平頂山市2020—2021學年第一學期高二期末調(diào)研考試理科數(shù)學一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.2.已知是公差為2的等差數(shù)列，，則（）A.10 B.7 C.6 D.13.拋物線的焦點到準線的距離為（）A. B. C. D.14.已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為30°，且焦距為4，則雙曲線的方程為（）A. B. C. D.5.在正方體中，點是線段的中點，則（）A. B.C. D.6.設直線的方向向量是，平面的法向量是，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知，，，則（）A.有最小值2 B.有最大值2 C.有最小值3 D.有最大值38.在中，角，，的對邊分別為，，，若，，，則（）A. B. C. D.9.數(shù)列滿足，，且，則的前2020項和為（）A.8080 B.4040 C.-4040 D.010.已知雙曲線的兩個焦點分別為，，雙曲線上一點在軸上的射影為，且，則（）A. B. C.10 D.2011.在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，側棱，點，分別是，的中點，點在平面上的射影是的重心，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.12.已知拋物線的焦點為，過點的直線分別交拋物線于，兩點，若，，則（）A. B.2 C. D.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知變量，滿足約束條件則的最大值為______.14.已知等比數(shù)列的前項和，則______.15.點為橢圓上一動點，過點作以橢圓短軸為直徑的圓的兩條切線，切點分別為，，若，則橢圓的離心率的取值范圍是______.16.已知平面四邊形為凸四邊形（四個內(nèi)角均小于180°），且，，，，則平面四邊形面積的最大值為______.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.設命題方程表示雙曲線；命題不等式對恒成立.（Ⅰ）若命題為真，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若命題為真，命題為假，求實數(shù)的取值范圍.18.已知等比數(shù)列的公比不為1，且，是與的等差中項.（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.19.如圖所示，在多面體中，為正三角形，平面平面，且，，，.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.20.在中，角，，所對的邊分別為，，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若在邊上，是的角平分線，，求面積的最小值.21.某廠家擬進行某產(chǎn)品的促銷活動，根據(jù)市場情況，該產(chǎn)品的月銷量（即月產(chǎn)量）萬件與月促銷費用萬元滿足（為常數(shù)），如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的月銷量是2萬件.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品每月固定投入為8萬元，每生產(chǎn)一萬件該產(chǎn)品需要再投入5萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為元，設該產(chǎn)品的月利潤為萬元.注：利潤=銷售收入－生產(chǎn)投入－促銷費用.（Ⅰ）將表示為的函數(shù)；（Ⅱ）月促銷費用為多少萬元時，該產(chǎn)品的月利潤最大?22.已知橢圓的左、右兩個焦點分別是，，焦距為2，點在橢圓上且滿足，.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）點為坐標原點，直線與橢圓交于，兩點，且，證明為定值，并求出該定值.2020—2021學年第一學期高二期末調(diào)研考試理科數(shù)學·答案一、選擇題：1.答案D命題意圖本題考查集合的運算以及不等式的解法.解析由，得，所以2.答案D命題意圖本題考查等差數(shù)列的基本概念.解析公差，.3.答案B命題意圖本題考查拋物線的基本性質(zhì).解析拋物線的標準方程為，其焦點為，準線方程為，所以焦點到準線的距離為.4.答案C命題意圖本題考查雙曲線的標準方程和性質(zhì).解析一條漸近線的傾斜角為30°，所以，又因為，所以可得，得，，所以雙曲線的方程為.5.答案B命題意圖本題考查空間向量的線性運算.解析6.答案A命題意圖本題考查空間位置關系以及充分條件和必要條件的判斷.解析由，得，則“”是“”的充分條件，而不一定有，也可能，則“”不是“”的必要條件.7.答案C命題意圖本題考查基本不等式的應用.解析因為，所以，所以（當且僅當時等號成立）.8.答案D命題意圖本題考查余弦定理的應用.解析因為，由余弦定理可得，將，代入整理得，所以.9.答案B命題意圖本題考查遞推數(shù)列的有關問題.解析由遞推關系式可得，，所以，同理可得，所以.10.答案B命題意圖本題考查雙曲線的性質(zhì).解析由題意可得，，，軸，且因為，所以為直角三角形，，所以，又因為，所以，所以，所以.11.答案A命題意圖本題考查利用空間向量處理立體幾何問題.解析如圖所示，以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，設，則，，，，可得，，，，因為點在平面上的射影是的重心，所以平面，所以，即，解得，即，則點到平面的距離為d.12.答案C命題意圖本題考查拋物線與直線的位置關系.解析由題意可知直線的斜率一定存在，設為，聯(lián)立消去可得，設，，所以.又根據(jù)拋物線的定，，所以，解得.二、填空題：13.答案0命題意圖本題考查簡單的線性規(guī)劃問題.解析如圖所示，約束條件表示的可行域為內(nèi)部和邊界，當，時，有最大值0.14.答案3命題意圖本題考查等比數(shù)列的性質(zhì).解析因為是等比數(shù)列的前項和，所以，所以，所以，所以.15.答案命題意圖本題考查橢圓的性質(zhì).解析設橢圓的中心為，因為，所以，所以，所以，橢圓上的點到原點距離最遠的是長軸端點，所以，即，所以離心率，所以.16.答案命題意圖本題考查余弦定理.解析在中，，在中，，由上兩式得①.又平面四邊形的面積②.①②平方相加得，化簡即，當時，取得最大值40，即平面四邊形面積的最大值為.三、解答題：17.命題意圖本題考查簡單的邏輯聯(lián)結詞和命題真假的判斷.解析（Ⅰ）當命題為真時，由題意，解得.當命題為真時，由題意可得，由此可得.若命題為真命題，則或，即.（Ⅱ）命題為真，命題為假，則，一真一假.真假時，，假真時，，綜上，.18.命題意圖本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及數(shù)列求和.解析（Ⅰ）設數(shù)列的公比為，由條件知，即，整理可得，解得（舍去），所以.（Ⅱ），所以.19.命題意圖本題考查空間位置關系的證明，以及空間向量的應用.解析（Ⅰ）如圖，過作于，過作于，連接.可得，又因為，在中，因為，，所以，，所以，，在中，，.所以，因為為正三角形，所以，因為，所以平面，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，兩兩互相垂直，以為坐標原點，，，所在直線為，，軸建立空間坐標系，如圖所示.則，，，，所以，，，設平面的法向量為，所以取，可得，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.20.命題意圖本題考查解三角形的綜合問題.解析（Ⅰ）由正弦定理及條件得，因為，，所以，又，，所以，從而.（Ⅱ）因為的面積等于和的面積之和，得，又因為，，所以，所以，得（當且僅當時等號成立）所以的面積.所以面積的最小值為.21.命題意圖本題考查函數(shù)模型以及利用基本不等式求最值.解析（Ⅰ）由題意知當時，，則，解得，.利潤，又因為，所以，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因為時，，因為，當且僅當時等號成立.所以，故月促銷費用為2萬元時，該產(chǎn)品的月利潤最大，最大為5.6萬元.22.命題意圖本題考