九年級上學(xué)期第一次月考7大壓軸考法52題專練（第21~22章）一．根的判別式（共4小題）1．（2023秋?龍崗區(qū)校級月考）對于一元二次方程，下列說法：①若，則；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若是方程的一個根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則⑤存在實數(shù)、，使得；其中正確的A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③2．（2023秋?建平縣校級月考）已知關(guān)于的一元二次方程，其中，，分別為三邊的長．（1）如果是方程的根，試判斷的形狀，并說明理由；（2）如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷的形狀，并說明理由；（3）如果是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．3．（2023秋?昆山市校級月考）已知關(guān)于的方程，（1）求證：無論取何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；（2）若等腰三角形的一邊，另兩邊長，恰好是這個方程的兩個根，求的周長．4．（2023秋?南部縣校級月考）已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩實數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）已知等腰的底邊，若，恰好是另外兩邊的邊長，求這個三角形的周長．（3）閱讀材料：若三邊的長分別為，，，那么可以根據(jù)秦九韶海倫公式可得：，其中，在（2）的條件下，若和的角平分線交于點，根據(jù)以上信息，求的面積．二．根與系數(shù)的關(guān)系（共5小題）5．（2023秋?汨羅市月考）如果方程的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數(shù)的取值范圍是．6．（2023秋?花都區(qū)校級月考）如果關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另外一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于倍根方程的說法，正確的有（填序號）①方程是倍根方程；②若是倍根方程：則；③若，滿足，則關(guān)于的方程是倍根方程；④若方程以是倍根方程，則必有．7．（2023秋?通川區(qū)校級月考）如果方程有兩個實數(shù)根，，那么，，請根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問題：（1）已知、是方程的二根，則（2）已知、、滿足，，求正數(shù)的最小值．（3）結(jié)合二元一次方程組的相關(guān)知識，解決問題：已知和是關(guān)于，的方程組的兩個不相等的實數(shù)解．問：是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．8．（2023秋?南海區(qū)校級月考）如果關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，研究發(fā)現(xiàn)了此類方程的一般性結(jié)論：設(shè)其中一根為，則另一個根為，因此，所以有；我們記“”即時，方程為倍根方程；下面我們根據(jù)此結(jié)論來解決問題：（1）方程①；方程②這兩個方程中，是倍根方程的是（填序號即可）；（2）若是倍根方程，求的值；（3）關(guān)于的一元二次方程是倍根方程，且點在一次函數(shù)的圖象上，求此倍根方程的表達(dá)式．9．（2023秋?衡陽縣月考）設(shè)是不小于的實數(shù)，關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根、，（1）若，求值；（2）求的最大值．三．一元二次方程的應(yīng)用（共6小題）10．（2023秋?順德區(qū)校級月考）等腰的直角邊，點、分別從、兩點同時出發(fā)，均以秒的相同速度做直線運動，已知沿射線運動，沿邊的延長線運動，與直線相交于點．設(shè)點運動時間為，的面積為．（1）求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)點運動幾秒時，？（3）作于點，當(dāng)點、運動時，線段的長度是否改變？證明你的結(jié)論．11．（2023秋?鼓樓區(qū)校級月考）如圖，、、、為矩形的四個頂點，，，動點、分別從點、同時出發(fā)，點以的速度向點移動，一直到達(dá)為止，點以的速度向移動．（1）、兩點從出發(fā)開始到幾秒時，四邊形的面積為；（2）、兩點從出發(fā)開始到幾秒時，點和點的距離是．12．（2022秋?迎澤區(qū)校級月考）端午節(jié)期間，某食品店平均每天可賣出300只粽子，賣出1只粽子的利潤是1元．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，零售單價每降0.1元，每天可多賣出100只粽子．為了使每天獲取的利潤更多，該店決定把零售單價下降元．（1）零售單價下降元后，該店平均每天可賣出只粽子，利潤為元．（2）在不考慮其他因素的條件下，當(dāng)定為多少時，才能使該店每天獲取的利潤是420元并且賣出的粽子更多？