垂徑模型

類型一直徑垂直于弦

方法與技巧

利用垂徑定理，通過半徑、弦心距和弦圍成的直角三角形解題.

L如圖,AB是。0的直徑，點(diǎn)C為劭的中點(diǎn),CF為。。的弦，且（CF14B,垂足為E,連接BD交CF于點(diǎn)

G,連接CD,AD,BF.

⑴求證:ABFG=△CDG;

(2)若AD=BE=2,求BF的長(zhǎng).

類型二直徑平分弦所對(duì)的弧

方法與技巧

利用弧、圓心角和弦關(guān)系定理及等腰三角形“三線合一”推導(dǎo)直徑垂直于弦，從而利用垂徑定理及其他

圓有關(guān)的性質(zhì)解決問題.

2.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,AD是。。的直徑,AB=4,4。=6,BC=CD,連接AC,BD交于點(diǎn)E.

(1)求證:AE=4CE;

⑵連接0E,求0E的長(zhǎng).

B

CD

輔助圓問題(1)

類型一四點(diǎn)共圓模型

方法與技巧

在四邊形中，如果一組對(duì)角都是直角，那么這四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓，可利用直角三角形斜邊上中線

性質(zhì)進(jìn)行證明，依據(jù)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，再利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決相關(guān)問題.

1.如圖,在四邊形ABCD中,AABC=AADC=9(F,BD平分.乙4BC.

求證:AD=CD.「

2.如圖，等邊△ABC中,AB=6,,P為AB上一動(dòng)點(diǎn),PD1BC于D,PE14C于E,求DE長(zhǎng)的最小值.

類型二定點(diǎn)+定長(zhǎng)模型

方法與技巧

常見圖形中共頂點(diǎn)的多條線段相等，可考慮利用到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)推導(dǎo)共圓，再利用圓有關(guān)性質(zhì)

解決問題.

3.如圖，在四邊形ABCD中,.48=4。=4。=2,BC=求BD的長(zhǎng).

D

4.如圖,在四邊形ABCD中,.AB=AC=AD,ADAC=90。,BD=4vxBC=2..求四邊形ABCD的面積.

輔助圓問題(2)

類型三定角+定弦模型

方法與技巧

問題的關(guān)鍵在于找到運(yùn)動(dòng)過程中必存在的定線段，及這條線段關(guān)于某一動(dòng)點(diǎn)的張角為定值，由張角的

位置變化，去尋找這三點(diǎn)所構(gòu)成的定圓.常見張角為90。,，它所對(duì)的定線段為直徑，通常應(yīng)用于求線段最值

或動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過的路徑長(zhǎng).

1.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)M和N分別從B,C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿BC,CD向終

點(diǎn)C,D運(yùn)動(dòng)，連接AM,BN,交于點(diǎn)P,連接PC,求PC長(zhǎng)的最小值.

BMC

2.如圖，在RtA4BC中，乙4cB=90°,AB=5,cosB=gG>A與邊BC交于點(diǎn)C,過A作.DE||BC,,交。A

于點(diǎn)D,E,點(diǎn)F在.位上，連接EF,過A作AP平分“AC交EF于點(diǎn)P.

(1)直接寫出。A的半徑；

(2)求證:N4PE=45°;

(3)若點(diǎn)F沿比由點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,求點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長(zhǎng).

線段最值問題⑴

類型一垂線段最短

方法與技巧

識(shí)別圖形，通常線段的一個(gè)端點(diǎn)為定點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)垂線段最短，作出該線段最

短時(shí)的圖形，再求最小值，有時(shí)也利用轉(zhuǎn)化思想，將所求線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而確定最小值.

1.如圖，在R3ABC中,.ZC=90°,AB=5,AC=3,,P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn),PD_LBC于D,PE_LAC于E,求

DE長(zhǎng)的最小值.

BDC

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為直線.y=乂-2上一動(dòng)點(diǎn)，。0的半徑為1,PQ為。0的切線，Q

為切點(diǎn)，求線段PQ最小值.

3如圖,在等邊△ABC中,AB=4,AD1BC于D,E是AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE,將CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

(60。得到CF,連接DF,求DF長(zhǎng)的最小值.

4.如圖，拋物線y=d一1與x軸交于A,B兩點(diǎn)，直線y-kx+k+1總經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)M,且與拋物線

交于C,D.

(1)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)求點(diǎn)B到直線CD的最大距離.

