第一學期高一年級期末質量評估試卷

數(shù)學

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.若暴函數(shù)的圖象過點(42),則/⑶的值為()

1J33「

A.-B.4C.-D.J3

932、

【答案】D

【解析】

【分析】代入點可求出解析式，即可求出答案.

【解析】由募函數(shù)/⑺=產(chǎn)的圖象過點(4,2),所以"4)=4。=2,

111

解得。=萬,故/⑺=.,所以/⑶=32=人.

故選：D.

2.函數(shù)/(x)=lg(x—1)的定義域是()

A.(l,+oo)B.[l,+oo)C.(-(x),l)o(l,+oo)D.R

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義域即可得出結論.

【解析】由題意，在〃x)=lg(x—l)中,

x—l>0即％>1,所以/(九)的定義域為(1,+8).

故選：A.

3.下列函數(shù)在其定義域上單調遞增的是()

A./(x)=-1B./(x)=g]

C./(x)=log2xD./(x)=tanx

【答案】C

【解析】

【分析】利用基本初等函數(shù)的單調性逐項判斷，可得出合適的選項.

【解析】反比例函數(shù)〃X)=-工在(-8,0)和(0,+8)上單調遞增，在定義域上不單調，A

選項不滿足條件；

指數(shù)函數(shù)〃x)=在定義域上單調遞減，B選項不滿足條件;

對數(shù)函數(shù)/(尤)=log?x在其定義域上單調遞增，C選項滿足條件;

正切函數(shù)/(尤)=taiu在定義域上不單調，D選項不滿足條件.

故選：C

4.若〃>0,b>0,a+b=l,貝ij()

A.-+-<1B.Aab<l

ab

C.a2+b2>1D.+<1

【答案】B

【解析】

【分析】結合已知條件，利用基本不等式判斷各選項中的結論是否成立.

【解析】若o>0,b>0,a+b=l,

11(10/7\、ba(、三Jba”

—+-=-+-(d!+/7)=l+-+-+l>2+2J--—=4A,當且僅當

abb7ab\ab

。=人=!等號成立，A選項錯誤；

2

4a人=1,當且僅當ag等號成立，B選項正確；

l=(a+Z?)2=a2+b2+2ab<2(a2+b2),得當且僅當口=人=g等號成立,

C選項錯誤；

(G+G)-a+b+2y[ab<2(^a+b^-2,得&+掂<0,當且僅當4=6=5等號

成立，D選項錯誤.

故選：B

5.下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()

A.y=|斗u=B.y=lux2,s=21n%

C.y=^zl,m=n+lD.y=sin[x+,y=-cosx

x-1

【答案】A

【解析】

【分析】逐項判斷選項中兩個函數(shù)的定義域與對應法則是否相同，即可得出結果.

【解析】A選項中，函數(shù)y=國與"=后=同，定義域相同，對應關系也相同，是同一

函數(shù)；

B選項中，函數(shù)y=ln%2定義域為(一8,o)u(0,+co),函數(shù)s=21n，定義域為(0,+。)，定

義域不同，不是同一函數(shù)；

C選項中，函數(shù)/二魯定義域為(9/)(1,+s),函數(shù)加=〃+1定義域為R,定義域

不同，不是同一函數(shù)；

D選項中，函數(shù)y=sin=cosx與函數(shù)丁=一cosx,對應關系不同，不是同一函數(shù).

故選：A

6.已知tan(e+力)=-2,tan(a—耳)=7,貝ijtan21=()

119

A.-B.——C.—

3313

【答案】A

【解析】

【分析】2a=(a+j3)+(a-)3),利用兩角和的正切公式求解.

【解析】已知tan(a+/?)=-2,tan(a-/7)=7,

tan(tz+/?)+tan(tz-/?)

則tan2(z=tan[(tz+/?)+(?-/?)]-2+71

1-tan(?+/?)tan(tz-/?)―1-(-2)x73

故選：A

7.已知lg2。0.3010,若2"eN)是10位數(shù)，則”的最小值是()

A.29B.30C.31D.32

【答案】B

【解析】

【分析】由2"21x109,求滿足條件的最小自然數(shù)即可.

