第12講函數與方程

知識梳理

一、函數的零點

對于函數y=/(尤)，我們把使〃同=0的實數x叫做函數y=/(x)的零點.

二、方程的根與函數零點的關系

方程”同=0有實數根0函數尸“X)的圖像與x軸有公共點o函數尸〃x)有零

點.

三、零點存在性定理

如果函數>="X)在區(qū)間［凡句上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有

那么函數y=在區(qū)間(a,b)內有零點，即存在ce(4,b),使得

〃c)=O,c也就是方程"尤)=0的根

四、二分法

對于區(qū)間［a,0上連續(xù)不斷且0的函數/(x),通過不斷地把函數的

零點

所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方

法叫做二分法.求方程〃龍)=0的近似解就是求函數“同零點的近似值.

五、用二分法求函數/(x)零點近似值的步驟

(1)確定區(qū)間［a,6］,驗證/(a)"(6)<0,給定精度￡.

(2)求區(qū)間(a,6)的中點X1.

(3)計算"xj.若〃再)=0,則不就是函數的零點；若再)<0,貝(J令

6=占(此時零點尤°).若/'優(yōu))"(%)<0,則令a=±(此時零點尤°)

(4)判斷是否達到精確度￡,即若卜-耳<￡,則函數零點的近似值為"(或b)；否

則重復第(2)—(4)步.

用二分法求方程近似解的計算量較大，因此往往借助計算完成.

【解題方法總結】

函數的零點相關技巧：

①若連續(xù)不斷的函數/(尤)在定義域上是單調函數，則/(元)至多有一個零點.

②連續(xù)不斷的函數/(X),其相鄰的兩個零點之間的所有函數值同號.

③連續(xù)不斷的函數〃X)通過零點時，函數值不一定變號.

④連續(xù)不斷的函數/(無)在閉區(qū)間必，句上有零點，不一定能推出/m)/(6)<o.

必考題型全歸納

題型一：求函數的零點或零點所在區(qū)間

【例1】(2024?廣西玉林?博白縣中學?？寄M預測)已知函數以幻是奇函數，且

/(無)=〃(尤)+2,若x=2是函數y=/(x)的一個零點，則〃-2)=()

A.-4B.0C.2D.4

【答案】D

【解析】因為x=2是函數y=/(x)的一個零點，則"2)=0,于是〃2)=H2)+2=0,即

%(2)=-2,

而函數以幻是奇函數，貝U有以-2)=-縱2)=2,

所以/(-2)=心2)+2=4.

故選：D

【對點訓練11(2024?吉林?通化市第一中學校校聯考模擬預測)已知與是函數

/(x)=tanx-2的一個零點，貝!]sin2%的值為()

A.--B.--C.-D.-

5555

【答案】D

【解析】因為N是函數/(x)=tanx-2的一個零點，

所以tanX。-2=0,即tan=2,故cos尤0w0,

則sin'x_2sinxo-cosx()_2tanx0_4

222

'sinx0+cosx01+tanx05'

故選：D.

【對點訓練2】(2024?全國?高三專題練習)已知函數

/(%)=2，+%遙(％)=1082彳+%/心)=1082》-2的零點依次為〃,仇。，則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

【答案】A

【解析】對于〃x)=2*+x,顯然是增函數，/(0)=1>0,/(-1)=-1<0,所以〃尤)

的唯一零點。;

對于g(x)=log2X+x，顯然也是增函數，==，所以g(x)的唯一

零點6m；

對于/z(x)=log2X-2,顯然也是增函數，/z(4)=log24-2=0,所以/z(x)的唯一零點

c=4；

/.a<b<c；

故選：A.

【對點訓練3】(2024?全國?高三專題練習)已知/(x)=ex+ln尤+2,若看是方程

/(x)-_f(x)=e的一個解，則與可能存在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

【解析】r(x)=e，+L所以--(x)=e*+hu+2-口=lnx-』+2,

因為X。是方程〃X)—r(x)=e的一個解，

所以與是方程由》-:+2_6=0的角軋^g(.r)=liuc-^+2-e,

則g'(x)=1+3，當x>。時，g'(x)=，+3>。恒成立，

所以g(x)=lnx-’+2-e單調遞增，

131S

Xg(2)=ln2--+2-e=ln2+--e<0,g(3)=ln3-j+2-e=ln3+--e>0,

所以毛s(2,3).

