4．1數(shù)列的概念目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導圖】 2【知識點梳理】 2【典型例題】 6題型一：數(shù)列的有關(guān)概念和分類 6題型二：由數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式 8題型三：數(shù)列通項公式的簡單應(yīng)用 11題型四：遞推公式的應(yīng)用 14題型五：前項和公式與通項的關(guān)系 18題型六：數(shù)列單調(diào)性的判斷 21題型七：求數(shù)列的最大項與最小項 23題型八：周期數(shù)列 28

【題型歸納目錄】【思維導圖】【知識點梳理】知識點一、數(shù)列的概念數(shù)列概念：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列．知識點詮釋：（1）數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；（2）定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復出現(xiàn)．數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．各項依次叫做這個數(shù)列的第1項，第2項，…；排在第位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第項．其中數(shù)列的第1項也叫作首項．知識點詮釋：數(shù)列的項與項數(shù)是兩個不同的概念．數(shù)列的項是指數(shù)列中的某一個確定的數(shù)，而項數(shù)是指這個數(shù)在數(shù)列中的位置序號．類比集合中元素的三要素，數(shù)列中的項也有相應(yīng)的三個性質(zhì)：（1）確定性：一個數(shù)是否數(shù)列中的項是確定的；（2）可重復性：數(shù)列中的數(shù)可以重復；（3）有序性：數(shù)列中的數(shù)的排列是有次序的．數(shù)列的一般形式：數(shù)列的一般形式可以寫成：，或簡記為．其中是數(shù)列的第項．知識點詮釋：與的含義完全不同，表示一個數(shù)列，表示數(shù)列的第項．知識點二、數(shù)列的分類根據(jù)數(shù)列項數(shù)的多少分：有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列．例如數(shù)列1，2，3，4，5，6是有窮數(shù)列無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列．例如數(shù)列1，2，3，4，5，6，…是無窮數(shù)列根據(jù)數(shù)列項的大小分：遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列．遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列．常數(shù)數(shù)列：各項相等的數(shù)列．擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列．知識點三、數(shù)列的通項公式與前n項和數(shù)列的通項公式如果數(shù)列的第項與之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式．知識點詮釋：（1）并不是所有數(shù)列都能寫出其通項公式；（2）一個數(shù)列的通項公式有時是不唯一的．如數(shù)列：1，0，1，0，1，0，…它的通項公式可以是，也可以是．（3）數(shù)列通項公式的作用：①求數(shù)列中任意一項；②檢驗?zāi)硵?shù)是否是該數(shù)列中的一項．（4）數(shù)列的通項公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第項，又是這個數(shù)列中所有各項的一般表示．數(shù)列的前n項和數(shù)列的前項和：指數(shù)列的前項逐個相加之和，通常用表示，即；與的關(guān)系當時；當時，故．知識點四、數(shù)列的表示方法通項公式法（解析式法）：數(shù)列通項公式反映了一個數(shù)列項與項數(shù)的函數(shù)關(guān)系．給了數(shù)列的通項公式，代入項數(shù)就可求出數(shù)列的每一項．反之，根據(jù)通項公式，可以判定一個數(shù)是否為數(shù)列中的項．