【解析】若2'是1。位數(shù)，則〃取最小值時，應滿足2"21x109,

貝ij有〃lg229,n>?x29.9,

&lg20.3010

由〃cN,則〃的最小值是30.

故選：B

(%一々)2

已知函數(shù)力(力=—謁

8.J—e2(m,.,“eR,ie{1,2,3})部分圖象如圖所示，則

()

1)

-------71\

O|X

叫

A.=m2,nx>n2B.叫〉m2,%="2

C.m3>%%>%n

D.%>m2,%>2

【答案】c

【解析】

【分析】分析函數(shù)的單調性、對稱性,確定對稱軸及最大值與列，4的關系，求解即可.

(XT―

【解析】由函數(shù)力2涕，令g’C由

二次函數(shù)性質可知：gj(x)圖象關于x=〃1對稱，J

c<々時,gt(x)單調遞增，x>4時,

gj(x)單調遞減，在X=4處達到最大值，

由圖象得：則？〉0,

根據(jù)復合函數(shù)的性質可得：/(X)圖象關于X=〃i對稱，

X<〃j時，工(%)單調遞增，X〉％時，/(%)單調遞減，

在X=4處達到最大值，則%>々=%，且最大值為fi("j=-1=，

機jA/2兀

結合圖象可知力(勺)>力(&)>力(巧)，所以叫<?<?.

故選：C

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知貝U()

A.a+c>b+cB.ac>bc

ab

cc

C.——>-D.a<b

a+cb+c

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式的性質，結合累函數(shù)性質逐項判斷即得.

【解析】由Q>6>C>0,得a+c>b+c,ac>be,AB正確；

abac-bcab

顯然------------>0,即----->-----C正確;

a+cb+c(a+c)(b+c)a+cb+c

函數(shù)y=V在(0,+8)上單調遞增，則方>",D錯誤.

故選：ABC

71

10.已知函數(shù)/(x)=sinx+—cosx+—+sinxcosx,貝i]()

4jI4j

B.點［—］,()］是函數(shù)/(x)圖象的

A.函數(shù)的最小正周期為2兀

一個對稱中心

JTSJT

C.函數(shù)“可在區(qū)間上單調遞減D.函數(shù)/(力的最大值為1

OO

【答案】BC

【解析】

【分析】利用二倍角公式及輔助角等公式化簡得到/(%)=#

sinf2x+-^j,借助三角函

數(shù)的性質逐一判斷即可.

【解析】結合題意:

7111711

/(x)=sinx+—兀cosx+—+smxcosx=—s-mn2x+兀—+—sm2x,

4)[4)22(22J22

1c1.c旦

即/⑺=—cos2x+—sm2x=sin2嗚.

22"F

2兀

對于選項A:由sin2%+二可得①=2,所以7=@=兀故選項A錯誤;

4

對于選項B:將％=-四代入/(%)=1

sinf2x+；j得:

82

正sin「2x兀=^-sin0=0,所以點]一

+兀是函數(shù)/(%)圖象的

2

一個對稱中心，故選項B正確;

71尸一,

對于選項C:對于/(%)=sin2x+—j,令％=2%+四，則

44-2

7兀155兀?！?，小71兀3兀6/QJT37r

因為XG—，所以％=2%+:￡—’而產(chǎn)了sinf在于萬上單調遞減,

8'84222

JT5冗

所以函數(shù)/(%)在區(qū)間上單調遞減，故選項c正確;

OO

對于選項D:對于/(%)=下-sin[2x+；J,當2x+?=2kli+/keZ,

即％=也+二，4=42x1=42,故選項D錯誤.

8」、/max22

故選：BC.

