專題9-1直線與方程題型歸類目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一】直線傾斜角與斜率最值范圍 3【題型二】繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)動(dòng)直線 3【題型三】含三角函數(shù)的圓切線型動(dòng)直線 4【題型四】含參雙動(dòng)直線 5【題型五】關(guān)于直線對(duì)稱 5【題型六】直線光學(xué)性質(zhì) 6【題型七】三角形三大線：中線，高，角平分線 6【題型八】平行線 7【題型九】直線應(yīng)用1：疊紙 7【題型十】直線應(yīng)用2：直線與曲線交點(diǎn) 8【題型十一】直線應(yīng)用3：直線與函數(shù)（切線型） 8【題型十二】直線應(yīng)用4：距離公式 9【題型十三】直線應(yīng)用5：直線與方程 10【題型十四】直線與最值 10真題再現(xiàn) 11模擬檢測(cè) 13綜述1.斜率公式(1)若直線l的傾斜角α≠90°，則斜率k＝tanα.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1≠x2，則l的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).2．直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不含直線x＝x0斜截式y(tǒng)＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不含直線x＝x1(x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2)截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用3．幾種距離公式(1)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離：|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離：d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)間的距離：d＝4.兩條直線的位置關(guān)系(1)斜截式判斷法：①兩條直線平行：對(duì)于兩條不重合的直線l1、l2：(ⅰ)若其斜率分別為k1、k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2. (ⅱ)當(dāng)直線l1、l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1∥l2.②兩條直線垂直：(ⅰ)如果兩條直線l1、l2的斜率存在，設(shè)為k1、k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.(ⅱ)當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條的斜率為0時(shí)，l1⊥l2.(2)一般式判斷法：設(shè)兩直線A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0，則有：①l1∥l2?A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1； ②l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.5．直線系方程：(1)平行線系：與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設(shè)為：Ax＋By＋m＝0(m≠C)；(2)垂直線系：與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程可設(shè)為：Bx－Ay＋n＝0；(3)交點(diǎn)線系：過(guò)A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線可設(shè)：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.6.直線的對(duì)稱問(wèn)題：(1)點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱：方程組法，設(shè)對(duì)稱后點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)及垂直斜率列方程組；(2)線關(guān)于線對(duì)稱：①求交點(diǎn)； ②已知直線上取一個(gè)特殊點(diǎn)，并求其關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)；③兩點(diǎn)定線即可.(3)圓關(guān)于線對(duì)稱：圓心對(duì)稱，半徑不變.(4）則對(duì)稱直線必過(guò)圓心且與兩點(diǎn)所在的弦中垂.7.對(duì)稱：1.關(guān)于軸對(duì)稱問(wèn)題：（1）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則有；（2）直線關(guān)于直線的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題來(lái)解決.2點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱：求解點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的基本方法如下：①與連線與直線垂直，即；②中點(diǎn)在直線上，即；③與到直線的距離相等，即；上述三個(gè)等量關(guān)系中任選兩個(gè)構(gòu)成方程組，即可求得對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo).3.直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：（1方法一：可以取兩個(gè)點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)求出直線方程）（2）方法二：對(duì)稱直線和原直線是互為平行線，且到點(diǎn)的距離相等，所以可以待定系數(shù)法，利用點(diǎn)到直線距離公式求解（注意會(huì)有增根，增根對(duì)應(yīng)的恰好是原直線方程）4.對(duì)稱技巧：如果對(duì)稱軸所在的直線斜率是，即直線是型，可以利用反解對(duì)稱軸法直接求出對(duì)稱變換式子(1)如果關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為；(2)如果關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為．【題型一】直線傾斜角與斜率最值范圍【典例分析】設(shè)直線，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式演練】1.已知直線的方程為，則直線的傾斜角范圍是（

）A． B．C． D．2.已知點(diǎn)P為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．3.已知四邊形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且是以角為頂角的等腰三角形，記直線，的傾斜角分別為，，則A． B． C． D．【題型二】繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)動(dòng)直線【典例分析】已知定點(diǎn)和直線，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為（

）A． B．C． D．【變式演練】1.已知直線則當(dāng)m、n變化時(shí)，直線都通過(guò)定點(diǎn)2.下列對(duì)動(dòng)直線的四種表述不正確的是（

）A．與曲線C：可能相離，相切，相交B．恒過(guò)定點(diǎn)C．時(shí)，直線斜率是0D．時(shí)，直線的傾斜角是135°3.已知，，三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，直線恒過(guò)定點(diǎn)，且在直線上，其中，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．4【題型三】含三角函數(shù)的圓切線型動(dòng)直線【典例分析】）設(shè)直線系，，對(duì)于下列四個(gè)命題：（1）中所有直線均經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；（2）存在定點(diǎn)不在中的任意一條直線上；（3）對(duì)于任意整數(shù)，，存在正邊形，其所有邊均在中的直線上；（4）中的直線所能圍成的正三角形面積都相等；其中真命題的是（