13．（2024春?東營區(qū)校級月考）如圖，中，，，，一動點從點出發(fā)沿著方向以的速度運動，另一動點從出發(fā)沿著邊以的速度運動，，兩點同時出發(fā)，運動時間為．（1）若的面積是面積的，求的值？（2）的面積能否為面積的一半？若能，求出的值；若不能，說明理由．14．（2024春?西湖區(qū)校級月考）如圖，在中，，，，點從點出發(fā)，以的速度向點移動，點從點出發(fā)，以的速度向點移動，當(dāng)一個點到達(dá)終點時，另一個點也隨即停止運動．如果、兩點同時出發(fā)．①經(jīng)過幾秒后的面積等于；②的面積能否等于，并說明理由．15．（2023秋?青羊區(qū)校級月考）如圖，四邊形是證明勾股定理時用到的一個圖形，，，是和邊長，易知，這時我們把關(guān)于的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．請解決下列問題：（1）寫出一個“勾系一元二次方程”；（2）求證：關(guān)于的“勾系一元二次方程”必有實數(shù)根；（3）若是“勾系一元二次方程”的一個根，且四邊形的周長是，求面積．四．二次函數(shù)的性質(zhì)（共3小題）16．（2023春?武穴市月考）對于二次函數(shù)，規(guī)定函數(shù)是它的相關(guān)函數(shù)．已知點，的坐標(biāo)分別為，，，，連接，若線段與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象有兩個公共點，則的取值范圍為A．或 B．或 C．或 D．或17．（2023秋?義烏市月考）如圖，四邊形是邊長為的正方形，與軸正半軸的夾角為，點在拋物線的圖象上，則的值為．18．（2023秋?虎丘區(qū)校級月考）直線與軸交于點，直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到直線，若直線與拋物線有唯一的公共點，則．五．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（共2小題）19．（2023秋?江南區(qū)月考）新定義：若一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍，則稱這個點為二倍點．若二次函數(shù)為常數(shù)）在的圖象上存在兩個二倍點，則的取值范圍是A． B． C． D．20．（2023秋?江夏區(qū)校級月考）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：①；②；③；④；⑤的實數(shù)），其中正確結(jié)論的序號有．六．拋物線與x軸的交點（共2小題）21．（2022秋?如皋市校級月考）定義：一個函數(shù)圖象上若存在橫、縱坐標(biāo)相等的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“1倍點”，若存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“2倍點”．例如，點是函數(shù)圖象的“1倍點”，點，是函數(shù)圖象的“2倍點”．（1）函數(shù)的圖象上是否存在“2倍點”？如果存在，求出“2倍點”；（2）若拋物線上有且只有一個“1倍點”，該拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側(cè)）．當(dāng)時，求：①的取值范圍；②直接寫出的度數(shù)．22．（2024春?濱城區(qū)校級月考）如圖，已知拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，連接交拋物線的對稱軸于點，是拋物線的頂點．（1）求此拋物線的解析式；（2）直接寫出點和點的坐標(biāo)；（3）若點在第一象限內(nèi)的拋物線上，且，求點坐標(biāo)．七．二次函數(shù)綜合題（共28小題）23．（2024春?東昌府區(qū)月考）如圖，為已知拋物線經(jīng)過，兩點，與軸的另一個交點為，頂點為，連結(jié)．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）點為該拋物線上一動點（與點、不重合），設(shè)點的橫坐標(biāo)為．①當(dāng)時，求的值；②該拋物線上是否存在點，使得？若存在，求出所有點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．24．（2024秋?漢川市校級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過點，，且對稱軸是直線．（1）求直線的解析式；（2）求拋物線的解析式；（3）點是直線下方拋物線上的一動點，過點作軸，垂足為，交直線1于點，過點作，垂足為．求的最大值及此時點的坐標(biāo)．25．（2023秋?海珠區(qū)月考）拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)），且，，與軸交于點，點的坐標(biāo)為，連接，以為邊，點為對稱中心作菱形．點是軸上的一個動點，設(shè)點的坐標(biāo)為，過點作軸的垂線交拋物線于點，交于點．（1）求拋物線的解析式；（2）軸上是否存在一點，使三角形為等腰三角形，若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）當(dāng)點在線段上運動時，試探究為何值時，四邊形是平行四邊形？