2022年四川省成都外國語學校直升數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題4分，共32分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的）1.在-2.5，-2，0，1.5這幾個數(shù)中，最小的數(shù)是（）A.-2.5 B.-2 C.0 D.1.5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則：負數(shù)＜0＜正數(shù)，兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的其值反而小，即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，，∴最小的數(shù)是-2.5，故選：A．【點睛】本題考查了有理數(shù)的大小比較，解答本題的關鍵是掌握有理數(shù)的大小比較法則．2.如圖是由5個大小相同的小正方體組成的幾何體，則它的俯視圖是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了簡單組合體的俯視圖，根據(jù)從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案．【詳解】解：從上邊看，一共有三列，從左到右正方形的個數(shù)分別為1、1、2．故選：B．3.2022年6月26日，第31屆世界大學生夏季運動會將在成都東安湖體育公園開幕，承擔“大運會”開幕式的主體育場場館規(guī)模為120000平方米．其中數(shù)據(jù)120000用科學記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查科學記數(shù)法表示較大的數(shù)，把一個大于10的數(shù)記成的形式，其中，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法，據(jù)此即可求得答案．【詳解】解：，故選：C．4.已知點A（m，2）與點B（1，n）關于y軸對稱，那么m+n的值等于（）A.﹣1 B.1 C.﹣2 D.2【答案】B【解析】【分析】關于x軸的對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)；關于y軸的對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變，據(jù)此先求出m，n的值，然后代入代數(shù)式求解即可得．【詳解】解：∵與點關于y軸對稱，∴，，∴，故選：B．【點睛】題目主要考查點關于坐標軸對稱的特點，求代數(shù)式的值，理解題意，熟練掌握點關于坐標軸對稱的特點是解題關鍵．5.下列計算正確的是（）A. B.Cx+x＝ D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)完全平方公式，冪的運算公式，合并同類項計算判斷即可．【詳解】A．，故A錯誤；B．，故B正確；C．x+x＝2x，故C錯誤；D．，故D錯誤；故選：B．【點睛】本題考查了完全平方公式，冪的運算公式，合并同類項，熟練掌握各自的運算法則是解題的關鍵．6.如圖是成都市某周內日最高氣溫的折線統(tǒng)計圖，關于這7天的日最高氣溫的說法正確的是（）A.極差是8℃ B.眾數(shù)是28℃ C.中位數(shù)是24℃ D.平均數(shù)是26℃【答案】B【解析】【詳解】分析：根據(jù)折線統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)可以判斷各個選項中的數(shù)據(jù)是否正確，從而可以解答本題．詳解：由圖可得，極差是：30-20=10℃，故選項A錯誤，眾數(shù)是28℃，故選項B正確，這組數(shù)按照從小到大排列是：20、22、24、26、28、28、30，故中位數(shù)是26℃，故選項C錯誤，平均數(shù)是：℃，故選項D錯誤，故選B．點睛：本題考查折線統(tǒng)計圖、極差、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，解答本題的關鍵是明確題意，能夠判斷各個選項中結論是否正確．7.我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有一道題，大致意思是：“用一根繩子對折去量一根木條，繩子剩余5尺，將繩子三折再量木條，木條剩余2尺，問木條長多少尺？”