周練卷(5)一、選擇題(每小題5分，共35分)1．已知直線l垂直于直線AB和AC，直線m垂直于直線BC和AC，則直線l，m的位置關(guān)系是(A)A．平行 B．異面C．相交 D．垂直解析：因?yàn)橹本€l垂直于直線AB和AC，所以l垂直于平面ABC，同理，直線m垂直于平面ABC，依據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理得l∥m.2．若直線a⊥平面α，b∥α，則a與b的關(guān)系是(C)A．a(chǎn)⊥b，且a與b相交B．a(chǎn)⊥b，且a與b不相交C．a(chǎn)⊥bD．a(chǎn)與b不肯定垂直解析：過(guò)直線b作一個(gè)平面β，使得β∩α＝c，則b∥c.因?yàn)橹本€a⊥平面α，c?α，所以a⊥c.因?yàn)閎∥c，所以a⊥b.當(dāng)b與a相交時(shí)為相交垂直，當(dāng)b與a不相交時(shí)為異面垂直，故選C.3．若兩個(gè)平面相互垂直，第一個(gè)平面內(nèi)的一條直線a垂直于其次個(gè)平面內(nèi)的一條直線b，那么(C)A．直線a垂直于其次個(gè)平面B．直線b垂直于第一個(gè)平面C．直線a不肯定垂直于其次個(gè)平面D．a(chǎn)必定垂直于過(guò)b的平面解析：若b為兩個(gè)平面的交線，則直線a垂直于其次個(gè)平面；若b不是兩個(gè)平面的交線，則直線a不肯定垂直于其次個(gè)平面．4．從空間一點(diǎn)P向二面角α-l-β的兩個(gè)面α，β分別作垂線PE，PF，E，F(xiàn)為垂足，若∠EPF＝60°，則二面角的平面角的大小是(C)A．60° B．120°C．60°或120° D．不確定解析：若點(diǎn)P在二面角內(nèi)，則二面角的平面角為120°；若點(diǎn)P在二面角外，則二面角的平面角為60°.5．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB.若E，F(xiàn)分別為線段A1D1，CC1的中點(diǎn)，則直線EF與平面ADD1AA.eq\f(\r(6),3) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(1,3)解析：取DD1的中點(diǎn)G，連接EG、FG、EC1，易知∠FEG為直線EF與平面ADD1A1所成的角，設(shè)AB＝a，則AA1＝AD＝2a，在△ED1C1中可求出EC1＝eq\r(2)a，在△EFC1中可求出EF＝eq\r(3)a，所以在△EFG中，sin∠FEG＝eq\f(FG,EF)＝eq\f(\r(3),3)，故選C.6．如圖所示，四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD.將四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折成四面體A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，則下列結(jié)論正確的是(B)A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′與平面A′BD所成的角為30°D．四面體A′-BCD的體積為eq\f(1,3)解析：因?yàn)槠矫鍭′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，所以CD⊥平面A′BD，所以CD⊥BA′.由勾股定理，得A′D⊥BA′.又因?yàn)镃D∩A′D＝D，所以BA′⊥平面A′CD，所以∠BA′C＝90°.7.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是BB1，A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，則總能使MP⊥A．4 B．2＋eq\r(2)C．3＋eq\r(5) D．2＋eq\r(5)解析：如圖，取CC1的中點(diǎn)G，連接DG，MG，則MG∥BC.設(shè)BN交AM于點(diǎn)E.∵BC⊥平面ABB1A1，NB?平面ABB1A∴NB⊥MG.∵正方體的棱長(zhǎng)為1，M，N分別是BB1，A1B1的中點(diǎn)，∴在△BEM中，∠MBE＝30°，∠BME＝60°，∴∠MEB＝90°，即BN⊥AM，又MG∩AM＝M，∴NB⊥平面ADGM，∴使NB與MP垂直的點(diǎn)P所構(gòu)成的軌跡為矩形ADGM(不包括M點(diǎn))．∵正方體的棱長(zhǎng)為1，∴矩形ADGM的周長(zhǎng)等于2＋eq\r(5).故選D.二、填空題(每小題5分，共20分)8．已知直線l⊥平面α，垂足為A，直線PA⊥l，則AP與平面α的位置關(guān)系是AP?α.解析：設(shè)AP與l確定的平面為β.假設(shè)AP?α，不妨設(shè)α∩β＝AM，AP與AM不重合，如圖所示．因?yàn)閘⊥α，AM?α，所以l⊥AM.又AP⊥l，所以在平面β內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A有兩條直線垂直于l，這與在同一平面內(nèi)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直沖突，所以假設(shè)不成立．所以AP?α.9.如圖所示，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，D為BC的中點(diǎn)，沿AD把△ADC折疊到△ADC′處，使二面角B-AD-C′為60°，則折疊后二面角A-BC′-D的正切值為2.