第七章立體幾何與空間向量補上一課與球有關的切、接問題研究與球有關的切、接問題，既要運用多面體、旋轉體的知識，又要運用球的幾何性質，要特別注意多面體、旋轉體的有關幾何元素與球的半徑之間的關系，解決此類問題的關鍵是確定球心.題型一定義法D則BC2＋AB2＝AC2，所以BC⊥AB，由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC，又PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，所以△PBC為直角三角形，又△PAC為直角三角形，所以PC是三棱錐P－ABC外接球直徑，設O是PC的中點，即為球心，又AC＝4，PA＝2，A解析由題意，得正三棱臺上、下底面的外接圓的半徑分別為設球O的半徑為R，該棱臺上、下底面的外接圓的圓心分別為O1，O2，連接O1O2，則O1O2＝1，其外接球的球心O在直線O1O2上.所以R2＝25，所以該球的表面積為S＝4πR2＝100π，綜上，該球的表面積為100π.感悟提升到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據到其他頂點距離也是半徑，列關系式求解即可.C解析由題意作圖如圖，過球O作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點M.∵AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，∴BC＝5，題型二補形法A解析設PA＝PB＝PC＝2x，E，F分別為PA，AB的中點，過點P作PD⊥AC于點D.∵PA＝PC，∴D為AC的中點，又AB＝BC＝AC＝2，∴PA，PB，PC兩兩垂直，即三棱錐P－ABC是以PA，PB，PC為棱的正方體的一部分，感悟提升解析在三棱錐A－BCD中，側棱AB，AC，AD兩兩垂直，將其補成長方體，兩者的外接球是同一個，長方體的體對角線就是球的直徑.設長方體同一頂點處的三條棱長分別為a，b，c，34π解析根據題意，三棱錐P－ABC可以嵌入一個長方體內，且三棱錐的每條棱均是長方體的面對角線，設長方體交于一個頂點的三條棱長分別為a，b，c，如圖所示，則a2＋b2＝PA2＝18，a2＋c2＝PB2＝25，b2＋c2＝PC2＝25，解得a＝3，b＝3，c＝4.所以該三棱錐的外接球的半徑題型三截面法例3

(1)四棱錐P－ABCD的頂點都在球O的表面上，△PAD是等邊三角形，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，若AB＝2，BC＝3，則球O的表面積為(

) A.12π B.16π C.20π D.32πB解析如圖，連接AC，BD，AC∩BD＝G，取AD的中點E，連接PE.∵四邊形ABCD為矩形，∴G為四邊形ABCD的外接圓圓心；∵△PAD為等邊三角形，∴M為△PAD外接圓圓心，過G，M分別作平面ABCD和平面PAD的垂線，則兩垂線的交點即為球O的球心O，連接OP，∵△PAD為等邊三角形，∴PE⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE?平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，∴PE∥OG；同理可得，OM∥EG，∴四邊形OMEG為矩形；∴球O的表面積S＝4πR2＝16π.(2)如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一塊石材，測量可得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若將該石材切削、打磨，加工成幾個大小相同的健身手球，則一個加工所得的健身手球的最大體積及此時加工成的健身手球的個數分別為(

)D解析依題意知，當健身手球與直三棱錐的三個側面均相切時，健身手球的體積最大.則健身手球的最大直徑為4.因為AA1＝13，所以最多可加工3個健身手球.感悟提升D設半球的球心為O，小球O1與半球底面切于點A，如圖，經過點O，O1，A作半球的截面，則半圓⊙O的半徑為OC，OC⊥OA，作O1B⊥OC于點B.則OA＝O1B＝2.設該半球的半徑是R，在Rt△OAO1中，B解析如圖所示，設兩個圓錐的底面圓圓心為點D，圓錐AD和圓錐BD的高之比為3∶1,即AD＝3BD，設球的半徑為R，所以AB＝AD＋BD＝4BD＝4，所以BD＝1，AD＝3.因為CD⊥AB，則∠CAD＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD＝90°，所以∠CAD＝∠BCD，又因為∠ADC＝∠BDC，所以△ACD∽△CBD，課時分層精練KESHIFENCENGJINGLIANC解析設正方體的外接球的半徑為R，內切球的半徑為r，棱長為1，則正方體的外接球的直徑為正方體的體對角線長，2.若圓錐的內切球與外接球的球心重合，且內切球的半徑為1，則圓錐的體積為(

