1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運(yùn)算整體感知[學(xué)習(xí)目標(biāo)]

1．掌握空間向量的夾角的概念．(數(shù)學(xué)抽象)2．掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義．(數(shù)學(xué)抽象)4．能用空間向量的數(shù)量積解決立體幾何中的垂直、夾角、長度等問題．(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)(教師用書)回憶平面向量數(shù)量積的概念與性質(zhì)，思考能否將它們從平面推廣到空間中，如果能，嘗試說出推廣后的不同之處，如果不能，說明理由．[討論交流]

問題1．空間向量的夾角的定義，數(shù)量積的定義、性質(zhì)和運(yùn)算律與平面向量有區(qū)別嗎？問題2．兩向量共線時(shí)，其夾角是多少？零向量與任意向量的數(shù)量積等于多少？問題3．在空間中，向量a向向量b、直線l、平面α的投影分別有什么意義？問題4．類比平面向量的數(shù)量積，用空間向量的數(shù)量積可解決哪幾類幾何問題？[自我感知]

經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認(rèn)識(shí)，請畫出本節(jié)課的知識(shí)邏輯體系．探究建構(gòu)探究1空間向量的夾角探究問題1我們在必修第二冊“第六章平面向量及其應(yīng)用”中已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩個(gè)平面向量a和b的夾角的定義，那么對于兩個(gè)空間向量a和b，它們的夾角又該如何定義呢？

[新知生成]定義范圍_________________向量垂直如果〈a，b〉＝__，那么向量a，b互相垂直，記作a__b∠AOB〈a，b〉0≤〈a，b〉≤π

⊥【教用·微提醒】

(1)兩個(gè)非零向量才有夾角，當(dāng)兩非零向量同向時(shí)，夾角為0；反向時(shí)，夾角為π.故〈a，b〉＝0或π?a∥b(a，b為非零向量)．(2)由于零向量的方向是任意的，因此任意一個(gè)向量與零向量的夾角是不確定的，故零向量與其他向量之間不定義夾角，并約定0與任何向量a都是共線的，即0∥a.

√

反思領(lǐng)悟

1．求兩個(gè)空間向量的夾角時(shí)，要結(jié)合夾角的定義和圖形，以防出錯(cuò)．2．對空間任意兩個(gè)非零向量a，b，有：(1)〈a，b〉＝〈b，a〉．(2)〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉．(3)〈－a，－b〉＝〈a，b〉．

0°90°

探究2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算探究問題2我們在必修第二冊“第六章平面向量及其應(yīng)用”中已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩個(gè)平面向量a和b的數(shù)量積的定義、性質(zhì)及運(yùn)算．類比平面向量的數(shù)量積的定義，你能給出空間兩向量數(shù)量積的定義嗎？空間向量的數(shù)量積運(yùn)算滿足哪些運(yùn)算律？[提示]

空間兩向量數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|·cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．空間向量的數(shù)量積運(yùn)算滿足：(1)數(shù)乘向量與向量數(shù)量積的結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；(2)交換律：a·b＝b·a；(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.[新知生成]1．空間向量的數(shù)量積(1)定義已知兩個(gè)非零向量a，b，則_________________叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝________________．規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為_．(2)空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交換律)．③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．|a||b|cos〈a，b〉|a||b|·cos〈a，b〉0(3)空間兩向量的數(shù)量積的性質(zhì)向量數(shù)量積的性質(zhì)垂直若a，b是非零向量，則a⊥b?_______共線同向：則a·b＝|a||b|反向：則a·b＝－|a||b|模夾角a·b＝0

2．向量的投影(1)在空間，向量a向向量b投影：如圖1，先將它們平移到同一個(gè)平面α內(nèi)，利用平面上向量的投影，.得到與向量b共線的向量c，c＝_________________，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．

(2)向量a向直線l投影如圖2.

【教用·微提醒】

(1)非零向量a，b的數(shù)量積記為a·b，而不能表示為a×b或ab.(2)向量的數(shù)量積的結(jié)果為實(shí)數(shù)，而不是向量，其符號(hào)由夾角θ的余弦值的符號(hào)決定：θ為銳角時(shí)，a·b＞0，但a·b＞0時(shí)，θ可能為0；θ為鈍角時(shí)，a·b＜0，但a·b＜0時(shí)，θ可能為π.(3)向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足消去律和乘法的結(jié)合律，即a·b＝a·c?b＝c，(a·b)·c?a·(b·c)．

