浙教新版九年級(jí)上冊《3.5圓周角》2024年同步練習(xí)卷（7）

一、選擇題：本題共1小題，每小題3分，共3分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.如圖，AB、CD是OO的兩條平行弦，BE"AC交CD于E,過/點(diǎn)的切線交

zQ

DC延長線于P,若4。=3松，則PCCE的值是（）

A.18Pc\EjD

B.6

C.6通

D.9^3

二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。

2.一圓周上有三點(diǎn)4B,C,N4的平分線交邊于D,交圓于E,已知_8。=2,

AC=3,AB=4,則ADDS=

3.如圖，菱形。N3C的頂點(diǎn)A13、。在?。上，過點(diǎn)8作00的切線交CM的延長―一、

J<^c

線于點(diǎn)。，若00的半徑為5,則線段3。的長為—

DB

4.如圖，。。是△48。的外接圓，48為0O的直徑,CD平分乙4CB交于點(diǎn)。，CE切0O于點(diǎn)C,交

的延長線于點(diǎn)E,若。。的半徑為5,1211/呂47=2.則?！甑拈L為_

5.如圖，48是?。的直徑，/C是弦，NBA。的平分線交。0于點(diǎn)D，一DE工AC于E,七//|F

斤D

過點(diǎn)8作。。的切線交期的延長線于R若ED=DF,則.=_

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6.如圖，。0中，弦AB、CD相交于點(diǎn)尸，若AP=5,BP=4,CP=3,

則DP為.

三、解答題：本題共4小題，共32分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

7.(本小題8分)

如圖，③。是△48。的外接圓，為。。的直徑，乙4CB的平分線交。。于點(diǎn)。，點(diǎn)￡在C4的延長線上,

且DE為00切線.

(1)求證：AB//DE；

(2)連接AD,若tan/4DC=:，AC=4,求?！甑拈L.

O

8.(本小題8分)

如圖，設(shè)△48。是直角三角形，點(diǎn)。在斜邊8C上，RD=4OC.已知圓過點(diǎn)。且與/C相交于尸，與4B

相切于N5的中點(diǎn)G.求證：AD±BF.

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F

G

9.（本小題8分）

如圖，OO是等邊△ABC的外接圓，點(diǎn)E在邊上，過￡作。G〃B。交?。于點(diǎn)。、G交/C于點(diǎn)尸,

若48=13,4E、OE的長都是整數(shù)，求。E的長.

10.（本小題8分）

如圖，已知：是0。的直徑，/C是切線，/為切點(diǎn)，8C交0。于點(diǎn)D,切線DE交/C于點(diǎn)艮求證:

AE=EC.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：如圖，連接AD、BC.

■：AB,CD是OO的兩條平行弦，

.?.弧弧3D,

ABCD=AADC.

?.?過/點(diǎn)的切線交DC延長線于產(chǎn)，

APAC=AD，

：,APAC=ABCE.

■：BE,AC交CD于E,

:"PCA=NBEC，

：.AAPCsdCBE,

BE_CIE

"TC=AC'

又AC=BE=3A/2,

PC-CE=(3^2)2=18.

故選：A.

連接ND、BC根據(jù)圓內(nèi)兩條平行弦所夾的弧相等，得弧40=弧3D,再根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等，得

/BCD=/ADC，根據(jù)弦切角定理，得/P4C=/O,則/PAC=/8CE,根據(jù)平行線的性質(zhì)，得

NPCA=/BEC，再根據(jù)相似三角形的判定得△APCs△ORE,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

此題綜合運(yùn)用了圓周角定理的推論、垂徑定理的推論、平行線的性質(zhì)、弦切角定理、相似三角形的判定及

性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，是一道好題.

2.【答案】端

【解析】解：?.?N4的平分線交邊8c于。，交圓于E,

AB_BD

,'AC='CDf

'：BC=2，AC=3，AB=4,

4_BD

*"3=2-BP，

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QK6

解得：BD=~,CD=2--=-,

o64Q

■「CD-BD=AD-DE=-x-=—

7749

故答案為：A48

49

根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出兼=黑，求出此與。的長，再利用相交弦定理求出即可.

ADDTJ

此題主要考查了相交弦定理以及角平分線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出力=方萬，是解決問題的關(guān)鍵.

3.【答案】5\/3

【解析】解：連接03,

?.?四邊形CM8C是菱形，

：,OA=AB,

：OA^OB,

：,0A=AB=0B，

為等邊三角形,

.?.ZAOB=60°?

?「BO是0。的切線，

.-.ZDBO=90%

?：0B=5,

BD=V30B=5\/3,

故答案為：5^3.

連接08,根據(jù)菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定定理得到為等邊三角形，進(jìn)而求出NAOB=60。，

根據(jù)切線的性質(zhì)得到NOB。=90°,根據(jù)正切的定義計(jì)算，得到答案.

本題考查的是切線的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑

是解題的關(guān)鍵.

…小20

4.【答案】—

O

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【解析】解：連接OC,

?.?CE切OO于點(diǎn)C,

：.^0CE=9Q°,

：.AECB+^OCB=90°,

■：AB是直徑，

.?.〃。8=90°，

.-.ZA+ZOBC=90°，

：OC=OB,

:.40CB=40BC，

:"BCE=NA,

平分/4CB,

：,ZACD=ZDCB=45°>

:"DCE=/CDE,

：,CE=DE，

■：tanABAC=1.

