專題35幾何綜合壓軸題(40題)

一、解答題

1.(2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題)已知“3C是等腰三角形，AB=AC,AMAN=-ABAC,/MAN

2

在/B/C的內(nèi)部，點M、N在2C上，點M在點N的左側(cè)，探究線段8“、NC、"N之間的數(shù)量關(guān)系.

由NR4C=90。，=可知，將△/(?可繞點/順時針旋轉(zhuǎn)90。，得至曙/BP,則CN=5P且=90。，

連接W,易證也△/九W,可得MP二MN,在Rt△尸中，BM2+BP2=MP\則有

BM2+NC2=MN~.

(2)當NB4C=60。時，如圖②：當N8/C=120。時，如圖③，分別寫出線段即人NC、"N之間的數(shù)量關(guān)

系，并選擇圖②或圖③進行證明.

2.(2024?四川廣元?中考真題)小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質(zhì)發(fā)生折射時，入射角a的正弦

sinci

值與折射角夕的正弦值的比值「叫做介質(zhì)的“絕對折射率”，簡稱“折射率”.它表示光在介質(zhì)中傳播時，

smp

(1)若光從真空射入某介質(zhì)，入射角為折射角為月，且cosa=,，尸=30。，求該介質(zhì)的折射率；

⑵現(xiàn)有一塊與(1)中折射率相同的長方體介質(zhì)，如圖①所示，點/,B,C,。分別是長方體棱的中點，若

光線經(jīng)真空從矩形4234對角線交點。處射入，其折射光線恰好從點。處射出.如圖②，已知a=60。,

CD=10cm,求截面48co的面積.

3.(2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題)如圖，在平行四邊形A8C。中，點廠在邊AD上，AB=AF,連接昉,

點。為B尸的中點，/O的延長線交邊8C于點￡,連接鹿

⑴求證：四邊形/3EF是菱形：

⑵若平行四邊形/BCD的周長為22,CE=1,ZBAD=120°,求NE的長.

4.(2024?四川甘孜?中考真題)如圖，AB為。。的弦，C為右的中點，過點。作CD〃/B,交02的延長

線于點D連接04OC.

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)若。4=3,BD=2,求AOCD的面積.

5.(2024?甘肅臨夏?中考真題)如圖1,在矩形/3CD中，點￡為4D邊上不與端點重合的一動點，點廠是

對角線上一點，連接BE,AF交于點、0,且NABE=NDAF.

【模型建立】

(1)求證：AFLBE；

【模型應(yīng)用】

(2)若/3=2,/D=3,DF=-BF,求DE的長；

2

【模型遷移】

1AF

(3)如圖2,若矩形/BCD是正方形，DF=-BF,求丁的值.

2AD

圖1圖2

6.（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖1,。是正方形/BCD對角線上一點，以。為圓心，OC長為半徑的。。

與/。相切于點E,與/C相交于點尸.

⑵若正方形48CO的邊長為應(yīng)+1，求。。的半徑.

⑶如圖2,在（2）的條件下，若點W是半徑OC上的一個動點，過點M作〃NLOC交合于點N.當

CM:W=1:4時，求CN的長.

7.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）數(shù)學(xué)課上，老師給出以下條件，請同學(xué)們經(jīng)過小組討論，提出探究問題.如

圖1,在AABC中，4B=/C,點。是NC上的一個動點，過點。作。EL8C于點￡,延長ED交A4延長

線于點F.

圖1圖2

請你解決下面各組提出的問題:

⑴求證：AD=AF;

（2）探究北■與黑的關(guān)系;

jni8

某小組探究發(fā)現(xiàn)，當慶W時,事;當含朝黑

5

請你繼續(xù)探究:

①當段=1時，直接寫出冬的值；

DC6DE

②當A黑T)=m%時，猜想D有F的值(用含%,〃的式子表示)，并證明；

DCnDE

(3)拓展應(yīng)用：在圖1中，過點尸作EP，/C,垂足為點P,連接CF,得到圖2,當點。運動到使ZACF=乙4cB

A7~)mAp

若黑=竺，直接寫出差的值(用含加，〃的式子表示).

DCnAD

8.(2024?廣東?中考真題)【問題背景】

如圖1,在平面直角坐標系中，點2,。是直線〉=ax(a>0)上第一象限內(nèi)的兩個動點以線段8。

為對角線作矩形/BCD,/Z)〃x軸.反比例函數(shù)y=&的圖象經(jīng)過點力.

