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高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省名校聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期新高考研究卷(三)(全國(guó)1卷)數(shù)學(xué)試題第I卷(選擇題共58分)一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合要求的.1.已知集合,,則的元素個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.無(wú)數(shù)【答案】C【解析】因?yàn)榧?,,則聯(lián)立,解得或,故,集合中有2個(gè)元素.故選:C.2.已知z為復(fù)數(shù),則是的()條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要【答案】C【解析】設(shè),則,所以,又,所以,所以是的充要條件.故選:.3.函數(shù)的最小正周期為()A. B. C. D.【答案】B【解析】,則周期,故選:B.4.若,,,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】由,,可知,,又,所以,所以.故選:D5.已知向量,滿足,,則與的夾角為()A. B. C. D.【答案】A【解析】,,,又,,即,,.故選:A.6.數(shù)列滿足,則下列,的值能使數(shù)列為周期數(shù)列的是()A., B., C., D.,【答案】B【解析】對(duì)于A,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),無(wú)周期性,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),所以數(shù)列是以2為周期的周期數(shù)列,故B正確;對(duì)于C,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),無(wú)周期性,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),無(wú)周期性,故D錯(cuò)誤;故選:B.7.將100名學(xué)生隨機(jī)分為10個(gè)小組,每組10名學(xué)生,則學(xué)生甲乙在同一組的概率為()A. B. C. D.【答案】B【解析】將名學(xué)生隨機(jī)分成個(gè)小組的分法有種分法,其中甲乙在同一組的分法有種分法,所以學(xué)生甲乙在同一組的概率為,故選:.8.設(shè),,,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】由得,故,同理得,故,又,令,,則,故在上單調(diào)遞減,且,故,即,故,則,而,故,故,,所以,其中,,故,經(jīng)過(guò)計(jì)算,,故,所以,綜上,.故選:D二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.關(guān)于函數(shù),下列說(shuō)法正確的有()A.函數(shù)可能沒(méi)有零點(diǎn) B.函數(shù)可能有一個(gè)零點(diǎn)C.函數(shù)一定是中心對(duì)稱圖形 D.函數(shù)可能是軸對(duì)稱圖形【答案】BC【解析】對(duì)于AB,函數(shù)是一個(gè)三次函數(shù),其值域?yàn)?,所以函?shù)至少有一個(gè)零點(diǎn),故A錯(cuò)誤,B正確;對(duì)于C,,則為定值,所以函數(shù)的圖象一定是中心對(duì)稱圖形,故C正確;對(duì)于D,三次函數(shù)不可能時(shí)軸對(duì)稱圖形,故D錯(cuò)誤.故選:BC.10.已知點(diǎn)M是拋物線與圓的交點(diǎn),點(diǎn)F為拋物線C的焦點(diǎn),則下列結(jié)論正確的有()A.的最小值為2B.圓E與拋物線C至少有兩條公切線C.若圓E與拋物線C的準(zhǔn)線相切,則軸D.若圓E與拋物線C的準(zhǔn)線交于P,Q兩點(diǎn),且,則【答案】ACD【解析】聯(lián)立方程組,消去可得,解得,因?yàn)?,,所以,于是,則的最小值為2,故A正確;此時(shí)圓與拋物線只有一條公切線為軸,故B錯(cuò)誤;若圓E與拋物線C的準(zhǔn)線相切,則,即,到準(zhǔn)線的距離為4,所以軸,故C正確;由可得,則為等邊三角形,又焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4,則,故D正確;故選:ACD11.設(shè)點(diǎn)P為正方體的上底面上一點(diǎn),下列說(shuō)法正確的有()A.存在點(diǎn)P,使得與平面所成角為B.存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)A,分別到平面的距離之和等于C.存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)A,分別到平面的距離之和等于D.存在點(diǎn)P,使得與平面所成角為【答案】ABC【解析】對(duì)于A選項(xiàng),因?yàn)檎襟w中,平面,當(dāng)與重合時(shí),平面就是平面.此時(shí)平面,則與平面所成角為,所以A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng),設(shè)正方體棱長(zhǎng)為,,.由于,設(shè),到平面的距離分別為,,為的面積.根據(jù)三棱錐體積公式(為底面積,為高),可得.當(dāng)為時(shí),,所以B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng),當(dāng)為時(shí),,到平面的距離之和最小,到平面距離為0,到平面距離為到平面距離,等于,所以C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng),當(dāng)為時(shí),與平面所成角最小,,則.