設繩子長x尺，木條長y尺，則根據(jù)題意所列方程組正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)用一根繩子對折去量一根木條，繩子剩余5尺，將繩子三折再量木條，木條剩余2尺，可以列出相應的方程組．【詳解】解：設繩子長x尺，木條長y尺，由題意可得，，故選：C．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程組．8.如圖，已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列5個結論：①；②；③；④若，為函數(shù)圖象上的兩點，則；⑤（的實數(shù)）．其中正確結論的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】結合函數(shù)圖象獲取信息，再對各結論進行分析即可．【詳解】解：由圖象可知：中，，，∴∴，故①錯誤；∵對稱軸為，∴根據(jù)對稱性可知當時，所對應的函數(shù)值，故②正確；∵當時，所對應的函數(shù)值，∴，故③正確；∵圖象關于對稱，∴所對應的函數(shù)值等于所對應的函數(shù)值∵在范圍內，函數(shù)值隨x的增大而增大，，∴，故④錯誤；∵函數(shù)的最大值為當時所對應的函數(shù)值，當時，，∴，可知（），故⑤正確；綜上所述，正確的有②③⑤，故選：C．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象及其性質，解題的關鍵是掌握函數(shù)圖象及性質，結合圖象獲取信息．二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）9.分解因式：3x2y﹣3y＝_______．【答案】3y(x+1)(x﹣1)【解析】【分析】先提取公因式3y，然后再運用平方差公式因式分解即可．【詳解】解：3x2y﹣3y＝3y（x2﹣1）＝3y（x+1）（x﹣1）．故答案為：3y（x+1）（x﹣1）．【點睛】本題主要考查了運用提取公因式、公式法進行因式分解，靈活應用相關因式分解的方法成為解答本題的關鍵．10.若關于x的一元一次不等式組的解集為，則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】本題考查的是不等式組的解集，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．根據(jù)口訣：同小取小，結合不等式組的解集可得a的取值范圍．【詳解】解：∵關于x的一元一次不等式組的解集為，∴，故答案為：．11.在平面直角坐標系中，若拋物線與x軸只有一個交點，則______．【答案】【解析】【分析】本題考查的是拋物線和x軸的交點，時，拋物線與x軸有2個交點，時，拋物線與x軸有1個交點，時，拋物線與x軸沒有交點．由題意得：，即可求解．【詳解】解：由題意得：，解得：，故答案為：．12.以正六邊形各邊中點為頂點，可以組成一個新正六邊形，則新正六邊形與原正六邊形的相似比為______．【答案】##【解析】【分析】本題主要考查了相似多邊形的性質，求出兩正六邊形的邊長的比是解題的關鍵．過點A作，設原正六邊形的邊長為，則，根據(jù)正六邊形的性質結合解直角三角形，求出新正六邊形的邊長，即可解答．【詳解】解：如圖，過點A作，設原正六邊形的邊長為，則，是等腰三角形，，正六邊形的每個內角都為，，，，，，新正六邊形的邊長為，∴新正六邊形與原正六邊形的相似比為故答案為：．13.如圖，在中，，，，按一下步驟作圖：①以點C為圓心，長為半徑作弧，交于點D；②分別以點A和點D為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點E；③作射線交于點，則的長為________．【答案】【解析】【分析】本題考查了作圖﹣復雜作圖，勾股定理的逆定理，勾股定理，解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．利用基本作圖得到，于，由勾股定理逆定理證得，由三角形的面積公式求出，利用勾股定理計算出，即可計算出．【詳解】解：，，，，由作法得垂直平分，，，，在中，，．故答案為：．三、解答題（本大題共5小題，共48分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）14.（1）計算：；（2）先化簡，再求值：，其中．【答案】（1）；（2），【解析】【分析】本題主要考查分式的化簡求值，實數(shù)的運算，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．（1）先算特殊角的三角函數(shù)值，負整數(shù)指數(shù)冪，開立方，絕對值，再算乘法，最后算加減即可；（2）利用分式的相應的法則對式子進行整理，再代入相應的值進行運算即可．