故選：C.

【解題總結】

求函數/(X)零點的方法：

(1)代數法，即求方程/(x)=0的實根，適合于宜因式分解的多項式；(2)幾何

法，即利用函數_y=/(x)的圖像和性質找出零點，適合于宜作圖的基本初等函數.

題型二：利用函數的零點確定參數的取值范圍

【例2】(2024?山西陽泉?統(tǒng)考三模)函數/(力=。2%+f+用在區(qū)間(1,2)存在零

點.則實數:"的取值范圍是()

A.(—℃,—5)B.(―5,—1)C.(1,5)D.(5,+oo)

【答案】B

【解析】由7=1嗎%在(0,+功上單調遞增，%=/+僅在(0,+8)上單調遞增，得函數

/(x)=log2x+fm在區(qū)間(0,+e)上單調遞增,

因為函數/(x)=log2X+f+m在區(qū)間(1,2)存在零點，

所以凰U,即=解得一51，

2

[/⑵>0|^log22+2+m>0

所以實數m的取值范圍是(-5,-1).

故選：B.

3

【對點訓練4】(2024?全國?高三專題練習)函數〃尤)=2,-3-a的一個零點在區(qū)間

X

(1,3)內，則實數。的取值范圍是()

A.(7,+co)B.(-oo,-l)C.(F,-1)U(7,+<?)D.(-1,7)

【答案】D

3

【解析】???y=2，和.=-3在(0,+網上是增函數,

x

3

/(%)=2工一二一。在(0,+8)上是增函數，

x

二只需〃1>〃3)<0即可，即(―1—a)-(7-a)<0,解得需<a<7.

故選：D.

2

【對點訓練5】(2024?河北?高三學業(yè)考試)已知函數是R上的奇函數,

2+1

若函數y=/(x-2〃?)的零點在區(qū)間(-1,1)內，則〃?的取值范圍是()

A.B.(-LDC.(-2,2)D.(0,1)

【答案】A

【解析】：/⑶是奇函數，.?./(())=。一一=0,a=l,/(%)=1---,易知/⑶在R

1+12+1

上是增函數，

/⑶有唯一零點0,

函數y=2㈤的零點在區(qū)間(—1,1)內，???x—2機=0在(-M)上有解，m=j,A

/11、

me.

故選：A.

【對點訓練6】(2024?浙江紹興?統(tǒng)考二模)已知函數〃x)=lnx+加+6,若/⑺在區(qū)

間［2,3］上有零點，則成的最大值為.

【答案】*

【解析】設/(%)=0，⑤e［2,3］,則1叫,+謁+6=0,

止匕時b=-lnx0-甌,貝"ah二-alwc0-aXQ,

g(a)=—CIIWCQ—〃一；=—XQCIT-------+

I2xoIfe)'

當”一是時曹(

記〃。)=宇，則抑無)=與學，

2九2x

所以〃(無)在［2,e)上遞增，在［e,3］上委弟減，

故以X)max="(e)=(,所以g(a)max=］InXo)_1

2^7)一方，

所以曲的最大值為，石.

4e

故答案為：

【對點訓練7】(2024?上海浦東新-高三上海市進才中學校考階段練習)已知函數

/(x)=sin辦-〃sin%在(0,2兀)上有零點則實數。的取值范圍_________.

【答案+s]u{0}

【解析］當a>］時，0〈巴<兀，/—=sin6Z---6/sin—=-tzsin—<0,

a［a}\a)aa

故/[：)/⑶由零點存在性定理知：/*)在區(qū)間上至少有1個零點;

當0=1時，/(x)=o,符合題意;

]兀兀

當一＜々＜1時，兀＜一＜2兀,一＜。兀＜兀,兀＜2〃兀笈＜2兀,

2a2

/[—|=-tzsin—＞0,/(兀)=sinan＞0,/(2K)=sin2an＜0,

\a)a

由零點存在性定理知，/(%)在區(qū)間(兀,2兀)至少有1個零點;

