遼寧省名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級：考號：

一'選擇題

1-90x91x92x...xl00可以表示為（）

1013

AAooB-M。C-A；；0DAoo

22

2.已知橢圓°：土+二=1（f7〉6〉0）的左焦點(diǎn)為尸（-1,0）,且橢圓C上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)

/b1

構(gòu)成的二角形的面積的最大值為2-72，則橢圓C的方程為（）

22222222

從土+匕=1B.土+乙=1C.±+匕=1D.土+乙=1

98968765

3.若C：:6=c『，則〃的值為（)

A.2B.8C.2或8D.2或4

4.已知直線/:依―y—2左+2=0(左eR)過定點(diǎn)Q,若P為圓C:(x—5y+(y—6y=4上

任意一點(diǎn)，則歸。的最大值為（）

A.3B.5C.7D.9

5.已知向量。=（2,—1,2）,B=（—1,3,—3），c=（13,6,2）,若方，B1共面，貝二=（）

A.2B.3C.4D.6

6.已知雙曲線c：X+2l=i，則C的漸近線方程為'=±3工是C的離心率為之的（）

mn44

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.如圖，在正方體ABCD-44G2中，E是棱。2中點(diǎn)，點(diǎn)尸在棱GA上，且

取=尢的，若用歹〃平面A3E，則X=（）

A.-ilB.-Ll?C.-D.-

4323

8.據(jù)典籍《周禮?春官》記載，“宮、商、角、徵、羽”這五音是中國古樂的基本音階，成

語“五音不全”就是指此五音.如果把這五個(gè)音階全用上，排成一個(gè)五音階音序，要求

“宮”不為末音階，“羽”不為首音階，“商”“角”不相鄰，則可以排成不同音序的種數(shù)是

()

A.50B.64C.66D.78

二、多項(xiàng)選擇題

9.已知在卜+子］的二項(xiàng)展開式中第3項(xiàng)和第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，貝!］()

A.〃=6

B.展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為243

C.展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為16

D.展開式中不含常數(shù)項(xiàng)

10.已知空間中三點(diǎn)4(2,0,1),5(2,2,0),C(0,2,l),則()

A.與向量通方向相同單位向量是上半,_咚］

B.而在冊上的投影向量是(-1,1,0)

C?麗與定夾角的余弦值是1

D.坐標(biāo)原點(diǎn)0(0,0,0)關(guān)于平面ABC的對稱點(diǎn)是號,。||

11.圓錐曲線具有豐富的光學(xué)性質(zhì).雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)工處發(fā)出

的光線，經(jīng)過雙曲線在點(diǎn)P處反射后，反射光線所在直線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)耳，且雙曲

線在點(diǎn)P處的切線平分/耳2瑪.如圖，對稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線C過點(diǎn)

(3,-1),其左、右焦點(diǎn)分別為耳，工.若從工發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線右支上一點(diǎn)「反射

的光線為PQ,點(diǎn)P處的切線交x軸于點(diǎn)T,則下列說法正確的是()

B.過點(diǎn)P且垂直于PT的直線平分ZF2PQ

C.若尸瑪」尸。,則|尸耳卜|尸閭=18

D.若N耳尸8=60。,則|尸刀=4倒

三、填空題

12.已知拋物線V=4x，且P是拋物線上一點(diǎn)，設(shè)R是拋物線的焦點(diǎn)，M(4,2),則

\PM\+\PF\的最小值為.

13.若直線x+(l+/n)y-2=0和直線wx+2y+4=0平行，則機(jī)的值為.

四、雙空題

14.如圖，在三棱錐v-ABC中，底面是邊長為2的等邊三角形，D,E分別是AC，

AB的中點(diǎn)，且VA=VD=VE=1，則直線VA與平面VBC所成角為，四棱錐

V-BCDE的外接球的表面積為.

五、解答題

n2n

15.已知(1+2x)2+(1+2x)3+…+(1+2x)=9++a2x+???+anx.

(1)求"的值；

(2)(佝+/+%+,,)—(。2+。4+。6+，，)的"fS；

(3)求出的值(結(jié)果用數(shù)字表示).

16.如圖，在平行六面體ABC。-A4Gq中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都是1,且

它們彼此的夾角都是60。，M為4G與與2的交點(diǎn).若通=萬，蒞=B，AA=c.

(1)用。，b-c表示BM；

(2)求對角線AC】的長；

(3)求cos(通，禧》

17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)訄AM與圓/-2x=0內(nèi)切，且與直線兀=-2

相切，設(shè)動(dòng)圓圓心M的軌跡為曲線E.

