第4章扭轉(zhuǎn)第4章扭轉(zhuǎn)§4.1扭轉(zhuǎn)的概念§4.2外力偶矩、扭矩和扭矩圖§4.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與強(qiáng)度條件§4.4圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形及剛度條件§4.5非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)概念§4.1扭轉(zhuǎn)的概念返回總目錄工程中的受扭轉(zhuǎn)桿件擰緊螺母的工具桿產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形返回工程中的受扭轉(zhuǎn)桿件返回工程中的受扭轉(zhuǎn)桿件返回作用在垂直于桿軸平面內(nèi)的力偶。橫截面繞軸線(xiàn)發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。1.外力特點(diǎn)2.變形特點(diǎn)以扭轉(zhuǎn)變形為主的桿件

稱(chēng)為軸本章主要討論圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度和剛度問(wèn)題。扭轉(zhuǎn)變形的特點(diǎn)返回§4.2外力偶矩、扭矩和扭矩圖返回總目錄一、外力偶矩

工程上通常給出傳動(dòng)功率：P(kW)，轉(zhuǎn)速：n(r/min)，則外力偶矩Me：

返回Me二、扭矩(T)

截面法T+截:

假想沿橫截面將桿切開(kāi)，留下左段或右段代:用內(nèi)力代替去掉部分對(duì)留下部分的作用平:

對(duì)留下部分列平衡方程求出內(nèi)力即扭矩值MeMex得正負(fù)號(hào)規(guī)定

按右手螺旋法則將扭矩表示為矢量，指向截面的為負(fù)，反之為正。MeT+說(shuō)明：截面上的扭矩等于截面一側(cè)所有外力偶矩的代數(shù)和，外力偶矩按右手螺旋法則表示為矢量，指向截面為負(fù)，反之為正。返回已知：

主動(dòng)輪A的輸入功率PA＝36kW，從動(dòng)輪B、C、D輸出功率分別為PB＝PC＝11kW，PD＝14kW，轉(zhuǎn)速n＝300r/min。試：畫(huà)出軸的扭矩圖。例題4-1返回解：1.由功率計(jì)算外力偶矩同樣可解得:返回2.求各段的扭矩I-I截面II-II截面III-III截面3.畫(huà)出扭矩圖討論:若將輪A與輪D調(diào)換位置，扭矩圖將怎樣變化？返回(b)討論:若將輪A與輪D調(diào)換位置，扭矩圖將怎樣變化？解：可見(jiàn):主動(dòng)輪與從動(dòng)輪位置不同,軸內(nèi)最大扭矩也不同,顯然(a)方案比(b)方案合理。返回§4.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與強(qiáng)度條件返回總目錄一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力1.變形現(xiàn)象圓周線(xiàn)大小、形狀、間距不變，縱向線(xiàn)相同傾斜。2.橫截面上應(yīng)力分析

因縱向纖維無(wú)正應(yīng)變，有角應(yīng)變，因此橫截面上無(wú)

，有

，

與圓周相切。

又因壁很薄，可近似認(rèn)為沿壁厚應(yīng)力相等。返回分布內(nèi)力系對(duì)x軸的矩應(yīng)等于扭矩T。2.橫截面上應(yīng)力分析

橫截面上只有

，

與圓周相切，且沿壁厚相等。T3.橫截面上的應(yīng)力公式返回4.切應(yīng)力互等定理

取微塊(單元體)如圖相對(duì)面上,τ等值反向。返回4.切應(yīng)力互等定理純剪切

切應(yīng)力互等定理：也稱(chēng)切應(yīng)力雙生定理，指在單元體相互垂直的兩個(gè)面上，切應(yīng)力必成對(duì)存在，且數(shù)值相等；兩者都垂直于兩個(gè)平面的交線(xiàn)，方向共同指向或背離這一交線(xiàn)。返回5.切應(yīng)變、剪切胡克定律切應(yīng)變剪切胡克定律

當(dāng)切應(yīng)力不超過(guò)剪切比例極限時(shí)有:G

切變模量(剪切彈性模量)三個(gè)彈性常數(shù)E,

,G間的關(guān)系薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)返回1.變形現(xiàn)象圓周線(xiàn)大小、形狀、間距不變，縱向線(xiàn)相同傾斜。二、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力2.平面假設(shè)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面保持為平面,并且只在原地繞軸線(xiàn)

“剛性”轉(zhuǎn)動(dòng)。返回3.變形分布規(guī)律距圓心為

處即：各點(diǎn)的切應(yīng)變與其到軸線(xiàn)的距離成正比。圓軸外表面縱向纖維無(wú)

