第1頁（共1頁）2025年上海市嘉定區(qū)中考數學一模試卷一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應位置上】1．（4分）下列y關于x的函數中，一定是二次函數的是（）A．y＝ax2+bx+c B．y＝（x﹣5）2﹣x2 C．y＝x2+1 D．2．（4分）拋物線y＝x2+x一定經過點（）A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（2，4） D．（﹣2，﹣4）3．（4分）下列兩個三角形一定相似的是（）A．兩個直角三角形 B．有一個內角為40°的兩個直角三角形 C．兩個等腰三角形 D．有一個內角是40°的兩個等腰三角形4．（4分）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，如果對角線AC⊥AB，那么（）A．sinB B．cosB C．tanB D．cotB5．（4分）下列命題正確的是（）A．如果，那么 B．如果和都是單位向量，那么 C． D．如果，那么6．（4分）如圖，兩條不平行的直線l1與直線l2相交于點O，四條平行線分別交直線l1于點A、B、C、D，分別交直線l2于點A1、B1、C1、D1，則有AA1∥BB1∥CC1∥DD1，如果A1O＝3，OB1＝B1C1＝2，C1D1＝4，那么在下列結果中，線段之差最大的是（）A．BD﹣AB B．OC﹣OA C．OC﹣CD D．CD﹣OB二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請將結果直接填入答題紙的相應位置】7．（4分）已知，那么＝．8．（4分）如果拋物線y＝（2﹣a）x2+x﹣1的開口向下，那么a的取值范圍是．9．（4分）將拋物線y＝﹣（x﹣1）2向右平移3個單位，得到新拋物線的頂點坐標是．10．（4分）已知點A（x1，y1）、B（x2，y2）在函數y＝﹣x2+2x+1的圖象上，如果x1＞x2＞1，那么y1y2．（填“＞”、“＝“、“＜”）11．（4分）已知某二次函數一部分自變量x和函數值y的對應情況如表所示，根據表中信息可知這個函數圖象的對稱軸是直線．x…﹣4﹣2124…y…11﹣511143…12．（4分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，如果S△AOD：S△AOB＝2：3，那么S△AOD：S△BOC＝．13．（4分）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，EC＝2AE，聯(lián)結DE，，那么＝．（用含向量、的式子表示）14．（4分）在等腰△ABC中，AB＝AC，如果AB：BC＝3：2．15．（4分）手影戲是一種獨特的藝術形式，它通過手勢和光影創(chuàng)造出生動的形象．它的原理是利用光的直線傳播，將手影投射到幕布上形成各種影像．如圖，手AB的長度是15厘米，AB∥CD，手AB到幕布的距離GH是20厘米．此時CD的長度是厘米．16．（4分）如圖，某商場開業(yè)，要為一段樓梯鋪上紅地毯，坡面AC的坡度i＝1：，則至少需要紅地毯m．17．（4分）平行于梯形兩底的直線截梯形的兩腰，當兩交點分別是兩腰的黃金分割點時，我們稱這條線段是梯形的“黃金分割線”．如圖，AD∥BC，AD＝6，點E、F分別在邊AB、CD上（AE＞BE），如果EF是梯形ABCD的“黃金分割線”．18．（4分）如圖，將一塊含30°角的實心的直角三角板放置在桌面上，在桌面所在平面內繞著它的重心G逆時針旋轉180°．如果這塊三角板的斜邊長12厘米平方厘米．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計算：．20．（10分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線的頂點為D．（1）為了確定這條拋物線，需要再添加一個條件，請從以下兩個條件中選擇一個：①它與y軸交點的坐標是（0，﹣1）；②頂點D的坐標為．你選擇的條件是（填寫編號），并求b、c的值．（2）由（1）確定的拋物線與x軸正半軸交于點A，求tan∠DAO的值．21．