X

【構(gòu)建聯(lián)系】

(1)求證：函數(shù)>="的圖象必經(jīng)過點C.

x

(2)如圖2,把矩形/BCD沿2。折疊，點C的對應(yīng)點為￡.當點￡落在y軸上，且點5的坐標為(1,2)時,

求左的值.

【深入探究】

(3)如圖3,把矩形/3CD沿AD折疊，點C的對應(yīng)點為E.當點E,4重合時，連接/C交AD于點P.以

點。為圓心，/C長為半徑作。。.若。尸=3也，當。。與AA8C的邊有交點時，求人的取值范圍.

圖1圖2圖3

9.(2024?四川遂寧?中考真題)如圖，45是OO的直徑,/C是一條弦，點。是死的中點，DNLAB于

點E,交/C于點F,連結(jié)。8交ZC于點G.

(1)求證：AF=DF；

⑵延長GD至點M,使DM=DG,連接.

①求證：是。。的切線；

②若OG=6,DF=5,求。。的半徑.

10.(2024?四川德陽?中考真題)已知。。的半徑為5,B、C是。。上兩定點，點A是。。上一動點，且

NB4c=60°,ABAC的平分線交。。于點D.

FD

(1)證明：點。為前上一定點；

(2)過點。作BC的平行線交48的延長線于點尸.

①判斷。尸與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

②若“3C為銳角三角形，求。尸的取值范圍.

11.(2024?四川瀘州?中考真題)如圖，是。。的內(nèi)接三角形，N8是。。的直徑，過點2作。。的切

線與/C的延長線交于點。，點￡在。。上，AC=CE,CE交AB于點、F.

(1)求證：NCAE=ND；

⑵過點C作CGL48于點G,若。4=3,BD=3及,求FG的長.

12.(2024?四川南充?中考真題)如圖，正方形/BCD邊長為6cm,點￡為對角線/C上一點，CE=2AE,

點尸在邊上以lcm/s的速度由點/向點5運動，同時點。在3C邊上以2cm/s的速度由點C向點3運

動,設(shè)運動時間為f秒(0<t<3).

(1)求證：小AEPs小CEQ.

⑵當尸。是直角三角形時，求，的值.

(3)連接“。，當tan//QE=g時，求△/E。的面積.

13.(2024?安徽?中考真題)如圖1,Y48co的對角線/C與BD交于點。，點跖N分別在邊4D,BC上,

圖1圖2圖3

(1)求證：OE=OF；

⑵連接W交NC于點區(qū)連接族，HF.

(i)如圖2,若HE〃AB,求證：HF//AD；

AT

(ii)如圖3,若Y/BCD為菱形，S.MD=2AM,ZEHF=60°,求——的值.

BD

14.(2024?江蘇揚州?中考真題)在綜合實踐活動中，“特殊到一般”是一種常用方法，我們可以先研究特殊情

況，猜想結(jié)論，然后再研究一般情況，證明結(jié)論.

如圖，已知CA=CB,OO是的外接圓，點。在。。上)，連接BD、CD.

【特殊化感知】

(1)如圖1,若Z4C8=60。，點。在Z。延長線上，則4D-5。與CD的數(shù)量關(guān)系為；

【一般化探究】

(2)如圖2,若//C8=60。，點C、。在同側(cè)，判斷AD-8□與CO的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

【拓展性延伸】

(3)若=直接寫出40、BD、CO滿足的數(shù)量關(guān)系.(用含a的式子表示)

15.(2024?山東?中考真題)一副三角板分別記作“3C和AZ)￡F,其中//3C=NDE尸=90。，/A4c=45。,

AEDF=30°,AC=DE.作而W_L/C于點M,EN1DF于點、N,如圖1.

D

圖1

備用圖

(2)在同一平面內(nèi)，將圖1中的兩個三角形按如圖2所示的方式放置，點。與點E重合記為。，點A與點。重

合，將圖2中的ADCF繞C按順時針方向旋轉(zhuǎn)a后，延長血交直線DF于點尸.

①當a=30。時，如圖3,求證：四邊形OVW為正方形;

②當30。＜0＜60。時，寫出線段MP,DP,的數(shù)量關(guān)系，并證明；當60。＜夕＜120。時，直接寫出線段

DP,CD的數(shù)量關(guān)系.

16.(2024?江西?中考真題)綜合與實踐

如圖，在R348C中，點。是斜邊4B上的動點(點。與點/不重合)，連接CO,以CO為直角邊在CO的

右側(cè)構(gòu)造RtZXCDE,NDCE=90°,連接BE,—=—=m.

