專題05二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點(diǎn)突破】................................................................7

【考點(diǎn)1]一元二次不等式的求解..............................................7

【考點(diǎn)2]三個二次之間的關(guān)系................................................11

【考點(diǎn)3】一元二次不等式恒成立問題..........................................13

【分層檢測】...............................................................18

【基礎(chǔ)篇】.................................................................18

【能力篇】.................................................................24

【培優(yōu)篇】.................................................................27

考試要求：

1.會結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實根的存在性及實根的個數(shù)，了解函數(shù)的零

點(diǎn)與方程根的關(guān)系.

2.會從實際情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的現(xiàn)實意義.

3.能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.

知識梳理

1.一元二次不等式

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.

2.三個“二次”間的關(guān)系

判別式

J>0J=0J<0

/l=b2—4ac

二次函數(shù)

n

y=ax2-\-bx-\-c

o除球

(a>0)的圖象k

一元二次方程

有兩相等實根

有兩相異實根XI,

2

tzx+Z?x+c=0b沒有實數(shù)根

X2(X1<X2)Xf=F

(a>0)的根

2

tzx+Z?x+c>0{巾>%2

或％R

(Q>0)的解集Vxi}

ax2-\~bx-\-c<0

1%|%1v%v%2}00

(〃>0)的解集

3.(x—a)(x—。)>0或(x—a)(x—。)<0型不等式的解集

解集

不等式

a<bci=ba>b

(元—〃)?(％—b)>0{x\x<a^x>b}或冗>〃}

(x—〃)?(％-b)<0{x\a<x<b}0

4.分式不等式與整式不等式

⑴^§->0(<0)=段)避(%)>0(<0).

(2)得5-三0(忘0)=人為送。)20(忘0)且8(%)20.

|常用結(jié)論

2

1.絕對值不等式枕|>。3>0)的解集為(-8,—Q)U(Q,+8)；|R<Q(Q>0)的解集為

(—a,a).

記憶口訣：大于號取兩邊，小于號取中間.

2.解不等式加+6冗+。>0(<0)時不要忘記當(dāng)a=0時的情形.

3.不等式加+桁+00(<0)恒成立的條件要結(jié)合其對應(yīng)的函數(shù)圖象決定.

一八[a=b=O,]〃>0,

(1)不等式對任意實數(shù)%恒成立=彳或《

lc>0U<0.

(Q=Z?=0,(〃<0,

(2)不等式o^+bx+cvO對任意實數(shù)x恒成立"彳或土

lc<0U<0.

,真題自測

一、單選題

1.(2023?全國，高考真題)已知集合Af={-2,-1,0,1,2},A^=|x|x2—x—6>o1,則A/cN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

二、填空題

2.(2023?全國?高考真題)設(shè)ae(O,l),若函數(shù)=優(yōu)+(l+a)*在(0,+e)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍

是.

3.(23-24高一上?江蘇徐州?階段練習(xí))若關(guān)于x的不等式0Wax?+法+。<2(。>0)的解集為{x\-l<x<3),

則3a+6+2c的取值范圍是.

4.(2024?安徽合肥?一模)已知集合4={x|/<4}]=卜|a_l<xWa+l},若Ac3=0,則“的取值范圍

是.

三、解答題

5.(2021?全國?高考真題)記S"是公差不為0的等差數(shù)列{4}的前〃項和，若生=55，%%=54.

(1)求數(shù)列{%}的通項公式。.；

(2)求使5“>%成立的”的最小值.

6.(23-24高一上?河南信陽?階段練習(xí))已知P：|2x—5|43,q：x2-(2a-2)x+a2-2?<0.

⑴若"是真命題，求對應(yīng)無的取值范圍；

(2)若P是4的必要不充分條件，求。的取值范圍.

3

考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】一元二次不等式的求解

一、單選題

1.（2021?上海徐匯?一模）已知xeR,條件P：/〈無，條件4：->1,則〃是4的（）

X

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2023?四川樂山?一模）已知〃無）=「:二?無，X：。，滿足/⑷<〃_“），則a的取值范圍是（）