線段最值問題⑵

類型二兩點(diǎn)之間，線段最短

方法與技巧

⑴遇“將軍飲馬問題”時(shí)，若兩定點(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)所在直線的同側(cè)，過其中一定點(diǎn)作動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，

連接對(duì)稱點(diǎn)與另一定點(diǎn)，此時(shí)線段和最短；若一定點(diǎn)在兩相交直線的內(nèi)部，分別過這一定點(diǎn)作兩條直線的

對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)，此時(shí)線段和最短；

(2)遇“定弦定角問題”時(shí)，即動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過的路徑是圓時(shí)，連接定點(diǎn)與該圓圓心，與圓交于兩點(diǎn)，離定點(diǎn)近

的即為所求線段的最小值；離定點(diǎn)遠(yuǎn)的即為所求線段的最大值；

(3)遇“費(fèi)馬點(diǎn)問題”時(shí)，即三角形內(nèi)部一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離和最短時(shí)，繞三角形的某一頂點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)

化；

(4)遇“造橋選址問題”時(shí)，平移構(gòu)造平行四邊形是關(guān)鍵.

1.如圖在等邊AABC中,AD_LBC,垂足為D,點(diǎn)N是AB的中點(diǎn)點(diǎn)M為AD上一動(dòng)點(diǎn)，若AB=2,則

BM+MN的最小值是____.

2.如圖.NAOB=6(T,NAOB內(nèi)的定點(diǎn)P滿足0P=2,若點(diǎn)M、N分別是射線OA,OB上異于點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn)，

則APMN周長(zhǎng)的最小值是____.

3.如圖.點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B,D重合)，連接AP,過點(diǎn)B作直線AP

的垂線，垂足為H,連接DH,若正方形的邊長(zhǎng)為4,則線段DH長(zhǎng)度的最小值是—.

4.如圖,在AABC中,NABC=3(T,AB=4,BC=5,P是AABC內(nèi)部的任意一點(diǎn)，連接PA,PB,PC廁PA+PB+PC

的最小值為.

5在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(-2,0),B(0,4),E(O,1),將△AE。沿x軸向右平移得到△4EO,連接

A'B,BE'.當(dāng)A'B+取得最小值時(shí)，求點(diǎn)O的坐標(biāo).

線段最值問題(3)

類型三兩點(diǎn)之間，線段最短+垂線段最短

方法與技巧

此類型問題中，通常涉及“一定點(diǎn)和兩動(dòng)點(diǎn)”.方法是過定點(diǎn)作其中一動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱

點(diǎn)與另一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)垂直于定點(diǎn)所在的已知直線時(shí)，此時(shí)所求的線段和最短.

1.如圖在Rt△ABC中,NC=90。,力C=4,BC=3,點(diǎn)M,N分別是AB,AC上的動(dòng)點(diǎn)，求(CM+MN的最

小值.

AN

AC

備用圖

2.如圖在△4BC中,N4BC=45°,BC=4,,BD平分4ABe交AC于D,點(diǎn)M,N分別是BD,BC上的動(dòng)點(diǎn),

求(CM+MN的最小值.

A

BC

備用圖

線段最值問題⑷

類型四“胡不歸”問題模型

方法與技巧

在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將，PA+kPB”型轉(zhuǎn)化為

“PA+PC”型，通?？紤]構(gòu)造直角三角形，用銳角三角函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即kPB=PC.

1.如圖在矩形ABCD中,E是AB上一定點(diǎn)，乙4BD=30°,,M為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與B,D重合），若

BD=1O,求EM+「DM的最小值.

DC

2.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為5,對(duì)角線BD的長(zhǎng)為4限M為BD上一動(dòng)點(diǎn)，求AM+的最小值.

備用圖

線段最值問題⑸

類型五建立函數(shù)模型求線段最值

方法與技巧

由題意找尋所求線段與某條線段的函數(shù)關(guān)系，從而建立函數(shù)關(guān)系式，在自變量取值范圍內(nèi)利用函數(shù)性

質(zhì)求線段最值.

1.如圖.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(-2,0),B(0,4),E(O,1),將△4E。沿x軸向右平移得到.△401,連

接A'B,BE1若AA'=m(0<m<2),求A'B2+BE'?的最小值.

2.如圖，正方形ABCD中,4B=12,AE點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)(不與BC重合)，過點(diǎn)P作.PQ1EP?

4

交CD于點(diǎn)Q,求CQ長(zhǎng)的最大值.

3.如圖，在直角三角形ABC中，NC=90°,D是AC邊上一點(diǎn)，以BD為邊，在BD上方作等腰直角三

角形BDE，使得.ABDE=90。,,連接AE.若.BC=4,2C=5,求AE長(zhǎng)的最小值.

A

BC

4.如圖，拋物線y=Y+2x-3與x軸相交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)

點(diǎn)，作（QD1x軸交拋物線于點(diǎn)D,求QD長(zhǎng)的最大值.

三點(diǎn)共線

類型一平角定義證三點(diǎn)共線

方法與技巧

要證明點(diǎn)A,B,C共線，通常連接AB,BC,去證明.乙48c=180°.

1.如圖在||ogra欣1BCD中,AC與BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在邊AB,CD上，若BE=DF,,求證：E,

O,F三點(diǎn)在同一條直線上.

類型二平行公理證三點(diǎn)共線

方法與技巧

要證明點(diǎn)A,B,C共線，連接AB,BC,去證明.AB\\m,BC\\m.