11.定義域均為R的奇函數(shù)4％)和偶函數(shù)g(x),滿足/(x)+g(x)=2A+cosx,則

()

A.lx。eR,使得mwRB.3x0eR,使得g(xo)=O

cVxeR,都有/(x)—g(x)<lD.V%eR,都有

/(x)g(x)+/(-x)g(-x)=O

【答案】ACD

【解析】

【分析】由兩函數(shù)的奇偶性列方程組可求出兩函數(shù)的解析式，對于選項A:利用函數(shù)/(x)在

R上單調遞增，且值域為R,即可判斷；對于選項B:借助基本不等式及三角函數(shù)的最值即

可判斷；對于選項C:利用函數(shù)的值域求出/(力-g(x)=-g]-cosx<l即可判斷；對

于選項D:利用函數(shù)的奇偶性即可判斷.

【解析】因為/(x)+g(x)=2"+cosx,貝/(-%)+g(-x)=2r+COS(T),

因為/(X)為奇函數(shù)和g(X)為偶函數(shù)，所以/(-X)=-/(x),g(-x)=g(X),

所以一/(x)+g(x)=2~x+cos(-x),

聯(lián)立[〃x)+g(x)=2'+cosx

-7(%)+g(%)=2r+COSX'

可得y(x)=1(2T-2-"),g(x)=g(2,+2-x)+cosx,

對于選項A:由/卜)=3(2￡-2「￡)=12:，；易判斷函數(shù)/(%)在R上單調遞增，

且值域為R,故Hr。eR,使得meR,故選項A正確；

對于選項B：由g(x)=g(2x+2f)+cosx,因為2￡〉0,2一￡〉0,

所以g(2x+2f)2gx2萬逅7=1,當且僅當k=2-*，即％=0時，3(2工+2-工)取

得最小值1.

而cosxw[-L,l],當且僅當％=2析+兀,左€2時取到一1,

故g(x)=g(2'+2T)+cosx>0(不能同時取等)，

故不存在/eR,使得g(毛)=0,故選項B錯誤；

對于選項C:由/(x)=g(2*—2一*),g(x)=；(2x+2r)+cosx,

可得J(x)-g(x)=—COSX，而一<0,-COSXG[-1,1],

所以/(x)—g(x)=]￡|-cosx<l，故VxeR,都有/(”—g(x)<l,故選項C正

確；

對于選項D：因為/(%)為奇函數(shù)和g(x)為偶函數(shù)，

所以/(T)=—/(X)，g(-X)=g(%)，

/(x)g(x)+/(-x)g(-x)=/(x)g(x)-/(x)g(x)=O,

故VXGR,者B有/(x)g(x)+/(-x)g(-x)=0，故選項D正確.

故選：ACD.

12.設〃是正整數(shù)，集合A={a|夕=(石,々,，，/)，x,.e{-l,l},i=l,2,對于

集合A中任意元素〃=(%,%，?，%)和/=(馬/2，rzn),記

P(O，/)=XZ1+%Z2++ynz?,

/(尸，7)=3(弘+4+d—Z]|+%+z2+|%—Z2I++y〃+z〃+|笫—zj).則()

A.當〃=3時,若#=(1,L1)，7=(1,TT),則M{/3,y)=2

B.當〃=3時,尸(尸/)的最小值為-3

C.當〃=6時，河(尸,力2尸伊,7)恒成立

D.當〃=6時，若集合5=A,任取B中2個不同的元素，P(^,/)>2,則集合B

中元素至多7個

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)加(以力,？(△，7)的計算公式即可求解AB,舉反例即可求解C,根據(jù)所給

定義，即可求解D.