請說明理由．26．（2024春?鄧州市校級月考）如圖①，是一座拋物線型拱橋，小星學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，受到該圖啟示設(shè)計了一建筑物造型，它的截面圖是拋物線的一部分（如圖②所示），拋物線的頂點在處，對稱軸與水平線垂直，，點在拋物線上，且點到對稱軸的距離，點在拋物線上，點到對稱軸的距離是1．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖②，為更加穩(wěn)固，小星想在上找一點，加裝拉桿，，同時使拉桿的長度之和最短，請你幫小星找到點的位置并求出坐標(biāo)；（3）為了造型更加美觀，小星重新設(shè)計拋物線，其表達(dá)式為，當(dāng)時，函數(shù)的值總大于等于9．求的取值范圍．27．（2023秋?海淀區(qū)校級月考）平面直角坐標(biāo)系中，點，是圖形上任意兩個點，其縱坐標(biāo)分別是，，則稱的最大值為圖形的“縱測寬”．（1）直接寫出下列圖形的“縱測寬”．①，其中，，；②如圖，以原點為圓心，半徑為2的圓在第一象限的部分與線段圍成的圖形，其中，；（2）如果拋物線與經(jīng)過點、的直線圍成的圖形“縱測寬”是3，求實數(shù)的值．28．（2023秋?重慶月考）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點（點在點的右側(cè)），與軸交于點，連結(jié)、．（1）求的周長；（2）點為二次函數(shù)的圖象上一點，且位于直線下方．過點作直線軸交直線于點．求線段長度的最大值及此時點的坐標(biāo)；（3）將二次函數(shù)的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移個單位長度得到新的二次函數(shù)的圖象．新二次函數(shù)的圖象的頂點為點．在軸上確定一點，使得是以線段為腰的等腰三角形．請直接寫出所有符合條件的點的坐標(biāo)，并寫出求點的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．29．（2023秋?明水縣校級月考）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，拋物線的對稱軸交軸于點．已知，．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點，使是以為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；（3）點是線段上的一個動點，過點作軸的垂線與拋物線相交于點，當(dāng)點運動到什么位置時，四邊形的面積最大？求四邊形的最大面積及此時點的坐標(biāo)．30．（2023秋?江干區(qū)校級月考）某地欲搭建一橋，橋的底部兩端間的距離，稱跨度，橋面最高點到的距離稱拱高，當(dāng)和確定時，有兩種設(shè)計方案可供選擇：①拋物線型；②圓弧型．已知這座橋的跨度米，拱高米．（1）如果設(shè)計成拋物線型，如圖1，以所在直線為軸，的垂直平分線為軸建立坐標(biāo)系，求橋拱的函數(shù)解析式；（2）如果設(shè)計成圓弧型，如圖2，求該圓弧所在圓的半徑；（3）有一艘寬為12米的貨船，船艙頂部為方形，并高出水面1.8米，在兩種方案下，此貨船能否順利通過該橋？并說明理由．31．（2022秋?天心區(qū)校級月考）如圖，已知拋物線與軸交于、兩點（點在點的左邊），與軸交于點，連接．（1）求、、三點的坐標(biāo)；（2）若點為線段上的一點（不與、重合），軸，且交拋物線于點，交軸于點，當(dāng)線段的長度最大時，求點的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，當(dāng)線段的長度最大時，在拋物線的對稱軸上有一點，使得為直角三角形，直接寫出點的坐標(biāo)．32．（2023秋?中山市月考）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點在圖形的內(nèi)部，或在圖形上，且點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等時，則稱點為圖形的“夢之點”．（1）如圖①，矩形的頂點坐標(biāo)分別是，，，，在點，，中，是矩形“夢之點”的是，；（2）如圖②，已知點，是拋物線上的“夢之點”，點是拋物線的頂點．連接，，，求的面積；（3）在（2）的條件下，點為拋物線上一點，點為平面內(nèi)一點，是否存在點、，使得以為對角線，以、、、為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．33．（2023秋?和平區(qū)校級月考）如圖，已知拋物線經(jīng)過，兩點，與軸的另一個交點為，頂點為，連接．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）點為該拋物線上一動點（與點，不重合），設(shè)點的橫坐標(biāo)為．①當(dāng)點在直線的下方運動時，求的面積的最大值及點的坐標(biāo)；②該拋物線上是否存在點，使得？若存在，求出所有點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．34．（2023春?