列表法相對于列表法表示一個函數(shù)，數(shù)列有這樣的表示法：用表示第一項，用表示第二項，……，用表示第項，……，依次寫出得數(shù)列．12…………圖象法：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，可以用函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形．具體方法：以項數(shù)為橫坐標，相應(yīng)的項為縱坐標，即以為坐標在平面直角坐標系中做出點．所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點，因為橫坐標為正整數(shù)，所以這些點都在軸的右側(cè)，而點的個數(shù)取決于數(shù)列的項數(shù)．從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項隨項數(shù)由小到大變化而變化的趨勢．遞推公式法遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法．如：數(shù)列：，1，5，9，13，…，可用遞推公式：，表示．數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89，…，可用遞推公式：，，表示．知識點五、數(shù)列與函數(shù)（1）數(shù)列是一個特殊的函數(shù)，其特殊性主要體現(xiàn)在定義域上．數(shù)列可以看成以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)，當自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值．反過來，對于函數(shù)，如果（）有意義，那么我們可以得到一個數(shù)列，，，…，，…；（2）數(shù)列的通項公式實際上就是相應(yīng)函數(shù)的解析式．數(shù)列的項是函數(shù)值，序號是自變量，數(shù)列的通項公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式．數(shù)列通項公式反映了一個數(shù)列項與項數(shù)的函數(shù)關(guān)系．給了數(shù)列的通項公式，代入項數(shù)就可求出數(shù)列的每一項．反之，根據(jù)通項公式，可以判定一個數(shù)是否為數(shù)列中的項．（3）數(shù)列的圖象是落在軸右側(cè)的一群孤立的點數(shù)列的圖象是以項數(shù)為橫坐標，相應(yīng)的項為縱坐標的一系列孤立的點，這些點都落在函數(shù)的圖象上．因為橫坐標為正整數(shù)，所以這些點都在軸的右側(cè)，從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項隨項數(shù)由小到大變化而變化的趨勢．（4）跟不是所有的函數(shù)都有解析式一樣，不是所有的數(shù)列都有通項公式．【方法技巧與總結(jié)】1、判斷數(shù)列的單調(diào)性的方法（1）作差比較法：?數(shù)列是遞增數(shù)列；?數(shù)列是遞減數(shù)列；?數(shù)列是常數(shù)列．（2）作商比較法：ⅰ．當時，則?數(shù)列是遞增數(shù)列；?數(shù)列是遞減數(shù)列；?數(shù)列是常數(shù)列；ⅱ．當時，則?數(shù)列是遞減數(shù)列；?數(shù)列是遞增數(shù)列；?數(shù)列是常數(shù)列．（3）結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷：寫出數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)，利用導數(shù)或利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性探求其單調(diào)性，再將函數(shù)的單調(diào)性對應(yīng)到數(shù)列中去．2、求數(shù)列最大（?。╉椀姆椒ǎ?）構(gòu)造函數(shù)，確定出函數(shù)的單調(diào)性，進一步求出數(shù)列的最大項或最小項．（2）利用，求數(shù)列中的最大項；利用，求數(shù)列中的最小項．當解不唯一時，比較各解大小即可確定．【典型例題】題型一：數(shù)列的有關(guān)概念和分類【典例1-1】（2024·高二·全國·專題練習）下列說法正確的是（

