2.5.1直線與圓的位置關系人教A版（2019）選擇性必修第一冊新知導入“大漠孤煙直，長河落日圓”出自唐代詩人王維的《使至塞上》，它描述了黃昏日落時分塞外特有的景象．新知導入如果我們把太陽看成一個圓，地平線看成一條直線，觀察下面三幅太陽落山的圖片．問題1：

圖片中，地平線與太陽的位置關系怎樣？提示：(1)相交，(2)相切，(3)相離．問題2：結合初中平面幾何中學過的直線與圓的位置關系，直線與圓有幾種位置關系？提示：3種，分別是相交、相切、相離．問題3：如何判斷直線與圓的位置關系？提示：可利用圓心到直線的距離d與半徑r的關系．新知講解我們知道，直線與圓有三種位置關系：直線與圓相交，有兩個公共點；2.直線與圓相切，只有一個公共點；3.直線與圓相離，沒有公共點.新知講解思考

在初中，我們怎樣判斷直線與圓的位置關系？根據(jù)上述定義，如何利用直線和圓的方程判斷它們之間的位置關系？提示：直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系的判斷位置關系相交相切相離公共點個數(shù)兩個一個零個判定方法幾何法：d＜rd＝rd＞r代數(shù)法：Δ＞0Δ＝0Δ＜0合作探究分析：思路1：將判斷直線l與圓C的位置關系轉化為判斷由它們的方程組成的方程組有無實數(shù)解、有幾個實數(shù)解；若相交，可以由方程組解得兩交點的坐標，利用兩點間的距離公式求得弦長.思路2：依據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關系，判斷直線與圓的位置關系；；若相交，則可利用勾股定理求得弦長.合作探究解法1(代數(shù)法)聯(lián)立直線

l與圓C的方程，得

所以，直線

l與圓C相交，有兩個公共點.所以，直線l與圓C的兩個交點是A（2，0），B（1，3）.合作探究解法2(幾何法)

圓心C（0，1）到直線l

的距離

所以，直線l與圓C相交，有兩個公共點.合作探究思考與初中的方法比較，你認為用方程判斷直線與圓的位置關系有什么優(yōu)點？例1中兩種解法的差異是什么？提示：1采用幾何法判斷直線與圓的位置關系時，必須準確計算出圓心坐標、圓的半徑及圓心到直線的距離；2利用代數(shù)法判斷直線與圓的位置關系時，不必求出方程組的實數(shù)解，只需將直線方程代入到圓的方程中，并消去一個未知數(shù)，得到一個關于x(或y)的一元二次方程組解的個數(shù)，進一步判斷兩者的位置關系；3當直線所過定點在圓內時，直線與圓恒相交.合作探究分析：如圖合作探究解法1設切線l的斜率為k，則切線l的方程為y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0.由圓心（0，0）到切線l的距離等于圓的半徑1，得

因此，所求切線l

的方程為y=1,或4x-3y-5=0.合作探究解法2設切線

l的斜率為

k，則切線

l方程為

y-1=k(x-2)因為直線l與圓相切，所以方程組

只有一組解.所以，所求切線l

的方程為y=1,或4x-3y-5=0.合作探究拓展：1．過圓上一點(x0，y0)的圓的切線方程的求法2．過圓外一點(x0，y0)的切線方程的求法

設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得k，也就得切線方程．當用此法只求出一個方程時，另一個方程應為x＝x0，因為在上面解法中不包括斜率不存在的情況，而過圓外一點的切線有兩條．一般不用聯(lián)立方程組的方法求解．合作探究3圓的切線方程常用結論合作探究例3如圖分析：（1）（2）合作探究（2）解：建立如圖（2）所示的直角坐標系，使線段AB所在直線為x

軸，O為坐標原點，圓心在y

軸上.由題意，點P，B的坐標分別為（0，4），（10，0）.設圓心坐標是（0，b），圓的半徑是r，那么圓的方程是

因為P，B兩點都在圓上，所以它們的坐標都滿足方程，得

解得所以，圓的方程是

即

所以

合作探究例4一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為20km的圓形區(qū)域內.已知小島中心位于輪船正西40km處，港口位于小島中心正北30km處.如果輪船沿直線返港，那么它是否會有觸礁危險？分析：先畫出示意圖，了解小島中心、輪船、港口的方位和距離.如圖.根據(jù)題意，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求出暗礁所在區(qū)域的邊緣圓的方程，以及輪船返港直線的方程，利用方程判斷直線與圓的位置關系，進而確定輪船是否有觸礁危險.合作探究解：以小島的中心為原點O，東西方向為x