圖1圖2圖3

特例感知

(1)如圖1,當%=1時，8E與4D之間的位置關(guān)系是,數(shù)量關(guān)系是;

類比遷移

(2)如圖2,當機時，猜想BE與/。之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想.

拓展應(yīng)用

(3)在(1)的條件下，點尸與點C關(guān)于。E對稱，連接。/，EF,BF,如圖3.已知/C=6,設(shè)=x,

四邊形CD尸E的面積為y.

①求y與x的函數(shù)表達式，并求出y的最小值；

②當2尸=2時，請直接寫出/。的長度.

17.(2024?湖南?中考真題)【問題背景】

已知點4是半徑為r的。。上的定點，連接OA,將線段繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)?(0°<?<90。)得到OE,

連接NE,過點/作。。的切線/,在直線/上取點C,使得/CZE為銳角.

【初步感知】

(1)如圖1,當a=60。時，NCAE=_°；

圖1

【問題探究】

(2)以線段/C為對角線作矩形/BCD,使得邊4D過點E,連接CE,對角線ZC,5。相交于點?

①如圖2,當NC=2:,時，求證：無論々在給定的范圍內(nèi)如何變化，BC=CD+ED總成立:

圖2

4CF?AR

②如圖3,當=蘭=：時，請補全圖形，并求tane及會的值.

3OE3BC

18.（2024?河南?中考真題）綜合與實踐

在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗，請運用已有經(jīng)驗，對“鄰等對補四邊形”進行研究

定義：至少有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做鄰等對補四邊形.

（1）操作判斷

用分別含有30。和45。角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個四邊形，其中是鄰等對補四邊形的有

（填序號）.

（2）性質(zhì)探究

根據(jù)定義可得出鄰等對補四邊形的邊、角的性質(zhì).下面研究與對角線相關(guān)的性質(zhì).

如圖2,四邊形48CD是鄰等對補四邊形，AB=AD,/C是它的一條對角線.

①寫出圖中相等的角，并說明理由；

②若BC=相，DC=n,ZBCD=26?,求/C的長（用含加，"，6的式子表示）.

（3）拓展應(yīng)用

如圖3,在RtZX/BC中，1）8=90°,43=3,BC=4,分別在邊BC,/C上取點N,使四邊形4BAW

是鄰等對補四邊形.當該鄰等對補四邊形僅有一組鄰邊相等時，請直接寫出8N的長.

19.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）綜合與實踐：如圖1,這個圖案是3世紀我國漢代的趙爽在注解《周

髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，受這幅圖的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組建立了“一線三直角模型”.如

圖2,在A/3C中，44=90。，將線段3c繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AD,作。E，交NB的延長線

(1)【觀察感知】如圖2,通過觀察，線段N8與。E的數(shù)量關(guān)系是；

(2)【問題解決】如圖3,連接CD并延長交48的延長線于點尸，若=2,AC=6,求下的面積；

(3)【類比遷移】在(2)的條件下，連接CE交BD于點、N,則黑=______;

JDC

2

(4)【拓展延伸】在⑵的條件下，在直線45上找點尸，使tan/5。尸=§,請直接寫出線段/尸的長度.

20.(2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)綜合與探究：如圖，在平面直角坐標系中，已知直線y=與x

軸交于點/，與y軸交于點C,過/,。兩點的拋物線〉=依2+a+《。40)與；(；軸的另一個交點為點8(-1,0),

點尸是拋物線位于第四象限圖象上的動點，過點尸分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線NC于點￡,點

(1)求拋物線的解析式；

⑵點。是x軸上的任意一點，若A/C。是以/C為腰的等腰三角形，請直接寫出點。的坐標；

(3)當EF=/C時，求點P的坐標；

(4)在(3)的條件下，若點N是了軸上的一個動點，過點N作拋物線對稱軸的垂線，垂足為連接N4,MP,

則附+M尸的最小值為.

21.(2024?四川廣元?中考真題)數(shù)學(xué)實驗，能增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，還能經(jīng)歷知識“再創(chuàng)造”的過程，更是培

養(yǎng)動手能力，創(chuàng)新能力的一種手段.小強在學(xué)習(xí)《相似》一章中對“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形(如

圖1)產(chǎn)生了如下問題，請同學(xué)們幫他解決.

cc

圖1

在AABC中，點。為邊48上一點，連接CO.

(1)初步探究

如圖2,若NACD=NB,求證：AC2=AD-AB;

(2)嘗試應(yīng)用

如圖3,在(1)的條件下，若點。為43中點，BC=4,求C。的長;

(3)創(chuàng)新提升

如圖4,點E為C。中點，連接8E,若/CDB=NCBD=3Q°,ZACD=ZEBD,AC=2不，求BE的長.