）A．數(shù)列4，7，3，4的首項是4B．數(shù)列中，若，則從第2項起，各項均不等于3C．數(shù)列3，6，8可以表示為D．，－3，－1，1，，5，7，9，11一定能構(gòu)成數(shù)列【答案】A【解析】對于A，數(shù)列4，7，3，4的第1項就是首項，即4，故A正確．對于B，同一個數(shù)在一個數(shù)列中可以重復出現(xiàn)，故B錯誤．對于C，數(shù)列和數(shù)的順序有關(guān)，集合中元素具有無序性，故C錯誤．對于D，當都代表數(shù)（數(shù)列的各項都是數(shù)）時，能構(gòu)成數(shù)列，當中至少有一個不代表數(shù)時，不能構(gòu)成數(shù)列，因為數(shù)列是按確定的順序排列的一列數(shù)，故D錯誤．故選：A.【典例1-2】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）若數(shù)列的通項公式為，則關(guān)于此數(shù)列的圖象敘述正確的是（

）A．此數(shù)列不能用圖象表示B．此數(shù)列的圖象僅在第一象限C．此數(shù)列的圖象為直線D．此數(shù)列的圖象為直線上滿足的一系列孤立的點【答案】D【解析】數(shù)列的通項公式為，它的圖象就是直線上滿足的一系列孤立的點，所以A、C錯誤，當時，，該點在第四象限，當且時，，此時數(shù)列圖象在第一象限，所以B錯誤.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】（1）判斷數(shù)列是何種數(shù)列一定嚴格按照定義進行判斷．（2）判斷數(shù)列的單調(diào)性時一定要確保每一項均大于（或均小于）后一項，不能有例外．【變式1-1】（2024·高二·山西·期末）下列說法中，正確的是（

）A．數(shù)列可表示為集合B．數(shù)列與數(shù)列是相同的數(shù)列C．數(shù)列的第項為D．數(shù)列可記為【答案】C【解析】對于A，由數(shù)列的定義易知A錯誤；對于B，兩個數(shù)列排列次序不同，是不同的數(shù)列，故B錯誤；對于C，數(shù)列的第項為，故C正確；對于D，因為，所以，這與數(shù)列的定義不相符，故D錯誤.故選：C.【變式1-2】（2024·高三·全國·專題練習）將正整數(shù)的前5個數(shù)排列如下：①1，2，3，4，5；②5，4，3，2，1；③2，1，5，3，4；④4，1，5，3，2．其中可以稱為數(shù)列的有（

）A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【答案】D【解析】根據(jù)數(shù)列是按“一定順序”排列著的一列數(shù)，所以①②③④都正確，故D項正確.故選：D．【變式1-3】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）數(shù)列的通項公式是，，則它的圖象是（

）A．直線 B．直線上孤立的點C．拋物線 D．拋物線上孤立的點【答案】B【解析】數(shù)列對應(yīng)點為，所以圖象是直線上孤立的點.故選：B【變式1-4】（2024·高二·廣東東莞·期中）下列敘述正確的是（