[x+2x,x<0

A.（―<^）,—2）1（0,2）B.2）u（2,+a）

C.（-2,O）D（O,2）D.（-2,0兒（2*）

二、多選題

3.（23-24高一上?江蘇南京?期末）已知關(guān)于%的不等式a?+灰+°>0的解集是{刈<工<3},貝！J（）

A.a<0

B.a+Z;+c=0

C.4a+2b+c<0

D.不等式ex?-/?無+a<0的解集是{削x<-l或x>-g}

4.（2023?廣東深圳?模擬預(yù)測）下列命題中的真命題有（）

A.當(dāng)x>l時，x+工的最小值是3

x-1

B.親%2+W5的最小值是2

Vx+4

C.當(dāng)0〈尤<10時，Jx（10-x）的最大值是5

D.若關(guān)于x的不等式加+for+c>0的解集為{也<*<3},貝!|a-6+c>0

三、填空題

5.（2021?四川綿陽?模擬預(yù)測）若函數(shù)/。）=（/+依+20俄在區(qū)間（一2,1）上恰有一個極值點(diǎn),則實數(shù)a的

取值范圍為—

6.（23-24高一上?上海浦東新?期末）已知a>0,關(guān)于尤的不等式（依-4-6）（彳-2）<0的解集為M,設(shè)

N=M1Z,當(dāng)。變化時，集合N中的元素個數(shù)最少時的集合N為.

反思提升：

含有參數(shù)的不等式的求解，往往需栗比較（相應(yīng)方程）根的大小，對參數(shù)進(jìn)行分類討論.

4

(1)若二次項系數(shù)為常數(shù)，可先考慮分解因式，再對參數(shù)進(jìn)行討論；若不易分解因式，則可對

判別式進(jìn)行分類討論.

(2)若二次項系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項系數(shù)是否為零，然后再討論二次項系數(shù)不為零的

情形及判別式/的正負(fù)，以便確定解集的形式.

⑶其次對相應(yīng)方程的根進(jìn)行討論，比較大小，以便寫出解集.

【考點(diǎn)2】三個二次之間的關(guān)系

一、單選題

L(23-24高一上四川成都?期中)一元二次不等式渥+法+00的解為{42<X<3},那么辦2_布+0()

的解集為()

A.{x|x>3或￥<-2}B.{尤忖>2或v<-3}

C.{x卜2Vx<3}D.|x|-3<x<2}

2.(2021?新疆?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)7+6x+c,滿足/(3+元)=/(3-x),且f(4)</(5),則不等式

/(l-x)</(l)的解集為()

A.(0,+oo)B.(-2,+co)C.(-4,0)D.(2,4)

二、填空題

3.(20-21高一上?浙江臺州?期中)若非負(fù)實數(shù)為了滿足尤2+4/+4盯+4/y2=32,貝l］近(工+2丁)+2孫的最

大值為.

三、解答題

4.(2022?江蘇鹽城?模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)〃x)=d-依+b(a,beR).

⑴若函數(shù)了(無)在［0』］上不單調(diào)，求”的取值范圍；

⑵對任意都存在yeR,使得f(y)=〃x)+y成立，求。的取值范圍.

反思提升：

1.一元二次方程的根就是相應(yīng)一元二次函數(shù)的零點(diǎn)，也是相應(yīng)一元二次不等式解集的端點(diǎn)值.

2.給出一元二次不等式的解集，相當(dāng)于知道了相應(yīng)二次函數(shù)的開口方向及與x軸的交點(diǎn)，可以

利用代入根或根與系數(shù)的關(guān)系求待定系數(shù).

【考點(diǎn)3】一元二次不等式恒成立問題

一、單選題

1.(2023?江西九江?二模)已知命題人SxeR,^+2x+2-a<0,若〃為假命題，則實數(shù)。的取值范圍為

()

A.(l,+oo)B.［l,+oo)C.(-oo,l)D.(-oo,l］

5

11\3a+4b-l\

2.（22-23高三下,上海楊浦?階段練習(xí)）已知正實數(shù)〃，b滿足靛+m=25,則‘7+/的最小值為（）

7-72-5124

A.7B.3C.—D.-

253

二、多選題

3.（23-24高一上?新疆喀什?期末）下列幾種說法中正確的是（）

A.若工+1=1,則》+丁的最小值是4

xy

B.命題“HxeZ,無2>o"的否定是"v^z,x2<0"

C.若不等式尤2+辦一，的解集是（-2,3）,貝|加一無+匕>0的解集是（一3,2）

3

D.紈3,0］〃是"不等式2kx2+kx--<0對一切無都成立"的充要條件

O

4.（22-23高三上?山東棗莊?開學(xué)考試）下列說法正確的是（）

A.若不等式狽2+2x+c>o的解集為{x[-l<x<2},則〃+c=2

B.若命題p：Vxe（0,+8）,x-1>lnx,則〃的否定為*e（0,+<?）,x-lWlnx

C.在ABC中，"sinA+cosA=sin3+cos3"是"A=3"的充要條件

D.若7%2+3x+2加<0對VmeOl］恒成立，則實數(shù)》的取值范圍為（-2,-1）

三、填空題

5.（2022?湖北武漢?三模）若玉e1,2,使2丁_加+1<0成立，則實數(shù)X的取值范圍是.