【詳解】解：（1）．（2）當時，原式．15.某校為了解七年級學生對“陽光跑操”活動的喜歡程度，學校隨機抽取部分學生進行調查，被調查的每位學生從：非常喜歡，：比較喜歡，：一般，：不喜歡,四個選項中任選一項（被調查者限選一項），并將調查結果繪制成兩個不完整的統(tǒng)計圖，如圖所示，根據(jù)圖中信息，解答下列問題：（1）求本次調查學生的總人數(shù)及扇形統(tǒng)計圖中部分的圓心角的度數(shù)；（2）請補全條形統(tǒng)計圖；（3）若該校七年級共有750名學生，根據(jù)調查結果，估計對陽光跑操活動“比較喜歡”學生共有多少人？【答案】（1）200人，D部分的圓心角的度數(shù)為（2）圖見解析（3）300人【解析】【分析】（1）從兩個統(tǒng)計圖中可以得到A組的有40人，占調查人數(shù)的20%，可求出調查人數(shù)，用360°乘D部分所占比例可得D部分的圓心角的度數(shù)；（2）求出C組的人數(shù)即可補全條形統(tǒng)計圖，（3）樣本估計總體，樣本中B組的占40%，因此估計總體中也有40%的學生屬于B組．【小問1詳解】調查人數(shù)為：40÷20%=200（人），

D部分的圓心角的度數(shù)為：360°×（1-20%-25%-40%）=54°；【小問2詳解】C組的人數(shù)為：200-40-80-30=50（人），補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：【小問3詳解】估計對陽光跑操活動“比較喜歡”學生共有：750×40%=300（人）．所以，估計對陽光跑操活動“比較喜歡”學生共有300人【點睛】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用．讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大?。畯膬蓚€統(tǒng)計圖中獲取數(shù)量和數(shù)量之間的關系是解決問題的關鍵，樣本估計總體是統(tǒng)計中常用的方法．16.如圖，某無人機興趣小組在操場上開展活動，此時無人機在離地面30米的D處，無人機測得操控者A的俯角為，測得點C處的俯角為．又經(jīng)過人工測量操控者A和教學樓距離為57米，則教學樓的高度為多少米？（）【答案】教學樓的高度為米【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應用中的仰角俯角問題，正確作出輔助線，構造直角三角形是解題的關鍵．過點作于點，過點作于點，由題意得米，米，，，再由矩形的性質米，然后證是等腰直角三角形，得米，即可解決問題．【詳解】解：過點作于點，過點作于點，則四邊形是矩形，由題意得：米，米，，．在中，，，（米，（米，四邊形是矩形，米，在中，，，是等腰直角三角形，米，（米，答：教學樓的高度為米．17.如圖，是半圓O的直徑，C為半圓O上的點（不與A，B重合），D為弧中點，連接，，過點D作于點E，交延長線于F．（1）求證：是半圓O的切線；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接、，證明即可推出結論；（2）連接，根據(jù)勾股定理求出的長，證明，得出，代入數(shù)據(jù)得出的長，再根據(jù)得出比例式求出的長即可．【小問1詳解】證明：如圖，連接，∵D為弧中點，半徑，∴，∵是直徑，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴是半圓O的切線；【小問2詳解】解：如圖，連接，在中，由勾股定理得，，∵是直徑，∴，∵D為弧中點，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了切線的判定與性質，相似三角形的性質和判定，圓周角定理，垂徑定理等知識點，正確作出輔助線是解題的關鍵．18.如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點．（1）求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的表達式；（2）過的另一條直線與軸，軸分別交于兩點，若的面積與的面積比為，求點的坐標；（3）點都在直線AB上，過分別作軸的平行線交雙曲線與，設的橫坐標分別為，且，，連接、，若，求點的坐標．【答案】（1）反比例函數(shù)解析式為，一次函數(shù)的解析式為（2）點的坐標為或（3）【解析】【分析】（）把點代入即可求出，進而求得B?4,?1，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式；（）分兩種情況：在軸的正半軸和負半軸，根據(jù)同高三角形面積的比等于對應底邊的比可解答；（）由題意可知，，，，，根據(jù)，點到的距離點到的距離，列方程可解答．