§第8章異方差性一、異方差的概念二、異方差的類型三、實際經(jīng)濟問題中的異方差性四、異方差性的后果五、異方差性的檢驗六、異方差的修正七、案例統(tǒng)計學(xué)第八章異方差對于模型如果出現(xiàn)即對于不同的樣本點，隨機誤差項的方差不再是常數(shù)，而互不相同，則認(rèn)為出現(xiàn)了異方差性(Heteroskedasticity)。一、異方差的概念統(tǒng)計學(xué)第八章異方差.x

x1x2yf(y|x)ExampleofHeteroskedasticityx3..E(y|x)=b0+b1x統(tǒng)計學(xué)第八章異方差二、異方差的類型

同方差：

i2=常數(shù)

f(Xi)

異方差：

i2=f(Xi)異方差一般可歸結(jié)為三種類型：

(1)單調(diào)遞增型：

i2隨X的增大而增大

(2)單調(diào)遞減型：

i2隨X的增大而減小

(3)復(fù)雜型：

i2與X的變化呈復(fù)雜形式統(tǒng)計學(xué)第八章異方差統(tǒng)計學(xué)第八章異方差三、實際經(jīng)濟問題中的異方差性

例8.1.1：截面資料下研究居民家庭的儲蓄行為:

Yi=

0+

1Xi+

iYi:第i個家庭的儲蓄額Xi:第i個家庭的可支配收入。

高收入家庭：儲蓄的差異較大低收入家庭：儲蓄則更有規(guī)律性，差異較小

i的方差呈現(xiàn)單調(diào)遞增型變化統(tǒng)計學(xué)第八章異方差

例8.1.2，以絕對收入假設(shè)為理論假設(shè)、以截面數(shù)據(jù)為樣本建立居民消費函數(shù)：

Ci=

0+

1Yi+

I

將居民按照收入等距離分成n組，取組平均數(shù)為樣本觀測值。統(tǒng)計學(xué)第八章異方差一般情況下，居民收入服從正態(tài)分布：中等收入組人數(shù)多，兩端收入組人數(shù)少。而人數(shù)多的組平均數(shù)的誤差小，人數(shù)少的組平均數(shù)的誤差大。所以樣本觀測值的觀測誤差隨著解釋變量觀測值的不同而不同，往往引起異方差性。統(tǒng)計學(xué)第八章異方差四、異方差性的后果

計量經(jīng)濟學(xué)模型一旦出現(xiàn)異方差性，如果仍采用OLS估計模型參數(shù)，會產(chǎn)生下列不良后果：1.參數(shù)估計量非有效OLS估計量仍然具有無偏性，但不具有有效性

因為在有效性證明中利用了E(

’)=

2I

而且，在大樣本情況下，盡管參數(shù)估計量具有一致性，但仍然不具有漸近有效性。統(tǒng)計學(xué)第八章異方差

2.變量的顯著性檢驗失去意義

變量的顯著性檢驗中，構(gòu)造了t統(tǒng)計量

其他檢驗也是如此。統(tǒng)計學(xué)第八章異方差3.模型的預(yù)測失效

一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的統(tǒng)計性質(zhì)；

所以，當(dāng)模型出現(xiàn)異方差性時，參數(shù)OLS估計值的變異程度增大，從而造成對Y的預(yù)測誤差變大，降低預(yù)測精度，預(yù)測功能失效。統(tǒng)計學(xué)第八章異方差

五、異方差性的檢驗檢驗思路：

由于異方差性就是相對于不同的解釋變量觀測值，隨機誤差項具有不同的方差。那么：檢驗異方差性，也就是檢驗隨機誤差項的方差與解釋變量觀測值之間的相關(guān)性及其相關(guān)的“形式”。統(tǒng)計學(xué)第八章異方差

問題在于用什么來表示隨機誤差項的方差

一般的處理方法：統(tǒng)計學(xué)第八章異方差幾種異方差的檢驗方法：1.圖示法（1）用X-Y的散點圖進行判斷看是否存在明顯的散點擴大、縮小或復(fù)雜型趨勢（即不在一個固定的帶型域中）統(tǒng)計學(xué)第八章異方差看是否形成一斜率為零的直線統(tǒng)計學(xué)第八章異方差2.帕克(Park)檢驗與戈里瑟(Gleiser)檢驗