解析：易知∠BDC′即二面角B-AD-C′的平面角，有∠BDC′＝60°，所以△BDC′為等邊三角形．取BC′的中點(diǎn)M，連接DM，AM，則易知DM⊥BC′，AM⊥BC′，所以二面角A-BC′-D的平面角即∠AMD.在等邊三角形ABC中，易知AD＝2eq\r(3)，在等邊三角形BDC′中，易知DM＝eq\r(3)，所以tan∠AMD＝eq\f(AD,DM)＝2.10．下列四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)為1.①假如兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合；②兩條直線可以確定一個(gè)平面；③若點(diǎn)M∈α，M∈β，α∩β＝l，則M∈l；④空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)．解析：只有③正確．11.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿意DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可)解析：連接AC，因?yàn)樗倪呅蜛BCD各邊都相等，所以四邊形ABCD為菱形，所以BD⊥AC.又PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥PA.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面APC，所以BD⊥PC.故當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)，有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.三、解答題(共45分)12.(本小題15分)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，PA＝AD＝a.(1)求證：MN∥平面PAD；(2)求證：MN⊥平面PCD.證明：(1)如圖，取CD的中點(diǎn)E，連接NE，ME.∵E，M，N分別是CD，AB，PC的中點(diǎn)，∴NE∥PD，EM∥DA，∴平面NEM∥平面PDA，∴MN∥平面PAD.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA.∵底面ABCD是矩形，CD⊥AD，又PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.∵EN∥PD，∴EN⊥CD，又∵CD⊥EM，EM∩EN＝E，∴CD⊥平面ENM，∴MN⊥CD.∵PM＝eq\r(PA2＋AM2)＝eq\r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))2)＝eq\r(BC2＋MB2)＝MC，N是PC的中點(diǎn)，∴MN⊥PC.又CD∩PC＝C，∴MN⊥平面PCD.13．(本小題15分)已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，D，E分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，AD＝AE，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)G，將△ABF沿AF折起，得到三棱錐A-BCF，其中BC＝eq\f(\r(2),2).(1)證明：DE∥平面BCF；(2)證明：CF⊥平面ABF.證明：(1)在等邊三角形ABC中，AD＝AE，∴eq\f(AD,DB)＝eq\f(AE,EC)，在折疊后的三棱錐A-BCF中也成立，∴DE∥BC.∵DE?平面BCF，BC?平面BCF，∴DE∥平面BCF.(2)在等邊三角形ABC中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴AF⊥BC，折疊后，AF⊥CF.∵在△BFC中，BC＝eq\f(\r(2),2)，BF＝CF＝eq\f(1,2)，∴BC2＝BF2＋CF2，因此CF⊥BF.又AF，BF相交于點(diǎn)F，∴CF⊥平面ABF.14.(本小題15分)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D是B1(1)證明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直線A1B和平面BB1C解：(1)證明：如圖，設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接A1E，AE.由題意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因?yàn)锳B＝AC，所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.連接DE，由D，E分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，得DE∥B1B且DE＝B1B，從而DE∥A1A且DE＝A所以AA1DE為平行四邊形．于是A1D∥AE.因?yàn)锳E⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)作A1F⊥因?yàn)锳1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.因?yàn)锽C⊥AE，所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1