所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:ABC.第II卷(非選擇題共92分)三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.若函數(shù)在處取得最大值,則__________.【答案】【解析】因?yàn)?,設(shè),,則,,當(dāng),時(shí),即當(dāng),函數(shù)取最大值,最大值為,所以,所以.故答案為:.13.已知:當(dāng)無(wú)窮大時(shí),的值為,記為.運(yùn)用上述結(jié)論,可得______.【答案】.【解析】令,則,,則,因?yàn)?,則.故答案為:.14.表示不超過(guò)x的最大整數(shù),設(shè),,則__________;__________(用M,N表示).【答案】①.②.【解析】因?yàn)椋?;又為正整?shù),所以,而,故,故答案為:;四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在一次聯(lián)考中,經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),甲乙兩個(gè)學(xué)校的考生人數(shù)都為1000人,數(shù)學(xué)均分都為94,標(biāo)準(zhǔn)差都為12,并且根據(jù)統(tǒng)計(jì)密度曲線發(fā)現(xiàn),甲學(xué)校的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布,乙學(xué)校的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)不服從正態(tài)分布.(1)甲學(xué)校為關(guān)注基礎(chǔ)薄弱學(xué)生的教學(xué),準(zhǔn)備從70分及以下的學(xué)生中抽取10人進(jìn)行訪問(wèn),學(xué)生小A考分為68分,求他被抽到的概率大約為多少;(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)學(xué)校乙得分不低于130分的學(xué)生有25人,得分不高于58分的有1人,試說(shuō)明乙學(xué)校教學(xué)的特點(diǎn);參考數(shù)據(jù):若,則,,.解:(1)由題意可知甲校學(xué)生數(shù)學(xué)得分,由,可得,則,所以分?jǐn)?shù)在70分及以下的學(xué)生有,所以學(xué)生小A被抽到的概率(2)由,可得:所以甲校不低于130分的概率為,得分不高于58分的概率為,所以甲校不低于130分有人,得分不高于58分有人,故乙校教學(xué)高分人數(shù)更多,130分以上學(xué)生更多,低分人數(shù)更少16.設(shè),分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),過(guò)的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn),且.(1)求的長(zhǎng)(用a,b表示);(2)若雙曲線的離心率,求證:.(1)解:,故兩點(diǎn)都在雙曲線右支上,設(shè),則,由雙曲線定義知,,因?yàn)?,所以,由余弦定理得,化?jiǎn)得,所以;(2)證明:在中,由正弦定理得,所以,由(1)知,,故,又,故,且,所以,所以為銳角,故.17.設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)在處的切線方程;(2)若恒成立,求證:m的最大值與最小值之差大于.解:(1)由題意,所以切線斜率,又,所以函數(shù)在處的切線方程為,即;(2)令,則,所以恒成立等價(jià)于恒成立,,當(dāng),則在0,+∞上單調(diào)遞增,而,不符合題意.當(dāng),由得,所以當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,所以,令,則h1=0,又由得,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,而,,所以,所以m的最大值與最小值之差大于.18.在四棱錐中,,,底面,點(diǎn)O在上,且.(1)求證:;(2)若,,點(diǎn)在上,平面,求的值;(3)若,二面角的正切值為,求二面角的余弦值.(1)證明:連接,因?yàn)榈酌?,平面,所以,即,又,,所以,所以,故又,所以,,又,所以,因?yàn)榈酌?,平面,所以,又,所以;?)解:連接交于點(diǎn),連,因平面,平面平面,平面,所以,故,因?yàn)?,,所以,故四邊形是圓內(nèi)接四邊形,又,所以,因,,點(diǎn)為的中點(diǎn),所以,,故,設(shè),則,,在中,由余弦定理可得,所以,于是;(3)解:以點(diǎn)為原點(diǎn),,,為,,軸正方向建立如圖所示的坐標(biāo)系,則,所以,設(shè)n1=x1所以,故,令,則,所以為平面的一個(gè)法向量,過(guò)點(diǎn)作于,因?yàn)榈酌妫矫?,所以,,平面,所以平面,平面,所以,故二面角的平面角為,由已知,所以,于是,,又,所以,又,所以,故,所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,縱坐標(biāo)為,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,設(shè)平面的法向量,所以,兩式相減得,令,則,所以為平面的一個(gè)法向量,,所以,觀察可得二面角的平面角為銳角,所以二面角的余弦值為.19.在數(shù)列中,,,對(duì)滿足的任意正整數(shù)m,n,p,q,都有成立.(1)若數(shù)列是等比數(shù)列,求a,b滿足的條件;(
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