【解析】對于A,當力=(1/,1),7=(1,—1,一1)時，

M（^0,/）=-1^1+1+1+1—1—1+11-1|+11—（―1）|+11—（―1）|^|=3,故A錯誤，

對于B,P（/3,/）=+y2z2+y3z3,而咨e{-L,l},i=L2,3,故當用=-1時,

此時P（0,/）=X4+y2z2+y3z3取最小值一3,

比如尸=（1,1,1）,7=（—1,T—1）時,P（Ar）=-3,故B正確,

對于C,〃=6時，P=（—1,—1,—1,—1,—1,—1）,/=（—1,—1,—1,—1,—1,1）,

M（/V）=g（y+z1+\yl-zl\+y2+z2+\y2-z2\++y6+z6+\y6-z6\）=-4,

P（ZV）=+為Z2++%Z6=4,不符合Af（/V）之尸（/V）,故C錯誤，

對于D,不妨設B中一個元素一=（%,%，…,％），Xe{—1,1},z=1,2,3,4,5,6

由于P（A/）＞2,則分，/中相同位置上的數(shù)字最多有兩對互為相反數(shù)，

其他相同位置上的數(shù)字對應相同，

若，,7中相同位置中有一對的數(shù)字互為相反數(shù)，其他相同位置上的數(shù)字對應相同，

不妨設7=（如％,,乂）,此時尸（回力=422,

那么與7=（%,%，一，%）相同位置中有一對的數(shù)字互為相反數(shù)，

其他相同位置上的數(shù)字對應相同的元素有%=（%,%,E，E），%=（x，％，L，為，E），

/3=（%，％，乂，/，%，匕），74=（%禺，%，%，％&），r5=（幾％，%，%，%，匕），

此時P（r,/）=4?2,其中，=1,2,3,4,5,P（先，%）=222,/=1,2,3,4,5,

而看,，=1,2,3,4,5與夕中相同位置上的數(shù)字有兩對是不相同的，此時P（%,/7）=222,

滿足，

若與7=（%，%，相同位置中有2對的數(shù)字互為相反數(shù)，

那么就與?=（%,%，…，％），％儀-1,1}有3對相同位置上的元素互為相反數(shù)，不符合，

因此此時B中滿足條件的元素有7個，

若分產(chǎn)中相同位置中有兩對的數(shù)字互為相反數(shù)，其他相同位置上的數(shù)字對應相同，

不妨設〃=（K，E）尸（匕力=422,

此時;/=（幾％，…，E）與元素為=（乂，%，%，%，%，穌）重復,

綜上可知8中元素最多7個，D正確，

故選：BD

【小結】方法小結：求解新定義運算有關的題目，關鍵是理解和運用新定義的概念以及元算,

利用化歸和轉化的數(shù)學思想方法，將不熟悉的數(shù)學問題，轉化成熟悉的問題進行求解.

對于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和計算特性，抽象特性是將集合可近似的

當作數(shù)列或者函數(shù)分析.計算特性，將復雜的關系通過找規(guī)律即可利用已學相關知識求解.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.120角是第象限角.

【答案】二

【解析】

【分析】直接由象限角的概念得答案.

【解析】由象限角的定義可知，120的角是第二象限角.

故答案：二.

14.己知函數(shù)/（尤）="+1（a>0,且aw1）的圖象過定點，則該定點的坐標是.

【答案】（0,2）

【解析】

【分析】借助指數(shù)函數(shù)令x=0,代入函數(shù)式可得定點縱坐標.

【解析】在函數(shù)/（x）="+l（a>0,且awl）中，

令x=0,則/（O）=a°+l=2,所以該定點的坐標是（0,2）.

故答案為：（0,2）.

sin（兀-a）+sin]--a

15.已知tana=3,-------------7-----的值為___________.

cos（兀+a）-cosI—+6ZI

【答案】2

【解析】

分析】利用誘導公式化簡，結合齊次式代入計算即可.

【解析】因為tan。=3,

sin（兀一a）+sin——a

~\/\2）sina+cosatana+13+1-

所以---------------7----4二-------------二----------二------二2.

/\［71］-cosa+sina—1+tan。-1+3

cos（兀+a）-cos1萬+aI

故答案為：2.

16.若函數(shù)/（x）=f—2x+|x—磯a>0）在［0,2］上的最小值為1,則正實數(shù)。的值為

13

【答案】—

4

【解析】

【分析】對參數(shù)。進行分類討論，根據(jù)分段函數(shù)的單調性和最值，即可求得結果.