當0＜〃(工時,

2

/'(%)=acosax-acosx=Q(COSax-cosx)

ax+xax—x.ax+x.ax—x(ctx+xax—x.ax+x.ax—x

=acos--------cos----------sin--------sin----------cos----------cos--------1-sin---------sin--------

222212222

小.(a+I)x.(a-l)x

=-2asin---------sin----------,

22

因為0<。4工，xe(0,2TL),所以一兀――<0,sin———<0,

222

當無€(0,生)時，0<絲土如〈兀，sin絲業(yè)>0,(無)>0J(x)遞增，

a+122

、［//2兀_,(a+l)x3兀.(Q+1)X八「，,、八、、當、小

當工￡(---,2兀x)n時，71<----------<—sin----------<0,f(x)<0,/(P%z)遞減，

a+122f2

27r2,71

故/⑴在(0,多)上遞增，在(V，2TT)上遞減，

a+1a+1

又/'(0)=0,/(2兀)=sin2OTI20,即在(兀,2兀)上，f(x)>0,

故/(x)在區(qū)間(0,27t)上沒有零點.

所以，當時，函數/(x)=sinox-°sinx在(0,2兀)上有零點.

令0(。)=sin辦一asinx,(P(~CL)-sin(-ox)+tzsinx=-sinax+asinx=~(pz3jilz61osys,

可知夕(。)=sinax-asin尤為奇函數，圖象關于原點對稱,

從而，當a<-；時，函數/(x)=sinax-〃sinx在(0,2兀)上有零點.

又當a=0時，/(x)=0,符合題意，

綜上，實數°的取值范圍[%-；H，+ju{。}.

故答案為：5K5，+°°]u{o}.

【解題總結】

本類問題應細致觀察、分析圖像，利用函數的零點及其他相關性質，建立參數關系，

列關于參數的不等式，解不等式，從而獲解.

題型三：方程根的個數與函數零點的存在性問題

[例3](2024?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？寄M預測)己知實數尤,y滿足

InJ2y+l+y=2,e*+尤=5,貝!!x+2y=.

【答案】4

【解析】由InJ2y+l+y=2,即InJ2y+1=2-y,

即e4-2y=2y+l,

令4-2y=f,則2y=4-t,

即e'=5-f，即e'+Z-5=0.

由e*+尤=5,得6*+%-5=0,

設函數/(力=/+%-5,顯然該函數增函數，

又“I)."2)=(e_4)x(e2-3)<O,

所以函數/(x)=e，+x—5在(1,2)上有唯一的零點，

因此/=工，即4—2y=尤，

所以x+2y=4.

故答案為：4.

【對點訓練8】(2024?新疆?校聯考二模)已知函數/(力=渥+3/一4,若“X)存在唯

一的零點%,且％<0,則。的取值范圍是.

【答案】

【解析】因為/(%)=加+3x2-4,所以/'(%)=36之+6%=3，(av+2)

當。=。時，W/(X)=3X2-4=0,解得》=±半，所以當。=0時，"X)有兩個零點，不

符合題意；

當a>0時，由尸(x)=0,解得彳=0或》=_5，且有/(O)=T,f^-^=±-4,

當xe［co,-f\x)>Q),在區(qū)間(-鞏-胃上單調遞增；

當/'(x)<。，〃x)在區(qū)間,jo］上單調遞減；

當xe(O,y),f\x)>0,〃尤)在區(qū)間(0,+e)上單調遞增；

又因為〃0)=T<0,

所以了目0,,/(x)存在一個正數零點，所以不符合題意;

7

當〃<0時，令1(x)=o,解得x=0或％且有〃o)=y,f

4a-4

當xe(-?,0),/'(x)<0,〃尤)在區(qū)間(—e,0)上單調遞減;

0,-j\/^x)>0,/(x)在區(qū)間0,-2］上單調遞增;

當xe

aJ

當了J—2,+8

,r(x)<0,在區(qū)間一上單調遞減;

Ia

Sa

又因為〃0)=T<0,f

所以/(x)存在一個負數零點，要使/Xx)存在唯一的零點小,

4

則滿足了/一4<0,角軍得4<一1或。>1,又因為Q<0,所以av-l,

綜上，。的取值范圍是

故答案為：(YO,-1).

x2+4x+a,x<0

【對點訓練9】(2024?天津濱海新-統(tǒng)考三模)已知函數/(尤)=1,若函

--F6Z+1,X>0

IX

數鼠無)=/(九)-依T在R上恰有三個不同的零點，則〃的取值范圍是

【答案】(FT)U[1,2)

X2+4x,x<0

【解析】當。=0時，/（兄）=<1

---F1,X>0

lx

因為廉元)=〃司-雙T恰有三個不同的零點,

函數g(x)=〃x)T在R上恰有三個不同的零點，即/(力=1有三個解,

而工+1=1無解，故。/0.