）A．數(shù)列是遞增數(shù)列B．數(shù)列0，1，2，3，…的一個通項公式為C．數(shù)列0，0，0，1，…是常數(shù)列D．數(shù)列2，4，6，8與數(shù)列8，6，4，2是相同的數(shù)列【答案】A【解析】對于A項，設(shè)，則對恒成立，所以，數(shù)列是遞增數(shù)列.故A正確；對于B項，當時，與第一項為0不符.故B項錯誤；對于C項，數(shù)列中的項并不完全相同.故C項錯誤；對于D項，根據(jù)數(shù)列的概念，數(shù)列與順序有關(guān).所以，數(shù)列2，4，6，8與數(shù)列8，6，4，2不是相同的數(shù)列.故D項錯誤.故選：A.題型二：由數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式【典例2-1】（2024·高二·山東青島·階段練習）數(shù)列，…的一個通項公式（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于數(shù)列的符號正負項間隔出現(xiàn)，故符號為，且每項為，故數(shù)列的一個通項公式為.故選：D.【典例2-2】（2024·高二·甘肅金昌·階段練習）若數(shù)列的前四項依次為2，12，112，1112，則的一個通項公式為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，可得的一個通項公式為.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】根據(jù)數(shù)列的前幾項求通項公式的解題思路（1）先統(tǒng)一項的結(jié)構(gòu)，如都化成分數(shù)、根式等．（2）分析結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分，探索變化部分的規(guī)律與對應(yīng)序號間的函數(shù)解析式．（3）對于正負交替出現(xiàn)的情況，可先觀察其絕對值，再用或處理符號．（4）對于周期數(shù)列，可考慮拆成幾個簡單數(shù)列之和的形式，或者利用周期函數(shù)，如三角函數(shù)等．【變式2-1】（2024·高二·湖南益陽·階段練習）數(shù)列的通項公式可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于A，若，則，不滿足題意；對于B，前四項均滿足題意；對于C，若，第一項，不滿足題意；對于D，若，第二項，，不滿足題意；故選：B【變式2-2】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）數(shù)列的一個通項公式（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】通過觀察這一列數(shù)發(fā)現(xiàn)，奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，故第項的正負可以用表示；而，故數(shù)列的通項可為.故選：D【變式2-3】（2024·高二·河南南陽·期中）已知數(shù)列{an}的前5項依次為，則的一個通項公式為．【答案】【解析】根據(jù)題意，數(shù)列的前5項依次為，即，則的一個通項公式為，故答案為：【變式2-4】（2024·高三·山東濟南·期末）某數(shù)學興趣小組將一行數(shù)列中相鄰兩項的乘積插入這兩項之間，形成下一行數(shù)列，以此類推不斷得到新的數(shù)列．如圖，第一行數(shù)列為1，2；得到第二行數(shù)列1，2，2；得到第三行數(shù)列1，2，2，4，2，…，則第5行從左數(shù)起第6個數(shù)的值為；用表示第n行所有項的乘積，，則數(shù)列的通項公式為．【答案】【解析】（1）根據(jù)題意，第5行的數(shù)列依次為：1,2,2,4,2,8,4,8,2,16,8,32,4,32,8,16,2從左數(shù)起第6個數(shù)的值為8；（2）,,,,故有則故答案為：①8；②【變式2-5】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）根據(jù)下列數(shù)列的前4項，寫出數(shù)列的一個通項公式：（1），，，，…；（2），，，，…；（3），1，，，…；（4），，，…．【解析】（1）所給數(shù)列的前4項中，每一項的分子比分母少1，且分母依次為，，，，所以原數(shù)列的一個通項公式為．（2）所給數(shù)列可寫成，，，，…，所以原數(shù)列的一個通項公式為．（3）所給數(shù)列可寫成，，，，…，數(shù)列3，5，7，9，…的一個通項公式為，數(shù)列2，5，10，17，…的一個通項公式為，所以原數(shù)列的一個通項公式為．（4）所給數(shù)列可寫成，，，…，所以原數(shù)列的一個通項公式為．題型三：數(shù)列通項公式的簡單應(yīng)用【典例3-1】（2024·高二·上海·隨堂練習）數(shù)列，，，，，…中，按此規(guī)律，是數(shù)列的第項．【答案】12【解析】觀察，易知數(shù)列的一個通項公式為，．所以.故答案為：12.【典例3-2】（2024·高二·上海·隨堂練習）63是數(shù)列3，8，15，24，35，…的第項．【答案】7【解析】根據(jù)3，8，15，24，35，…歸納出其通項公式為：，當時，，所以63是數(shù)列3，8，15，24，35，…的第7項，故答案為：7.【方法技巧與總結(jié)】（1）利用數(shù)列的通項公式求某項的方法數(shù)列的通項公式給出了第n項an與它的位置序號n之間的關(guān)系，只要用序號代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項．（2）判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項的方法先假定它是數(shù)列中的第n項，然后列出關(guān)于n的方程．若方程的解為正整數(shù)，則是數(shù)列的一項；若方程無解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的一項．【變式3-1】（2024·高二·湖北武漢·階段練習）根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點數(shù)，寫出下列點數(shù)構(gòu)成數(shù)列的第5項的點數(shù)．

