靜安區(qū)2024學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)研(高考一模)

高三數(shù)學(xué)試卷

本試卷滿分150分,考試時(shí)間120分鐘?2024.12

填空題(本大題共12小題,滿分54分)第1小題至第6小題每個(gè)空格填對(duì)得4分，第7小題至

第12小題每個(gè)空格填對(duì)得5分,考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)后填寫(xiě)答案,否則一律得零分.

1.設(shè)集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5}，則AC3=.

2.不等式|2x-1|<3的解集為.

3.已知i是虛數(shù)單位,+i)(l-2i)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)加的值為.

4.設(shè){為}是等差數(shù)列,q=-6,%=0,則該數(shù)列的前8項(xiàng)的和S8的值為.

5.到點(diǎn)7^(-3,0),7^(3,0)距離之和為10的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.

6.在△ABC中，已知5c=5,AC=4,A=25,則cos_B的值為.

7.已知物體的位移d(單位：m)與時(shí)間/(單位：s)滿足函數(shù)關(guān)系d=5sin/-2cos九則該物體在

t=-(s)時(shí)刻的瞬時(shí)速度為(m/s).

2

8.若用/替換命題“對(duì)于任意實(shí)數(shù)d,有屋20,且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)d=0時(shí)成立”中的2,即可

推出平均值不等式“任意兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值,且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)這

兩個(gè)正數(shù)相等時(shí)成立”.則/=

9.以雙曲線工-二=1的離心率為半徑，以右焦點(diǎn)為圓心的圓與雙曲線的漸近線相切,則用的

4m

值為.

10.如右圖所示,小明和小寧家都住在東方明珠塔附近的同

一幢樓上，小明家在A層,小寧家位于小明家正上方的

8層，已知46=。.小明在家測(cè)得東方明珠塔尖的仰角

為a，小寧在家測(cè)得東方明珠塔尖的仰角為夕，則他倆

所住的這幢樓與東方明珠塔之間的距離d=.

11.記/(x)=/+(?2+b2-l)x+a2+2ab-b2.若函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)，則該函數(shù)圖像與y軸

交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為

2

12.已知1gx1,lgx2,1gx3,lg%4,1gx5是從大到小連續(xù)的正整數(shù),且(lgx4)<IgXj-lgx5.

則占的最小值為

選擇題（本大題共4小題,滿分18分）第13題，14題各4分，第15題，16題各5分,每題有且

僅有一個(gè)正確答案,考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上,將代表答案的小方格涂黑.

13.設(shè)a,beR,則“a+/?>0”是“a>0且b>0"的.........................（）

A.充分非必要條件.

B.必要非充分條件.

C.充要條件.

D.既非充分又非必要條件.

14.污水處理廠通過(guò)清除污水中的污染物獲得清潔用水并生產(chǎn)肥料.該廠的污水處理裝置每小時(shí)

從處理池清除掉12%的污染殘留物.要使處理池中的污染物水平降到最初的10%,大約需要

的時(shí)間為...........................................................（）

A.14小時(shí).

B.18小時(shí).

C.20小時(shí).

D.24小時(shí).

15.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都是直角三角形的空間四面體叫做“鱉腌如圖

是一個(gè)水平放置的△ABC,CDLAB,ZA=3Q°,ZB=45°.現(xiàn)將Rt△ACD沿CD折起，使

點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)A'，使得空間四面體ABCD恰好是一個(gè)“鱉麝”，則二面角A-CD-B的大小

為...........................................................（）

A.60°.

B.90°.

C.arctan2.

D.arccos——.

3

16.在四棱錐P—ABCD中，AB=(4-2,3),AD=(-4,1,0),AP=(—6,2,—8),則該四棱錐的高

為....................................................................()

A.4.

B.3.

C.2.

D.1.

三,解答題(本大題共5題，滿分78分)解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必

要的步驟.

17.(滿分14分)本題共2個(gè)小題，每個(gè)小題均是滿分7分.

,,4

設(shè)函數(shù)/(x)=x+—,xe(-co,0)U(0,+oo).

x

(1)求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)求不等式/(x)<2x的解集.

18.(滿分14分)本題共2個(gè)小題，每個(gè)小題均是滿分7分.

已知向量a=[cos-^,sin-^J=[cos',-sin楙)，且xe0,^

⑴求a?坂及|a+B|.

⑵記f(x)=a-b一|a+刃I,求函數(shù)y=/(x)的最小值.

19.(滿分14分)本題共2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

如圖所示，正三棱錐A-BCD的側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形.

(1)求正三棱錐A—BCD的體積V.

⑵設(shè)E/,G分別是線段ACAABC的中點(diǎn).

求證：①CD〃平面EFG.

②若平面EFG交5。于點(diǎn)H，則四邊形EFHG是正方形.

20.(滿分18分)本題共3個(gè)小題，每個(gè)小題均是滿分6分.

如圖的封閉圖形的邊緣由拋物線「和垂直于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的線段AB組成.已知AB=4，拋物

線的頂點(diǎn)到線段A3所在直線的距離為2.