清江浦區(qū)月考）如圖，直線與拋物線相交于點，和點，拋物線與軸的交點分別為、（點在點的左側(cè)），點在線段上運動（不與點、重合），過點作直線軸于點，交拋物線于點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，連接，是否存在點，使是直角三角形？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（3）如圖2，過點作于點，當(dāng)?shù)闹荛L最大時，過點作任意直線，把沿直線翻折，翻折后點的對應(yīng)點記為點．當(dāng)?shù)闹荛L最大時：①求出點的坐標(biāo)；②直接寫出翻折過程中線段長度的取值范圍是．35．（2023秋?來鳳縣校級月考）如圖，已知二次函數(shù)的頂點是，且圖象過點，與軸交于點．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求直線的解析式；（3）在直線上方的拋物線上是否存在一點，使得，如果存在，請求出點的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由．36．（2024春?陽新縣校級月考）拋物線，交軸于，兩點在的左邊），是拋物線的頂點．（1）當(dāng)時，直接寫出，，三點的坐標(biāo)；（2）如圖1，點是對稱軸右側(cè)拋物線上一點，，求線段長度；（3）如圖2，將拋物線平移使其頂點為，點為直線上的一點，過點的直線，與拋物線只有一個公共點，問直線是否過定點，請說明理由．37．（2023秋?蕭山區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，拋物線與軸正半軸交于點，與軸交于點．點為該拋物線上的任意一點，過點分別向軸、軸作垂線，構(gòu)造矩形，垂足分別為、．設(shè)點的橫坐標(biāo)為．（1）分別求點、點的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點在軸上方時，此時矩形的周長是否存在最值？若存在，請求出最值；若不存在，請說明理由；（3）當(dāng)拋物線在矩形內(nèi)的部分所對應(yīng)的函數(shù)值隨的增大而增大時，直接寫出的取值范圍．38．（2023秋?江岸區(qū)校級月考）已知二次函數(shù)圖象的頂點在原點，且點在此二次函數(shù)的圖象上．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖1，直線與二次函數(shù)的圖象交于、兩點（點在直線下方），若，求的值；（3）如圖2，直線與二次函數(shù)的圖象交于、兩點，過點的直線交二次函數(shù)的圖象于點，求證：直線過定點．39．（2023秋?岳麓區(qū)校級月考）如圖1，四邊形中，，，我們就把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形．（1）根據(jù)箏形的定義，下列圖形中是箏形的有（填寫序號）；①平行四邊形；②菱形；③矩形；④正方形．（2）如圖2，若四邊形的內(nèi)角滿足，連接，交于點，且平分．①求證：四邊形是箏形；②若四邊形的面積為，求四邊形的周長；（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為．在軸上任取一點，以為對角線作箏形，滿足，且軸．在軸上取幾個不同位置的點，得到相應(yīng)的點，發(fā)現(xiàn)這些點在一條曲線上．若點，，是上述曲線上的三個不同的點，它們的橫坐標(biāo)分別為，，，其中，求的最大值．40．（2023秋?江夏區(qū)校級月考）如圖，拋物線過點、，直線交軸于點，（1）直線的解析式為，點的坐標(biāo)是；（2）直線上有點，點是否存在某個位置使？若存在，請求出的坐標(biāo)；若不存在，請明說理由；（3）平面內(nèi)有拋物線，且拋物線向上平移4個單位可與拋物線重合，在拋物線上有一動點，的面積為，若點符合條件的位置有且只有3個，求的值．41．（2023秋?浠水縣校級月考）已知拋物線經(jīng)過點，與軸交于，兩點，與軸交于點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，為直線上方拋物線上的動點，過點作于點，若，求點坐標(biāo)；（3）如圖2，將拋物線沿軸平移得，使的頂點落在軸上，若過定點的直線交拋物線于、兩點，過點的直線與拋物線交于點，求證：直線必過定點．42．（2023秋?中牟縣月考）神舟十七號載人飛船在北京時間2023年10月26日11時14分成功發(fā)射，本次飛行任務(wù)的航天員乘組由湯洪波、唐勝杰和江新林三名航天員組成，河南籍航天員江新林再次閃耀中國航天事業(yè)，是河南人民的驕傲和自豪．下表是科研人員在某次測試一枚火箭向上豎直升空時，獲得火箭的高度與時間的關(guān)系中的數(shù)據(jù)：時間151015202530高度15563510101135101063510（1）請你在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中先描出上述各點，再用光滑曲線連接各點；（2）根據(jù)坐標(biāo)系中各點的變化趨勢，關(guān)于的函數(shù)類型是什么？請確定與的函數(shù)表達(dá)式；（3）火箭的最高射程是多少？43．（2023秋?長沙月考）如圖，拋物線與軸交于點，點，點是拋物線的頂點，過點作軸的垂線，垂足為點．