(1)求曲線E的方程；

(2)過點(diǎn)/(1,0)作兩條互相垂直直線與曲線E相交于A,3兩點(diǎn)和C,。兩點(diǎn)，求

四邊形ACfi￡>的面積S的最小值.

18.在四棱柱ABCD—中，已知5c，平面ABC。，AD//BC>AB±AD>

AD=2AB=2BC=2-BBX=75>E是線段與。上的點(diǎn).

(1)點(diǎn)G到平面4。。的距離；

(2)若E為用。的中點(diǎn)，求異面直線。2與AE所成角的余弦值；

(3)在線段用O上是否存在點(diǎn)E,使得二面角C—AE—0的余弦值為舍？若存在，

請確定E點(diǎn)位置；若不存在，試說明理由.

19.通過研究發(fā)現(xiàn)對任意平面向量次=(x,y),把而繞其起點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。

角可得到向量AP=(xcos。-ysind,九sin〃+_ycos。)，這一■過程叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)。角得到點(diǎn)p.

（1）已知平面內(nèi)點(diǎn)石,26），點(diǎn)5（6,-26），把點(diǎn)3繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)三得到

點(diǎn)P,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（2）已知二次方程必+/—孫=1的圖像是由平面直角坐標(biāo)系下某標(biāo)準(zhǔn)橢圓

22

Xy=l（a〉6〉0）繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn):所得的斜橢圓C.

/+

（i）求斜橢圓C的離心率;

（ii）過點(diǎn)如，理］作與兩坐標(biāo)軸都不平行的直線交斜橢圓C于點(diǎn)M,N,過原點(diǎn)

331

。作直線右與直線4垂直，直線"交斜橢圓。于點(diǎn)G,H,判斷品+品?是否為定

值？若是，請求出定值，若不是，請說明理由.

參考答案

1.答案：B

解析：由排列數(shù)公式A：=z(〃—1>(〃—2)相+1)，

可矢口9Ox91x92x...xlOO=A；'o.

故選：B.

2.答案：A

22

解析：因?yàn)闄E圓C：=+3=1(。>6>0)的左焦點(diǎn)為尸(-1,0)，所以c=l，

因?yàn)闄E圓C上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積的最大值為2夜，

所以工x2cxb=cb=2>/2=b，

2

22

貝1J[2=/+2=9,故橢圓。的方程為3-+匕=1.

98

故選：A.

3.答案：A

解析：由組合數(shù)的性質(zhì)可得[3〃+6<18,解得〃”，

4n-2<18—

又C：:6=c：>2,所以3〃+6=4〃一2或3〃+6+4九一2=18，

解得〃=8(舍去)或〃=2.

故選：A.

4.答案：C

解析：由/:6一y—2k+2=0(kwR)，得y—2=左(%—2)，

所以直線/過定點(diǎn)Q(2,2),

由C:(x-5)2+(y-6)2=4,知圓心坐標(biāo)(5,6),半徑為2,

所以。到圓心的距離為d=J(5―2y+(6-2)2=5〉2,

所以。在圓外，故|P0的最大值為d+2=7.

故選：C.

5.答案：B

解析：因?yàn)樯?(2,-1,2),石=(-1,3,-3)，c=(13,6,2)，三個(gè)向量共面,

所以存在唯一■實(shí)數(shù)對(x,y),使得G=x5+yC，

所以(2,—1,2)=x(-l,3,-3)+y(13,6,2)，

-x+13y=2"

所以＜3x+6y=-l,解得＜y.

—3x+yA—24々

iA=5

故選：B.

6.答案：D

解析：充分性：當(dāng)雙曲線C的焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，由漸近線方程為丁=土3尤，知2=3,

4a4

所以離心率e=工?^7^7=3；

當(dāng)雙曲線C的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，由漸近線方程為丫=±3%，知@=3,即2=

b4a3

所以離心率e=￡3,所以充分性不成立.

3

必要性：由離心率為己，知e=￡3

4a4

當(dāng)雙曲線C的焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，漸近線方程為產(chǎn)土也=±3x;

a4

當(dāng)雙曲線C的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，漸近線方程為y=±@x=±3,所以必要性不成立.

b3

綜上所述，C的漸近線方程為y=±3%是C的離心率為3的既不充分也不必要條件.

44

故選：D.