X

當a>0時，函數g(x)=〃x)-?-1在R上恰有三個不同的零點，

即〃x)=6+l,即y=/(x)與y=ox+l的圖象有三個交點，如下圖,

當x>0時，/(x)=J+4+1與y=ox+l必有1個交點，

所以當x<0時，/(%)=f+4尤+。有2個交點，

即/+4%+。-6-1=0,即令力(尤)=犬+(4—a)x+a-1=0在內有兩個實數解,

A>0（4-a）2-4（a-l）>0

A（0）>0=><a>\=>1<Q<2,

4-a八a<4

--------<0

2

當a<0時，函數g(x)=〃x)-ar-l在R上恰有三個不同的零點，

即/(x)=or+l,即y=/(x)與y=6+l的圖象有三個交點，如下圖,

當x<0時，/（力=犬+4彳+<7必有1個交點，

當x>0時，/（無）=:+。+1與y=ox+l有2個交點，

所以：+。+1=依+1,即依2-0^-1=0在（。,+00）上有2根,

令左⑴=加-ax-l

A>0

故<%（0）=—1<0=。2+4〃〉0,解得：Q<-4.

—a1

x=----=一

I2a2

綜上所述：。的取值范圍是（f,-4）U[l,2）.

故答案為：（F,-4）UU2）.

【對點訓練10]（2024?江蘇?校聯考模擬預測）若曲線y=xlnx有兩條過（e,a）的切線,

則a的范圍是.

【答案】（—,e）

【解析】設切線切點為(毛,%),因(xln"=lnx+l,則切線方程為：

'=(ln/+1)(%-%)+/ln%=(in/+1)x-%.

因過(e,a),則a=(in/+l)e-%,由題函數/(x)=(inx+1)e-x圖象

與直線，=。有兩個交點(x)=與T=-~,

\/XX

得〃x)在(0,e)上單調遞增,在(e,+s)上單調遞減.

又〃尤)?x=/(e)=e，xfO,7(x)-,

據此可得〃x)大致圖象如下.則由圖可得，當ae(3,e)時，曲線y=xlnx有兩條過(e,a)

的切線.

故答案為：(r?,e)

【對點訓練1。(2024?天津北辰?統(tǒng)考三模)設aeR,對任意實數無，記

〃x)=min{e:2,e"-ae，+a+24}.若有三個零點，則實數。的取值范圍是

【答案】(12,28)

【解析】令g(x)=e*=e"-ae*+。+24,

因為函數g(x)有一個零點，函數/z(x)至多有兩個零點，

又〃尤)有三個零點，

所以/z(x)必須有兩個零點，且其零點與函數g(x)的零點不相等，

且函數網力與函數g(x)的零點均為函數/'(x)的零點，

由g(x)=O可得，er-2=0,所以x=ln2,

所以x=ln2為函數〃力的零點，

Bp/?(ln2)=e21n2-fleln2+?+24=4-2cz+?+24=28-?>0,

所以"28,

令g)=0,可得e2=g￡+。+24=0,

由已知e?x—ae*+a+24=0有兩個根，

設則/-m+a+24=0有兩個正根，

所以。2—1(。+24)>0,a>0,a+24>0,

所以。>12,故12<a<28,

當12<a<28時，/_必+°+24=0有兩個根，

設其根為％出，則。2>|"，

設廠(7)=?—勿+口+24,貝I]/(2)=4-2a+a+24=28—a>0,F1||<0,

所以1>2,

令e*=G，e*=t2,則玉=歷4，尤2=ln/2,

則〃(%)=0,馬)=0,

ln,lnt2

>g(x1)=e'-2=Zj-2>0,g(x2)=e-2=r2-2>0,

所以當12<a<28時，/(^)=/(x2)=0,

所以當12<“<28時，不馬為函數〃x)的零點，又x=ln2也為函數〃x)的零點，

且不,三與in2互不相等，

所以當12<。<28時，函數/'(%)有三個零點.