（1）求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）如圖1，點是拋物線上一點，且位于軸上方，橫坐標(biāo)為，連接，若，求的值；（3）如圖2，將拋物線平移后得到頂點為的拋物線．點為拋物線上的一個動點，過點作軸的平行線，交拋物線于點，過點作軸的平行線，交拋物線于點．當(dāng)以點，，為頂點的三角形與全等時，請直接寫出點的坐標(biāo)．44．（2023秋?啟東市校級月考）如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過、兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，點是直線上方拋物線上的一動點，當(dāng)四邊形面積最大時，請求出點的坐標(biāo)和四邊形面積的最大值；（3）在（2）的結(jié)論下，過點作軸的平行線交直線于點，連接，點是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點，使得以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．45．（2023秋?天河區(qū)校級月考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線．（1）當(dāng)時，求拋物線的對稱軸及頂點坐標(biāo)；（2）請直接寫出二次函數(shù)圖象的對稱軸（用含的代數(shù)式表示）及二次函數(shù)圖象經(jīng)過的定點坐標(biāo)是．（3）若當(dāng)時，函數(shù)值有最大值為8，求二次函數(shù)的解析式；（4）已知點、，若拋物線與線段只有一個公共點，請直接寫出的取值范圍．46．（2023秋?南崗區(qū)校級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點為坐標(biāo)原點，拋物線交軸于點、點，交軸于點，過點的直線與軸交于點．（1）如圖1，求拋物線的解析式；（2）如圖2，點在軸的正半軸上，連接，點在線段上，連接，且，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，點的橫坐標(biāo)為，求與的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出的取值范圍）；（3）如圖3，在（2）的條件下，過點作，過點作，交于點，連接、，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，點在的延長線上，連接，，當(dāng)時，求點的坐標(biāo)．47．（2023秋?金灣區(qū)校級月考）如圖，已知拋物線經(jīng)過，兩點，與軸的另一個交點為．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）若直線經(jīng)過，兩點，則；；（3）在拋物線對稱軸上找一點，使得的值最小，并求出最小值和此時點的坐標(biāo)；（4）設(shè)點為拋物線對稱軸上的一個動點，點為拋物線上的一個動點，是否存在以、、、為頂點的平行四邊形，若存在，直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．48．（2023秋?沙坪壩區(qū)校級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于，兩點，交軸于點．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）直線與直線交于點．點是線段上的動點，過點作軸的垂線，交直線于點，交拋物線于點，交直線于點．①若點在第二象限，且，求的值；②在平面內(nèi)是否存在點，使得以點、、、為頂點的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．49．（2023秋?渾江區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點．（1）求拋物線的解析式；（2）點為直線下方拋物線上的一動點，于點，軸交于點．求線段的最大值和此時點的坐標(biāo)；（3）點為軸上一動點，點為拋物線上一動點，是否存在以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．50．（2023秋?惠陽區(qū)校級月考）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，二次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸的負(fù)半軸交于點，且．（1）求點與點的坐標(biāo)；（2）求此二次函數(shù)的解析式；（3）在軸上是否存在點使是等腰三角形，若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．51．（2024春?廣安區(qū)校級月考）如圖所示，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，且點、的坐標(biāo)分別為、，點的坐標(biāo)為．點是拋物線第一象限上一個動點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，連接、、．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)四邊形的面積最大時，求的值；（3）在（2）的條件下，若點是軸上一動點，點是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點，使得以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．52．（2023秋?霞山區(qū)校級月考）如圖所示，已知拋物線經(jīng)過點、、，與直線交于，兩點（1）求拋物線的解析式并直接寫出點的坐標(biāo)；（2）點為直線下方拋物線上的一個動點，試求出面積的最大值及此時點的坐標(biāo)；（3）點是線段上異于、的動點，過點作軸于點，交拋物線于點，當(dāng)為直角三角形時，直接寫出點的坐標(biāo)．