7.答案：C

解析：解法一：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，A3，AD＞A4所在直線分別為％軸C軸、z軸，建

立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1,

Zk

則3(1,0,o)，flo,i,1L〃(0,1,1)，q(1,1,1),4(o,o,i)，

可得甌=(-1,0,1)，麗

n-B\=-x+z=0

設(shè)歷=(x,y,z)是平面ABE的法向量，貝1b_.z'

n-BE=-x+y+-=Q

I2

令z=2，則x=2，y=l,即力=(2,1,2),

由房'=(1,0,0)，且麻=4礙",可得尸

又因?yàn)閯t率=(x—

由耳/〃平面ABE,可得必評=2(2—l)+lxl+2x0=0，

解得4」.

2

解法二：如圖，取C￡＞中點(diǎn)M，連接90，EM，易證

所以平面即為平面ABME，

易知當(dāng)F為￡2的中點(diǎn)時(shí)，B.F//BM,5尸(2平面平面ABE，

從而〃平面ABE,所以;1=工

8.答案：A

解析：①若“宮”為首音階，“商”“角”可取24,25,35音階，

排成的音序有C；A；A；=12種；

②若“宮”為第2音階，“商”“角”可取13,14,15,35音階,

排成的音序有C；A；A；+A；=14種；

③若“宮”為第3音階，“商”“角”可取14,15,24,25音階,

排成的音序有C；A；A；+C；A；=12種；

④若“宮”為第4音階，“商”“角”可取13,15,25,35音階，

排成的音序有C；A；A；+C；A；=12種.

由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，一共有12+14+12+12=50種排法.

故選：A.

9.答案：BCD

解析：A項(xiàng)，在的二項(xiàng)展開式中第3項(xiàng)和第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,

C；=C：是展開式的中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),

則〃為奇數(shù)，且c?與c等最大，

所以山=3,解得〃=5,A項(xiàng)錯(cuò)誤;

2

B項(xiàng)，在中，令尤=1，得=35=243，故展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為

243,B項(xiàng)正確;

C項(xiàng)，在的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和為25=32，其中奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)

式系數(shù)和相等，所以展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為16,C項(xiàng)正確;

項(xiàng),r5rrrf

D的展開式的通項(xiàng)公式為丁_Qx~.2x~^—C-2,x~^-0<r<5,且

「為整數(shù)，令5-3廠=0,解得廠=3,不滿足要求，所以展開式中不含常數(shù)項(xiàng)，D項(xiàng)

正確.

故選：BCD.

10.答案：ABD

解析：通=(0,2,—1)，AC=(-2,2,0)-就=(-2,0,1)，

對于A,與向量而方向相同的單位向量是普J(rèn)。,竺,-g],故A正確;

\ABI55J

ABACAC4(-2,2,0)/一八、.十諾

對于B,而在前5上的投影向量是下不.同=&E=(TL°)'故B正確;

對于c,cos(而,、)=絲,吧=-：,故c錯(cuò)誤;

\/|AB||BC|5

對于D,設(shè)平面ABC的法向量是k=(無,y,z)，

?,AB-n=0?f2y-z=0人力/口

則＜_.，即n《"，令尤=1，可得y=l，z=2,

AC-n=0[-2x+2y=Q

所以平面ABC的一個(gè)法向量是為=(1,1,2),

原點(diǎn)0(0,0,0)到平面ABC的距離d=W臼=1(2，。，吧』，2)|=宜|,

\n\V63

坐標(biāo)原點(diǎn)0(0,0,0)關(guān)于平面ABC的對稱點(diǎn)是2d「故D正確.

故選：ABD.

11.答案：ABD

22

解析：對于A,因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線方程為M=i(a〉o),

a2a2

所以2_二=1，解得/=8,得到雙曲線的方程為好―y2=8,正確，

aa

對于B,如圖，由題知N「PT=NBPT，NF[PT=NQPM,所以NMPQ=NgPT,

若HP上TM，所以NF2PH=NQPH,正確，

對于C,記|尸片|=相，\PF2\=n，

2

所以閨入「=m2+幾2_2mncosAFxPF2=（m-n）+2mn-2mncosZFxPF2，

2h2i

又|4E|=2c，m-n=2a?得至Umn=-----------------，XS^=—mnsinZf；PF，

FP1F22

1-COSZF1PF22

c_12b2./…一/

所以AFFB_2x]_cos/.Pgxsin12-tanNF*，又/耳尸&二,，

12

由—mn=----=8，得mn=16，錯(cuò)誤，

2tan45°

對于D,因?yàn)镹-P￡=60。，\PF\=m.,\PF2\=n,

lS—mHsin60°=-，得mn=32，

2tan30°

又m-ri=4\[^9得到加2_2加〃+〃2=32，得到W+/=95,

從而有（根+〃）2=160，得至tla+〃=4\/IU，

111

由一加?IP7lsin30。+—“?IPT|sin30。=-----,得到!（加+〃）|尸7麻1130。=--—

211211tan30°2、n1tan30°

2月，解得警

從而有g(shù)（m+叫PT,in30。b8|PT|=正確,

tan30°

故選：ABD.

