反比例函數(shù)k的幾何意義

模型反比例函數(shù)k的幾何意義

場景：如圖，過雙曲線上任意一點P分別作X軸、y軸的垂線PM,PN.

結論:矩形PMON的面積.S=PM-PN=\y\-\x\=|xy|,

證明：y=0.xy=k,；.S=網(wǎng)，即過雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線，所得的矩形面積為|k|.即過雙曲

線y=g(k〉O,k為常數(shù))上任意一點作x軸、y軸的垂線，所得矩形的面積S為定值|k|.

拓展：(l)|k|的絕對值越大，反比例函數(shù)的圖象離坐標軸越遠.

(2)如圖,R3ABO的面積為Rt△ABOj|fc|;

(3)如圖，RtAACBB的面積為2|k|;

(4)如圖，△AMBB的面積為|k|.

例1如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，平行四邊形ABCD的近AB在x軸上，頂點D在y軸的正

半軸上，點C在第一象限，將△4。。沿y軸翻折，使點A落在x軸上的點E處，點B恰好為OE的中點,DE與

BC交于點F若丫=乳上手0)圖象經(jīng)過點C,且S_{\triangleBEF}=1則k的值為.

解析

由平行四邊形及翻折的性質(zhì)，得到△BEF^ACDF,然后根據(jù)線段的關系，借助△BEF的面積求出△COD的

面積，即可求出k的值

解如圖，連接OC,作FMLAB于點M,延長MF交CD于點N.設BE=a,FM=b，由題意知,OB=BE=a,OA=2a,DC=3

a.

??.四邊形ABCD為平行四邊形，

JDC〃AB,???ZXBEFsACDF,

ABE:CD=EF:DF=1:3,

???NF=3b,OD=FM+FN=4b.

???SBEF=L即gab=1,

???SCD0--CD?OD=-3ax4b—6ab—12,

k—xy—2SCDO~24.

例2.如圖，平行于X軸的直線與函數(shù)y=勺(七>0,%>0),y=y(七>0,X>0)的圖象分別相交于A、B兩點，

點A在點B的右側，C為x軸上的一個動點.若△ABC的面積為4,則任-七的值為.

解析

通過轉化的方法，利用△ABC,得到△ABE的面積，再得到矩形ABEF的面積,最后利用反比例函數(shù)圖象的

性質(zhì)，可以得到狂-七的值即為矩形ABEF的面積.

解如圖，過點B作BE±x軸，垂足為點E；過點A作AF±x軸，垂足為點F；延長AB交y軸于點D.

VAABC與4ABE同底等高,

SABE-^ABC—4

'??四邊形ABEF為矩形，

???S=2SABE=8.

電逆ABEF

棱錐側k2=S^0EBD'

影：?

：.kx—k2=svI^OFAD-SMOEBD=s?JB/WEF=8

例3.如圖,A、B是函數(shù)y=苫上兩點,P為一動點作PB〃y軸,PA〃x軸.下列說法中，正確的是（）.

BOP

①AOP=BOP-0SA0P=S；③若OA=OB,則OP平分NAOB;④若SB0P=4,則SABP=16.

A.①③B.②③C.②④D.③④

解析

①由點A,B為動點，OP為公共邊相等，只需要探究.AP=BP或者0A=0B是否成立即可，如果有一組邊

不相等，則兩個三角形就不全等，從而可判斷①是否正確；

②可以延長BP,AP,利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義和矩形的性質(zhì)判斷；

③在所給的條件下，判斷0P為角平分線，結合②的結論，利用面積法和角平分線的判定定理即可確定③是否

正確；

④同②，充分利用反比例函數(shù)k的幾何意義，求出點P的坐標變化規(guī)律，利用三角形面積公式進行解答，即可

判斷④的正確性.

解：點P是動點,，BP與AP不一定相等,ABOP與AAOP不一定全等，故①不正確；設點P的坐標為(m,

n).；BP〃y軸,.?.點B的坐標為(若),二BP=\^-n\.

,'1^BOP=^x?嬴—"Ixm--\1"2—mn|.

：PA〃x軸,.?.點A的坐標為AP=

1121

SAOP=-X|--m|xn=-\12-mn\.

*，,^AOP=S^op,故②正確；

或者如答圖MOP

1,S=S/10M—SOPM=6—S0PM,

Swop=^WN-Sc=6—S0PN,S0PM=S0PN,

?e,^AOP=S^op,故②正確；

如答圖2,過點P作PFLOA于點F,PE1。8于點E.

*，*SMOP=萬。/XPF,SBOP=-OBxPE.