22.(2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題)如圖，在Y4BCD中，/48C為銳角，點E在邊/。上，連接8E,CE,

且SAABE=SADCE?

(1)如圖1,若尸是邊3C的中點，連接E尸，對角線/C分別與8瓦跖相交于點G,H.

①求證："是/C的中點;

②求AG:GH:HC；

⑵如圖2,BE的延長線與C0的延長線相交于點M,連接力/,CE的延長線與N"相交于點N.試探究線段

與線段4N之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

23.(2024?吉林?中考真題)如圖，在AA8C中，ZC=90°,48=30。，AC=3cm,是。8C的角平分

線.動點尸從點N出發(fā)，以瓜m/s的速度沿折線向終點8運動.過點尸作尸?！?8,交/C于點

Q,以PQ為邊作等邊三角形尸。￡,且點GE在尸。同側(cè)，設(shè)點P的運動時間為?。?>0）,NPQE與/BC

重合部分圖形的面積為S（cm2）.

（1）當點尸在線段4。上運動時，判斷△/尸。的形狀（不必證明），并直接寫出的長（用含，的代數(shù)式表

示）.

⑵當點E與點。重合時，求才的值.

（3）求S關(guān)于f的函數(shù)解析式，并寫出自變量/的取值范圍.

24.（2024?吉林長春?中考真題）如圖，在AABC中，AB=AC=5,BC=6.點。是邊BC上的一點（點。

不與點8、C重合），作射線4D,在射線上取點P,使4P=BD,以/P為邊作正方形4PMN,使點M

和點C在直線4。同側(cè).

（1）當點。是邊8c的中點時，求的長；

（2）當8。=4時，點。到直線/C的距離為；

⑶連結(jié)尸N,當PNL/C時，求正方形4PMN的邊長；

（4）若點N到直線/C的距離是點/到直線/C距離的3倍，則C。的長為.（寫出一個即可）

25.（2024?湖北?中考真題）如圖，矩形中，E,尸分別在/D,8c上，將四邊形/8尸￡沿E尸翻折，使A

的對稱點尸落在CD上，3的對稱點為G,PG交BC于H.

(1)求證：AEDPs/\PCH.

(2)若P為CD中點，且4B=2,BC=3,求GH長.

(3)連接3G,若尸為CD中點，”為BC中點，探究BG與48大小關(guān)系并說明理由.

26.(2024?內(nèi)蒙古通遼?中考真題)數(shù)學(xué)活動課上，某小組將一個含45。的三角尺利一個正方形紙板

/BCD如圖1擺放，若NE=1,AB=2.將三角尺/￡尸繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)a(004a490。)角，觀察圖

形的變化，完成探究活動.

【初步探究】

如圖2,連接BE,并延長，延長線相交于點G,3G交/。于點”.

問題18E和。尸的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是.

【深入探究】

應(yīng)用問題1的結(jié)論解決下面的問題.

問題2如圖3,連接B。，點。是2。的中點，連接。4,OG.求證Q4=OD=OG.

【嘗試應(yīng)用】

問題3如圖4,請直接寫出當旋轉(zhuǎn)角a從0。變化到60。時，點G經(jīng)過路線的長度.

27.(2024?甘肅?中考真題)【模型建立】

（1）如圖1,己知A48￡■和△BCD,ABIBC,AB=BC,CD1BD,/￡_L80.用等式寫出線段/E,DE,

CO的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【模型應(yīng)用】

（2）如圖2,在正方形48CD中，點E,尸分別在對角線8。和邊C0上，AELEF,AE=EF.用等式寫

出線段BE,AD,。尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【模型遷移】

（3）如圖3,在正方形/BCD中，點￡在對角線5。上，點歹在邊的延長線上，AELEF,AE=EF.用

等式寫出線段BE,AD,。F的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

28.（2024?湖南長沙?中考真題）對于凸四邊形，根據(jù)它有無外接圓（四個頂點都在同一個圓上）與內(nèi)切圓

（四條邊都與同一個圓相切），

可分為四種類型，我們不妨約定：

既無外接圓，又無內(nèi)切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形；

只有外接圓，而無內(nèi)切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形；

只有內(nèi)接圓，而無外接圓的四邊形稱為“內(nèi)切型單圓”四邊形；

既有外接圓，又有內(nèi)切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形.

請你根據(jù)該約定，解答下列問題：

（1）請你判斷下列說法是否正確（在題后相應(yīng)的括號中，正確的打7”，錯誤的打“x”，

①平行四邊形一定不是“平凡型無圓”四邊形；（）

②內(nèi)角不等于90。的菱形一定是“內(nèi)切型單圓”四邊形；（）

③若“完美型雙圓“四邊形的外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合，外接圓半徑為尺，內(nèi)切圓半徑為r,則有

尺=揚.（）

（2）如圖1,已知四邊形/BCD內(nèi)接于O。，四條邊長滿足：AB+CD^BC+AD.

①該四邊形/BCD是“"四邊形（從約定的四種類型中選一種填入）；

②若ZBAD的平分線AE交OO于點E,ZBCD的平分線CF交。。于點尸，連接EF.求證：E尸是。。的

直徑.

AA

守FCB二FC

cEB

圖1圖2圖3

⑶已知四邊形48co是文美型雙圓”四邊形，它的內(nèi)切圓。。與/區(qū)BC,CD,分別相切于點￡,F,G,

H.

①如圖2.連接EG,FH交于點、P.求證：EG1FH.

②如圖3,連接04OB,OC,OD,若。/=2,05=6,OC=3,求內(nèi)切圓。。的半徑r及。。的長.

29.(2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，等邊三角形048的邊03在x軸上，

點工在第一象限，3的長度是一元二次方程f-5x-6=0的根，動點尸從點。出發(fā)以每秒2個單位長度

的速度沿折線CM-48運動，動點。從點。出發(fā)以每秒3個單位長度的速度沿折線08-A4運動，尸、。兩

點同時出發(fā)，相遇時停止運動.設(shè)運動時間為/秒(0</<3.6),△OP。的面積為S.

⑵求S與/的函數(shù)關(guān)系式；

⑶在(2)的條件下，當S=6g時，點〃在了軸上，坐標平面內(nèi)是否存在點N,使得以點O、P、M、N為

頂點的四邊形是菱形.若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，說明理由.

30.(2024?重慶?中考真題)在Rt448C中，ZACB=90°,AC=BC,過點3作AD〃/C.

(1)如圖1,若點。在點B的左側(cè)，連接C。，過點A作/ELCO交3c于點E.若點E是3C的中點，求證：

AC=2BD；

⑵如圖2,若點。在點8的右側(cè)，連接4D,點尸是的中點，連接B尸并延長交/C于點G,連接CF.過

行

點下作交48于點M,CN平分NACB交BG于點、N,求證：AM^CN+—BD;

2

(3)若點。在點3的右側(cè)，連接4D,點尸是40的中點，且/b=/C.點P是直線/C上一'動點，連接FP,

將EP繞點廠逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到廠。，連接30,點R是直線4D上一動點，連接BA,QR.在點尸的運動

過程中，當8。取得最小值時，在平面內(nèi)將沿直線QR翻折得到△TQA,連接尸7.在點R的運動過程

中，直接寫出旨的最大值.

31.(2024?重慶?中考真題)在AABC中，4B=/C,點。是3C邊上一點(點。不與端點重合).點。關(guān)于

直線AB的對稱點為點E,連接在直線4D上取一點F，使/MD=/A4C,直線EF與直線/C

交于點G.

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,若NB4c=60。,BD<CD,/BAD=a,求乙4GE的度數(shù)(用含a的代數(shù)式表示)；

(2)如圖1,若NBAC=60o,BD<CD,用等式表示線段CG與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)如圖2,若NB4C=90。，點。從點3移動到點C的過程中，連接/E,當△ZEG為等腰三角形時，請直

接寫出此時穿的值.

AG

32.(2024?江蘇連云港?中考真題)【問題情境】

(1)如圖1,圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內(nèi)接正方形，那么大正方形面積是小正方形面

積的幾倍？小昕將小正方形繞圓心旋轉(zhuǎn)45°(如圖2),這時候就容易發(fā)現(xiàn)大正方形面積是小正方形面積的

【操作實踐】

(2)如圖3,圖①是一個對角線互相垂直的四邊形，四邊a、b、c、d之間存在某種數(shù)量關(guān)系.小昕按所示

步驟進行操作，并將最終圖形抽象成圖4.請你結(jié)合整個變化過程，直接寫出圖4中以矩形內(nèi)一點P為端點

的四條線段之間的數(shù)量關(guān)系;

【探究應(yīng)用】

(3)如圖5,在圖3中“④”的基礎(chǔ)上，小昕將△尸DC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，他發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過程中NA/P存在最

當NZM尸最大時，求的長;

（4）如圖6,在RtZX/BC中，ZC=90°,點D、E分別在邊/C和3c上，連接DE、4E、BD.若/C+CD=5,

BC+CE=8,求/E+8。的最小值.

圖6

33.（2024?上海?中考真題）在梯形48cZ）中，4D〃BC,點￡在邊48上，S.AE=^AB.

（圖1）（圖2）

（1）如圖1所示，點尸在邊C。上，且DF=#D,聯(lián)結(jié)E尸，求證：EF//BC；

（2）已知AD=AE=\-,

①如圖2所示，聯(lián)結(jié)DE,如果V4DE外接圓的心恰好落在的平分線上，求V4DE的外接圓的半徑長;

②如圖3所示,如果點M在邊BC上，聯(lián)結(jié)、EC,?！迸cEC交于N,如果8c=4,且CD?=DM-DN，

ZDMC=ZCEM,求邊CO的長.

34.（2024?四川成都?中考真題）數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們將兩個全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個

頂點，然后將其中一個紙片繞這個頂點旋轉(zhuǎn)，來探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).已知三角形紙片/3C和NOE中,

AB=AD=3,BC=DE=4,NABC=NADE=90°.

【初步感知】

DF）

（1）如圖1,連接3D,CE,在紙片/DE繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，試探究券的值.

【深入探究】

(2)如圖2,在紙片/DE繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，當點。恰好落在“3C的中線四的延長線上時，延長ED交

/C于點尸，求CF的長.

【拓展延伸】

(3)在紙片/OE繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，試探究C,D,E三點能否構(gòu)成直角三角形.若能，直接寫出所有

直角三角形CDE的面積；若不能，請說明理由.

35.(2024?河北?中考真題)已知。。的半徑為3,弦,MN=2曲,中，NABC=90°,4B=3,BC=3也.在

平面上，先將和。。按圖1位置擺放(點3與點N重合，點/在。。上，點C在O。內(nèi))，隨后移動

△ABC,使點3在弦上移動，點/始終在。。上隨之移動，謖BN=x.

(2)當。/〃MN時，如圖2,求點2到CU的距離，并求此時x的值;

⑶設(shè)點O到BC的距離為d.

①當點4在劣弧疝上，且過點4的切線與/C垂直時，求d的值；

②直接寫出d的最小值.

36.(2024?四川樂山?中考真題)在一堂平面幾何專題復(fù)習(xí)課上，劉老師先引導(dǎo)學(xué)生解決了以下問題：

【問題情境】

如圖1,在“3c中，ABAC=90°,AB=AC,點。、￡在邊8c上，且/D/E=45。，BD=3,CE=4,

求DE的長.

解：如圖2,將△/助繞點N逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到△4C。，連接即,

圖1

由旋轉(zhuǎn)的特征得=NB=NACD',AD=AD',BD=CD'.

,/ABAC=90°,ZDAE=45°,

二ZBAD+ZEAC^45°.

ZBAD=ZCAD',

ZCAD'+ZEAC^45°,即/E/D'=45。.

，NDAE=ND'AE.

在AD/E和AZX/E中，

AD=AD'，ZDAE=Z-D'AE,AE=AE,

①.

DE=D'E■

又,:ECD'ECAACD'ECAB90°,

.?.在Rt/XECD中，②.

,:CD'=BD=3,CE=4,

圖2

DE=D'E=③.

【問題解決】

上述問題情境中，“①”處應(yīng)填：;“②"處應(yīng)填：;“③"處應(yīng)填：.

劉老師進一步談到：圖形的變化強調(diào)從運動變化的觀點來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以

不變應(yīng)萬變.

【知識遷移】

如圖3,在正方形/BCD中，點￡、尸分別在邊8C、C。上，滿足△(?￡廠的周長等于正方形43。的周長的

一半，連結(jié)/￡、AF,分別與對角線8。交于M、N兩點.探究9、MN、DN的數(shù)量關(guān)系并證明.

4D

BEC

圖3

【拓展應(yīng)用】

如圖4,在矩形/BCD中，點E、F分別在邊8C、CD上,且NEAF=NCEF=45。.探究BE、EF、。廠的數(shù)

量關(guān)系：（直接寫出結(jié)論，不必證明）.

圖4

【問題再探】

如圖5,在“3C中，AABC=90°,48=4,BC=3,點。、￡在邊/C上，且ND2￡=45°.設(shè)4D=x,

CE=y,求了與x的函數(shù)關(guān)系式.

圖5

37.（2024?北京?中考真題）在平面直角坐標系立為中，。。的半徑為1,對于。。的弦48和不在直線48上

的點C,給出如下定義：若點C關(guān)于直線NB的對稱點C'在OO上或其內(nèi)部，且44cs=a,則稱點C是弦

（1）如圖，點/（0,1）,5（1,0）.

①在點￡（2,0）,C2（l,2）,C3（g,0）中，點是弦NB的“a可及點”，其中a=

②若點。是弦的“90?？杉包c”，則點。的橫坐標的最大值為；

(2)己知P是直線y=百上一點，且存在。。的弦兒W,使得點P是弦兒W的“60?？杉包c”.記點P的橫

坐標為g直接寫出，的取值范圍.

38.(2024?廣東?中考真題)【知識技能】

(1)如圖1,在“6C中，是的中位線.連接C。，將△4DC繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到

^A'DC.當點￡的對應(yīng)點￡與點4重合時，求證：AB=BC.

【數(shù)學(xué)理解】

(2)如圖2,在AABC中(NB<5C),DE是AABC的中位線.連接C。，將△/￡)<:繞點。按逆時針方向旋

轉(zhuǎn)，得到AHZ)C',連接H5,CC)作的中線DF.求證：2DFCD=BDCC.

【拓展探索】

432

(3)如圖3,在“BC中，tan3=y,點。在48上，AD=~^-過點。作。E_LBC,垂足為￡,BE=3,

32

CE=『在四邊形/DEC內(nèi)是否存在點G,使得N/GO+NCG￡=180°?若存在，請給出證明；若不存在,

請說明理由.

點C重合)，△/EB關(guān)于NE的軸對稱圖形為.

C

(1)當/A4尸=30。時，試判斷線段"'和線段的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由;

(2)若48=6+66，。。為△/￡廠的外接圓，設(shè)。。的半徑為

①求,的取值范圍；

②連接ED,直線如能否與。。相切？如果能，求8E的長度；如果不能，請說明理由.

40.(2024?云南?中考真題)如圖，48是。O的直徑，點。、F是。。上異于A、B的點.點C在。。外，。4=CD,

延長B尸與。的延長線交于點點N在24的延長線上，ZAMN=ZABM,AM-BM=AB-MN.點、H在直

徑48上，ZAHD=90°,點E是線段的中點.

M

(1)求//用的度數(shù)；

⑵求證：直線CM與。。相切：

(3)看一看，想一想，證一證：

以下與線段CE、線段￡8、線段C8有關(guān)的三個結(jié)論：CE+EB<CB,CE+EB=CB,CE+EB>CB,你認為

哪個正確？請說明理由.

專題35幾何綜合壓軸題（40題）

一、解答題

1.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）已知“3C是等腰三角形，AB=AC,AMAN=-ABAC,/MAN

2

在/B/C的內(nèi)部，點M、N在2C上，點M在點N的左側(cè)，探究線段8“、NC、"N之間的數(shù)量關(guān)系.

由NR4C=90。，=可知，將△/（?可繞點/順時針旋轉(zhuǎn)90。，得至曙/BP,則CN=5P且/PW=90。，

連接W,易證絲△/九W,可得在Rt△尸中，BM2+BP2=MP\則有

BM2+NC2=MN~.

（2）當NB4C=60。時，如圖②：當N8/C=120。時，如圖③，分別寫出線段即人NC、"N之間的數(shù)量關(guān)

系，并選擇圖②或圖③進行證明.

【答案】圖②的結(jié)論是：BM2+NC2+BM-NC^MN2;圖③的結(jié)論是：BM2+NC2-BM-NC=MN2;證

明見解析

【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，30度角所對的直角邊等于斜邊的一

半，勾股定理等知識，選②，以點2為頂點在“8C外作ZA8K=60。，在8K上截取80=CN,連接04QM,

過點。作,垂足為H,構(gòu)造全等三角形，得出AN=AQ,ZCAN=ZQAB,再證明△/納必ANM,

得至l]M?V=QM；在中由勾股定理得0/r+w2=QM2,即=QM2,

整理可得結(jié)論；選③方法同②

【詳解】解：圖②的結(jié)論是：BM2+NC2+BM-NC^MN2

證明：VAB^AC,ZBAC=60°,

：.AABC是等邊三角形，

NABC=NACB=60°,

以點8為頂點在AA8C外作ZABK=60。，在3K上截取BQ=CN,連接。4QM,過點。作。垂

足為H,

A

K'

\//\\?.?AB=AC,NC=ZABQ,CN=BQ

QMJ\\

HB1MMc

.?.△/CN絲△480

AN=AQ,/CAN=NQAB

又ZCAN+NBAM=30°

:.ZBAM+ZQAB=30°

即ZQAM=AMAN

又；AM=AM,

:.AAQM迫AANM,

:.MN=QM；

'：ZABQ=60°,ZABC=60°,

ZQBH=60°,

：.ZBQH=30°,

■-BH=-BQ,QH^BQ

：.HM=BM+BH=BM+^BQ,

在中,可得：QH2+HM2=QM2

即+^BM+^BQ^=QM2

整理得BM2+BQ2+BM-BQ=QM1

BM-+NC2+BM-NC=MN2

圖③的結(jié)論是：BM2+NC2-BM-NC=MN2

證明：以點8為頂點在23c外作乙43K=30。，在8K上截取BQ=CN,連接。4,過點0作。,

垂足為

K;

\vAB=AC,NC=ZABQ,CN=BQ

B"M工'c

.??△/CW&△4BQ

.-.AN=AQ,NC4N=NQAB

又?/ZCAN+ZBAM=60°

:.ZBAM+ZQAB=60°

即ZQAM=ZMAN

又?；AM=AM,

:.AAQMmAANM,

:.MN=QM

在Rt^BQ〃中，ZQBH=60°,ABQH=30°

in

：.BH=-BQ,QH^BQ

HM=BM-BH=BM-gBQ,

在中,可得：QH2+HM2=QM2

即^BQ+[BM-^BQ]^=QM2

整理得BM-+BQ2-BMBQ=QM2

BM2+NC2-BM-NC=MN2

2.（2024?四川廣元?中考真題）小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質(zhì)發(fā)生折射時，入射角a的正弦

sinoc

值與折射角P的正弦值的比值「叫做介質(zhì)的“絕對折射率”，簡稱“折射率”.它表示光在介質(zhì)中傳播時，

smp

介質(zhì)對光作用的一種特征.

(1)若光從真空射入某介質(zhì)，入射角為折射角為月，且cosa=,，尸=30。，求該介質(zhì)的折射率；

⑵現(xiàn)有一塊與(1)中折射率相同的長方體介質(zhì)，如圖①所示，點/,B,C,。分別是長方體棱的中點，若

光線經(jīng)真空從矩形4234對角線交點。處射入，其折射光線恰好從點C處射出.如圖②，已知a=60。，

CD=10cm,求截面48CD的面積.

【答案】⑴；3；

(2)100V2cm2.

【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理等知識，

(1)根據(jù)costz=1^，設(shè)b=yfix，則c=4x,利用勾股定理求出°==3x，進而可得

sina=q=1^=：,問題即可得解；

c4x4

(2)根據(jù)折射率與(1)的材料相同，可得折射率為根據(jù)當=些萼=：,可得sin￡=",則有

2sin[3sin/?23

同

sinZOCD=sin=——，在RtZXODC中，設(shè)。。=Gx,=3x,問題隨之得解.

3

【詳解】⑴???cosa=0，

4

，如圖，

設(shè)6=缶，貝(lc=4尤，由勾股定理得，.=J(4x>_(V7x)2=3x，

..a3x3

??sinex——————,

c4x4

又???夕=30。，

sinfJ=sin30°=；,

3

…Lj?、rsina43

.?折射率為：——~=Y=".

sinp￡2

2

3

(2)根據(jù)折射率與(1)的材料相同，可得折射率為

2

?/a=60。，

.??sinjsin60°=3

,?sin￡sin132'

??sinp——?

3

???四邊形4BCD是矩形，點。是4D中點，

:?AD=2OD,DD=90°,

又?.?ZOCD=/3f

**?sinZ.OCD=sin尸=，

3

在中，設(shè)OD=后,OC=3xf

由勾股定理得，CD=J(3x)2-(氐)2=瓜,

OD氐1

tanP=

CD屈x41

又,:CD=10cm,

OD1

??OD=5V2cm，

AD=1oV5cm，

，截面/BCD的面積為：loTixlOnlOOgcn?.

3.(2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題)如圖，在平行四邊形48co中，點尸在邊上，AB=AF,連接8尸,

點。為8尸的中點，/O的延長線交邊8C于點E,連接EE

(1)求證：四邊形A8E尸是菱形:

⑵若平行四邊形ABCD的周長為22,CE=1,ABAD=120°,求/E的長.

【答案】(1)見解析

(2)AE=5

【分析】本題主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識：

(1)由平行四邊形的性質(zhì)得AF//B