軸，建立如圖所示的直角坐標系.取10km為單位長度，則港口所在位置的坐標為（0，3），輪船所處的位置的坐標為（4，0）.則，受暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對應的圓的方程為

輪船航線所在直線l

的方程為

聯(lián)立方程，得所以直線l與圓O相離，輪船沿直線返港不會有觸礁危險.合作探究用坐標法解決平面幾何問題的“三步曲”：第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，用坐標和方程表示問題中的幾何要素，如點、直線、圓，把平面幾何問題轉化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；第三步：把代數(shù)運算的結果“翻譯”成幾何結論.課堂練習1若直線4x－3y＋a＝0與圓x2＋y2＝100有如下關系：①相交；②相切；③相離，試分別求實數(shù)a的取值范圍．解：法一：(代數(shù)法)得

25x2＋8ax＋a2－900＝0.Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90000.當直線和圓相交時，Δ>0，即－36a2＋90000>0，－50<a<50；②當直線和圓相切時，Δ＝0，即a＝50或a＝－50；③當直線和圓相離時，Δ<0，即a<－50或a>50.課堂練習1若直線4x－3y＋a＝0與圓x2＋y2＝100有如下關系：①相交；②相切；③相離，試分別求實數(shù)a的取值范圍．法二：(幾何法)圓x2＋y2＝100的圓心為(0,0)，半徑r＝10，則圓心到直線的距離

當直線和圓相交時，d<r，②當直線和圓相切時，d＝r，③當直線和圓相離時，d>r，

課堂練習解：由題意得圓心C（1，2）半徑r=2∴點P在圓C上.∴過點P的圓C的切線方程是課堂練習解：∴點M在圓C外部.當過點M的直線斜率不存在時，直線方程為x=3,即x-3=0.又點C（1，2）到直線x-3=0的距離d=3-1=2=r即此時滿足題意，所以直線x=3是圓的切線方程.當切線的斜率存在時，設切線方程為y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,課堂練習∴過點M的圓C的切線長為綜上可得，過點M的圓C的切線方程x-3=0或3x-4y-5=0課堂練習3已知圓的方程為x2＋y2＝8，圓內有一點P(－1,2)，AB為過點P且傾斜角為α的弦．(1)當α＝135°時，求AB的長；(2)當弦AB被點P平分時，寫出直線AB的方程．(1)法一：(幾何法)解：如圖所示，過點O作OC⊥AB.由已知條件得直線的斜率為k＝tan135°＝－1，∴直線AB的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.

課堂練習3已知圓的方程為x2＋y2＝8，圓內有一點P(－1,2)，AB為過點P且傾斜角為α的弦．(1)當α＝135°時，求AB的長；(2)當弦AB被點P平分時，寫出直線AB的方程．解：(1)法二：(代數(shù)法)當α＝135°時，直線AB的方程為y－2＝－(x＋1)，即

y＝－x＋1，代入

x2＋y2＝8，得

2x2－2x－7＝0.

課堂練習3已知圓的方程為x2＋y2＝8，圓內有一點P(－1,2)，AB為過點P且傾斜角為α的弦．(1)當α＝135°時，求AB的長；(2)當弦AB被點P平分時，寫出直線AB的方程．(2)如圖，當弦AB被點P平分時，即x－2y＋5＝0.解：合作探究拓展求直線與圓相交時弦長的兩種方法(1)幾何法(2)代數(shù)法課堂練習解析：

點P(3,0)恒在圓內，過點P(3,0)不管怎么畫直線，總與圓相交，故選AA課堂練習分析：

求出直線l的斜率，寫出l的方程即可.課堂練習解：動直線l：

mx-y-m=0可化為m(x-1)-y=0,所以直線l過的定點C(1,0),所以直線l

的方程為y-0=-(x-1)即x+y-1=0課堂總結直線與圓有三種位置關系位置關系交點個數(shù)相交有兩個公共點相切只有一個公共點相離沒有公共點2.直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2

的位置關系的判斷位置關系相交相切相離公共點個數(shù)兩個一個零個判定方法幾何法：d＜rd＝rd＞r代數(shù)法：Δ＞0Δ＝0Δ＜0課堂總結用坐標法解決平面幾何問題的“三步曲”：第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?/p>