12.答案:5

解析：拋物線＞2=?焦點(diǎn)/(1,0),準(zhǔn)線方程為x=_i，

如圖，過尸作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于。，|「石=歸。］，過M作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于

N,

貝可。閘+歸耳=|產(chǎn)射+歸@習(xí)AGV|=5,當(dāng)P,M,N共線時(shí)取等號,

所以|PM|+|PF|的最小值為5.

故選:5

解析：由于兩直線平行，所以lx2=(l+m)〃7,解得"2=1或機(jī)=-2，

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，兩直線方程為x+2y-2=0、x+2y+4=0,符合題意.

當(dāng)機(jī)=—2時(shí)，兩直線方程為x—y—2=0、一2x+2y+4=0,

即x-y-2=0、x-y-2=0,兩直線重合，不符合題意.

所以m的值為1.

故答案為：1

14.答案：①.巴；②.史

22

解析：以中點(diǎn)。為原點(diǎn)，直線Q4為x軸，直線08為y軸，過點(diǎn)。與平面ABC垂

直的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

底面ABC是邊長為2的等邊三角形，AB=BC=AC=2^AO=5

D,E分別是AC，AB的中點(diǎn)，且VA=VD=VE=1，

所以三棱錐V-AED為正四面體，作陽_L平面ABC于點(diǎn)m

則H為等邊三角形AED的重心，

AHAMAO=—^HM=旦，VH=y/vA^-AH2=--

33363

則0(0,0,0),4(73,0,0),5(0,1,0)，C(0,-l,0),V半,0,半，

貝1灰=（0,-2,0），VB=—空,1,一星,AB=（-A1,O）.

、33J

設(shè)而=（x,y,z）為平面VBC的一個(gè)法向量，

BCn=O[~2y=°

則__，即2^/3R八，

VB?〃=0----%+y----z=0

I〔33

令％=1，則y=0,z=-0，

則為=（1,0,-為平面VBC的一個(gè)法向量，

又VA=，所以內(nèi)//方，

所以直線期與平面沖C所成角為N

2

因?yàn)椤鱀OC，△E06都為等邊三角形，DO=OC=OB=OE=1，

所以球心在過6c中點(diǎn)與平面ABC垂直的直線上，

設(shè)球心G（0,0,m）,半徑為七則VG=GC=H，V^,0,—,C（0,-l,0）,

、33,

所以±+[機(jī)—I]=1+療=叱，解得加=Yl,R=叵,

3I3J44

故四棱錐V—BCDE的外接球的表面積為止.

2

故答案為：三,四.

22

15.答案：(1)n=W；

(2)8；

(3)660

解析：(1)在(l+2x)2+(l+2x)3+…+(l+2x)"=9+。/+出好+…中,

令％=0，得〃_1=9，所以〃=10.

(2)it(1+2x)2+(1+2x)3+???+(1+2x)10=9+。］%+。2/+…+60儲(chǔ)°中，

X=—1,彳導(dǎo)9—6+a,—+,,,一cig+Gt］。—1—1+1—1+,,,+1—1+1=1,

以（q+/+%+???）—（a2+。4+。6+■,）=8.

（3）（l+2x）"的展開式的通項(xiàng)公式為&i=C；（2x〈=2，C：￡,

因此g=2?（C；+C；+C：+…+C；0）=4（C；+C；+C；+…+C；0）=4C]=660,

所以4=660.