故答案為：(12,28).

【對點訓練12](2024?廣東?統(tǒng)考模擬預測)已知實數m,〃滿足

2023-2m3-ln2

----------m=--------Inn-In(2e2020)=0,貝Umn=__________.

2nv7

3

【答案】-e

4

2023-2m

【解析】因為^------m=0,所以。2°23-2加—2m=0,

2

故e2023=2me2fn,即2m+In2m=2023,

BPe1n2"+in2加=2023.

3-ln2

由-----In〃-In(2e2020)=0,得e3-ln2n+3-In2n=2023.

nv7

令/(x)=x+e"，因為增函數+增函數=增函數，所以函數在R上單調遞增，

而〃ln2m)=〃3—ln2〃)=2023,故ln2加=3—ln2〃，解得ln4/m=3,貝U加〃=[.

3

故答案為：-e

4

【解題總結】

方程的根或函數零點的存在性問題，可以依據區(qū)間端點處函數值的正負來確定，但是

要確定函數零點的個數還需要進一步研究函數在這個區(qū)間的單調性，若在給定區(qū)間上是單

調的，則至多有一個零點；如果不是單調的，可繼續(xù)分出小的區(qū)間，再類似做出判斷.

題型四：嵌套函數的零點問題

Y2I_1丫丫II

【例4】(2024?全國?高三專題練習)己知函數〃司=2',若關于x的方

—12尤-+1,x>0

程「(力-(左+1)4(力+丘2=0有且只有三個不同的實數解，則正實數％的取值范圍為

A.B.1,lp（l,2）C.（O,1）U（1,2）D.（2,+s）

【答案】B

1c

x2+—x,x<0

2

【解析】因為〃X）=2x,0<xwg,

由r(x)-(左+l)4(x)+小=。可得［/(尤)-4［〃*)-履］=。，

所以，關于X的方程/(x)=尤、/")=丘共有3個不同的實數解.

①先討論方程/(x)=x的解的個數.

當xVO時，由/(x)=x2+gx=尤，可得x=0,

當時，由/'(x)=2x=x,可得xe0,

12

當％〉一時，由/(力=2-2x=x,可得工=一，

23

2

所以，方程〃％)=%只有兩解x=0和x=§；

②下面討論方程/■(%)=kx的解的個數.

當xV0時，由/(X)=『+gx=正可得x］x+g_左］=0,可得x=0或彳=左_；,

當時，由/(x)=2x=Ax,可得左=2,此時方程〃力=區(qū)有無數個解，不合乎題

后、9

io

當%>—時，由=2—2x=Ax可得x=-------,

2左+2

11L1

k——<0k——<0k——>0

222

2132221

因為左>。，由題意可得<W或<—或〉

人+212Z+23左+22

k>0左>022

〔左+23

解得,工左<1或lvk<2.

2

因此，實數上的取值范圍是

故選：B.

已知函數〃尤)=|哪-卜

【對點訓練13)(2024?全國?高三專題練習)21則關于X的方

程尸（*+〃獷（x）+a=0有7個不同實數解，則實數利〃滿足（）

A.m>0_&n>0B.m<05.n>0

C.0<用<1且〃=0D.—IVMVO且〃=0

【答案】C

【解析】令〃=/(無)，作出函數〃=/(x)的圖象如下圖所示:

由于方程〃~+mu+n=0至多兩個實根，設為a=%和"="2,

由圖象可知，直線"=%與函數"=/(力圖象的交點個數可能為0、2、3、4,

由于關于尤的方程r(x)+時(x)+〃=0有7個不同實數解，

則關于"的二次方程"2+m1/+〃=0的一根為/=。，則〃=0,

則方程+加〃=0的另一根為％=-加，

直線"=%與函數M=圖象的交點個數必為4,則-1VV。，解得0<加<1.

所以0<m<1且〃=0.

故選：C.