九年級上學(xué)期第一次月考7大壓軸考法52題專練（第21~22章）一．根的判別式（共4小題）1．（2023秋?龍崗區(qū)校級月考）對于一元二次方程，下列說法：①若，則；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若是方程的一個根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則⑤存在實數(shù)、，使得；其中正確的A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③【分析】按照方程的解的含義、一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系、等式的性質(zhì)、一元二次方程的求根公式等對各選項分別討論，可得答案．【解答】解：①若，則是方程的解，由一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系可知△，故①正確；②方程有兩個不相等的實根，△，，則方程的判別式△，方程必有兩個不相等的實根，故②正確；③是方程的一個根，則，，若，等式仍然成立，但不一定成立，故③不正確；④若是一元二次方程的根，則由求根公式可得：或或故④正確．⑤令，則存在實數(shù)、，使得；正確．故選：．【點評】本題主要考查了一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系，牢固掌握二者的關(guān)系并靈活運用，是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?建平縣校級月考）已知關(guān)于的一元二次方程，其中，，分別為三邊的長．（1）如果是方程的根，試判斷的形狀，并說明理由；（2）如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷的形狀，并說明理由；（3）如果是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．【分析】（1）把代入方程得，整理得，從而可判斷三角形的形狀；（2）根據(jù)判別式的意義得△，即，然后根據(jù)勾股定理可判斷三角形的形狀；（3）利用等邊三角形的性質(zhì)得，方程化為，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）是等腰三角形；理由：把代入方程得，則，所以為等腰三角形；（2）為直角三角形；理由：根據(jù)題意得△，即，所以為直角三角形；（3）為等邊三角形，，方程化為，解得，．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與△有如下關(guān)系：當(dāng)△時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△時，方程無實數(shù)根．3．（2023秋?昆山市校級月考）已知關(guān)于的方程，（1）求證：無論取何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；（2）若等腰三角形的一邊，另兩邊長，恰好是這個方程的兩個根，求的周長．【分析】（1）計算方程的根的判別式，若△，則證明方程總有實數(shù)根；（2）已知，則可能是底，也可能是腰，分兩種情況求得，的值后，再求出的周長．注意兩種情況都要用三角形三邊關(guān)系定理進(jìn)行檢驗．【解答】（1）證明：△無論取何值，方程總有實數(shù)根．（2）解：①若為底邊，則，為腰長，則，則△．，解得：．此時原方程化為，即．此時三邊為6，2，2不能構(gòu)成三角形，故舍去；②若為腰，則，中一邊為腰，不妨設(shè)代入方程：則原方程化為，即，此時三邊為6，6，2能構(gòu)成三角形，綜上所述：三邊為6，6，2．周長為．【點評】重點考查了根的判別式及三角形三邊關(guān)系定理，注意求出三角形的三邊后，要用三邊關(guān)系定理檢驗．4．（2023秋?南部縣校級月考）已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩實數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）已知等腰的底邊，若，恰好是另外兩邊的邊長，求這個三角形的周長．（3）閱讀材料：若三邊的長分別為，，，那么可以根據(jù)秦九韶海倫公式可得：，其中，在（2）的條件下，若和的角平分線交于點，根據(jù)以上信息，求的面積．【分析】（1）根據(jù)△，構(gòu)建不等式求解即可；（2）由等腰三角形的性質(zhì)可得一元二次方程兩根相等，利用△，構(gòu)建方程求解值，即可得一元二次方程，解方程可求解，，進(jìn)而可求解的周長；（3）由海倫公式可求解的面積，過分別作，，，垂足分別為，，，利用角平分線的性質(zhì)可得，結(jié)合的面積可求解的長，再根據(jù)三角形的面積公式計算可求解．