（10分）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，CD＝15，且∠BAD＝∠C．（1）求線段AB的長；（2）當∠ADE＝∠C，∠B＝60°時，求△EDC的面積．22．（12分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，點E是邊AB的中點，聯(lián)結CE，垂足為點F，聯(lián)結BF．（1）求證：△EFB∽△EBC；（2）取BC邊的中點D，聯(lián)結DF，求證：．23．（10分）火車作為我國重要的交通運輸形式之一，其軌道的平順性和穩(wěn)定性直接影響列車的運行安全．我國目前軌道檢測的主要方法是機械檢測，通過使用機械傳感器和無損檢測設備（包括激光三角位移傳感器、超聲波傳感器等）（幾何尺寸、軌距、高差和曲率），從而判斷軌道是否有損傷或缺陷．某?？苿?chuàng)活動小組率先就“激光三角位移計”這一設備開展了學習與探究：閱讀概述激光三角位移計是由半導體激光向目標物照射激光，聚集目標物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦離目標物的距離發(fā)生改變，成像的位置也隨之改變．可以通過成像的位移來計算物體實際的移動距離．發(fā)現原理被測量物體從初始位置移動到最終位置，需要測量的是參考平面與目標測量平面的距離，也就是圖中點M與點N之間的距離．假設激光通過接收透鏡后仍按照原直線方向傳播建立模型如圖，直線M′N′∥直線l1∥直線l2，直線MN垂直于l1和l2，垂足分別為M和N，線段MM′與線段NN′交于點O，∠M′MP＝α．探究（1）設MN＝m，請用含m和α的式子表示點N到直線MM的距離．探究（2）已知M′N′＝5，OM′＝23，OM＝132（結果精確到個位，sinα≈0.8，cosα≈0.6，cotα≈0.75）24．（12分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx﹣1經過點（2，3）和點（﹣4，3）．（1）求該拋物線的表達式；（2）如圖，該拋物線上有三個點A、B、C，AB∥x軸，∠BAC＝30°，AB與拋物線的對稱軸交于點M．（點A在對稱軸的左側）①如果點C到拋物線對稱軸的距離為t，請用含t的代數式表示點B的橫坐標；②求點C的橫坐標．25．（14分）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，垂足為點D，點D在AB邊上（不與點A重合），且滿足CD＝CE，設k＝tanB．（1）求證：∠CDE＝∠BCD+45°；（2）如圖2，過點D作DH⊥BC，垂足為點H（CH﹣DH）；（3）設點F是CD的中點，聯(lián)結EF并延長交邊BC于點G，當△CFG與△BCD相似時

2025年上海市嘉定區(qū)中考數學一模試卷參考答案與試題解析題號123456答案CBBADD一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應位置上】1．（4分）下列y關于x的函數中，一定是二次函數的是（）A．y＝ax2+bx+c B．y＝（x﹣5）2﹣x2 C．y＝x2+1 D．【解答】解：y＝ax2+bx+c中當a＝0時，它不是二次函數；y＝（x﹣8）2﹣x2＝﹣10x+25，則B不符合題意；y＝x6+1符合二次函數的定義，則C符合題意；y＝不符合二次函數的定義；故選：C．2．（4分）拋物線y＝x2+x一定經過點（）A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（2，4） D．（﹣2，﹣4）【解答】解：A、當x＝1時，故點（12+x上，不符合題意；B、當x＝﹣1時，故點（﹣13+x上，符合題意；C、當x＝2時，故點（23+x上，不符合題意；D、當x＝﹣2時，故點（﹣22+x上，不符合題意；故選：B．3．（4分）下列兩個三角形一定相似的是（）A．兩個直角三角形 B．有一個內角為40°的兩個直角三角形 C．兩個等腰三角形 D．有一個內角是40°的兩個等腰三角形【解答】解：A、兩個直角三角形不一定相似；B、有一個內角為40°的兩個直角三角形相似；C、兩個等腰三角形不一定相似；D、有一個內角是40°的兩個等腰三角形不一定相似；故選：B．