【對點訓練14］（2024?四川資陽?高三統(tǒng)考期末）定義在H上函數/（%）,若函數

y=1）關于點（1,0）對稱，且/"）=aJ、則關于工的方程

r（司-2時3=1（〃2€尺）有“個不同的實數解，則n的所有可能的值為

A.2B.4

C.2或4D.2或4或6

【答案】B

【解析】?.?函數y=/（x—1）關于點（1,0）對稱，.??/（X）是奇函數，x>0時，了⑺在（0,1）上

遞減，在［1,+8）上遞增，

作出函數/（無）的圖象，如圖，由圖可知/（x）=f的解的個數是1,2,3.

/<一1或/>1時，/（x）=f有一個解，f=±l時，/（幻=，有兩個解，一1</<1時，/0）=/有

三個解，

方程嚴（切一2材（x）=l中設/'（尤）=乙則方程化為產一2皿-1=0,其判別式為

A=4加恒成立，方程必有兩不等實根，％/，+?2=2m,“2=-1，兩根一正一

負，不妨設;<。,/2>。，

若相=0,則4+馬=0,）=-1,/2=1，/（尤）=（和/（。）=，2都有兩個根，原方程有4個根；

若加>0,則4+才2>0,f2>同,?M>1，Tj<0,/（尤）=4有三個根，f（無）=22有一

個根，原方程共有4個根；

若相<0,貝M+f2<0,巧<|%|，二°</2<1，％<T，/（尤）=4有一個根，/（0=右有三

個根，原方程共有4個根.

綜上原方程有4個根.

故選：B.

【對點訓練15](2024?全國?高三專題練習)已知函數/(x)=(x2-x-l)e，，設關于x的

方程產(無)-時。)=-(meR)有〃個不同的實數解，則n的所有可能的值為

e

A.3B.1或3C.4或6D.3或4或6

【答案】A

【解析】尸(x)=(x—l)(x+2)e1J(x)在(一夕―2)和。,+⑹上單增，(-2,1)上單減,又當

Xf-8時，/⑺-0,Xf+00時，+8故“X)的圖象大致為：

令”1,則方程“小;。必有兩個根，用且科―，不仿設…氣，當

4=-e時，恰有^=5"2,此時/⑺―，有1個根，f(%)=?2,有2個根，當％<-e時必

有0<弓<5-2,此時〃x)="無根，/(Hf有3個根，當-e<4<0時必有馬>51，此

時/(x)=%有2個根，f(x)=t2,有1個根，綜上，對任意meH,方程均有3個根，故選

A.

【解題總結】

1、涉及幾個根的取值范圍問題，需要構造新的函數來確定取值范圍.

2、二次函數作為外函數可以通過參變分離減少運算，但是前提就是函數的基本功要扎

實.

題型五：函數的對稱問題

【例5】(2024?全國?高三專題練習)已知函數f(x)=2x+：&4x421的圖象上存在點

P,函數g(x)=or-3的圖象上存在點。，且P,。關于原點對稱，則實數a的取值范圍是

A.H，0]B.o,|C.[0,4]D.1,4

|_oJ|_o

【答案】c

【解析】由題意，函數g(x)=Q-3關于原點對稱的函數為-y=-ar-3,即>=依+3,

若函數g(x)=ar-3的圖象上存在點。,且尸，。關于原點對稱，

則等價為/(力=依+3在gvxW2上有解，即2尤+二=ax+3,在gvxW2上有解，

由尤)=2X+4,貝I]/，(X)=2—W=

XXX

當xe(l,2]時，f^x)>0,此時函數為單調增函數；

當xeg,l)時，尸(力<0,此時函數/(x)為單調減函數，

即當％=1時，取得極小值同時也是最小值，且"1)=3,即B(l,3),

當x時，y=l+4=5,即A(g,5),

設/z(x)=av+3,要使得〃x)=/i(x)有解，

則當//(%)過點B時，得。=0,過點A時，).+3=5,解得。=4,

綜上可得04aW4.

故選C.