’2

［解析］由題可得/（%）=爐―2%+,一。|=<：xa，x_a,

［x-3x+a,x<a

因為函數(shù)/（%）=*一2］+,一磯〃>。）在［0,2］上的最小值為1,

當0<a<：時，在［0,2］上，〃龍）在單調遞減，|1,2單調遞增，

2L2」_

所以/（Hmin=/13］=：一1一0=1,解得（舍）；

13

當5<a<5時，在［0,2］上〃龍）在［0,同單調遞減，（a,2］單調遞增，

所以/（x）min=/（。）=片-2a=L解得。=1±拒（舍）；

當a>5時，在［0,2］上，"％）在0,-單調遞減，匕,2單調遞增，

o13

—5+4=1,解得a=1.

,13

故答案為：一m

4

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程

或演算步驟.

17.計算：

?---------21_

⑴y（兀-3）3+8§-25X2《；

（2）lg4+lg25-log23xlog34.

【答案】（1）兀

（2）0

【解析】

【分析】（1）根據(jù)根式的性質及分數(shù)指數(shù)幕的運算法則計算可得；

（2）根據(jù)對數(shù)運算性質及換底公式計算可得.

【小問1解析】

,（兀―3）3+83-23x2i=^-3+（23）3-2°=^-3+4-l=^-

【小問2解析】

2

lg4+lg25-log23xlog34=lg（4x25）-log23xlog32=IglOO-2log23xlog32=2-2=0.

18.已知A={x[（x-l）（x-3）<0},B={x|x>m}.

（1）若m=2,求AryB；

（2）若尤eA是尤e8的充分不必要條件，求實數(shù)小的取值范圍.

【答案】（1）{xeR|2<%<3}

（2）（-co,l]

【解析】

【分析】（1）由交集的定義直接求解；

（2）由題意AB,利用集合的包含關系求用的取值范圍.

【小問1解析】

若m=2,則A={xeR|1<x<3},B={xeR|x>2},

所以Ac5={xeR|2<x<3}.

【小問2解析】

若xeA是尤e3的充分不必要條件，則AB,

得加￡1,故機的取值范圍是（-8,1].

19.已知函數(shù)/(%)=/^0%+以%22+〃2的最大值為2.

')22

(1)求常數(shù)m的值;

(2)先將函數(shù)/(%)的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的。(縱坐標不變)，再將所得圖

象向右平移2個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，求g(x)在區(qū)間0,g上的取值范圍.

62

【答案】(1)|

(2)—,2

【解析】

【分析】(1)利用二倍角公式和輔助角公式化簡函數(shù)解析式，由函數(shù)最大值求常數(shù)機的值;

(2)求出圖象變換后的函數(shù)解析式，然后利用正弦函數(shù)的性質求值域.

【小問1解析】

,/、6.2%6.11.(兀

r(X=——sinx+cos—+m=——sinx+—COSXH1-m=sinx+—M\-m.

v7222226)2

因為/(%)的最大值為2,所以l+g+冽=2,

故4加=一1.

2

【小問2解析】

/(x)=sin^x+^+l,函數(shù)/(%)的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的g(縱坐標不

變)，

得函數(shù)y=sin[2x+《1+l的圖象，再將所得圖象向右平移￡個單位長度，

得g(x)=sin21無一已卜已+l=sin12x—tj+l，

.?7T/口兀/c7T57r

由0〈犬<一,得——<2x—<——,

2666

所以一;—^-<l+sinf2x--^-j<2,

jr1

故g(x)在區(qū)間o,-上的取值范圍是-,2.