) A.π

B.2π C.3π D.4πC解析過圓錐的旋轉軸作軸截面，得△ABC及其內切圓⊙O1和外接圓⊙O2，且兩圓同圓心，即△ABC的內心與外心重合，易得△ABC為正三角形，由題意得⊙O1的半徑為r＝1，CAA6.(2024·福建聯合測評)已知在正三棱錐P－ABC中，O為△ABC的中心，AB＝6，∠APB＝2∠PAO，則該正三棱錐的外接球的表面積為(

) A.49π B.36π C.32π D.28πA解析設正三棱錐P－ABC的側棱長為x.因為∠APB＝2∠PAO，所以cos∠APB＝cos2∠PAO，設外接球球心為M，半徑為R，則MP＝MA＝R，MO＝|3－R|.因為MA2＝MO2＋OA2，AC解析由題意可知，BC＝AB＝8，且CD為球的直徑，所以BD⊥BC，AC⊥AD.9.在三棱錐A－BCD中，若AD⊥平面BCD，AB⊥BC，AD＝BD＝2，CD＝4，點A，B，C，D在同一個球面上，則該球的表面積為________.20π解析根據題意得，BC⊥平面ABD，則BC⊥BD，即AD，BC，BD三條線兩兩垂直，所以可將三棱錐A－BCD放置于長方體內，如圖所示，該三棱錐的外接球即為長方體的外接球，球心為長方體體對角線的中點，即外接球的半徑為長方體體對角線長的一半，此時AC為長方體的體對角線，即為外接球的直徑，所以該球的表面積S＝4πR2＝π·AC2＝π·(22＋42)＝20π.10.如圖所示是古希臘數學家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為豪的發(fā)現.我們來重溫這

個偉大發(fā)現，圓柱的體積與球的體積之比為________，圓柱的表

面積與球的表面積之比為________.解析由題意，知圓柱底面半徑為r，球的半徑為R，11.(2024·寶雞質檢)如圖，在正四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，O，O1分別是正方形ABCD，A1B1C1D1的中心.若以O1為球心，O1A1為半徑的球與平面ABCD相切，且O是該四棱臺的外接球的球心，則該四棱臺的體積與其外接球的體

積之比為________.解析連接OA1(圖略)，設A1B1＝a，AB＝b，OO1＝h，因為以O1為球心，O1A1為半徑的球與平面ABCD相切，因為O是該四棱臺外接球的球心，解析如圖所示，在△ABC中，由余弦定理得所以AB2＋BC2＝16＝AC2，即△ABC為直角三角形.故△ABC外接圓的圓心為斜邊AC的中點.取AC的中點為O1，連接PO1，則PO1⊥AC.由平面PAC⊥平面ABC，得PO1⊥平面ABC.該三棱錐外接球的球心在線段PO1上.C解析該四棱錐的體積最大，即以底面外接圓和頂點O組成的圓錐體積最大，設圓錐的高為h(0<h<1)，底面半徑為r，32π解析∵BD⊥平面ABC，故可將三棱錐補為直三棱柱，如圖所示，故三棱柱的上、下底面三角形的外接圓圓心在底邊中線的延長線上，設為O1，O2，易得∠O1BC＝60°，故O1B＝O1C＝BC＝2，∴三棱柱外接球球心為上、下底面外心所連線段的中點O，即為三棱錐D－ABC外接球球心，15.如圖，已知平行四邊形ABCD中，AC＝AB＝m，∠BAD＝120°，將△ABC沿對角線AC翻折至△AB1C所在的位置，若二面角B1－AC－D的大小為120°，

則過A，B1，C，D四點的外接球的表面積為________.解析由已知得△B1AC與△DAC均為邊長是m的正三角形，取AC中點G，連接DG，B1G，如圖，則有DG⊥AC，B1G⊥AC，于是得∠B1GD是二面角B1－AC－D的平面角，則∠B1GD＝120°，顯然有AC⊥平面B1GD，即有平面B1GD⊥平面B1AC，平面B1GD⊥平面DAC，令正△B1AC與正△DAC的中心分別為E，F，過E，F分別作平面B1AC，平面DAC的垂線，則兩垂線都在平面B1GD內，它們交于點O，從而得點O是過A，B1，C，D四點的外接球球心，連接OA，則OA為該外接球半徑，解析如圖，取AB的中點為D，連接PD，CD，因為PA＝PB＝a，所以PD⊥AB.因為平面PAB⊥平面ABC，平面