SAOP=^NP>>',OBxPE=OAXPE.

VOA=OB,.\PE=PF.

VPE±OB,PF±OA,.\OP是NAOB的平分線，故③正確;如答圖1,延長BP交x軸于點N,延長AP交y軸于

點M.

??.AM±y軸,BN，x軸,，四邊形OMPN是矩形.

.?,點A,B在雙曲線y=-Jz,^AMO=SBNO=6.

SBOP=4,

?*S&PMC)=S&PNC=2，??S地形&=4.

,4

.?.mn=4,???m=-.

n

：.BP—\—n\—|3n-n|=2\n\,AP~\m\=

SAPB-=|X2|n|xe=8,故④錯誤.

..?正確的有②③.

故選B.

精選練習

1.如圖，直線/IX軸于點P且與反比例函數(shù)%=B（幻°）及%=￡（久〉0）的圖象分別交于A,B兩點.連接OA,

0B,已知A048的面積為4,則kr-k2=.

2.如圖，點A在雙曲線y=:上，點B在雙曲線y=?上，且力B||x軸，點C,D在x軸上.若四邊形ABCD為矩

形，則它的面積為（）.

A.4B.6C.8D.12

3如圖，在平面直角坐標系中，點0為坐標原點，平行四邊形0ABC的頂點A在反比例函數(shù)y=挪圖象上，

頂點B在反比例函數(shù)y=:的圖象上，點C在x軸的正半軸上，則平行四邊形OABC的面積是（）.

4.如圖，反比例函數(shù)y=￡。>0）經(jīng)過A,B兩點，過點A作AC1yy軸于點C,過點B作BD1y軸于點D,過

點B作BE_Lx軸于點E,連接AD.已知AC=1?BE=I,Svw：=4則SAACD=.

5.如圖,在平面直角坐標系中,矩形ABCD的對角線AC的中點與坐標原點重合，點E是x軸上一點，連接A

E.若AD平分N04E,,反比例函數(shù)y=￡（fc）0,x>0）的圖象經(jīng)過AE上的兩點A,F,H.AF=￡F,AABE的面積為1

8,則k的值為（）.

A.6B.12C.18D.24

精選練習

1.解：???反比例函數(shù)%=?(盼0)及y2=(盼0)的圖象均在第一象限內(nèi)，

:.fci>0,k2>0.

???APJ_x軸,

???S(JNP=5kLs0Hp=-k2.

1

,'1^OAB=^OAP—SOHP=2(自一七)=生

解得七-七=8.

故答案為8.

2.解:過點A作AE±y軸,垂足為E.

???點A在雙曲線y=:上，

四邊形AEOD的面積為4.

丁點B在雙曲線丫=苫上,且人：8〃*軸，

四邊形BEOC的面積為12.

矩形ABCD的面積為12-4=8.

故選C.

3.解:設點A的坐標為(a,b),點B的坐標為(a+m,b).依題意得b=-,b=.?.工=T-化簡得m=4a.Vb=V,

aa+maa+m4

；.ab=l.；.S平行四邊形QABC=mb=4ab=4xl=4.故選C.

4.解如圖，連接AO.由反比例函數(shù)k的幾何意義可知，SANC=三S可逆=B/-：AC=OD^1.SA0D=打

3

^ACD=^AMx—^AOD=]

5.解如圖，連接BD.

???四邊形ABCD為矩形,AC為對角線,

AAO=OD.

???ZODA=ZOAD.

又??,AD為ZDAE的平分線，

???ZOAD=ZEAD.

JZEAD=ZODA,OB//AE.

VSAABE=18,.\SAOAE=18.

設點A的坐標為(a，*

,/AF=EF,點F的縱坐標為

代入反比例函數(shù)解析式，可得點F的坐標為(2a,5),

.??點E的坐標為(3a,0).

1ckYc

SOIE='一x3ax—=18.

2a

解得k=12.

故選B.

最后一道選擇題、填空題(幾何培優(yōu)篇)

第一章幾何規(guī)律探究

找規(guī)律題(4)——幾何

精選練習

1.解:：△OA1A2為等腰直角三角形,(0Ar=1,

???0A2=V2.

??,△OA2A3為等腰直角三角形，

???0A3=2=(V2).

VAOA3A4為等腰直角三角形，

3

0Ar=2V2=(V2).

??,△OA4A5為等腰直角三角形，

4

OAZ=4=(V2).

，OA,的長度為((魚)

故選B.

2.解:由題意得點Ai的坐標為(1,0),點A