【解答】解：（1）由題意得：△，且，化簡得：，解得：且；（2）由題意知：，恰好是等腰的腰長，，，是關(guān)于的一元二次方程的兩實數(shù)根，△，解得，，解得，，的周長為：；（3）由（2）知：的三邊長為3，3，4，，，過分別作，，，垂足分別為，，，是角平分線的交點，，，解得，．【點評】本題主要考查一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵．二．根與系數(shù)的關(guān)系（共5小題）5．（2023秋?汨羅市月考）如果方程的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數(shù)的取值范圍是．【分析】根據(jù)原方程可得出：①，②；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可求出②方程的和的表達(dá)式，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理求出的取值范圍．【解答】解：由題意，得：，；設(shè)的兩根分別是、；則，；；根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，得：，即；，解得．【點評】此題主要考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及三角形三邊關(guān)系定理．6．（2023秋?花都區(qū)校級月考）如果關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另外一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于倍根方程的說法，正確的有②③④（填序號）①方程是倍根方程；②若是倍根方程：則；③若，滿足，則關(guān)于的方程是倍根方程；④若方程以是倍根方程，則必有．【分析】①求出方程的解，再判斷是否為倍根方程，②根據(jù)倍根方程和其中一個根，可求出另一個根，進(jìn)而得到、之間的關(guān)系，而、之間的關(guān)系正好適合，③當(dāng)，滿足，則，求出兩個根，再根據(jù)代入可得兩個根之間的關(guān)系，進(jìn)而判斷是否為倍根方程，④用求根公式求出兩個根，當(dāng)，或時，進(jìn)一步化簡，得出關(guān)系式，進(jìn)行判斷即可．【解答】解：①解方程得，，，得，，方程不是倍根方程；故①不正確；②若是倍根方程，，因此或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，故②正確；③，則：，，，，因此是倍根方程，故③正確；④方程的根為：，，若，則，，即，，，，，．若時，則，，即，則，，，，，，．故④正確，故答案為：②③④【點評】考查一元二次方程的求根公式，新定義的倍根方程的意義，理解倍根方程的意義和正確求出方程的解是解決問題的關(guān)鍵．7．（2023秋?通川區(qū)校級月考）如果方程有兩個實數(shù)根，，那么，，請根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問題：（1）已知、是方程的二根，則43（2）已知、、滿足，，求正數(shù)的最小值．（3）結(jié)合二元一次方程組的相關(guān)知識，解決問題：已知和是關(guān)于，的方程組的兩個不相等的實數(shù)解．問：是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)，是的解，求出和的值，即可求出的值．（2）根據(jù)，，得出，，、是方程的解，再根據(jù)，即可求出的最小值．（3）運用根與系數(shù)的關(guān)系求出，，再解，即可求出的值．【解答】解：（1）、是方程的二根，，，，故答案為：43；（2），，，，、是方程的解，，，是正數(shù)，，，，正數(shù)的最小值是4．（3）存在，當(dāng)時，．由變形得：，由變形得：，把代入，并整理得：，由題意思可知，，是方程的兩個不相等的實數(shù)根，故有：即：解得：．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．8．（2023秋?南海區(qū)校級月考）如果關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，研究發(fā)現(xiàn)了此類方程的一般性結(jié)論：設(shè)其中一根為，則另一個根為，因此，所以有；我們記“”即時，方程為倍根方程；下面我們根據(jù)此結(jié)論來解決問題：（1）方程①；方程②這兩個方程中，是倍根方程的是②（填序號即可）；（2）若是倍根方程，求的值；（3）關(guān)于的一元二次方程是倍根方程，且點在一次函數(shù)的圖象上，求此倍根方程的表達(dá)式．【分析】（1）根據(jù)“倍根方程”的定義，找出方程①、②中的值，由此即可得出結(jié)論；（2）將方程整理成一般式，再根據(jù)“倍根方程”的定義，找出，整理后即可得出的值；（3）根據(jù)方程是倍根方程即可得出、之間的關(guān)系，再由一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可得出、之間的關(guān)系，進(jìn)而即可求出、的值，此題得解．