4．（4分）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，如果對角線AC⊥AB，那么（）A．sinB B．cosB C．tanB D．cotB【解答】解：∵直角梯形ABCD，∴∠D＝90°，∵AC⊥AB，∴∠BAC＝90°，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∴△ADC∽△BAC，∴，故選：A．5．（4分）下列命題正確的是（）A．如果，那么 B．如果和都是單位向量，那么 C． D．如果，那么【解答】解：A、兩向量的模相等，故A不符合題意；B、兩單位向量的方向可能不同；C、+（﹣，故C不符合題意；D、命題正確．故選：D．6．（4分）如圖，兩條不平行的直線l1與直線l2相交于點O，四條平行線分別交直線l1于點A、B、C、D，分別交直線l2于點A1、B1、C1、D1，則有AA1∥BB1∥CC1∥DD1，如果A1O＝3，OB1＝B1C1＝2，C1D1＝4，那么在下列結果中，線段之差最大的是（）A．BD﹣AB B．OC﹣OA C．OC﹣CD D．CD﹣OB【解答】解：由題知，∵AA1∥BB1，A5O＝3，OB1＝6，∴，則令OA＝3k，OB＝4k．同理可得，BC＝2k，∴BD﹣AB＝k，OC﹣OA＝k，CD﹣OB＝2k，顯然2k為差值最大的一個．故選：D．二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請將結果直接填入答題紙的相應位置】7．（4分）已知，那么＝﹣．【解答】解：∵＝，∴＝＝﹣．故答案為：﹣．8．（4分）如果拋物線y＝（2﹣a）x2+x﹣1的開口向下，那么a的取值范圍是a＞2．【解答】解：∵拋物線y＝（2﹣a）x2+x﹣3開口向下，∴2﹣a＜0，解得a＞4，故答案為：a＞2．9．（4分）將拋物線y＝﹣（x﹣1）2向右平移3個單位，得到新拋物線的頂點坐標是（4，0）．【解答】解：將拋物線y＝﹣（x﹣1）2向右平移3個單位得到y(tǒng)＝﹣（x﹣1﹣3）8＝﹣（x﹣4）2，頂點坐標（5，0）．故答案為：（4，7）．10．（4分）已知點A（x1，y1）、B（x2，y2）在函數y＝﹣x2+2x+1的圖象上，如果x1＞x2＞1，那么y1＜y2．（填“＞”、“＝“、“＜”）【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+2，∴拋物線的開口向下，對稱軸為直線x＝1，∴當x＞1時，y隨x的增大而減小，∵x4＞x2＞1，∴y6＜y2；故答案為：＜．11．（4分）已知某二次函數一部分自變量x和函數值y的對應情況如表所示，根據表中信息可知這個函數圖象的對稱軸是直線x＝﹣1．x…﹣4﹣2124…y…11﹣511143…【解答】解：當x＝﹣4和x＝2時，函數值相等，∴拋物線的對稱軸為直線x＝＝﹣8．故答案為：x＝﹣1．12．（4分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，如果S△AOD：S△AOB＝2：3，那么S△AOD：S△BOC＝4：9．【解答】解：設點A到BD的距離為h，∵S△AOD：S△AOB＝2：3，∴＝，∴＝，∵AD∥BC，∴△AOD∽△BOC，∴＝＝＝，即S△AOD：S△BOC＝4：7，故答案為：4：9．13．（4分）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，EC＝2AE，聯(lián)結DE，，那么＝﹣．（用含向量、的式子表示）【解答】解：∵BD＝2AD，EC＝2AE，∴＝＝，∴DE∥BC，∴＝＝，∴＝+＝﹣+，∴＝﹣．故答案為：﹣．14．（4分）在等腰△ABC中，AB＝AC，如果AB：BC＝3：2．【解答】解：如圖，過點A作AH⊥BC于點H．∵AB：BC＝3：2，∴可以假設AB＝AC＝6k，BC＝2k，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝k，∴AH＝＝＝2k，∵CK⊥AB，∴?BC?AH＝，∴CK＝＝k，∴sin∠BAC＝＝＝．故答案為：．15．（4分）手影戲是一種獨特的藝術形式，它通過手勢和光影創(chuàng)造出生動的形象．