【小問1詳解】解：∵反比例函數(shù)經(jīng)過點、，∴，∴，，∴反比例函數(shù)解析式為，∵一次函數(shù)經(jīng)過點、，∴，解得，∴一次函數(shù)的解析式為；【小問2詳解】解：分兩種情況：①如圖，當直線經(jīng)過第二、三、四象限時，過點作軸于，∵的面積與的面積比為，∴，∴，∵軸，軸，∴，∴，∴，∵，∴，∴；②如圖，當直線經(jīng)過第一、二、三象限時，過點作軸于，∵的面積與的面積比為，∴，∴同理得，∴，∴，∵，∴，∴；綜上，點的坐標為或；【小問3詳解】解：如圖，由題意可知，，，，，∵，，∴，∵，∴，點到的距離點到的距離，∴，，由②得，③，把③代入①得，，解得，，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形的面積，全等三角形的性質，相似三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是會用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，用方程的思想去思考問題．一、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）19.已知α、β是一元二次方程的兩個根，則_________．【答案】2027【解析】【分析】此題考查了根與系數(shù)的關系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解本題的關鍵．利用根與系數(shù)的關系求出與的值，再將代入方程得到，原式變形后將各自的值代入計算即可求出值．【詳解】解：∵是一元二次方程的兩個根，∴，則．故答案為：2027．20.如圖，在平面直角坐標系中，的圓心在x軸上，點在上，若與y軸相切，則的半徑為________．【答案】【解析】【分析】本題考查了勾股定理，切線的性質，坐標與圖形性質，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．連接，過點B作軸于點C，設的半徑為r，則，，在中，由勾股定理得出方程求解即可．【詳解】解：如圖，連接，過點作，∵，∴，，設的半徑為r，則，∴，在中，由勾股定理得，，∴，解得：，故答案為：．21.從﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4這9個數(shù)中任意選一個數(shù)作為m的值，使關于x的分式方程：＝3的解是負數(shù)，且使關于x的函數(shù)y＝圖象在每個象限y隨x的增大而增大的概率為_____．【答案】【解析】【分析】利用分式方程的解和反比例函數(shù)的性質可得m的取值范圍，進而可得m的值，然后再利用概率可得答案．【詳解】解：＝3，解得，x＝﹣3﹣m，∵方程的解是負數(shù)，∴，解得：m＞﹣3，且m≠﹣2，∵關于x的函數(shù)圖象在每個象限y隨x的增大而增大，∴m﹣3＜0，∴m＜3，∴﹣3＜m＜3，且m≠﹣2，∴m＝﹣1或0或1或2，有4種可能，故概率為，故答案為：．【點睛】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質和分式方程的解，以及概率，關鍵是正確確定m的取值范圍．22.如圖，在等腰三角形中，，，點D在邊上，且，將線段繞點逆時針旋轉得到，連接，以為邊，作平行四邊形，連接，則點A到線段的距離是_______，的最大值與最小值分別是________．【答案】①.②.，【解析】【分析】求點A到線段的距離即點A到的垂線段距離，等腰三角形三線合一構建直角三角形，易求，由，繼而求得，根據(jù)勾股定理即可求得的長；作點A關于的對稱點O，連接，則四邊形是菱形，求出的長，進而求出的長，再證明四邊形是平行四邊形，得到，進而得到點E在以點O為圓心，半徑為2的圓上運動，則當A、O、E三點共線，且點E在下方時，有最大值，當A、O、E三點共線，且點E在上方時，有最小值．【詳解】解：過點A作的垂線，垂足為F，∵，∴，∵，∴，在中，根據(jù)勾股定理得：；∴點A到線段的距離是3，∴，如圖所示，作點A關于的對稱點O，連接，∵點A與點O關于對稱，∴，∴四邊形菱形，∴是的垂直平分線，∴，∵四邊形是菱形，四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴四邊形平行四邊形，∴，∴點E在以點O為圓心，半徑為2的圓上運動，則，∴當A、O、E三點共線，且點E在下方時，有最大值，如圖，此時的交點與點F重合，則最大值為；當A、O、E三點共線，且點E在上方時，有最小值．