20.M@/(log32)=-1;②函數(shù)/(%)為奇函數(shù)；③/(%)的值域是(-M),這三個條件

中選一個條件補充在下面問題中，并解答下面的問題.問題：已知函數(shù)

/(%)=-------1,?eR,且

3'+1--------

(1)求函數(shù)八％)的解析式；

(2)若/(a?3、+2)+f(9x+m)<0對任意xeR恒成立，求實數(shù)m的最小值.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】(1)答案見解析

(2)-2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，分別選擇①②③，結合函數(shù)的性質，求得實數(shù)。的值，即可求解；

(2)根據(jù)函數(shù)的單調性的定義判定方法，得到了(另在R上單調遞減，再由/(%)為奇函

數(shù)，把不等式轉化為加2一夕-2-3,-2恒成立，結合指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的性質，即可求

解.

【小問1解析】

解：若填①：由/'(log32)=—

可得了(log32)=m*7T=《？T=—:，解得”=2,所以/(》)=三

IA.4IIA

若填②：由函數(shù)/(乃二，一—1,

3+1

因為函數(shù)/(%)為奇函數(shù)，故"0)=1,可得/(0)=1%—1=0,

解得。=2,所以/(X)=F——1,即/(X)=，—一i

3A+13A+13X+1

1_3r3l_12

經(jīng)驗證：=~-=-/(%),符合題意，所以/(x)=F——1.

3-x+l3X+13r+l

若填③：由y=’——1,可得y+l=——,

3A+13X+1

exa1y-l八y-(a-V)八

貝i]3'=---l=->0,即'—<0,

y+ly+ly+l

2

又由7(%)的值域是(-M)，可得q-l=l,故4=2,所以/(x)=不節(jié)—L

【小問2解析】

解：Vxl；x2eR,且占<々,則/(石)―/(%)=(3%+1)(3*+1)〉0'

所以函數(shù)〃x)=§+-1在R上單調遞減，

21-3工l-3-x3=1

又因為/(x)=-1=」-,滿足y(-x)==-=^--=-/(%),

3*+l3X+13-*+13*+1

所以"%)為奇函數(shù)，

由不等式f(a-3X+2)+f(9x+m)<0,可得“2?3A+2)<f(-9x-m)，

則2-3*+22-9X—m，所以加之一9,—2?3,—2，

令3'=(>0,,己_y=_2?3*_2=—t~—2?—2=—(?+1)~—1,

所以y<—2,所以加2—2,所以m的最小值為—2.

21.如圖是一種升降裝置結構圖，支柱OP垂直水平地面，半徑為1的圓形軌道固定在支柱

OP上，軌道最低點。，PD=2,OD=L?液壓桿04、OB,牽引桿C4、CB,水平

2

橫桿A3均可根據(jù)長度自由伸縮，且牽引桿C4、CB分別與液壓桿Q4、08垂直.當液壓

桿。1、08同步伸縮時，錢點46在圓形軌道上滑動，錢點C、E在支柱OP上滑動，

水平橫桿A3作升降運動（較點指機械設備中較鏈或者裝置臂的連接位置，通常用一根銷軸

將相鄰零件連接起來，使零件之間可圍繞欽點轉動）.

P

（1）設劣弧的長為x,求水平橫桿A3的長和A3離水平地面的高度0E（用工表示）;

（2）在升降過程中，求較點C、E距離的最大值.

3

【答案】（1）AB=2sinx；OE=——cosx

2

（2）3-A/5

【解析】

【分析】（1）軌道圓心為T，圓的半徑為1,劣弧的長為x時，有=由三

角函數(shù)表示出A5和0E的長;

AE2sin2x_l-cos2x

CF=

（2）證明出一?一OE4,則0E3=3，通過換元利用基本

------COSX—COSX

22

不等式求出最大值.

【小問1解析】

記軌道圓心為T，則AT=1，

設劣弧AO的長為九，則/ATD=x,

得AB=2AE=2sinx,

3

OE=OT-ET=OT-cosx=——cosx.

2

【小問2解析】

由已知，ABLOP,CA1OA,ZCAE+ZACE=ZCAE+ZOAE=90，

則NACE=NQ4E,又NCE4=NOEA=90，所以.AEC?,OEA,

AE2sin2xl-cos2x

則CE==

OE33

------COSX