CB1

'AC=2,

,:NECB=NA,NE=4E,

:.MECBsXEAC,

CBBEEC

,1,CX=^C=2=^4，

設(shè)_BE=;r,EC=2x,

:.EC'BE.EA，

即（2C）2=x\x+10）,

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解得X=可或x=0（舍）,

O

BE=—,EC=—

33

20

DE=CE

y

故答案為：—.

o

連接。C,根據(jù)切線的性質(zhì)可證/BCE=/A,再根據(jù)CD平分2/CB,可得/DCE=NCDE,得

CE=DE，由△E3ZXE心得ff=ff=3言，設(shè)BEiEC=2X，可求出x的值，從

而解決問題.

本題主要考查了圓周角定理，圓的切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知

識(shí)，證明CE=OE是解題的關(guān)鍵.

5.【答案】一T

2

【解析】解：連接8，

?二48是。。的直徑，

：.AADB=90°,

.,"05=90°，

?.?BR與0O相切于點(diǎn)8,

：.BFLOB,

：,AFBA=90°，

DFBF“

-,-BF=AF=COSF>

BF2=DF-AF<

?.??！?4。于￡，

，NE=90°，

:"E=￡FDB，

■：ABAC的平分線交。。于點(diǎn)D,

：.ADAB=/DAE,

■：ZDAB=ZFBD=90°-NF,

;.NDAE=NFBD,

-：ED=DF，

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：,/\DAE^^FBD（AAS）,

：,AD=BF,

AD2=DF-AF，

設(shè)ED=DF=x，AD=m>則m2=立儂+加），

解關(guān)于X的方程得叫/2=-1一1區(qū)（不符合題意，舍去），

EDxy/5—1

…ADm2

故答案為：聞1

2

連接5，由45是。。的直徑，得乙4DB=90°，則NFDB=90°，由3方與。。相切于點(diǎn)5,證明

JJFBF

AFBA=90°,則石方=T=COSR,所以BF2=DF.AF，再證明△OAE也△F6。，得4。=5尸,

JyrAr

則4。2=。歹.4?，設(shè)ED=DF=t,AD=m,則ni2=4/+加），求得符合題意的x值為〃［一口，

即可求得￡2=土=漁二1,于是得到問題的答案.

ADm2

此題重點(diǎn)考查同角的余角相等、銳角三角函數(shù)與解直角三角形、切線的性質(zhì)定理、全等三角形的判定與性

質(zhì)、一元二次方程的解法等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線并且推導(dǎo)出=是解題的關(guān)鍵.

6.【答案】

O

【解析】解：由相交弦定理得，P4PB=PC.PD,

5x4=3xDP,

解得，DP=^20,

o

9f）

故答案為：

o

根據(jù)相交弦定理列式計(jì)算即可.

本題考查的是相交弦定理的應(yīng)用，掌握圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等是解題的關(guān)

鍵.

7.【答案】（1）證明：連接。D,如圖，

?/AACB的平分線交。。于點(diǎn)D,

：,AACD=ABCD,

AD=BD，

.-.ODLAB，

DHE

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為00切線，

：,OD1DE,

:.AB//DE；

⑵解:作AFLLDE于〃如圖，

?:48為。。的直徑，

.?2408=90°，

:NB=/ADC,

tanB—tanZ.ADC—,AC=4,

o

在RtZ\/CB中，?「tanB=——=

3

/.BC=3AC=12,

AB=y/AC2+BC2=4溝，

OA=OD-2\/10'

-：OA//DE,0D10A，AH上DE，0A=0D，

二四邊形N/TO。為正方形，

AH=DH=OA=2y/10，

-：AB//DE,

:.NBAC=NE,

HE_AHHE2Vzm

"ACBC4_12

o

DE=DH+HE=2y/10+

33

【解析】(1)連接。D，如圖，由于NACD=NB。。，根據(jù)圓周角定理得么方=石力，則利用垂徑定理有

0D1AB,再利用切線的性質(zhì)得OOrDE,于是可判斷

(2)作于〃，如圖，根據(jù)圓周角定理得/4CB=90°，4B=4ADC,在RtZVICB中，利用N8

的正切可計(jì)算出3。=12,接著利用勾股定理可計(jì)算出AB=4，m，然后證明四邊形/切。為正方形得

到48=。8=04=2，蚤，再證明利用相似比可計(jì)算出口后=生"，最后

3

計(jì)算。H+HE即可.

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本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作

輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題.也考查了圓周角定理和相似三角形的判

定與性質(zhì).

8.【答案】證明：作于E,

5

則=AB=5DE,

4

又rG是48的中點(diǎn)，

5

AG=-ED.

：.—ED2=AF--AE,

44

：,5ED2=AF-AE<

AB-EDAF-AE，

AB_AF

"AE=^D'

:aAFs^AED,

:"ABF=/EAD，

而NEAD+"AB=90°，

：.AABF+ADAB=90°,

即ADLBF.

【解析】作DELAO于￡,由切割線定理：AG2=AF-AC^可證明則

AABF+ADAB=90°,從而得出AD1BF.

本題考查的是切割線定理，相似三角形的判定和性質(zhì).

9.【答案】解:連接BG,

■：是等邊三角形，

ZA=ZB=ZC=60°，

-：DG//BC,

：,AAEF=ZB=60°，NAFE=ZC=60°，

.?.乙4EP=乙49￡=60°，

是等邊三角形，

：.AE=EF,

由圓和等邊三角形的對(duì)稱性得：DE=FG，

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設(shè)AE=EP=2，DE—FG—y,

:ND=NABG,ZAED=AGEB,

：,LAEDsAGEB,

AE_DE

"^G=KB，

：,AExBE=DExEG,即以13一初=y[x+y),

由rc(13-x)=y(x+妨得：x2+(y-13)c+y2=0,

13—g土J(g-13)2—4.

-''X=2'

?S、y都是正整數(shù)，

.-.(y-13)2-4才的值必須是一個(gè)