）A．（2）（3） B．（1）（4） C．（2）（3）

（4） D．（1）（2）【變式演練】1.直線系，直線系A(chǔ)中能組成正三角形的面積等于______.2.設(shè)直線系（），則下列命題中是真命題的個(gè)數(shù)是（）①存在一個(gè)圓與所有直線相交；②存在一個(gè)圓與所有直線不相交；③存在一個(gè)圓與所有直線相切；④中所有直線均經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；⑤不存在定點(diǎn)不在中的任一條直線上；⑥對(duì)于任意整數(shù)，存在正邊形，其所有邊均在中的直線上；⑦中的直線所能圍成的正三角形面積都相等．A．3 B．4 C．5 D．63.已知集合{直線其中是正常數(shù)}，下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，中直線的斜率為B．中所有直線均經(jīng)過(guò)同一個(gè)定點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，中的兩條平行線間的距離的最小值為D．中的所有直線可覆蓋整個(gè)直角坐標(biāo)平面【題型四】含參雙動(dòng)直線【典例分析】設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是（

）A．4 B．10 C．5 D．【變式演練】1.設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．2.過(guò)定點(diǎn)M的直線與過(guò)定點(diǎn)N的直線交于點(diǎn)P，則的最大值為（

）A．2 B． C．4 D．83.設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線相交于點(diǎn)不重合），則面積的最大值是（

）A． B．5 C． D．【題型五】關(guān)于直線對(duì)稱【典例分析】若曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線是，則的值為（

）A．2 B． C．1 D．不確定【變式演練】1.設(shè)函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，若，，，則（

）A． B． C． D．2.設(shè)函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，若，，，則（

）A． B． C． D．3.已知直線：與直線關(guān)于直線：對(duì)稱，直線與直線：垂直，則的值為（

）A． B． C．3 D．【題型六】直線光學(xué)性質(zhì)【典例分析】在直角坐標(biāo)系中，已知和直線，試在直線上找一點(diǎn)，在軸上找一點(diǎn)，使三角形的周長(zhǎng)最小，最小值為_(kāi)_．【變式演練】1.已知等腰直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)，和，P為的中點(diǎn)，一質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)，反射后又回到點(diǎn)P（如圖），則的周長(zhǎng)為（

）A． B．3 C． D．42.已知點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P，Q分別在線段上運(yùn)動(dòng)，則的周長(zhǎng)的最小值是（

）A． B． C．5 D．3.如圖，平面上兩點(diǎn)，在直線上取兩點(diǎn)使，且使的值取最小，則的坐標(biāo)為_(kāi)___________．【題型七】三角形三大線：中線，高，角平分線【典例分析】已知在中，其中，，的平分線所在的直線方程為，則的面積為（

）A． B． C．8 D．【變式演練】1.若△ABC的頂點(diǎn)A（5，1），AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0，則直線BC的方程為_(kāi)_______.2.已知為等腰直角三角形，C為直角頂點(diǎn)，AC中點(diǎn)為，斜邊上中線CE所在直線方程為，且點(diǎn)C的縱坐標(biāo)大于點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，則AB所在直線的方程為_(kāi)______________________.3.若等邊三角形的一條中線所在直線的斜率為1，則該等邊三角形的三邊所在直線的斜率之和為_(kāi)__________.【題型八】平行線【典例分析】若直線m被兩平行線與所截得的線段的長(zhǎng)為，則m的傾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正確答案的序號(hào)是_____(寫出所有正確答案的序號(hào))．【變式演練】1.若三條直線不能圍成三角形，則實(shí)數(shù)的取值最多有（

）A．個(gè) B．個(gè)C．個(gè) D．個(gè)2.已知直線；，若，都是正數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．3.設(shè)兩條直線的方程分別為，，已知a，b是方程的兩個(gè)實(shí)根，且，則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別是（

）A．1， B．， C．， D．1，【題型九】直線應(yīng)用1：疊紙【典例分析】折紙藝術(shù)是我國(guó)民間的傳統(tǒng)文化，將一矩形紙片放在平面直角坐標(biāo)系中，，將矩形折疊，使點(diǎn)落在線段上，設(shè)折痕所在直線的斜率為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式演練】1.將一張畫有直角坐標(biāo)系的圖紙對(duì)折，使點(diǎn)與重合，若此時(shí)點(diǎn)恰與點(diǎn)D重合，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是________．2.將一張畫了直角坐標(biāo)系（兩坐標(biāo)軸單位長(zhǎng)度相同）的紙折疊一次，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，則（

）A．1 B．2023 C．4043 D．40463.已知一張紙上面有半徑為4的圓O，在圓O內(nèi)有一個(gè)定點(diǎn)A，且，折疊紙片，使圓上某一點(diǎn)剛好與A點(diǎn)重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕，當(dāng)取遍圓上所有點(diǎn)時(shí)，所有折痕與的交點(diǎn)形成的曲線記為C，則曲線C上的點(diǎn)到圓O上的點(diǎn)的最大距離為_(kāi)_________．【題型十】直線應(yīng)用2：直線與曲線交點(diǎn)【典例分析】在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象上有三個(gè)不同的點(diǎn)位于直線上，且這三點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為0，則這條直線必過(guò)定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【變式演練】1.直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍是（