基本思想:

償試建立方程：或

選擇關(guān)于變量X的不同的函數(shù)形式，對方程進行估計并進行顯著性檢驗，如果存在某一種函數(shù)形式，使得方程顯著成立，則說明原模型存在異方差性。如：帕克檢驗常用的函數(shù)形式：統(tǒng)計學(xué)第八章異方差或若

在統(tǒng)計上是顯著的，表明存在異方差性。

3.戈德菲爾德-匡特(Goldfeld-Quandt)檢驗

G-Q檢驗以F檢驗為基礎(chǔ)，適用于樣本容量較大、異方差遞增或遞減的情況。統(tǒng)計學(xué)第八章異方差

G-Q檢驗的思想：

先將樣本一分為二，對子樣①和子樣②分別作回歸，然后利用兩個子樣的殘差平方和之比構(gòu)造統(tǒng)計量進行異方差檢驗。由于該統(tǒng)計量服從F分布，因此假如存在遞增的異方差，則F遠(yuǎn)大于1；反之就會等于1（同方差）、或小于1（遞減方差）。統(tǒng)計學(xué)第八章異方差樣本13n/8n/43n/8樣本2Goldfeld-Quant檢驗的幾何意義統(tǒng)計學(xué)第八章異方差G-Q檢驗的步驟：①將n對樣本觀察值(Xi,Yi)按觀察值Xi的大小排隊；②將序列中間的c=n/4個觀察值除去，并將剩下的觀察值劃分為較小與較大的相同的兩個子樣本，每個子樣樣本容量均為(n-c)/2；③對每個子樣分別進行OLS回歸，并計算各自的殘差平方和；統(tǒng)計學(xué)第八章異方差

④在同方差性假定下，構(gòu)造如下滿足F分布的統(tǒng)計量統(tǒng)計學(xué)第八章異方差

⑤給定顯著性水平

，確定臨界值F

(v1,v2)，若F>F

(v1,v2)，則拒絕同方差性假設(shè)，表明存在異方差。

當(dāng)然，還可根據(jù)兩個殘差平方和對應(yīng)的子樣的順序判斷是遞增型異方差還是遞減異型方差。統(tǒng)計學(xué)第八章異方差4.懷特（White）檢驗

懷特檢驗不需要排序，且適合任何形式的異方差。

懷特檢驗的基本思想與步驟（以二元為例）：然后做如下輔助回歸統(tǒng)計學(xué)第八章異方差

可以證明，在同方差假設(shè)下：(*)R2為(*)的可決系數(shù)，h為(*)式解釋變量的個數(shù)，表示漸近服從某分布。統(tǒng)計學(xué)第八章異方差1、White

檢驗的具體步驟White檢驗步驟統(tǒng)計學(xué)第八章異方差

（檢驗各回歸系數(shù)是否為零。等于零，不存在異方差）統(tǒng)計學(xué)第八章異方差

2、White檢驗在EViews上的實現(xiàn)1）LsYCX1X22）點擊View/residualtest/White/回車；3）在出現(xiàn)的對話框中，選擇nocrossterms（沒有交叉項）/回車或crossterms（有交叉項）/回車

4）出現(xiàn)輸出框（比模型輸出框多2行）Test直接給出了相關(guān)的統(tǒng)計量（F-statistic和Obs*R-squared）統(tǒng)計學(xué)第八章異方差

假定模型有三個變量那么分別觀測對的擬合優(yōu)度，據(jù)以判斷殘差平方與那一些變量有關(guān)。統(tǒng)計學(xué)第八章異方差注意：

輔助回歸仍是檢驗與解釋變量可能的組合的顯著性，因此，輔助回歸方程中還可引入解釋變量的更高次方。

如果存在異方差性，則表明確與解釋變量的某種組合有顯著的相關(guān)性，這時往往顯示出有較高的可決系數(shù)以及某一參數(shù)的t檢驗值較大。當(dāng)然，在多元回歸中，由于輔助回歸方程中可能有太多解釋變量，從而使自由度減少，有時可去掉交叉項。統(tǒng)計學(xué)第八章異方差六、異方差的修正