則最小值為；故答案：；，．【點睛】此題是三角形與四邊形的綜合題，畫圖分析條件結合等腰三角形、直角三角形、平行四邊形、矩形的特性，點到圓上距離，及有關旋轉的知識，是解決問題的關鍵．23.對于平面直角坐標系中的圓和點P給出如下定義：對于圓上的動點Q，若點P到動點Q兩點間距離的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的3倍，則稱點P為圓的“三分點”．已知，，以坐標原點O為圓心，r為半徑畫圓，以坐標原點為圓心，為半徑畫圓，若線段上存在的“三分點”，則r的取值范圍是________．【答案】或【解析】【分析】本題主要考查了點與圓心的位置關系求最值，依據(jù)題意，設半徑為r的圓O，與x軸交F，G兩點，分別求得A，B到圓心的距離，根據(jù)題意作出圖形，分別求得最小值和最大值，根據(jù)“三分點”的定義列出不等式組，解不等式組求解即可．【詳解】解：如圖，設半徑為的圓與軸交，兩點，半徑為的圓與軸交點，半徑為的圓與軸交點，半徑為的圓與軸交點，∵線段上存在的“三分點”，∴上存在的“三分點”，點，，，，設，，，，．由題意：，，∴，，，，，∵在上，．或．或．故答案為：或．二、解答題（本大題共3小題，共30分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）24.2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”、北京冬殘奧會吉祥物“雪容融”，分別以熊貓、燈籠為原型進行設計創(chuàng)作，象征著運動員強壯的身體、堅韌的意志和鼓舞人心的奧林匹克精神，其可愛的形象深受大家喜愛，某特許商家計劃采購兩款奧運吉祥物毛絨玩具，每件“冰墩墩”毛絨玩具的進價比每件“雪容融”毛絨玩具的進價多20元，且購買20件“冰墩墩”毛絨玩具和10件“雪容融”毛絨玩具共需3400元．（1）求購買一件“冰墩墩”毛絨玩具、一件“雪容融”毛絨玩具各需多少元；（2）考慮顧客需求，要求購買“冰墩墩”毛絨玩具的數(shù)量不少于“雪容融”毛絨玩具數(shù)量的2倍，且“雪容融”毛絨玩具的數(shù)量不少于80件．如果該商家剛好用了30600元購進這兩種毛絨玩具，那么該商家有哪幾種進貨方案？【答案】（1）購買一件“冰墩墩”毛絨玩具需要120元，則購買一件“雪容融”毛絨玩具需要100元（2）商家有2種進貨方案．方案一：購買“雪容融”毛絨玩具84個，購買“冰墩墩”毛絨玩具185個；方案二：購買“雪容融”毛絨玩具90個，購買“冰墩墩”毛絨玩具180個【解析】【分析】本題考查一元一次方程及不等式組的應用．得到能解決問題的相等關系是解決本題的關鍵；難點是根據(jù)總價得到“冰墩墩”毛絨玩具的個數(shù)；易錯點是根據(jù)“冰墩墩”毛絨玩具的個數(shù)為正整數(shù)得到符合題意的解．（1）根據(jù)購買20件“冰墩墩”毛絨玩具和10件“雪容融”毛絨玩具共需3400元列出方程求解即可；（2）設購買“雪容融”毛絨玩具a個，根據(jù)總價得到購買“冰墩墩”毛絨玩具的個數(shù)，進而根據(jù)購買“冰墩墩”毛絨玩具的數(shù)量不少于“雪容融”毛絨玩具數(shù)量的2倍，且“雪容融”毛絨玩具的數(shù)量不少于80件列出不等式組求解，找到符合題意的解即可．【小問1詳解】解：設購買一件“冰墩墩”毛絨玩具需要x元，則購買一件“雪容融”毛絨玩具需要元．根據(jù)題意，得：．解得：．∴．答：購買一件“冰墩墩”毛絨玩具需要120元，則購買一件“雪容融”毛絨玩具需要100元；【小問2詳解】解：設購買“雪容融”毛絨玩具a個，則購買“冰墩墩”毛絨玩具個．根據(jù)題意得：．解得：．∵為正整數(shù)，∴a可取的整數(shù)值為84，90．∴商家有2種進貨方案．方案一：購買“雪容融”毛絨玩具84個，購買“冰墩墩”毛絨玩具185個；方案二：購買“雪容融”毛絨玩具90個，購買“冰墩墩”毛絨玩具180個．25.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸相交于O，A兩點，頂點P的坐標為，點B為拋物線上一動點，連接，，過點B的直線與拋物線交于另一點C．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若點B在直線上，且，求點C的坐標；（3）設拋物線的對稱軸與x軸相交于點Q，過Q作直線分別與拋物線相交于點M、N（M在對稱軸左側拋物線上），求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得出，，將點坐標代入求得的值；（2）作軸于，作軸于，可求得，進而得出，根據(jù)，得出，進