反思領(lǐng)悟

空間向量的數(shù)量積運(yùn)算的方法(1)利用定義，直接利用a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉，并結(jié)合運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算．(2)利用圖形，計(jì)算兩個(gè)向量的數(shù)量積，可先將各向量移到同一頂點(diǎn)，利用圖形尋找夾角，再代入數(shù)量積公式進(jìn)行運(yùn)算．(3)利用向量分解，在幾何體中進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算時(shí)，要充分利用幾何體的性質(zhì)，把待求向量用已知夾角和模的向量表示后再進(jìn)行運(yùn)算．

√

2．本例中條件不變，求異面直線CA1與AB夾角的余弦值．

反思領(lǐng)悟

利用向量求異面直線夾角的步驟

√

√

√

【鏈接·教材例題】例3如圖1.1-13，m，n是平面α內(nèi)的兩條相交直線．如果l⊥m，l⊥n，求證：l⊥α.[分析]

要證明l⊥α，就是要證明l垂直于α內(nèi)的任意一條直線g(直線與平面垂直的定義)．如果我們能在g和m，n之間建立某種聯(lián)系，并由l⊥m，l⊥n，得到l⊥g，那么就能解決此問題．[證明]

在平面α內(nèi)作任意一條直線g，分別在直線l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.因?yàn)橹本€m與n相交，所以向量m，n不平行．由向量共面的充要條件可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使g＝xm＋yn.將上式兩邊分別與向量l作數(shù)量積運(yùn)算，得l·g＝xl·m＋yl·n.因?yàn)閘·m＝0，l·n＝0(為什么？)，所以l·g＝0.所以l⊥g.這就證明了直線l垂直于平面α內(nèi)的任意一條直線，所以l⊥α.[典例講評]

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．證明：PA⊥BD．

發(fā)現(xiàn)規(guī)律

用向量法證明垂直關(guān)系的步驟是什么？[提示]

(1)把幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題．(2)用已知向量表示所證向量．(3)結(jié)合數(shù)量積公式和運(yùn)算律證明數(shù)量積為0.(4)將向量問題回歸到幾何問題．[學(xué)以致用]

6．如圖，在空間四邊形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求證：OA⊥BC．

應(yīng)用遷移23題號(hào)41

√

23題號(hào)41

√

23題號(hào)41

√

23題號(hào)4123題號(hào)41

1．知識(shí)鏈：(1)空間向量的夾角、投影．(2)空間向量的數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律．2．方法鏈：向量法、數(shù)形結(jié)合、類比．3．警示牌：(1)當(dāng)空間向量a，b的夾角θ為銳角時(shí)，a·b＞0；但當(dāng)a·b＞0時(shí)，θ不一定為銳角，因?yàn)棣纫部赡転?.(2)當(dāng)a≠0時(shí)，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：1．空間向量的夾角和數(shù)量積的定義與平面向量的夾角和數(shù)量積的定義是否一致？[提示]

一致．2．向量a在向量b上的投影向量為向量c，則如何求|c|？試列舉出你知道的方法．

3．利用空間向量的數(shù)量積可研究哪些問題？[提示]

可以解決立體幾何問題中涉及垂直、距離、夾角的一些問題．課時(shí)分層作業(yè)(三)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算題號(hào)1352468791011121314一、選擇題1．對于空間任意兩個(gè)非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件√B

[顯然〈a，b〉＝0?a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共線和反向共線兩種情況，即當(dāng)a∥b時(shí)，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b?〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分條件．]題號(hào)1352468791011121314題號(hào)1352468791011121314

√

題號(hào)3524687910111213141

√√題號(hào)3524687910111213141

題號(hào)3524687910111213141

√√√題號(hào)3524687910111213141

題號(hào)3524687910111213141

題號(hào)3524687910111213141

題號(hào)3524687910111213141二、填空題5．已知向量a，b滿足|a＋b|＝|a－2b|，其中b是單位向量，則a在b方向上的投影向量是________．

題號(hào)3524687910111213141

題號(hào)3524687910111213141

題號(hào)35246879101112131417．如圖，60°的二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，則CD的長為________．

題號(hào)3524687910111213141

題號(hào)3524687910111213141

題號(hào)3524687910111213141

√題號(hào)3524687910111213141

題號(hào)3524687910111213141

√A

[如圖，連接EC．∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，題號(hào)3524687910111213141∴PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，∴BC⊥平面PAB，PB?平面PAB，∴BC⊥PB．題號(hào)3524687910111213141

題號(hào)3524687910111213141

√√√題號(hào)3524687910111213141

題號(hào)3524687910111213141

題號(hào)3524687910111213141

題號(hào)3524687910111213141

題號(hào)3524687910111213141

題號(hào)3524687910111213141

題號(hào)352