它的原理是利用光的直線傳播，將手影投射到幕布上形成各種影像．如圖，手AB的長度是15厘米，AB∥CD，手AB到幕布的距離GH是20厘米．此時CD的長度是18厘米．【解答】解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴，∴＝，∴CD＝18，答：CD的長度是18厘米，故答案為：18．16．（4分）如圖，某商場開業(yè)，要為一段樓梯鋪上紅地毯，坡面AC的坡度i＝1：，則至少需要紅地毯14m．【解答】解：∵AB＝6m，坡面AC的坡度i＝1：，∴BC＝6×＝8m，故可得地毯的長度＝AB+BC＝6+8＝14m．故答案為：14．17．（4分）平行于梯形兩底的直線截梯形的兩腰，當兩交點分別是兩腰的黃金分割點時，我們稱這條線段是梯形的“黃金分割線”．如圖，AD∥BC，AD＝6，點E、F分別在邊AB、CD上（AE＞BE），如果EF是梯形ABCD的“黃金分割線”．【解答】解：如圖所示，連接AF并延長，由題知，∵點F是線段CD的黃金分割點，且DF＞CF，∴．∵AD∥BC，∴△CFH∽△DFA，∴．又∵AD＝6，∴CH＝．又∵BC＝10，∴BH＝BC+CH＝．∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABH，∴．∵點E是線段AB的黃金分割點，且AE＞BE，∴，∴EF＝＝．故答案為：．18．（4分）如圖，將一塊含30°角的實心的直角三角板放置在桌面上，在桌面所在平面內繞著它的重心G逆時針旋轉180°．如果這塊三角板的斜邊長12厘米平方厘米．【解答】解：如圖，∠BAC＝90°，BC＝12cm，∴，∴，∵G為重心，∴AG：GN＝2：5，∵△ABC繞點G旋轉180度，∴AB∥A′B′，BC∥B′C′，AG＝A′G，∴AM：MG：GM＝1：1：6，∴AM：AN＝1：3，∵BC∥B′C′，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，同理：，∴重疊部分的面積為：，故答案為：．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計算：．【解答】解：原式＝（）5﹣＝﹣＝﹣．20．（10分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線的頂點為D．（1）為了確定這條拋物線，需要再添加一個條件，請從以下兩個條件中選擇一個：①它與y軸交點的坐標是（0，﹣1）；②頂點D的坐標為．你選擇的條件是②（填寫編號），并求b、c的值．（2）由（1）確定的拋物線與x軸正半軸交于點A，求tan∠DAO的值．【解答】解：（1）選擇的條件是②．∵頂點D的坐標為，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，∴＝1，解得b＝，∴y＝+c．將代入y＝，得，解得c＝8．故答案為：②．（2）由（1）得，拋物線的解析式為y＝．如圖，設拋物線的對稱軸與x軸交于點B，則B（3，0）．∵頂點D的坐標為，∴BD＝．令+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝3，∴A（7，0），∴AB＝2，∴tan∠DAO＝＝．21．（10分）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，CD＝15，且∠BAD＝∠C．（1）求線段AB的長；（2）當∠ADE＝∠C，∠B＝60°時，求△EDC的面積．【解答】解：（1）∵BD＝12，CD＝15，∴CB＝BD+CD＝12+15＝27，∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，∴△DBA∽△ABC，∴＝，∴AB＝＝＝18，∴線段AB的長為18．（2）作EF⊥CD于點F，則∠DFE＝90°，∵∠BAD＝∠C，∠ADE＝∠C，∴∠ADE＝∠BAD，∴ED∥AB，∴△EDC∽△ABC，∠EDF＝∠B＝60°，∴＝＝＝，∠DEF＝90°﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°，∴ED＝AB＝，∵DF＝ED＝3，∴EF＝＝＝5，∴S△EDC＝CD?EF＝＝，∴△EDC的面積是．