【答案】35【解析】依題意，，則，根據(jù)規(guī)律，，所以.故答案為：35【變式3-2】（2024·高二·上海·期末）已知是離最近的整數(shù)，如，則無窮數(shù)列中共有項的值等于100.【答案】【解析】由已知得，此時不等式取等號和不取等號對結(jié)果沒有影響，所以，又，所以，所以共有項的值等于100.故答案為：.【變式3-3】（2024·高二·重慶黔江·階段練習）已知數(shù)列，，，，，，，，，，，，則該數(shù)列的第項為.【答案】【解析】按規(guī)律排列的數(shù)列，，，，，，，，，，，，可知是個；是個，是個，是個，是個，是個，是個，因為，，所以該數(shù)列的第項為：．故答案為：．【變式3-4】（2024·高二·上?！るS堂練習）以下數(shù)表的構(gòu)造思路來源于我國南宋數(shù)學家所著的《詳解九章算法》一書中的“楊輝三角”：該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個數(shù)，則這個數(shù)為．【答案】【解析】觀察每一行第一個數(shù)的規(guī)律：第一行的第一個數(shù)為，第二行的第一個數(shù)為，第三行的第一個數(shù)為，第四行的第一個數(shù)為，…，第n行的第一個數(shù)為，表中一共2018行，∴第2018行的第一個數(shù)即．故答案為：【變式3-5】（2024·高二·廣西·期末）如圖所示是一系列有機物的結(jié)構(gòu)簡圖，途中的“小黑點”表示原子，兩黑點間的“短線”表示化學鍵，按圖中結(jié)構(gòu)第n個圖的化學鍵和原子的個數(shù)之和為個.(用含n的代數(shù)式表示)【答案】【解析】由圖，第1個圖中有6個化學鍵和6個原子；第2個圖中有11個化學鍵和10個原子；第3個圖中有16個化學鍵和14個原子，觀察可得，后一個圖比前一個圖多5個化學鍵和4個原子，則第n個圖有個化學鍵和個原子，所以總數(shù)為.故答案為：【變式3-6】（2024·高二·北京·期中）數(shù)學家祖沖之曾給出圓周率的兩個近似值：“約率”與“密率”.它們可用“調(diào)日法”得到：稱小于3.1415926的近似值為弱率，大于3.1415927的近似值為強率.由，取3為弱率，4為強率，得，故為強率，與上一次的弱率3計算得，故為強率，繼續(xù)計算，…….若某次得到的近似值為強率，與上一次的弱率繼續(xù)計算得到新的近似值；若某次得到的近似值為弱率，與上一次的強率繼續(xù)計算得到新的近似值，依此類推.已知，則；.【答案】5【解析】因為為強率，由可得，，即為強率；由可得，，即為強率；由可得，，即為強率，即；由可得，，即為強率；由可得，故答案為：；．題型四：遞推公式的應(yīng)用【典例4-1】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）數(shù)列的第n項與第項的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為所以，故選：D【方法技巧與總結(jié)】遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)數(shù)列的遞推公式，可以逐次寫出數(shù)列的所有項．【典例4-2】（2024·高二·重慶九龍坡·期末）數(shù)列的遞推公式可以是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】數(shù)列第一項是1，AB是通項公式的形式，故AB錯誤；觀察數(shù)列可知，數(shù)列從第二項起，每一項是前一項的，所以遞推公式為，故C正確，D錯誤.故選：C.【變式4-1】（2024·湖南長沙·一模）裴波那契數(shù)列，因數(shù)學家萊昂納多·裴波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，該數(shù)列滿足，且.洛卡斯數(shù)列是以數(shù)學家愛德華·洛卡斯命名，與裴波那契數(shù)列聯(lián)系緊密，即，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵，∴當時，，∴，故，∵，∴，，故，∴.故選：C.【變式4-2】（2024·高二·湖北·期中）如圖展示的是一個樹形圖的從上至下的前6行生長過程，依據(jù)圖中所示的生長規(guī)律，第10行的圓點個數(shù)是（

）．

A．55 B．34 C．21 D．13【答案】C【解析】設(shè)第行圓點的個數(shù)為，.則由已知可得，，，，，，，所以，，，.故選：C.【變式4-3】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）兩千多年前，古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學問題．他們在沙灘上畫出點或用小石子表示數(shù)，按照點或小石子能排列的形狀對數(shù)進行分類，如下圖中實心點的個數(shù)依次為5，9，14，20，…，這樣的一組數(shù)被稱為梯形數(shù)，記此數(shù)列為，則（

