題型213類對(duì)稱與4類切線解題技巧（點(diǎn)對(duì)稱、直線對(duì)稱、圓對(duì)稱及圓、橢圓、雙曲線、拋物線中的切線問題）技法01技法01點(diǎn)對(duì)稱問題解題技巧技法02直線對(duì)稱問題解題技巧技法03圓對(duì)稱問題解題技巧技法04圓中的切線問題解題技巧技法05橢圓中的切線問題解題技巧技法06雙曲線中的切線問題解題技巧技法07拋物線中的切線問題解題技巧技法01點(diǎn)對(duì)稱問題解題技巧合理利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱求對(duì)稱點(diǎn)的公式能更快的求解對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，需記憶公式，強(qiáng)化練習(xí)合理利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱求對(duì)稱點(diǎn)的公式能更快的求解對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，需記憶公式，強(qiáng)化練習(xí).知識(shí)遷移點(diǎn)x,y關(guān)于直線Ax例1．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是．直線中，,所以，所以，答案為：.1．（2024上·階段練習(xí)）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出垂直于直線且過(guò)點(diǎn)的表達(dá)式，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn).【詳解】由題意，在直線中，斜率為，垂直于直線且過(guò)點(diǎn)的直線方程為，即，設(shè)兩直線交點(diǎn)為，由，解得：，∴,∴點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，故選：C.2．（2024上·階段練習(xí)）已知點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)斜率間關(guān)系及中點(diǎn)在對(duì)稱直線上列方程求解計(jì)算即得.【詳解】設(shè)對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，由題意知直線與垂直，結(jié)合的斜率為1，得直線的斜率為-1，所以，化簡(jiǎn)得，①再由的中點(diǎn)在直線上，，化簡(jiǎn)得，②聯(lián)立①②，可得，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A.3．（2023上·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線恒過(guò)定點(diǎn)P，則點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【分析】首先化簡(jiǎn)直線方程，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由直線化為，令，解得，于是此直線恒過(guò)點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，∴．故答案為：技法02直線對(duì)稱問題解題技巧直線對(duì)稱問題可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題，從而用公式可快速求解，需強(qiáng)化練習(xí)直線對(duì)稱問題可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題，從而用公式可快速求解，需強(qiáng)化練習(xí)例2．已知直線，直線與關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程為A． B．C． D．【法一】x的y系數(shù)絕對(duì)值為1:1型，可反解，，代入，即.【法二】轉(zhuǎn)化為例1，先求交點(diǎn)坐標(biāo)，再線任取異于交點(diǎn)的坐標(biāo)，用公式求出對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線方程【法三】在上任取一點(diǎn)，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，解得，代入，得：，所以直線的方程為.1．（2022上·江蘇南京·高二統(tǒng)考期中）直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別求出直線和直線的傾斜角，再求出直線與直線的夾角，再根據(jù)對(duì)稱性即可得出答案.【詳解】解：直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則直線與直線的夾角為設(shè)直線與直線的夾角為，則，所以直線的傾斜角為.故選：B.2．（2022上·廣東佛山·高二佛山一中?？计谥校┲本€關(guān)于直線的對(duì)稱直線的方程為.【答案】【分析】設(shè)出為所求直線上一點(diǎn)，找出其關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，代入直線即可求出.【詳解】設(shè)為所求直線上一點(diǎn)，它關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則可得，由題可得在直線上，所以，整理可得所求的對(duì)稱直線方程為.故答案為：.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線，直線，若直線關(guān)于直線l的對(duì)稱直線為，則直線的方程為．【答案】.【分析】由于兩條直線平行，所以可設(shè)，利用對(duì)稱的性質(zhì)，可求得，進(jìn)而求得直線方程為.【詳解】由題意知，設(shè)直線，在直線上取點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，將代入的方程得，所以直線的方程為.