16.答案：（1）BM=--a-\--b+c

22

⑵76；

⑶旦

3

解析：（1）如圖，連接4啰，AC，

因?yàn)镸=]，AI)=b>M=?,

在△AA3中，根據(jù)向量減法法則可得麗；=麗—通=0一萬，

因?yàn)榈酌鍭BCD是平行四邊形，所以尼=而+屈=&+石，

因?yàn)锳C〃4G且|AC|=|AG|，所以后=衣=彳+5，

又因?yàn)椤盀榫€段4cl的中點(diǎn)，所以不對'=gk+石)，

在△AAffi中，BM=1^+^=c-a+^a+b)=-^a+^b+c;

(2)因?yàn)轫旤c(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都是1,且它們彼此的夾角都是60。，

所以灑6=同|方卜。560。=，a-c=\a\-|c|cos60°=-c=|/?|-|c|cos60°=>

由⑴可知旅=4+八

所以在平行四邊形4AC￡中，AQ=AC+AA^=a+b+c

|ACJ|=Ac/=(a+b+c)2=a2+b2+c"+2a-b+2a-c+2b-c

=|aI2+15|2+1c|2+21a|?|^|cos60°+21a|?|c|cos600+21b\\c\cos60°

=l+l+l+2x-+2x-+2x-=6，

222

所以|福卜布,故對角線AC】的長為布；

（3）因?yàn)锳C]=M+B+｝，AB=a'

d-\a+b+c

所以cos（通，房'）AB-AC,

HH=1x76

_a~+a-b+a-c_^+2+2_2_A/6.

瓜y]6A/63

17.答案：（1）>2=4%；

（2）32

解析：（1）設(shè)圓〃的半徑為廣，圓必+產(chǎn)一2%=0的圓心廠（1,0），半徑為1，

因?yàn)閳AM與圓R內(nèi)切，且與直線x=—2相切，

所以圓心M到直線尤=一2的距離為「，因此圓心〃到直線％=-1的距離為一1，且

MF=r—l，故圓心M到點(diǎn)F的距離與到直線％=一1的距離相等，

據(jù)拋物線的定義，曲線E是以尸（1,0）為焦點(diǎn)，直線％=—1為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線E

的方程為y2=4x.

⑵設(shè)直線AB的方程為x=kV+l，mW。，A（x1,y1）,B（j;2,y2）.

聯(lián)立方程組F=my+L整理得y2—44=0,故["+%=4%

〔K=4x,〔%為=-4,

所以AB=AF+BF=玉+1+犬2+1=Wi+1+1+my?+1+1

=W（X+%）+4=4加2+4.

因?yàn)锳BLCD，直線CD的方程為兀=-，y+l，

m

同理可得8=3+4.

m

所以S=LAB.C￡>=工（4加2+4）（3+4]=8（2+〃/+二]

22V'I療J（點(diǎn)）

當(dāng)且僅當(dāng)療=3，即加=±1時(shí)，取等號.

m

所以四邊形ABCD面積S的最小值為32.

(2)叵;

10

(3)存在點(diǎn)E在靠近用的三等分點(diǎn)處

解析：(1)過A作直線z,平面ABCD，

則可以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則有4(0,0,0),3(1,0,0)，C(l,l,0),￡>(0,2,0),耳(1,1,2),C(1,1,2),

則西=(0,0,2)，CD=(-1,1,0)?工'=西=(0,1,2)

設(shè)面耳CD的一個(gè)法向量為為=("#,.),則尸1=2吁0,

n-CD=一"+v=0

令〃=1,貝！Jv=l，w=0,所以元

所以點(diǎn)C到面BQD的距離d」℃臼=工=Y1.

向V22

（2）因?yàn)镋為gO的中點(diǎn)，所以

所以順=（；,|,1）由=函=（0,1,2），

AEDD^_2+2

所以cos（荏,力耳）V70

網(wǎng)國￥+■

所以異面直線OR與AE所成角的余弦值為叵?

10

⑶^DE=ADB,=2（1,-1,2）=（2,-2,22），其中0<2Wl，

則*=而+詼=（42_42丸），AC=（1,1,0）>AT）=（0,2,0）

設(shè)面ACE的一個(gè)法向量為為=（無,y,z），

\n-AE=2x+（2-2）y+22z=0.,

則n有一I"，令x=2,貝力=—X，z=l-2

n-AC=x+y=0

所以，平面AC￡的一個(gè)法向量為為=（%-41一丸），

設(shè)平面ADE的一個(gè)法向量為初=（。也c），

口11沆?A￡=4〃+（2-2）b+2%c=0人.

則一''，令c=l，則n6=0，〃=—2，

m?AD=2Z?=0

所以平面ADE的一個(gè)法向量為仇=（-2,0,1）,

/一_\m-n1-3A

所以小’立麗=瓦匹Ep

若存在點(diǎn)E,使得二面角C—AD—E的余弦值為立，

則——’3一旦,所以3萬-2X=0,解得2=0（舍去）或4=2,

y/5-yJA2+A2+（l-A）25