6.（2018?天津?高考真題）已知aeR,函數(shù)/（x）={2c一';若對任意煙［-3,+00）,/（尤區(qū)同恒

—X+2無一2。,無>0.

成立，則。的取值范圍是.

反思提升：

（1）對于二次不等式恒成立問題常見的類型有兩種，一是在全集R上恒成立，二是在某給定區(qū)

間上恒成立.

（2）解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，

求誰的范圍，誰就是參數(shù).

①若a/+bx+c>。恒成立，則有a>0,且/<0;若o^+Zw+cVO恒成立，則有a<0,且/

V0.②對第二種情況，栗充分結(jié)合函數(shù)圖象利用函數(shù)的最值求解（也可采用分離參數(shù)的方法）.

■分層檢測

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2023?黑龍江哈爾濱?二模）設(shè)等比數(shù)列{%},a3,%是方程/+5工+4=0的兩根，則內(nèi)的值是（）

6

A.±2或±7B.2或;C.—2

2.（23-24高一上?重慶?期末）已知集合”={?安一3工—4<0},N={x|y=ln（x—1）}“則AfcN=（）

A.（1,4）B.[1,4）

C.（—1,4）D.[—1,4）

3.（2023?廣東?模擬預(yù)測）若集合4=卜|雷40，，B={x|2x2-（2a+l）x+a<0）,且AC3N0,則實數(shù)

。的取值范圍為（）

A.[-3,-1]B.[—3,—1）

C.（一。,一1）D.

4.（22-23高三上?江蘇?開學(xué)考試）已知關(guān)于x的不等式辦?+法+4>。的解集為（一其中

m<0,則'的最小值為（）

A.-4B.4C.5D.8

二、多選題

5.（2022?廣東佛山?一模）下列說法正確的是（）

A.命題：VXG（—1,1],Y+2%_3v0的否定是：1,1],%2+2x-3>0；

乃1

B.?=—+2to,左EZ是sina=]的充要條件；

C.是L<1的充分非必要條件；

a

D.。?-2,2]是命題：VxeR,d-分+1>。恒成立的充分非必要條件

6.（23-24高一上?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?期末）命題"VI<x<3,尤2一“w0”是真命題的一個充分不必要條件是（）

A.a>9B.<s>ll

C.a>10D.a>12

7.（2021,江西?模擬預(yù)測）下列命題正確的是（）

A.{1,3,5}={5,3,1}

B.集合{（0,0）,（L1）}的真子集個數(shù)是4

C.不等式/一6》+5<0的解集是卜|1<》<5}

D.三，之0的解集是{x|x<—3或

7

三、填空題

8.（2021?河北石家莊?二模）若命題"3xeR,V-2x+機(jī)<0"為真命題，則實數(shù)機(jī)的取值范圍為.

9.（22-23高一上?河北滄州?期中）若FxeR,尤2-6公+3。<0"為假命題，則實數(shù)。的取值范圍為.

10.（22-23高三上?河北衡水?階段練習(xí)）若命題“玉目1,3],龍依+1>0"是假命題，則實數(shù)。的最大值為

四、解答題

九2_5r>0

{尤+6,尤<0

（1）若/（根）=4,求機(jī)的值；

⑵若求。的取值集合.

12.（23-24高三上,河北邢臺?階段練習(xí)）已知函數(shù)"且/（炮2）+/（三5）=3.

⑴求a的值；

⑵當(dāng)時，4'+機(jī)恒成立，求機(jī)的取值范圍.

【能力篇】

一、單選題

1.（2023?黑龍江大慶?二模）已知集合&={*"=111（*-1）},B=()

A.{x[l<x<2}B.{x|l<x<2^

C.{x|lW尤<2}D.1x|l<x<2j

二、多選題

03

2.（2023?廣東深圳?模擬預(yù)測）已知函數(shù)=；三+f一g疝（幾?尺且％v_2）,且0=1.7,b=log031.8,

c=0.901,則下列結(jié)論正確的是（）

A.為R上的增函數(shù)B.無極值

C./（^）</（c）</（a）D./（a）</（/?）</（c）

三、填空題

3.（2023?廣西?模擬預(yù)測）若不等式加>尤2一》_1對X?F,0）恒成立，則。的取值