(1)請(qǐng)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)這個(gè)封閉圖形的邊緣.

(2)在該封閉圖形上截取一個(gè)矩形CDER,其中點(diǎn)C、O在線段A3上，點(diǎn)￡、尸在拋物線「

上.求以矩形a史b為側(cè)面,。尸為母線的圓柱的體積最大值.

(3)求證：拋物線「的任何兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)都在同一條直線上.

21.(滿分18分)本題共3個(gè)小題，每個(gè)小題均是滿分6分.

如果函數(shù)丁=/(x)滿足以下兩個(gè)條件,我們就稱(chēng)函數(shù)y=/(x)為U型函數(shù).

①對(duì)任意的xe[0,1],有/(x)>1,/(I)=3.

②對(duì)于任意的x,ye[0,1],若x+y<1,則f(x+y)>f(x)+/(y)-l.

求證：

(1)y=3,是U型函數(shù).

(2)U型函數(shù)y=/(x)在[0,1]上為增函數(shù).

12

(3)對(duì)于U型函數(shù)y=f(x),有f仔)為正整數(shù)).

答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

—,1.{3,5},2.(-1,2),3.-2,4.36.

5.-----F—1,6.—,7.2,8.yfu-,\[b.

25168

4ai-

9.一，10.-----------------,11.J2,12.100000.

3tana—tanQ

二，13.B,14.B,15.D,16.C.

44

三,17.(1)y'=l--，由1—-^=0,解得％=—2,x=2.

可知原函數(shù)的駐點(diǎn)為x=—2,x=2,........................................................3分

列表如下：

X(-oo,-2)-2(-2,0)(0,2)2(2,+8)

f,M+0——0+

/(x)T極大值-4極小值4

所以,該函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)增區(qū)間為(—8,—2)和(2,+8),............................2分

嚴(yán)格單調(diào)減區(qū)間為(-2,0)和(0,2).........................................................2分

4

(2)/(x)<2x,x---->0,....................................................................3分

x

Y2-4

-------->0,故x￡(-2,0)U(2,+oo).........................................................4分

18.解(1)a-b=cos-cos--sin—sin—=cos2x........................................3分

2222

\a+b^=fcos^+cos-^j+fsin^-sin^j=2+2cos2x=4cos2x.

JT—*

因?yàn)榫拧?,—，所以|〃+b|=2cos%.......................................4分

(2)f(x)=a'b-\a+b\=2cos2x-2cosx-l=2^cosx--J--,??.3分

1兀、3

當(dāng)cosx=—,即％=—時(shí),該函數(shù)取得最小值——.....................4分

232

19.解：(1)因?yàn)槿忮FA—BCD是一個(gè)正三棱錐.

所以，點(diǎn)A在底面8。上的射影點(diǎn)O必是△BCD的中心.

連接80且延長(zhǎng)與CD交于點(diǎn)M.

可得AM=6,OM.

3

所以Q4=4AM--OM2=會(huì)電........2分

3

可得ABC。的面積為退.

所以，正三棱錐A-BCD的體積

VI質(zhì)2屈2亞

V=—xV3x---=...........4分

333

(2)①由已知，有CD〃即，且Mu平面EFG.

所以,CD〃平面EFG.................................3分

②設(shè)5。與平面EFG交于點(diǎn)、H，則平面EFGA平面BCD=GH.

所以,GH〃CD,點(diǎn)//是50的中點(diǎn).

版以EFIIGH.

同理，有￡G〃"T

由三角形中位線的性質(zhì)，得到四邊形EFGH是菱形.......................3分

因?yàn)镺OL3C,又0D為AD在底面BCD內(nèi)的射影.

所以,A3LCD可得故,四邊形EFG”是正方形...............2分

20.如圖建立平面直角坐標(biāo)系xOy,............................1分

于是,拋物線「過(guò)點(diǎn)(2,2).

所以,拋物線「的方程為y=gx2,xw[—2,2]...4分

線段A3的方程為y=2,xe[—2,2]..........................1分

(2)設(shè)E(x,y),則DE=2—gx?.........................................

以O(shè)E為母線的圓柱的底面半徑q滿足2x=2巧，所以其體積%=—gxj.

方法1：^==-—(X2-2)2+-................4分

2兀71

所以，當(dāng)％=后時(shí)，其體積取得最大值2..............1分

兀

方法2：匕'=4(4》-2三),解得有實(shí)際意義的駐點(diǎn)》=啦.....3分

X(0,V2)72(V2,2)

匕’+0—

匕T極大值-4

所以,該函數(shù)在區(qū)間(0,J5)為嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù),在區(qū)間(、歷⑵為嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù).?4分

所以，當(dāng)x=五時(shí)，其體積取得最大值工...............................1分

兀

(3)證明：因?yàn)閂=無(wú)，所以，拋物線r上任意一點(diǎn)(羽y)的切線斜率為%.

設(shè)/1,6是拋物線「上兩條相互垂直的切線，切點(diǎn)分別為a,%),(W,為),則其方程分別為

=x1(x-x1),/2:y—為=々(了一%)，且玉/=-1，.......................4分

消