故答案為：技法03圓對(duì)稱問題解題技巧圓對(duì)稱問題可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和對(duì)稱公式求解即可圓對(duì)稱問題可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和對(duì)稱公式求解即可.例3．（2023下·河南開封·高二統(tǒng)考期末）已知圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，用例1公式求解，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓，圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求得圓的圓心坐標(biāo)和半徑，再求得關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，得到圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求得圓的方程.【詳解】由題意知,圓的圓心與關(guān)于直線對(duì)稱，且兩圓半徑相等，因?yàn)閳A，即，所以圓心，半徑為，設(shè)圓關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，所以圓的方程為，即.故選：A.2．（2023上·四川成都·高二期末）圓關(guān)于直線對(duì)稱后的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知圓的圓心求出關(guān)于直線對(duì)稱的圓的圓心，求出半徑，即可得到所求結(jié)果.【詳解】因?yàn)閳A，所以圓的圓心為，半徑為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，所以，解得：，所以所求圓的圓心為，半徑為,故所求圓的方程為：.故選：A.3．（2023上·河北·高二校聯(lián)考期中）已知圓：與圓：關(guān)于直線對(duì)稱，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求其中點(diǎn)坐標(biāo)以及斜率，根據(jù)對(duì)稱軸與兩對(duì)稱點(diǎn)連接線段的關(guān)系，可得答案.【詳解】由題意得，，則的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率.由圓與圓關(guān)于對(duì)稱，得的斜率.因?yàn)榈闹悬c(diǎn)在上，所以，即.故選：C.技法04圓中的切線問題解題技巧圓中的切線問題圓中的切線問題常常涉及到結(jié)論性，技巧性來(lái)解題，常在小題中使用，能做到快速求解，需強(qiáng)加練習(xí)知識(shí)遷移圓中切線問題已知圓方程為:,若已知切點(diǎn)在圓上,則切線只有一條,其方程是:已知圓方程為:,若已知切點(diǎn)在圓上,則該圓過(guò)點(diǎn)的切線方程為;已知圓方程為圓:.(1)過(guò)圓上的點(diǎn)的切線方程為.(2)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線,則切點(diǎn)弦方程為.例4-1．（2023·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為．代入求解即可，答案為：例4-2．（2023秋·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）過(guò)圓上點(diǎn)的切線方程為．代入求解即可，答案為：例4-3．（2023秋·安徽宣城·高三統(tǒng)考期末）過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，則直線AB方程是.過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線,則切點(diǎn)弦方程為，代入求解即可答案為:1．（2021·河南鄭州·統(tǒng)考三模）已知圓過(guò)點(diǎn)、、，則圓在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)圓的一般方程為，將點(diǎn)、、的坐標(biāo)代入圓的方程，可求得、、的值，可得出圓心的坐標(biāo)，求出所在直線的斜率，可求得切線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程.【詳解】設(shè)圓的一般方程為，由題意可得，解得，所以，圓的方程為，圓心為，直線的斜率為，因此，圓在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓的方程，主要有兩種方法：（1）幾何法：具體過(guò)程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理．如：①圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線；（2）待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量．一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，所以應(yīng)該有三個(gè)獨(dú)立等式．2．（2022·天津北辰·天津市第四十七中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線是．【答案】【分析】由點(diǎn)在圓上，可得切線的斜率為圓心與點(diǎn)連線斜率的負(fù)倒數(shù)，從而根據(jù)點(diǎn)斜式即可求解.【詳解】解：由題意，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓上，所以過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線的斜率，所以切線方程為，即，故答案為：.