【對點訓練16](2024?全國?高三專題練習)已知函數/(0=靖，函數g(x)與/(x)的圖

象關于直線丫=龍對稱，若〃(x)=g(x)-反無零點，則實數上的取值范圍是()

A.g,e]B.g,e]C.(e,+oo)D.g'+0°]

【答案】D

【解析】由題知g(尤)=lnx,〃(x)=g(x)-丘=0=左=皿，設尸(x)=止=>尸，(x)=1y*,當

XXX

P(x)<0時，xe(e,y),此時/(x)單調遞減，當F(無)>0時，xe(0,e),此時/(x)單調遞

增，所以尸(x)1Mx=F(e)=L/(x)的圖象如下，由圖可知，當％/時，>=尸(此與丫=左無

ee

交點，即以x)=g(%)-質無零點.

【對點訓練17](2024?全國?高三專題練習)己知函數y=a-21n尤,pVxWe)的圖象上

e

存在點"，函數y=f+l的圖象上存在點N,且N關于x軸對稱，則。的取值范圍

是()

A.[1-e?,-2]B.-3-4,+勿

【答案】A

【解析】因為函數y=f+l與函數y=的圖象關于x軸對稱，

根據已知得函數y=a-21nx,d〈xWe)的圖象與函數y=-1的圖象有交點，

e

即方程。一21nx=-爐一1在一,e上有解，

e

即a=21nx—X?—1在X6—,e上有解.

e

令g(%)=21n%—12—i,XG-,e,

貝Ug,(x)=2-2x="士=，

XXX

可知g(x)在1,1上單調遞增，在［l,e］上單調遞減，

故當x=l時，g(x)M=8⑴二之

由于gg)=_3_J,g(e)=l-e2,且一3一：>1-/,

所以1—匕22.

故選：A.

【對點訓練18】(2024?全國?高三專題練習)已知函數g(x)=a-f(L<x<e>e為自

然對數的底數)與旗x)=21nx的圖象上存在關于x軸對稱的點，則實數。的取值范圍是

A.1,—+2B.[1,/—2]

C.—+2,e2-2D.[f—2,+oo)

【答案】B

【解析】設Mx)上一點“優(yōu),2111與)，-<x0<e,且M關于X軸對稱點坐標為

e

r

Af(x0,-21nx0),We在g(x)上，

e

.?.—Zin/=。一君(：WxWe)有解，即片一21nx0有解.

令/(x)=r_21nxp■VxVe],則廣⑴=2.二=2口+1)(工-1),1<%<€)

\)xxe

.?.當xeJ”時，/，(x)<0；當xe(l,e]時，用X)>0,\/⑴在上單調遞減；在

(1,e]上單調遞增

???〃％="1)=1,d]=：+2,")=/-2,

x；-21n毛=a14xWej有解等價于y=a與y=〃x)圖象有交點,

/(l)<a</(e):.a^^l,e2-2^.

故選：B

【解題總結】

轉化為零點問題

題型六：函數的零點問題之分段分析法模型

[例6](2024?浙江寧波?高三統(tǒng)考期末)若函數/(x)=2e-+—Inx至少存在一

X

個零點，則加的取值范圍為()

A.^-co,e2+-B.e2+-,+oo^C.e+-D.e+L+ooj

【答案】A

【解析】因為函數/(尤)=匕務舊竺二叵至少存在一個零點

X

所以丁一2一+m一11^=0有解

X

即加=-%2+2"+^^有解

X

令h^x)=—x2+2ex-\------,

貝|J〃(％)=-2x+2e+--

7"\。c1-lnx>j。-3x+2x\nx—3尤一2x4+2jdnx_3%―2%(%3卜X)因

/i(x)=[-2x+2e+——-—I=-2+----------

為％>0,且由圖象可知了3>inx,所以〃")<。

所以"(%)在(0,+8)上單調遞減，令"(x)=0得尤=0

當0<x<e時〃(￡)>。，h^x)單調遞增

當x>e時/x)<0,〃(x)單調遞減

所以〃(x)max=Me)=e2+：

且當Xf+00時/z(x)f-00

所以機的取值范圍為函數八(力的值域，即

故選：A

【對點訓練19】(2024?湖北?高三校聯考期中)設函數/(%)=/—2ex2+m—inx,記

g(x)=1,若函數g(x)至少存在一個零點，則實數小的取值范圍是

A.卜B.C.^0,e2+—D.co,e2+—

【答案】D

【解析】由題意得函數/(x)的定義域為(0,+/).