）A． B．或C． D．2.曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)的范圍是（

）A． B． C． D．3.對(duì)于任意放置的橢圓，經(jīng)過(guò)橢圓上的任意一點(diǎn)有且僅有一直線與該橢圓有一個(gè)交點(diǎn)，則稱該直線為橢圓的切線.橢圓繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到的橢圓中最高點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為_(kāi)______.【題型十一】直線應(yīng)用3：直線與函數(shù)（切線型）【典例分析】已知函數(shù)，如果函數(shù)恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是________【變式演練】1.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．2.已知，若的圖象與軸有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.3.已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，有下列結(jié)論：①函數(shù)在上單調(diào)遞增；②函數(shù)的圖象與直線有且僅有2個(gè)不同的交點(diǎn)③若關(guān)于x的方程的實(shí)數(shù)根之和為8；④函數(shù)的值域?yàn)?其中所有正確答案的編號(hào)是______________.【題型十二】直線應(yīng)用4：距離公式【典例分析】已知，則的最小值為（

）A． B．3C． D．6【變式演練】1.若不等式對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．2.已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【題型十三】直線應(yīng)用5：直線與方程【典例分析】已知P1（a1，b1）與P2（a2，b2）是直線y＝kx+1（k為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于l1：a1x+b1y﹣1＝0和l2：a2x+b2y﹣1＝0的交點(diǎn)情況是（）A．存在k，P1，P2使之無(wú)交點(diǎn)B．存在k，P1，P2使之有無(wú)窮多交點(diǎn)C．無(wú)論k，P1，P2如何，總是無(wú)交點(diǎn)D．無(wú)論k，P1，P2如何，總是唯一交點(diǎn)【變式演練】1.定義點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距離為d＝.已知點(diǎn)P1，P2到直線l的有向距離分別是d1，d2.以下命題正確的是（

）A．若d1－d2＝0，則直線P1P2與直線l平行B．若d1＋d2＝0，則直線P1P2與直線l平行C．若d1＋d2＝0，則直線P1P2與直線l垂直D．若d1·d2＜0，則直線P1P2與直線l相交2.若方程表示定直線l，為不在l上的定點(diǎn)，則方程一定是（

）A．過(guò)點(diǎn)M且與直線l相交的直線 B．過(guò)點(diǎn)M且與直線l平行的直線C．過(guò)點(diǎn)M且與直線l垂直的直線 D．以上均不對(duì)3.已知直線l過(guò)點(diǎn)，傾斜角，下列方程可以表示直線l的是（

）A． B．C． D．【題型十四】直線與最值【典例分析】已知、，直線，，且，則的最小值為（

）A． B．C． D．【變式演練】1.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線上存在一點(diǎn)P，使得，則k的取值范圍為（

）A． B．C． D．2.已知在平面直角坐標(biāo)系中直線l恒過(guò)定點(diǎn)（2，1）.與x正半軸y正半軸分別相交A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△周長(zhǎng)的最小值是_____________.3.已知點(diǎn)M，N分別在直線：與直線：，且，點(diǎn)，，則|的最小值為（

）A． B． C． D．1．直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程是（

）A． B．C． D．2020年山東省春季高考數(shù)學(xué)真題2．已知直線的圖像如圖所示，則角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角2020年山東省春季高考數(shù)學(xué)真題3．已知點(diǎn)O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．設(shè)點(diǎn)P滿足|PA|–|PB|=2，且P為函數(shù)y=圖像上的點(diǎn)，則|OP|=（

）A． B． C． D．2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷4．點(diǎn)(0，﹣1)到直線距離的最大值為（

）A．1 B． C． D．22020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅲ）5．在等腰直角三角形中，點(diǎn)是邊上異于的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)發(fā)射后又回到原點(diǎn)（如圖）.若光線經(jīng)過(guò)的重心，則等于A． B．C． D．全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（湖南卷）6．在平面直角坐標(biāo)系中，記為點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)、變化時(shí)，的最大值為A． B．C． D．2018年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（北京卷）7．設(shè)點(diǎn)，若直線關(guān)于對(duì)稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________．2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題8．已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，則取值范圍是_______．2021年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題9．在平面直角坐標(biāo)系中，P是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是_____.2019年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷10．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，點(diǎn)在線段OA上（異于端點(diǎn)），設(shè)均為非零實(shí)數(shù)，直線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，一同學(xué)已正確算出的方程：，請(qǐng)你求OF的方程：__________________________．普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題（江蘇卷）11．在平面直角坐標(biāo)系中，為雙曲線右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若點(diǎn)到直線的距離大于c恒成立，則實(shí)數(shù)c的最大值為_(kāi)________全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（江蘇卷）12．設(shè)，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是______．全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（四川卷）13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)定點(diǎn)