）．A．B．C．D．【答案】D【解析】觀察梯形數(shù)的前幾項，得：…由此可得故選：D．【變式4-4】（2024·高二·福建龍巖·期中）數(shù)學與自然、生活相伴相隨，無論是蜂的繁殖規(guī)律，樹的分枝，還是鋼琴音階的排列，當中都蘊含了一個美麗的數(shù)學模型Fibonacci（斐波那契數(shù)列）：1，1，2，3，5，8，13，21，…，這個數(shù)列的前兩項都是1，從第三項起，每一項都等于前面兩項之和.請你結(jié)合斐波那契數(shù)列，嘗試解答下面的問題：小明走樓梯，該樓梯一共7級臺階，小明每步可以上一級或二級，請問小明的不同走法種數(shù)是（

）A．21 B．13 C．12 D．15【答案】A【解析】設(shè)級臺階的走法為，則，，當時，，所以，，，，.故選：.【變式4-5】（2024·高二·湖南·階段練習）分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學，它的研究對象普遍存在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學”．按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個樹形圖．若記圖2中第行黑圈的個數(shù)為，白圈的個數(shù)為，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】已知表示第行中的黑圈個數(shù)，設(shè)表示第行中的白圈個數(shù)，則由于每個白圈產(chǎn)生下一行的一白一黑兩個圈，一個黑圈產(chǎn)生下一行的一個白圈2個黑圈，∴，，故C正確，D錯誤；又∵，，所以，，，，，，，，故A、B正確.故選：D【變式4-6】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）某劇場有30排座位，第一排有20個座位，從第二排起，后一排都比前一排多2個座位．(1)寫出前五排座位數(shù)．(2)第排與第排座位數(shù)有何關(guān)系？(3)第排座位數(shù)與第排座位數(shù)能用等式表示嗎？【解析】（1）由題意可知，后一排都比前一排多2個座位，所以前五排座位分別為：20，22，24，26，28；（2）由題意可知，后一排都比前一排多2個座位，故第排與第排座位數(shù)的關(guān)系為：第排比第排多兩個座位；（3）由（2）可知，能用等式表示第排座位數(shù)與第排座位數(shù)的關(guān)系，即.【變式4-7】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）2500多年前的古希臘畢達哥拉斯學派在研究數(shù)時，喜歡把數(shù)描述成沙灘上的小石子．他們發(fā)現(xiàn)1，3，6，10，15，…這些數(shù)量的石子，都可以排成三角形（如圖），并稱這樣的數(shù)為“三角形數(shù)”，記圖中小圓的個數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列，試寫出數(shù)列的一個遞推關(guān)系．