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作圓C：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線的方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，可知圓的圓心為，半徑，由切線長(zhǎng)公式求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可得以為圓心，為半徑為圓，則為兩圓的公共弦所在的直線，聯(lián)立兩個(gè)圓的方程，兩方程作差后計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，可知圓的圓心為，半徑，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為、，而，則，則以為圓心，為半徑為圓為，即圓，所以為兩圓的公共弦所在的直線，則有，作差變形可得：；即直線的方程為.故選：B.技法05橢圓中的切線問題解題技巧橢圓橢圓中的切線問題常常涉及到結(jié)論性，技巧性來(lái)解題，常在小題中使用，能做到快速求解，需強(qiáng)加練習(xí)知識(shí)遷移設(shè)Px0,y0設(shè)Px0,y0為橢圓x2a2+y例5．（2022上·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第四中學(xué)校考期末）設(shè)橢圓，點(diǎn)在橢圓上，求該橢圓在P處的切線方程.代入切線方程為:xx01．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）橢圓上點(diǎn)P(1,1)處的切線方程是．【答案】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得切線方程.【詳解】∵橢圓，∴y>0時(shí)，，∴，∴x＝1時(shí)，，即切線斜率，∴橢圓上點(diǎn)P(1,1)處的切線方程是，即．故答案為：．2．（2023下·天津·模擬）圓在點(diǎn)處的切線方程為，類似地，可以求得橢圓在點(diǎn)處的切線方程為.【答案】【分析】類比得到在點(diǎn)處的切線方程為，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】在點(diǎn)處的切線方程為，類比得到在點(diǎn)處的切線方程為，故橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了類比推理，意在考查學(xué)生的推理能力和計(jì)算能力.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓在點(diǎn)處的切線方程為類似地,可以求得橢圓在點(diǎn)(4,2)處的切線方程為【答案】【分析】把寫成，切線方程寫成，根據(jù)圓方程與其切線方程的結(jié)構(gòu)形式可以得到橢圓相應(yīng)的切線方程.【詳解】圓的方程可寫成,圓在點(diǎn)處的切線方程為,類似地,因橢圓方程為：，故橢圓在點(diǎn)處的切線方程為即，故答案為：.技法06雙曲線中的切線問題解題技巧雙曲線雙曲線中的切線問題常常涉及到結(jié)論性，技巧性來(lái)解題，常在小題中使用，能做到快速求解，需強(qiáng)加練習(xí)知識(shí)遷移設(shè)Px0,y過(guò)Px0,y例6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作雙曲線：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求直線的方程．代入切點(diǎn)弦方程為xx01．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作雙曲線：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求直線AB的方程．【答案】【分析】設(shè)，求得直線的方程為，同理的方程為，通過(guò)在切線上，可得到直線的方程【詳解】解：設(shè)，易得兩條切線的斜率存在，設(shè)的斜率為，則，聯(lián)立方程，消去可得：，整理可得：，因?yàn)榕c雙曲線相切，所以，，即，，代入可得：，即，所以，即，同理，切線的方程為，在切線上，所以有，滿足直線方程，而兩點(diǎn)唯一確定一條直線，直線AB的方程為2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，則該雙曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為．【答案】/【分析】依題意，注意到點(diǎn)在橢圓上，由此得到橢圓在點(diǎn)處的切線方程；再結(jié)合上述性質(zhì)得到橢圓與雙曲線在其公共點(diǎn)處的斜率間的關(guān)系，進(jìn)而求出雙曲線在點(diǎn)處的切線的斜率．也可以利用結(jié)論6直接得到答案．【詳解】根據(jù)結(jié)論6，由題意得橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，即，該直線的斜率為，由結(jié)論5得知，該雙曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為．故答案為：.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線：上點(diǎn)．求雙曲線在點(diǎn)處的切線的方程．【答案】.【分析】將雙曲線在某點(diǎn)的切線方程轉(zhuǎn)化為曲線在某點(diǎn)的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)求出在某點(diǎn)的切線斜率，進(jìn)一步求出切線的方程.【詳解】由可得，根據(jù)題目條件，可知求曲線在點(diǎn)P處的切線的方程，∴曲線在點(diǎn)P處的切線斜率為∴曲線在點(diǎn)P處的切線方程為化簡(jiǎn)得∴雙曲線C在點(diǎn)P處的切線的方程為．技法07拋物線中的切線問題解題技巧拋物線拋物線中的切線問題常常涉及到結(jié)論性，技巧性來(lái)解題，常在小題中使用，能做到快速求解，需強(qiáng)加練習(xí)知識(shí)遷移設(shè)Px0,y設(shè)Px0,y例7．（2023·高三階段練習(xí)）拋物線在處的切線方程為．代入切線方程為yy01．（2023·高三階段練習(xí)）拋物線在點(diǎn)處的切線方程為．【答案】/y＝2x－2【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】，，∴在（1,0）處切線為：，即.故答案為：.2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的一條切線方程為，則的準(zhǔn)線方程為．【答案】【分析】由，消去