模型檢驗出存在異方差性，可用加權(quán)最小二乘法（WeightedLeastSquares,WLS）進行估計。

加權(quán)最小二乘法的基本思想：

加權(quán)最小二乘法是對原模型加權(quán)，使之變成一個新的不存在異方差性的模型，然后采用OLS估計其參數(shù)。統(tǒng)計學(xué)第八章異方差

例如，如果對一多元模型，經(jīng)檢驗知：

在采用OLS方法時:

對較小的殘差平方ei2賦予較大的權(quán)數(shù)；對較大的殘差平方ei2賦予較小的權(quán)數(shù)。統(tǒng)計學(xué)第八章異方差統(tǒng)計學(xué)第八章異方差

一般情況下:

對于模型Y=X

+

存在：即存在異方差性。

W是一對稱正定矩陣，存在一可逆矩陣D使得

W=DD’

統(tǒng)計學(xué)第八章異方差用D-1左乘Y=X

+

兩邊，得到一個新的模型：

該模型具有同方差性。因為

1211211111)()()(--------￠￠=￠=￠￠=￠￠=￠DDDDDWDDμμDDμμDμμ**ssEEE統(tǒng)計學(xué)第八章異方差

這就是原模型Y=X

+

的加權(quán)最小二乘估計量，是無偏、有效的估計量。

這里權(quán)矩陣為D-1，它來自于原模型殘差項

的方差-協(xié)方差矩陣

2W

。統(tǒng)計學(xué)第八章異方差

如何得到

2W

？

從前面的推導(dǎo)過程看，它來自于原模型殘差項

的方差—協(xié)方差矩陣。因此仍對原模型進行OLS估計，得到隨機誤差項的近似估計量ěi，以此構(gòu)成權(quán)矩陣的估計量，即這時可直接以

作為權(quán)矩陣。

統(tǒng)計學(xué)第八章異方差

加權(quán)最小二乘法在EViews上的實現(xiàn)

例：假定以序列XH為權(quán)數(shù)，在EViews中，可以在LS命令中使用加權(quán)處理方式來完成加權(quán)的最小二乘法估計：

LS（W=XH）YCXEViews中有加權(quán)最小二乘法的命令LS（W=權(quán)數(shù)名）YCX統(tǒng)計學(xué)第八章異方差

注意：

在實際操作中人們通常采用如下的經(jīng)驗方法：

不對原模型進行異方差性檢驗，而是直接選擇加權(quán)最小二乘法，尤其是采用截面數(shù)據(jù)作樣本時。如果確實存在異方差，則被有效地消除了；如果不存在異方差性，則加權(quán)最小二乘法等價于普通最小二乘法。統(tǒng)計學(xué)第八章異方差Log10=1Log100=2Log1000=3

在計量經(jīng)濟學(xué)實踐中，計量經(jīng)濟學(xué)家偏愛使用對數(shù)變換解決問題，往往一開始就把數(shù)據(jù)化為對數(shù)形式，再用對數(shù)形式數(shù)據(jù)來構(gòu)成模型，進行回歸估計與分析。這是因為:對數(shù)形式可以減少異方差和自相關(guān)的程度。

對數(shù)變換的效果——減少差異三、模型的對數(shù)變換統(tǒng)計學(xué)第八章異方差利用EViews對模型進行對數(shù)變換genrLY=LOG（Y）genrLX=LOG（X）LSLYCLX

例統(tǒng)計學(xué)第八章異方差VariancewithHeteroskedasticity

異方差存在時的方差統(tǒng)計學(xué)第八章異方差VariancewithHeteroskedasticity

異方差存在時的方差統(tǒng)計學(xué)第八章異方差VariancewithHeteroskedasticity

異方差存在時的方差統(tǒng)計學(xué)第八章異方差VariancewithHeteroskedasticity

異方差存在時的方差Thesquarerootofiscalled:

開平方被稱為Heteroskedasticity-robuststandarderror,or

對異方差穩(wěn)健的標(biāo)準(zhǔn)誤，或Whitestandarderror,or White標(biāo)準(zhǔn)誤，或Huberstandarderror,or Huber標(biāo)準(zhǔn)誤，或Eickerstandarderrors,or Eicker標(biāo)準(zhǔn)誤統(tǒng)計學(xué)第八章異方差RobustStandardErrors

穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤Nowtherobuststandarderrorscanbeusedforinference

穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤可以用來進行推斷。Sometimestheestimatedvarianceiscorrectedfordegreesoffreedombymultiplyingbyn/(n–k–1)

有時可以將估計的方差乘以n/(n–k–1)來修正自由度

Asn→∞it’sallthesame,though.