【解析】依題意，可知，，，，，，而且，由圖可知，在第個“三角形數(shù)”圖案的下面添加個小圓，即得到第個“三角形數(shù)”圖案，因此，為數(shù)列的一個遞推關(guān)系．題型五：前項和公式與通項的關(guān)系【典例5-1】（2024·高二·廣西柳州·期中）已知數(shù)列的前n項和，求這個數(shù)列的通項公式；【解析】因為，當時，，所以，又時，不滿足上式，故數(shù)列的通項公式為.【典例5-2】（2024·高二·遼寧·階段練習）已知數(shù)列的前n項和為(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列前6項和．【解析】（1）數(shù)列的前n項和為，時，，時，，不符合，所以.（2）數(shù)列前6項和為.【方法技巧與總結(jié)】已知求出依據(jù)的是的定義：，分段求解，然后檢驗結(jié)果能否統(tǒng)一形式，能就寫成一個，否則只能寫成分段函數(shù)的形式．【變式5-1】（2024·高二·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足，求的通項公式.【解析】因為，當時，可得；當時，可得，兩式相減得，，即，且，即，所以；且滿足上式，不滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為.【變式5-2】（2024·高二·陜西渭南·階段練習）已知數(shù)列的前n項和為．(1)求，，.(2)求這個數(shù)列的通項公式．【解析】（1）因為，令，則，令，則，令，則，所以.（2）因為，當時，，當時，，且也滿足上式，所以.【變式5-3】（2024·高二·寧夏銀川·期末）已知數(shù)列的前項和記為，若點均在函數(shù)的圖象上.(1)求，，，；(2)求數(shù)列的通項公式.【解析】（1）由點均在函數(shù)的圖象上，可得，則，；；.（2）由點均在函數(shù)的圖象上，可得，當時，可得；當時，，所以數(shù)列的通項公式為.【變式5-4】（2024·高二·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足．求的值；【解析】由題意可知：數(shù)列的前n項和，當時，可得，所以；當時，可得，所以；又因為也符合，所以，．題型六：數(shù)列單調(diào)性的判斷【典例6-1】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)若數(shù)列滿足，且是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知，因為數(shù)列是遞增數(shù)列，所以當時，，即；當時，，且，所以，即，即，所以或．綜上可得的取值范圍為2,3．故選：C.【典例6-2】（2024·高三·安徽·階段練習）“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由“數(shù)列為遞增數(shù)列”，得，所以恒成立，所以，由得，由不一定有，故“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：.【方法技巧與總結(jié)】1、判斷數(shù)列的單調(diào)性的方法（1）作差比較法：?數(shù)列是遞增數(shù)列；?數(shù)列是遞減數(shù)列；?數(shù)列是常數(shù)列．（2）作商比較法：?。敃r，則?數(shù)列是遞增數(shù)列；?數(shù)列是遞減數(shù)列；?數(shù)列是常數(shù)列；ⅱ．當時，則?數(shù)列是遞減數(shù)列；?數(shù)列是遞增數(shù)列；?數(shù)列是常數(shù)列．【變式6-1】（2024·高二·湖南長沙·期中）已知數(shù)列的通項，若是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知得，即，解得.故選：B.【變式6-2】（2024·高二·江蘇蘇州·階段練習）已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且對于任意，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，且數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，即.故選：C【變式6-3】（2024·高二·全國·專題練習）已知數(shù)列的通項公式為，且對任意的兩個正整數(shù)，都有，則實數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為對任意的兩個正整數(shù)，都有，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，當時，，可得，當時，，即，解得，又，所以，解得或．綜上，實數(shù)t的取值范圍是．故選：C【變式6-4】（2024·高三·四川內(nèi)江·階段練習）已知函數(shù)，若數(shù)列滿足且是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可知，在上單調(diào)遞增，由于和均為單調(diào)函數(shù)，故，解得.故選：C題型七：求數(shù)列的最大項與最小項【典例7-1】（2024·高二·上?！るA段練習）已知數(shù)列滿足為正整數(shù)，則該數(shù)列的最大項是第項.【答案】2和3【解析】在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，且故該數(shù)列的最大項是第二項和第三項.故答案為：2和3【典例7-2】（2024·高二·湖北襄陽·階段練習）已知數(shù)列的通項公式為，則數(shù)列中的最小項的值為．（用具體數(shù)字作答）【答案】【解析】由題意得，故，當時，，故，當時，，故，即得，故數(shù)列中的最小項為，故答案為：【方法技巧與總結(jié)】可以利用不等式組，找到數(shù)列的最大項；利用不等式組，找到數(shù)列的最小項．【變式7-1】（2024·高二·遼寧大連·階段練習）已知數(shù)列的通項公式，則最小的項是第項．【答案】【解析】，當時，，當時，，要取最小的項需在此范圍內(nèi)取到，又當時，為單調(diào)遞減數(shù)列，所以當時，最小.故答案為：.【變式7-2】（2024·高二·安徽亳州·階段練習）數(shù)列的通項，則數(shù)列中的最大項的值為.【答案】【解析】因為，則，則，令，即，因為，解得，所以，令，解得，所以，故數(shù)列中的最大項為，其值為.故答案為：.【變式7-3】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）若數(shù)列滿足，且為其前項和，則的最大值為．【答案】0【解析】依題意，，，，，令，解得或，即，根據(jù)二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知：在內(nèi)指數(shù)函數(shù)在二次函數(shù)圖象下方，即在內(nèi)，當時，,所以在或處最大值為0．故