潮州市2024—2025學年度第一學期期末高二級教學質(zhì)量檢測卷數(shù)學本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考號填寫在答題卡上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑：如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案：不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答素，然后再寫上新的答案，不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束，將答題卡交回.一?選擇題（本題共11道小題，其中1至8小題為單項選擇題，9至11小題為多項選擇題）（一）單項選擇題（本題共8道小題，每小題只有一個選項正確，每小題5分，共40分）1.已知點和點，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用兩點的斜率公式以及傾斜角與斜率的關系即可求得結(jié)果.【詳解】因為，且，所以的傾斜角故選：B2.等差數(shù)列的前項和為，若，則正整數(shù)的值為（）.A.16 B.15 C.14 D.13【答案】D【解析】【分析】由等差數(shù)列求和公式結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)即可求解；【詳解】因為，所以，所以,所以，所以，故選：D3.若橢圓的離心率為，則（）A. B.4 C. D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用離心率的意義求出值.【詳解】依題意，，所以.故選：D4.是直線的方向向量，是平面的法向量，若，則（）A. B. C. D.15【答案】A【解析】【分析】由，得到，求解即可；【詳解】由，得，即，解得.故選：A5.已知點和點，則以為直徑的圓的標準方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由中點坐標公式求得圓，兩點間距離公式求得半徑，即可求解【詳解】由線段的中點坐標公式，求得圓心.直徑.故以為直徑的圓的標準方程為.故選：C6.正方體的棱長為為的中點，則點到直線的距離為（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標系，根據(jù)向量法即可求解.【詳解】建立空間直角坐標系，如圖，則，，，所以，，所以在方向上的投影向量的模為，所以點到直線的距離.故選：B.7.已知雙曲線的一條漸近線為，過雙曲線的右焦點作軸的垂線，交雙曲線于兩點，則弦的長度為（）A. B. C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線漸近線方程求出可得雙曲線C的右焦點為，則可求出的坐標，從而可得答案.【詳解】由漸近線方程化簡得，即，同時平方得，又雙曲線中，故，解得或（舍去），所以雙曲線，所以雙曲線C的右焦點為，右焦點作軸的垂線，交雙曲線于兩點，則，故弦的長度為.故選：A.8.記數(shù)列的前項和為，若數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則的值為（）A.18 B.12 C.6 D.3【答案】B【解析】【分析】由等差數(shù)列通項公式求得，再由與的關系即可求解；【詳解】∵，∴，又∵是公差為的等差數(shù)列，∴，∴，∴當時，，∴，整理得：，即，∵，∴……2，∴故選：B（二）多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分，每小題有多個選項正確，每小題全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）9.已知點和圓，下列說法正確的是（）A.圓心，半徑為B.點在圓外C.過點且與圓相切的直線有且只有一條D.設點是圓上住意一點，則的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，結(jié)合圓的標準方程即可判斷，對于B和C選項，求出并和半徑比較即可求解，對于D選項，根據(jù)的最小值為即可求解.【詳解】圓Q：的圓心，半徑為，選項A正確；因為，所以點P在圓Q外，所以過點P且與圓Q相切的直線有2條，選項B正確，選項C錯誤；設點M圓Q上任意一點，由題意可知的最小值為，選項D正確.故選：ABD.10.如圖，在三棱柱中，，分別是上的點，若，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】設，，，先求出，，根據(jù)空間向量的運算以及數(shù)量積的運算法則判斷AB；根據(jù)空間向量的加減運算判斷C；將兩邊平方化簡后可判斷D.【詳解】設，，，因為，，，所以，.對于A?B選項，因為，，所以，所以與不垂直，即B錯誤；因為，所以，，，所以，故A正確；對于C選項，因為，，所以，，所以，故C錯誤；對于D選項，，所以，故D正確.故選：AD.11.設為坐標原點，拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點，則（）A. B.以為直徑的圓與軸相切C. D.三角形的面積為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)拋物線焦點坐標求出可判斷A；求出圓心坐標與圓的半徑可判斷B；利用焦半徑公式可判斷C；求出點到直線的距離，結(jié)合三角形面積公式判斷D.【詳解】A選項：因為拋物線的焦點為，所以，所以A選項正確；則拋物線的方程為.設.B選項：因為，因為，所以MF的中點為，所以點A到y(tǒng)軸的距離為，因為直徑，所以半徑，所以所以，以MF為直徑的圓與y軸相切，B選項正確.C選項：由消去，并化簡得，所以，因為直線過拋物線的焦點，所以，C選項正確.D選項：直線，即，點到直線的距離為，所以三角形的面積為，D選項錯誤.