22．（12分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，點E是邊AB的中點，聯(lián)結CE，垂足為點F，聯(lián)結BF．（1）求證：△EFB∽△EBC；（2）取BC邊的中點D，聯(lián)結DF，求證：．【解答】證明：（1）∵∠BAC＝90°，點E是邊AB的中點，∴∠EFA＝∠EAC＝90°，EA＝EB，∴∠FEA＝∠AEC，∴△FEA∽△AEC，∴＝，∴＝，∵∠FEB＝∠BEC，∴△EFB∽△EBC．（2）取BC邊的中點D，聯(lián)結DF，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠EBC＝∠ACB＝45°，∵△EFB∽△EBC，∴∠EFB＝∠EBC＝45°，∠EBF＝∠DCF，聯(lián)結AD交CF于點H，聯(lián)結ED，∵點E是AB的中點，點D是BC的中點，∴BE＝ABAC，AD⊥BC∠BAC＝45°，∴BE＝DE，∠BED＝∠BAC＝90°，∴CD＝BD＝＝BE，∵∠CDH＝∠AFH＝90°，∠CHD＝∠AHF，∴△CHD∽△AHF，∴＝，∴＝，∵∠FHD＝∠AHC，∴△FHD∽△AHC，∴∠DFC＝∠DAC＝45°，∴∠DFC＝∠EFB，∵∠DCF＝∠EBF，∴△DCF∽△EBF，∴＝＝．23．（10分）火車作為我國重要的交通運輸形式之一，其軌道的平順性和穩(wěn)定性直接影響列車的運行安全．我國目前軌道檢測的主要方法是機械檢測，通過使用機械傳感器和無損檢測設備（包括激光三角位移傳感器、超聲波傳感器等）（幾何尺寸、軌距、高差和曲率），從而判斷軌道是否有損傷或缺陷．某?？苿?chuàng)活動小組率先就“激光三角位移計”這一設備開展了學習與探究：閱讀概述激光三角位移計是由半導體激光向目標物照射激光，聚集目標物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦離目標物的距離發(fā)生改變，成像的位置也隨之改變．可以通過成像的位移來計算物體實際的移動距離．發(fā)現原理被測量物體從初始位置移動到最終位置，需要測量的是參考平面與目標測量平面的距離，也就是圖中點M與點N之間的距離．假設激光通過接收透鏡后仍按照原直線方向傳播建立模型如圖，直線M′N′∥直線l1∥直線l2，直線MN垂直于l1和l2，垂足分別為M和N，線段MM′與線段NN′交于點O，∠M′MP＝α．探究（1）設MN＝m，請用含m和α的式子表示點N到直線MM的距離．探究（2）已知M′N′＝5，OM′＝23，OM＝132（結果精確到個位，sinα≈0.8，cosα≈0.6，cotα≈0.75）【解答】解：（1）作NH⊥MM′于點H，∴∠H＝90°，∵MN⊥l1，∴∠PMN＝90°，∵∠M′MP＝α，∴∠NMH＝90°﹣α，∴∠MNH＝α，∵MN＝m，∴HN＝m?cosα；（2）作N′C⊥MM′于點C，∴∠N′CM′＝∠N′CO＝90°，由題意得：M′N′∥MP，∴∠N′M′C＝α，∵M′N′＝5，∴N′C＝4×sinα≈4，M′C＝5×cosα≈6，設MN為x，則HN＝0.6x，∵OM′＝23，∴OC＝23﹣3＝20，∵∠H＝∠N′CO＝90°，∠CON′＝∠HON，∴△OCN′∽△OHN，∴＝，∴＝，解得：x＝60，∴MN的長度為60．24．（12分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx﹣1經過點（2，3）和點（﹣4，3）．（1）求該拋物線的表達式；（2）如圖，該拋物線上有三個點A、B、C，AB∥x軸，∠BAC＝30°，AB與拋物線的對稱軸交于點M．（點A在對稱軸的左側）①如果點C到拋物線對稱軸的距離為t，請用含t的代數式表示點B的橫坐標；②求點C的橫坐標．【解答】解：（1）對稱軸為直線x＝，∴b＝5a，故而y＝ax2+bx﹣1＝ax4+2ax﹣1，再代入（5，3）得a＝，故該拋物線的表達式為y＝．（2）①連接MC，如圖1所示：由M為AB中點，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，由斜邊中線定理知CM＝BM．作CD⊥直線