，有

，因此橫截面上只有

，且

⊥半徑。返回變形幾何關(guān)系剪切胡克定律切應(yīng)力分布4.應(yīng)力分布規(guī)律r

橫截面上任一點(diǎn)的

⊥半徑，并與該點(diǎn)到軸線(xiàn)的距離

成正比。返回T靜力關(guān)系橫截面上分布內(nèi)力系對(duì)圓心的矩等于扭矩T。令：橫截面對(duì)圓心O的極慣性矩。4.應(yīng)力公式

dA返回代入最大切應(yīng)力：令:將Wp(或Wt

)稱(chēng)為抗扭截面系數(shù)。——圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面各點(diǎn)切應(yīng)力公式T返回(1)以上公式只對(duì)等直圓桿(實(shí)心或空心截面)

成立,對(duì)截面緩慢變化的圓截面直桿可近似

采用上式計(jì)算。 5.以上公式的適用范圍(2)以上公式另一適用條件是，

max應(yīng)小于剪

切比例極限，即材料應(yīng)符合胡克定律。返回d三、圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件實(shí)心圓軸四、Ip與Wp的計(jì)算空心圓軸式中:

d

dD返回已知：

傳動(dòng)軸為無(wú)縫鋼管，外徑D=90mm,壁厚t=2.5mm,

扭矩T=1.5kN·m,[t]=60MPa.試：校核軸的強(qiáng)度解：計(jì)算Wp校核例題4-2因此軸滿(mǎn)足強(qiáng)度條件。1.按空心軸校核強(qiáng)度返回已知：

傳動(dòng)軸為無(wú)縫鋼管，外徑D=90mm,壁厚t=2.5mm,

扭矩T=1.5kN·m,[t]=60MPa.試：校核軸的強(qiáng)度解：因此軸滿(mǎn)足強(qiáng)度條件。2.按薄壁圓筒校核強(qiáng)度返回已知:P=7.5kW,n=100r/min,許用切應(yīng)力

＝40MPa,空心圓軸內(nèi)外徑之比

=0.5解：1.計(jì)算扭矩求：實(shí)心軸的直徑d1和空心軸的外徑D2。例題4-3返回2.實(shí)心軸直徑d13.空心軸外徑D2返回4.比較經(jīng)濟(jì)性空心軸D2＝46mmd2＝23mm實(shí)心軸d1=45mm可見(jiàn)，采用空心軸可以節(jié)省材料。原因：實(shí)心軸心部材料應(yīng)力較小，其作用沒(méi)有得到充分發(fā)揮。返回§4.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形與剛度條件返回總目錄一、扭轉(zhuǎn)角——兩個(gè)橫截面繞軸線(xiàn)的相對(duì)轉(zhuǎn)角長(zhǎng)為l的軸的扭轉(zhuǎn)角由前面的推導(dǎo)得：

階梯軸或扭矩分段變化返回

二、單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角三、剛度條件(rad/m)工程上[’]的單位常用（°/m）[

’]值一般為：

精密機(jī)器的軸(0.25～0.5)°/m

一般傳動(dòng)軸(0.5～1.0)°/m

較低精度的軸(1.0～2.5)°/m則——?jiǎng)偠葪l件返回例題4-4已知:

mA=7024N·m

mB=2809.6N·m

mC=4214.4N·mG=80GPa,[τ]=70MPa,[’]=1o/m求：AB和BC段直徑解：1.內(nèi)力分析作扭矩圖

T1=－mA=－7024N·m

T2=－mC=－4214.4N·m返回AB段：由扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件得2.計(jì)算各段直徑返回

由剛度條件得取

d1=84.6mm返回取

d2=74.5mmBC段：同理，由強(qiáng)度條件，d2≥67㎜由剛度條件，d2≥74.5㎜返回§4.5非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)概念返回總目錄

橫向線(xiàn)變?yōu)榭臻g曲線(xiàn)，橫截面發(fā)生翹曲,平面假設(shè)不再成立。一、變形特點(diǎn)自由扭轉(zhuǎn)翹曲不受限制，各橫截面翹曲程度相同，縱向纖維長(zhǎng)度不變，橫截面上只有切應(yīng)力。二、自由扭轉(zhuǎn)與約束扭轉(zhuǎn)

約束扭轉(zhuǎn)由于約束等限制，桿件各橫截面的翹曲程度不同，縱向纖維長(zhǎng)度發(fā)生改變，橫截面上除切應(yīng)力外還有正應(yīng)力。但一些實(shí)體桿件，扭轉(zhuǎn)引起的正應(yīng)力很小。返回三、橫截面上的切應(yīng)力1.邊緣各點(diǎn)

與邊界相切2.凸角處

=0四、矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)

的分布1. 邊緣各點(diǎn)的

與周邊相切，沿周邊方向形成剪