故選：ABC.二?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.等比數(shù)列的公比為3，記其前項和為，則__________.【答案】82【解析】【分析】利用等比數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】因為等比數(shù)列的首項，所以.故答案為：82.13.直線被圓截得的弦的長為，則實數(shù)的值為__________.【答案】4或-6【解析】【分析】由直線與圓相交，弦長公式求解即可；【詳解】將圓的方程化為，所以圓心，半徑為，所以弦心距，因為弦長為，所以，即，解得或.故答案為：4或-6.14.橢圓的左、右焦點分別為為橢圓上任一點，且最小值為，則橢圓的離心率是__________.【答案】##【解析】【分析】利用基本不等式及橢圓的定義，進行代換，得到答案.【詳解】由基本不等式及橢圓的定義可知，所以當且僅當由題意知，解得所以，所以,故答案為：三?解答題：本題共5小題，第15題13分，第16?17題每題15分，第18?19題每題17分，共77分；解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟15.已知等差數(shù)列的公差，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和為，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列性質(zhì)，，化簡得到原等差數(shù)列公差與，得到答案.（2）列出數(shù)列的前n項和為，進行代換得到題干要求式子，進行求和，化簡得到答案.【小問1詳解】∵等差數(shù)列中，成等比數(shù)列，∴，∴化簡得，∵，解得，所以數(shù)列的通項公式為:.【小問2詳解】數(shù)列的前n項和為，所以，所以,所以答案為：.16.四邊形的四個頂點坐標分別為.（1）求邊的垂直平分線的方程；（2）若四邊形為平行四邊形，求頂點的坐標及四邊形的面積.【答案】（1）（2），13【解析】【分析】（1）由坐標求出BC的中點為，又由BC的斜率即可求出與BC垂直的直線的斜率，最后由直線的點斜式即可求解；（2）由四邊形為平行四邊形可得，聯(lián)立方程組即可求得頂點的坐標，由點到直線的距離公式即可求得點到直線BC的距離，根據(jù)面積公式即可求解.【小問1詳解】因為，所以邊BC的中點為，又因為邊BC的斜率為，所以邊BC的垂直平分線的斜率為，所以邊BC的垂直平分線的方程為，化簡得；【小問2詳解】因為四邊形為平行四邊形，頂點，所以，且，聯(lián)立，解得，所以頂點.因為邊BC的斜率為，所以直線BC的方程為，化簡得，所以點到直線BC的距離為，又，所以平行四邊形的面積為17.如圖，在四棱錐中，底面，且，，點在上，且.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）利用線面垂直判定定理先得平面,進而得到結(jié)論.(2)因為底面，,所以以A為坐標原點建立空間直角坐標系，利用線面所成角的向量求法即可解得結(jié)果.【小問1詳解】證明：，，所以，因為底面，所以，因為平面，且，所以平面，因為平面，所以平面平面，【小問2詳解】解：因為底面，，所以，分別以所在直線為軸，軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，由，可得：，，，，所以，，因為點E在CD上，且，所以，所以，設為平面的一個法向量，則，，即，，，令，則，，，設直線BE與平面所成的角為，，直線BE與平面所成角正弦值為.18.已知數(shù)列的首項，且滿足.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）若，求滿足條件的最大整數(shù).【答案】（1）證明見解析（2）（3）12【解析】【分析】(1)將等式兩邊同時取倒數(shù)，進行化簡即可得證；(2)利用(1)中的結(jié)論即可求出數(shù)列的通項公式；(3)根據(jù)數(shù)列的通項公式，寫出新的數(shù)列的通項公式，利用裂項相消法化簡，再寫出前項和，解關于的不等式即可求解.【小問1詳解】證明：因為數(shù)列滿足，所以，即，又由，所以，所以數(shù)列表示首項為，公差為的等差數(shù)列；【小問2詳解】由(1)可知數(shù)列表示首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，所以數(shù)列的通項公式為；【小問3詳解】因為，所以，所以，設數(shù)列的前項和為，所以，若，即，解得，因為n是整數(shù)，所以滿足的最大整數(shù)的值為12.19.橢圓的一個焦點為，且橢圓經(jīng)過點.（1）求橢圓的方程；（2）設橢圓的右頂點為，點是橢圓上異于點的不同兩點.（i）若點不共線，求三角形的面積的最大值；（ii）若直線與的斜率分別記為，且，判斷直線是否過定點，若是，求出定點坐標，若不是，說明理由.【答案】（1）（2）（i）；（ii）直線過定點.【解析】【分析】（1）利用橢圓的定義：到兩個焦點的距離之和為定長，列出等式，即可求得結(jié)果.（2）（i）寫出三角形的面積表達式，進而求出面積最大值.（ii）分情況討論直線斜率不存在時，斜率存在時設直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得到韋達定理，，并表示,得到的關系式，即可判斷是否過定點.【小問1詳解】橢圓：（）的一個焦點為，則另一個焦點坐標，且橢圓經(jīng)過點.所以，所以，所以，故橢圓的方程為.【小問2詳解】橢圓右頂點，設，.（i）三角形的面積為，因為，所以三角形的面積的最大值為.（ii）當直線