當(dāng)n→∞時，沒有區(qū)別。統(tǒng)計學(xué)第八章異方差Example:robustseversususualse

例子：穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤與常規(guī)標(biāo)準(zhǔn)誤Weestimatethemodelinwageequationbutreporttheheteroskedasticity-robuststandarderrorsalongwiththeusualOLSstandarderrors:統(tǒng)計學(xué)第八章異方差ObservationinThisExampleFirst,anyvariablethatwasstatisticallysignificantusingtheusualtstatisticisstillstatisticallysignificantusingtheheteroskedasticity-robusttstatistic.Thisisbecausethetwosetsofstandarderrorsarenotverydifferent.Therobuststandarderrorscanbeeitherlargerorsmallerthantheusualstandarderrors.Allwehavedoneisreport,alongwiththeusualstandarderrors,thosethatarevalid(asymptotically)whetherornotheteroskedasticityispresent.Notestisperformedyet.統(tǒng)計學(xué)第八章異方差Example:robustseversususualse

例子：穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤與常規(guī)標(biāo)準(zhǔn)誤穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤可能比常規(guī)標(biāo)準(zhǔn)誤大，也可能小。 但是實證中常常發(fā)現(xiàn)穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤要大些。 如果這兩種標(biāo)準(zhǔn)誤的差異很大，那么統(tǒng)計推斷的結(jié)論可能有很大差異。統(tǒng)計學(xué)第八章異方差Now,whycareabouttheusualse?

為何要考慮常規(guī)標(biāo)準(zhǔn)誤？

如果穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤無論異方差存在與否都是適用的，為什么我們還需要常規(guī)標(biāo)準(zhǔn)誤？ 我們應(yīng)當(dāng)注意到，穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤的適用性依賴于大樣本。統(tǒng)計學(xué)第八章異方差RobustStandardErrors

穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤

如果是小樣本同方差情形，那么常規(guī)的t統(tǒng)計量精確地服從t

分布，但是這并不適用于穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤，因此，在這種情況下使用穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤就可能導(dǎo)致推斷錯誤。 在大樣本情形下，特別是應(yīng)用截面數(shù)據(jù)的時候，我們推薦報告穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤（或同時報告常規(guī)的標(biāo)準(zhǔn)誤）。統(tǒng)計學(xué)第八章異方差七、案例——中國農(nóng)村居民人均消費函數(shù)

例8.1.4

中國農(nóng)村居民人均消費支出主要由人均純收入來決定。農(nóng)村人均純收入包括：(1)從事農(nóng)業(yè)經(jīng)營的收入；(2)包括從事其他產(chǎn)業(yè)的經(jīng)營性收入(3)工資性收入；(4)財產(chǎn)收入；(4)轉(zhuǎn)移支付收入?？疾鞆氖罗r(nóng)業(yè)經(jīng)營的收入(X1)和其他收入(X2)對中國農(nóng)村居民消費支出(Y)增長的影響:統(tǒng)計學(xué)第八章異方差統(tǒng)計學(xué)第八章異方差普通最小二乘法的估計結(jié)果：

統(tǒng)計學(xué)第八章異方差異方差檢驗統(tǒng)計學(xué)第八章異方差進一步的統(tǒng)計檢驗

(1)G-Q檢驗

將原始數(shù)據(jù)按X2排成升序，去掉中間的7個數(shù)據(jù)，得兩個容量為12的子樣本。對兩個子樣本分別作OLS回歸，求各自的殘差平方和RSS1和RSS2：

統(tǒng)計學(xué)第八章異方差子樣本1：

(3.18)(4.13)(0.94)R2=0.7068，RSS1=0.0648

子樣本2：