T7/、/(%)2cInx

又,g(x)=------=x—2ex+Tn-----,

xx

??,函數g("至少存在一個零點，

方程f-2ex+加一有角軋

x

BPm=—x2+lex+有解.

x

1nJC

令""(%)=—%2+2cxH------,%>0,

x

mi，/、1-lnx?、1-lnx

貝!J(p(x)=-2x+2e+=2(e-x)+——--,

xx

???當無￡(0,e)時，0'0)>0#(%)單調遞增;當X￡(G+8)時,0’(九)〈0,0(%)單調遞減.

21

，0(%)max="(e)=e+-.

e

又當了—0時，夕(%)——8；當光—4W時，夕(%)——oo.

Inx]

要使方程機=—%2+2e%+----有解，則需滿足加4/+-，

xe

,實數機的取值范圍是(-Si+■!■].

e

故選D.

【對點訓練20】(2024?福建廈門?廈門外國語學校?？家荒?若至少存在一個工,使得

方程Inx-mx=x(x2-lex)成立.則實數加的取值范圍為

1111

A.m>e2+—B.m<e2+—C.m>e+—D.m<e+—

eeee

【答案】B

【解析】原方程化簡得:m=--x2+2ex,(x>0)有解，令f(x)=--x2+2ex,(x>0),

XX

f'M=+2(e-x),當x>e時,八x)<0,所以f(x)在(e,+s)單調遞減，當x<e時，

X

/'(X)>0,所以f(X)在(O,e)單調遞增./(元)ma、=/9)=1+62.所以"242+02.選B.

ee

【對點訓練211(2024?湖南長沙?高三長沙一中校考階段練習)設函數

f（x）=x2-2x-^+a（其中e為自然對數的底數），若函數至少存在一個零點，則實

數〃的取值范圍是（）

A.（0,1+-]B.（0,6+i]C.[?+-,+<?）D.（-oo,l+-]

eeee

【答案】D

【解析】依題意得，函數“X）至少存在一個零點，且=d-2X+4,

可構造函數y=%2_2]和y=--7,

e

因為好爐―2天,開口向上，對稱軸為元=1,所以（-8,1）為單調遞減，（1，+8）為單調遞

增；

而>=-5,則y'=?,由于e*>0,所以（-8,1）為單調遞減，（1，+8）為單調遞增;

可知函數y=d-2x及>均在X=1處取最小值，所以“X）在x=l處取最小值,

又因為函數/'（尤）至少存在一個零點，只需/（1）40即可，即：/（l）=l-2-1+a<0

解得：a<l-\■—.

e

故選：D.

【解題總結】

分類討論數學思想方法

題型七：唯一零點求值問題

【例7】（2024?全國-高三專題練習）已知函數/（力=,+2|+產2+修2-%+〃有唯一零點,

則實數。二（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】D

【解析】設g(x)=/(x—2)=W+e'+e7+a,定義域為R,

g(-x)=|-x|+e-x+ex+a=|x|+ex+e~x+a=g(x),

故函數g(x)為偶函數，則函數f(尤-2)的圖象關于y軸對稱，

故函數f(x)的圖象關于直線x=-2對稱，

?/Ax)有唯一零點，

/(-2)=0,即a=—2.

故選：D.

【對點訓練22](2024?全國?高三專題練習)已知函數/(*)=jq+e>-a(sinx+cosx)

有唯一零點，則。=()

兀4兀/-

A.—B.—C.5/2D.1

ee

【答案】c

n7t_x-——~xi-.(兀、

4+

【解析】令/(尤)=6+^4—々(sinx+cosx)=0，則，=。2公皿[兄十小,

記x-；=f,則d+/=V^asin"+5)=0acosf,令g?)=e'+eT,則

g(-t)=e-,+et,.-.g(t)^g(-f),所以g⑺是偶函數，圖象關于V軸對稱，因為/(x)只有唯

一的零點，所以零點只能是》=。，于是0a=2,：.a=0

故選：C

【對點訓練23】(2024?全國?高三專題練習)已知函數g(x),〃(x)分別是定義在R上的

偶函數和奇函數，Mg(x)+A(x)=ex+sinx-x,若函數/(無)=3^20201-2g(%-2020)-2%

有唯一零點，則實數2的值為

A.-1或: