一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合題復(fù)習(xí)講義

二次函數(shù)是刻畫實(shí)際生活中數(shù)量關(guān)系的又一種重要模型.在實(shí)際生活中，二次函數(shù)的應(yīng)用更為廣泛，特別是解決

實(shí)際生活中的最值問題，二次函數(shù)更有其用武之地.中考時(shí)，常常將二次函數(shù)與方程（組）、不等式（組）、其他函數(shù)等

知識結(jié)合在一起，考查同學(xué)們數(shù)形結(jié)合中的理解能力、推理計(jì)算中的思考能力、構(gòu)建模型中的建模能力等，是中考

中難度較大的問題.

一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合題是中考數(shù)學(xué)常考的壓軸題型，主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、用待

定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的關(guān)系式、勾股定理、交點(diǎn)問題與線段長度問題、三角形的面積問題等，考查的知

識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng).

2.1與兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)有關(guān)的題型

解題策略

1.判斷一個(gè)點(diǎn)是否在函數(shù)圖象上，只需把該點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式中，看等式兩邊是否成立即可.滿足等式的點(diǎn)在

函數(shù)圖象上，等式不成立則點(diǎn)不在函數(shù)圖象上.

2.比較兩個(gè)函數(shù)值的大小，如果兩個(gè)點(diǎn)在對稱軸的同側(cè)，則利用增減性直接判斷；如果在對稱軸的異側(cè)，可充

分利用二次函數(shù)的對稱性，找到一點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，然后利用增減性進(jìn)行判斷.

3.求拋物線yax2+bx+c（a豐0）的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)有兩種方法，一是利用頂點(diǎn)公式（（-蔣節(jié)盧），二是

通過配方得到y(tǒng)=a[x-牙+k的形式.

4.比較拋物線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)大小的基本方法有以下三種：

⑴利用拋物線上對稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，把各點(diǎn)轉(zhuǎn)化到對稱軸的同側(cè)，再利用二次函數(shù)的增減性進(jìn)行比較；

（2）當(dāng)已知拋物線的解析式及相應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，可先求出相應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后比較大?。?/p>

（3）利用“開口向上，拋物線上的點(diǎn)距離對稱軸越近，點(diǎn)的縱坐標(biāo)越小，開口向下，拋物線上的點(diǎn)距離對稱軸越

近，點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大”比較大小.

模型求與一元二次方程有關(guān)的不等式的解集

場景：一次函數(shù)y=kx+n與二次函數(shù)yax2+bx+c有關(guān)的不等式解集.

結(jié)論：kx+n>ax2+bx+c,表示一次函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象上方的部分，如圖中的函數(shù)圖象紅色部分，

此時(shí)的解集為當(dāng)<久<%B（X軸上紅色線段表示的部分）；

kx+n<ax2+bx+c表示一次函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象下方的部分，如圖中的函數(shù)圖象黑色部分，此時(shí)的解

集為.久<孫或久〉久B，（X軸上黑色線段表示的兩部分部分）.

探究：當(dāng)a<。時(shí)，其解集又是什么情況呢?

精選例題

例1已知函數(shù)y=x2+bx+c(b,c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn)((一2,4).

(1)求b,c滿足的關(guān)系式；

⑵設(shè)該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(m,n),當(dāng)b的值變化時(shí)，求n關(guān)于m的函數(shù)解析式；

(3)若該函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限，當(dāng)-5SXS1時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值之差為16,求b的值.

T解析

(1)代入點(diǎn)A的坐標(biāo)，整理即可得到b,c的關(guān)系式；

(2)在⑴的基礎(chǔ)上，將(m,n)代入y=x2+bx+c,然后利用對稱軸方程得到m與b的關(guān)系式，最后代入消去b即

可得到n關(guān)于m的函數(shù)解析式；

(3)由于對稱軸的位置不固定，所以要分情況討論，根據(jù)對稱軸的不同位置，利用二次函數(shù)的變化趨勢求解.

解(1)將點(diǎn)(24)代入y=x2+bx+g得4=(-2)2—2b+c.

c=2b.

???b,c滿足的關(guān)系式是c=2b;

⑵把c=2b代入y=x2+bx+c得y=x2+bx+2b.

:頂點(diǎn)坐標(biāo)是(m,n),n=m2+bm+2b,S,m=—b=-2m.

.?.n=—m2—4m.

??.n關(guān)于m的函數(shù)解析式為n=-m2-4m;

(3)由(2)的結(jié)論，畫出函數(shù)y=必+匕％+c和函數(shù)y=-x2-4%的圖象.

函數(shù)y=/+匕％+。的圖象不經(jīng)過第三象限,

-4W—40.

-2-

①當(dāng)—4<—^<—2,即4<b<8時(shí)，如答圖1,

x=l時(shí)，函數(shù)取到最大值y=l+3b;

X=-2時(shí)，函數(shù)取到最小值y=巴盧

2

即b+4b-60=0,.-.bi=6,b2=-10(舍去).

②當(dāng)-2。，即0Sb<4時(shí),如答圖2,

x=-5時(shí)，函數(shù)取到最大值y=25-3b;

久=—?時(shí)，函數(shù)取到最小值y=四蘭

即b2-20b+36=0.

bi-2,b2=18(舍去).

綜上所述，b的值為2或6.

例2.已知點(diǎn)M為二次函數(shù)y=-(尤—b)2+46+1的圖象的頂點(diǎn)，直線y=mx+5分別交x軸肆由2

y軸于點(diǎn)

A.B.

⑴判斷頂點(diǎn)M是否在直線y=4x+l上,并說明理由；

(2)如答圖1,若二次函數(shù)圖象也經(jīng)過點(diǎn)A,B,且加久+5>-(久-by+4b+1,根據(jù)圖象，寫出x的取值范

圍；

(3)如圖2,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5,0),點(diǎn)M在△力。B內(nèi)，若點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，試比較％與

治的大小.

(1)把二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入.y=4x+1中，看等式兩邊是否相等即可；

(2攻口圖，二次函數(shù)與一次函數(shù)相交于點(diǎn)A,B,由點(diǎn)B的坐標(biāo)求出二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，可以得到

點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用函數(shù)圖象得到取值范圍；

(3)此問有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，一個(gè)是頂點(diǎn)在.y=4x+1上，且點(diǎn)M在.AAOB內(nèi)，所以需要確定頂點(diǎn)的范圍，即求

出b的取值范圍；第二個(gè)是討論對稱軸與點(diǎn)C,D的位置關(guān)系.

解⑴點(diǎn)M為二次函數(shù)y=-(x-b)2+4b+1圖象的頂點(diǎn)，

；.M的坐標(biāo)是((。46+1).

把x=b代入y=4%+L得y=4b+1.

，點(diǎn)M在直線.y=4久+1上；

⑵如答圖1直線y=mx+5交y軸于點(diǎn)B,

???點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,5),又?.?點(diǎn)B在拋物線上，

5=-(0-bY+4b+1,解得b=2.

???二次函數(shù)的解析式為y=-(%-2)2+9.

當(dāng)y=0時(shí),-(x-2)2+9=0,解得%i=5,x2=-1.

.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5,0).

由圖象，可得當(dāng)mx+5>-(x-b)2+4b+1時(shí)，x的取值范圍是.x<0或x>5;

⑶如答圖1,

:直線y=4x+l與直線AB交于點(diǎn)E,與y軸交于點(diǎn)F,

由A(5,0),B(0,5)得直線AB的解析式為y=-x+5,

聯(lián)立EF,AB彳導(dǎo)方程組［解得

點(diǎn)E的坐標(biāo)為&芝)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,1).

?點(diǎn)M在小AOB內(nèi)，:1<4b+1<系

4

0<b<-.

當(dāng)點(diǎn)c,D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱時(shí)，b-1=1-b,.-.b=^.

442

且二次函數(shù)圖象開口向下，頂點(diǎn)M在直線y=4x+1上,如答圖2、3.

綜上所述,①當(dāng)0<b<粗寸,yi>y2;

②當(dāng)b=2時(shí)，yi=y2;

③當(dāng)|<b<［時(shí),yi<y2-

精選練習(xí)

2

1.已知拋物線yi=-x+mx+n,直線y2=kx+6,%的對稱軸與必交于點(diǎn)4(-1,5),點(diǎn)A與月的頂點(diǎn)B

的距離是4.

⑴求yi的解析式；yi

(2)若以隨著x的增大而增大，且外與段都經(jīng)過x軸上的同一點(diǎn)，求力的解析式.

2.如圖.一次函數(shù)丫=丘-1的圖象經(jīng)過點(diǎn)力(3有，m)(MO),與y軸交于點(diǎn)B點(diǎn)C在線段AB上，且BC=

2AC,,過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)D.若.AC=CD.

⑴求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；

(2)已知一開口向下、以直線CD為對稱軸的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A,它的頂點(diǎn)為P,若過點(diǎn)P且垂直于AP的直線

與x軸的交點(diǎn)為Q(-等，0),求這條拋物線的函數(shù)解析式.

2.2與兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)有關(guān)的題型

解題策略

這里的交點(diǎn)問題是指二次函數(shù)與直線或線段的交點(diǎn)問題.

1.拋物線y=ax?+6%+。與x軸的有無交點(diǎn)是通過判別式判斷的，若拋物線與x軸無交點(diǎn)，則4<0；拋物線

與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，則△=0；拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則4>0反之，若△<0,貝U拋物線與x軸無交點(diǎn)；△=(),

則拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；△>0,則拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).

2.當(dāng)k加時(shí)求y=kx+b與拋物線的交點(diǎn)，則把兩個(gè)函數(shù)的解析式聯(lián)立，消元化簡為一個(gè)一元二次方程，求解得

到交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出縱坐標(biāo)即可.判定兩個(gè)函數(shù)是否有交點(diǎn)，則把兩個(gè)函數(shù)的解析式聯(lián)立，消元化簡為一個(gè)一

元二次方程，利用判別式即可，若無交點(diǎn)，貝必<0；有一個(gè)交點(diǎn)，貝必=0;有兩個(gè)交點(diǎn)，則△>0.

3.當(dāng)直線與y軸垂直或平行于x軸也可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程進(jìn)行求解.此時(shí)可以充分利用二次函數(shù)的對稱性,

即兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于對稱軸橫坐標(biāo)的2倍.

5.當(dāng)線段與二次函數(shù)相交時(shí)，注意端點(diǎn)的范圍，并分類討論.

模型求函數(shù)的交點(diǎn)

場景：一次函數(shù)y=kx+n(k中0)與二次函數(shù)y=ax2+bx+c的交點(diǎn).

策略：聯(lián)立后消元，得kx+n-ax2+bx+c,整理得ax2+(b-k)x+c-n-0.

結(jié)論：當(dāng)△>。時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)(如圖)；當(dāng)小=0時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)△<。時(shí)，無交點(diǎn).

例1.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線Cy=ax2+2x-l(a*0)和直線1：y=kx+b,點(diǎn)4(一3,一-1)

均在直線1上.

⑴若拋物線C與直線1有交點(diǎn)，求a的取值范圍；

(2)當(dāng)a=一1,二次函數(shù)yax2+2x-1的自變量x滿足血WxWm+2時(shí)，函數(shù)y的最大值為一4,求m的

值；

(3)若拋物線C與線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，請直接寫出a的取值范圍.

解析

(1)先求出直線的解析式，然后將二次函數(shù)的解析式與一次函數(shù)的解析式組成方程組，利用根的判別式/>。，求

出a的取值范圍；

⑵對自變量的取值范圍在對稱軸的左、右兩側(cè)進(jìn)行分類，結(jié)合增減性求出m的值；

(3)由于拋物線經(jīng)過(0,-1)這一定點(diǎn)，將拋物線分開口向上和開口向下兩種情況求出a的取值范圍.討論時(shí)注意

兩個(gè)臨界點(diǎn)A和點(diǎn)B,同時(shí)注意排除拋物線和直線AB沒有交點(diǎn)的情況.

解⑴將.4(-3,-3)"-1)代入y=依+4中，得

「汽督=丁,解得「飛

Ik+b=-1,b=

直線1的解析式為y=

答圖1

???拋物線C與直線1有交點(diǎn)，

GIX2+2x-1=|x-|有實(shí)數(shù)根.

???2ax2+3%+1=0,

9

**?=9-8aN0.ct

???a的取值范圍是aW，且a#0;

o

⑵當(dāng)a=-l時(shí)，拋物線為y=—尤2+2x—1=—（久—1產(chǎn)對稱軸為x=l.

當(dāng)m<x<m+2在對稱軸的左側(cè)時(shí),如答圖1,即m+2<l時(shí),

m<-l,y隨x的增大而增大.

當(dāng)x=m+2時(shí)，函數(shù)y的最大值為4

m=-3.

當(dāng)m<x<m+2在對稱軸的左側(cè)時(shí),如答圖2,即m>l時(shí)，

y隨x的增大而減小.

當(dāng)x=m時(shí)，函數(shù)y的最大值為-4,m=3;答圖3

(3)當(dāng)a<0時(shí),對稱軸x=-->0.

a

將B(1,-1)代入y=ax2+2%—L得a=-2.

???當(dāng)a<-2時(shí)，拋物線C與線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸%=--<0.

a

將A(-3,-3)代入y=ax2+2x—L得a=[.

當(dāng)gWaW看時(shí)，拋物線C與線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

綜上所述，拋物線C與線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，：WaW1或a<-2.

例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中直線y=4x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B,拋物線y="答I圖)4-3a經(jīng)過點(diǎn)A,

將點(diǎn)B向右平移5個(gè)單位長度，得到點(diǎn)C.

⑴求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

⑵求拋物線的對稱軸；

⑶若拋物線與線段BC恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍.

解析

⑴求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用平移的性質(zhì)即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入y=ax2+bx-3a中，化簡整理，求出一方即可；

⑶分類討論a>0,a<0時(shí)的情況，這里要注意BC垂直y軸，頂點(diǎn)在BC上的情況

解⑴令x=0,代入直線y=4x+4彳導(dǎo)y=4..?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,4).

?.?點(diǎn)B向右平移5個(gè)單位長度得到點(diǎn)C，，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5,4)；

⑵令y=0,代入直線y=4x+4得x=--l.，點(diǎn)A的坐標(biāo)為((-1，0).

將點(diǎn)A(-l,0)代入拋物線y=ax2+bx—3a中，得0=。一b—3a,即b=—2a

拋物線的對稱軸%=-捺=一子=1;

(3)?.?拋物線始終過點(diǎn)A(-l,0)且對稱軸為直線.久=1,

由拋物線對稱性可知拋物線也一定過點(diǎn)A的對稱點(diǎn)(3,0).

①a>0時(shí),如答圖1.

將x=0代入拋物線得.y=-3a.

???拋物線與線段BC恰有一個(gè)公共點(diǎn)，

4

-3aV4,ct>—.

3

將x=5代入拋物線得.y=12a.

11

???12a>4,aa>

②a<0時(shí)，如答圖2.

將x=0代入拋物線得y=-3a.

???拋物線與線段BC恰有一個(gè)公共點(diǎn),

答圖3

4

-3a>4.，a<—.

3

③當(dāng)拋物線頂點(diǎn)在線段BC上時(shí)，則頂點(diǎn)為(1,4),如答圖3.

將點(diǎn)(1,4)代入拋物線得4=a—2a—3a,a=—1.

綜上所述，a21或a〈一;或a=-l.

精選練習(xí)

1.已知二次函數(shù)y=-^x2+bx+c的圖象經(jīng)過A(0,3),B(一4,一兩點(diǎn).

⑴求b,c的值;

(2)二次函數(shù)y=-^-x2+bx+c的圖象與x軸是否有公共點(diǎn)?若有,求公共點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒有，請說明情況.

16

2.已知k是常數(shù)，拋物線y=x2+(fc2+fc-6)x+3k的對稱軸是y軸，并且與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).

⑴求k的值;

⑵若點(diǎn)P在拋物線y=x2+(^k2+k-6~)x+3k上，且P到y(tǒng)軸的距離是2,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

2.1與兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)有關(guān)的題型

精選練習(xí)

2

1.解:⑴：拋物線以=-x+mx+n,直線y2=kx+b,y"的對稱軸與y2交于點(diǎn)A(-l,5),點(diǎn)A與yi的頂點(diǎn)B

的距離是4.

二點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,1)或(-1,9).

mq

-；~T=—1

2x(-1)

22

4x(-l)n-m_._ii4x(-l)n-m_Q

4x(-1)—-1或-4x(-1)—-

解得m=-2,n=0或n=8.

."■Y1的解析式為yi=-X2-2x或yi=-%2-2%+8;

⑵①當(dāng)yi的解析式為人=-x2-2x時(shí)，拋物線與x軸交點(diǎn)是(0,0)和(-2,0).

Vyi的對稱軸與y2交于點(diǎn)A(-l,5),

???yi與y?都經(jīng)過x軸上的同一點(diǎn)(-2,0).

把(-1,5),(-2,0)代入得

—k+b=5,,解得Co.

—2k+b=0：

???=5%+10.

②當(dāng).yi=—%2—2%+8時(shí)，解—x2—2第+8=0得x=-4或x=2.

隨著X的增大而增大，且過點(diǎn)A(-l,5),

?-yi與y2都經(jīng)過x軸上的同一點(diǎn)(-4,0).

—k+b=5,

把(-1,5),(-4,0)代入得

—4fc+b=0.

k7=-5,

3

解得720

3

2.解:⑴如圖過點(diǎn)A作AF，x軸過點(diǎn)B作BFLCD于點(diǎn)H,交AF于點(diǎn)F,過點(diǎn)C作CEXAF于點(diǎn)E.

設(shè)AC=n，則CD=n.

?，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,-1）,

CD=n+1,AF=m+1.

VCH/7AF,BC=2AC,

.CH_BC_2

''AF~AB~3

.AC_CE_1

''AB_BF~3

即可得（CE=V5.

在RtAAEC中，

CE2+AE2=AC2,

???5+（m—幾）2=n2.

m

把九=等1代入5+（m—?dú){B=（乂^），解得i=5,m2=一3（舍去）.

n