9x·\f(900,x))＋10809＝10989，當(dāng)且僅當(dāng)9x＝eq\f(900,x)，即x＝10時取等號．該廠每10天購買一次面粉，才能使平均每天支付的總費用最少．(2)設(shè)該廠利用此實惠條件后，每x天購買一次面粉，因為不少于210噸，每天用面粉6噸，所以至少每eq\f(210,6)＝35天購買一次面粉，即x≥35.設(shè)平均每天支付的總費用為Y2元，則Y2＝eq\f(9xx＋1＋900,x)＋1800×6×eq\f(9,10)＝9x＋eq\f(900,x)＋9729(x≥35)，記f(x)＝x＋eq\f(100,x)，x∈[35，＋∞)，設(shè)x1，x2∈[35，＋∞)，取x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(100,x1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(100,x2)))＝(x1－x2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100,x1)－\f(100,x2)))＝eq\f(x1－x2x1x2－100,x1x2)，∵35≤x1<x2，x1x2>100，∴x1－x2<0，x1x2－100>0，∴eq\f(x1－x2x1x2－100,x1x2)<0，f(x1)－f(x2)<0，∴函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(100,x)在[35，＋∞)上是增函數(shù)，∴當(dāng)x≥35時，f(x)min＝f(35)．∴當(dāng)x＝35時，Y2有最小值，此時Y2的最小值小于10989.故該廠應(yīng)接受此實惠條件．求實際問題中最值的一般思路：(1)先讀懂題意，設(shè)出變量，理清思路，列出函數(shù)關(guān)系式．(2)把實際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題．(3)在定義域內(nèi)，求函數(shù)的最大值或最小值時，一般先考慮均值不等式，當(dāng)均值不等式求最值的條件不具備時，再考慮函數(shù)的單調(diào)性．(4)正確寫出答案．3．某游泳館出售冬季學(xué)生游泳卡，每張240元，運用規(guī)定：不記名，每卡每次只限1人，每天只限1次，某班有48名同學(xué)，老師準(zhǔn)備組織同學(xué)們集體去游泳，除須要購買游泳卡外，每次還要包1輛車，無論乘坐多少名乘客，包車費均為40元，若使每位同學(xué)游泳8次，每人需至少交多少錢？[解]法一：設(shè)購買x張游泳卡，活動總開支為y元，則購買游泳卡需240x元，48名同學(xué)每人游8次，共48×8次．但游泳卡只有x張，則每批只有x人參與，共分eq\f(48×8,x)批，故包車費為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(48×8,x)×40))元，∴y＝240x＋eq\f(48×8,x)×40＝240eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(64,x))).∵x>0，∴x＋eq\f(64,x)≥2eq\r(x·\f(64,x))＝16，∴y≥3840.當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(64,x)，即x＝8時，取等號．3840÷48＝80(元)．∴每人需至少交80元．法二：設(shè)分n批去游泳，活動總開支為y元，則包車費為40n元，每批去eq\f(48×8,n)人，需購買游泳卡eq\f(48×8,n)張．∵n>0，∴y＝40n＋eq\f(48×8,n)×240＝40eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(482,n)))≥40×2eq\r(482)＝40×2×48＝3840，當(dāng)且僅當(dāng)n＝eq\f(482,n)，即n＝48時，取等號.3840÷48＝80(元)．∴每人需至少交80元．1．本節(jié)課的重點和難點是一元二次不等式的實際應(yīng)用．2．解一元二次不等式應(yīng)用題的關(guān)鍵在于構(gòu)造一元二次不等式模型，選擇其中起關(guān)鍵作用的未知量為x，用x來表示其他未知量，依據(jù)題意，列出不等關(guān)系再求解．3．利用均值不等式來解決函數(shù)的最值或值域問題時，肯定要弄清從實際問題中抽象出函數(shù)模型的結(jié)構(gòu)形式及其定義域，若不具備運用均值不等式的形式，則可考慮能否先變形再應(yīng)用．另一個重要問題是運用均值不等式時肯定要留意能否取得等號，假如不能取得等號，那么可考慮用函數(shù)的單調(diào)性處理．1．推斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若b>a>0，m>0，則有eq\f(a＋m,b＋m)<eq\f(a,b)成立．()(2)依據(jù)調(diào)查，某廠生產(chǎn)的一種產(chǎn)品n月份盈利為f(n)萬元(n＝1,2，…，12)，其近似地滿意f(n)＝eeq\f(n,2)(13n－22－n2)(e＝2.718…)，為了獲得一年的最大利潤，那么該產(chǎn)品每年只要生產(chǎn)7個月即可．()(3)一艘輪船在勻速行駛過程中每小時的燃料費與它速度的平方成正比，除燃料費外其他費用為每小時96元．當(dāng)速度為10海里/小時，每小時的燃料費是6元．若勻速行駛10海里，則當(dāng)這艘輪船以40海里/小時的速度航行時，費用總和取得最小值．()[解析](1)∵eq\f(a,b)－eq\f(a＋m,b＋m)＝eq\f(ab＋m－ba＋m,bb＋m)＝eq\f(ma－b,bb＋m)，又∵b>a>0，m>0，∴b(b＋m)>0，a－b<0.∴eq\f(a,b)－eq\f(a＋m,b＋m)<0，即eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b)，故(1)錯；(2)由f(n)≥0可知－n2＋13n－22≥0，即(n－2)(n－11)≤0，解得2≤n≤11.所以為獲得一年的最大利潤，該產(chǎn)品每年只要生產(chǎn)8個月，故(2)錯；(3)設(shè)輪船在勻速行駛過程中每小時的燃料費為u，速度為v，則u＝kv2.∵當(dāng)速度為10海里/小時時，每小時的燃料費是6元．∴6＝100k，則k＝eq\f(3,50).∴u＝eq\f(3,50)v2，再設(shè)輪船勻速行駛10海里的總費用為y，則y＝eq\f(10,v)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,50)v2＋96))＝eq\f(3,5)v＋eq\f(960,v)≥2eq\r(\f(3,5)v·\f(960,v))＝48.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3v,5)＝eq\f(960,v)，即v＝40時取等號．∴這艘輪船的速度為40海里/小時時，費用總和最少．[答案](1)×(2)×(3)√2．將一根鐵絲切割成三段做一個面積為2m2A．6.5m B．6.8mC．7m D．7.2mC[設(shè)兩直角邊分別為a，b，直角三角形的框架的周長為l，則eq\f(1,2)ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋eq\r(a2＋b2)≥2eq\r(ab)＋eq\r(2ab)＝4＋2eq\r(2)≈6.828(m)．因為要求夠用且奢