【解答】解：（1）在方程①中，；在方程②中，．是倍根方程的是②．故答案為：②．（2）整理得：，是倍根方程，，．（3）是倍根方程，，整理得：．在一次函數(shù)的圖象上，，，，此方程的表達(dá)式為．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟練掌握“倍根方程”的定義是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋?衡陽縣月考）設(shè)是不小于的實數(shù)，關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根、，（1）若，求值；（2）求的最大值．【分析】（1）首先根據(jù)根的判別式求出的取值范圍，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出符合條件的的值．（2）把利用根與系數(shù)的關(guān)系得到的關(guān)系式代入代數(shù)式，細(xì)心化簡，結(jié)合的取值范圍求出代數(shù)式的最大值．【解答】解：方程有兩個不相等的實數(shù)根，△，，結(jié)合題意知：．（1），，；（2）．對稱軸，，當(dāng)時，式子取最大值為10．【點評】本題的計算量比較大，需要很細(xì)心的求解．用到一元二次方程的根的判別式△來求出的取值范圍；利用根與系數(shù)的關(guān)系，來化簡代數(shù)式的值．三．一元二次方程的應(yīng)用（共6小題）10．（2023秋?順德區(qū)校級月考）等腰的直角邊，點、分別從、兩點同時出發(fā)，均以秒的相同速度做直線運動，已知沿射線運動，沿邊的延長線運動，與直線相交于點．設(shè)點運動時間為，的面積為．（1）求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)點運動幾秒時，？（3）作于點，當(dāng)點、運動時，線段的長度是否改變？證明你的結(jié)論．【分析】由題可以看出沿向右運動，沿向上運動，且速度都為，，所以求出、與的關(guān)系式就可得出與的關(guān)系，另外應(yīng)注意點的運動軌跡，它不僅在點左側(cè)運動，達(dá)到一定時間后會運動到右側(cè)，所以一些問題可能會有兩種可能出現(xiàn)的情況，這時我們應(yīng)分條回答．【解答】解：（1）當(dāng)秒時，在線段上，此時，，，當(dāng)秒時，在線段得延長線上，此時，，．（2），當(dāng)秒時，，整理得，此方程無解，當(dāng)秒時，，整理得，解得（舍去負(fù)值），當(dāng)點運動秒時，．（3）當(dāng)點、運動時，線段的長度不會改變．證明：過作，交直線于點，易證，，四邊形是平行四邊形，且是對角線的一半．又當(dāng)點、運動時，線段的長度不會改變．同理，當(dāng)點在點右側(cè)時，綜上所述，當(dāng)點、運動時，線段的長度不會改變．【點評】做此類題應(yīng)首先找出未知量與已知量的對應(yīng)關(guān)系，利用已知量來表示未知量，許多問題就會迎刃而解．11．（2023秋?鼓樓區(qū)校級月考）如圖，、、、為矩形的四個頂點，，，動點、分別從點、同時出發(fā)，點以的速度向點移動，一直到達(dá)為止，點以的速度向移動．（1）、兩點從出發(fā)開始到幾秒時，四邊形的面積為；（2）、兩點從出發(fā)開始到幾秒時，點和點的距離是．【分析】（1）設(shè)、兩點從出發(fā)開始到秒時四邊形的面積為，則，，根據(jù)梯形的面積公式可列方程：，解方程可得解；（2）作，垂足為，設(shè)運動時間為秒，用表示線段長，用勾股定理列方程求解．【解答】解：（1）設(shè)、兩點從出發(fā)開始到秒時四邊形的面積為，則，，根據(jù)梯形的面積公式得，解之得，（2）設(shè)，兩點從出發(fā)經(jīng)過秒時，點，間的距離是，作，垂足為，則，，，，，由勾股定理，得，解得，．答：（1）、兩點從出發(fā)開始到5秒時四邊形的面積為；（2）從出發(fā)到1.6秒或4.8秒時，點和點的距離是．【點評】（1）主要用到了梯形的面積公式：（上底下底）高；（2）作輔助線是關(guān)鍵，構(gòu)成直角三角形后，用了勾股定理．12．（2022秋?迎澤區(qū)校級月考）端午節(jié)期間，某食品店平均每天可賣出300只粽子，賣出1只粽子的利潤是1元．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，零售單價每降0.1元，每天可多賣出100只粽子．為了使每天獲取的利潤更多，該店決定把零售單價下降元．（1）零售單價下降元后，該店平均每天可賣出只粽子，利潤為元．（2）在不考慮其他因素的條件下，當(dāng)定為多少時，才能使該店每天獲取的利潤是420元并且賣出的粽子更多？【分析】（1）每天的銷售量等于原有銷售量加上增加的銷售量即可；利潤等于銷售量乘以單價即可得到；（2）利用總利潤等于銷售量乘以每件的利潤即可得到方程求解．【解答】解：（1）零售單價下降元后，該店平均每天可賣出只粽子，利潤為元．（2）令．化簡得，．即，．解得或．可得，當(dāng)時賣出的粽子更多．答：當(dāng)為0.4時，才能使商店每天銷售該粽子獲取的利潤是420元并且賣出的粽子更多．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是了解總利潤的計算方法，并用相關(guān)的量表示出來．13．（2024春?東營區(qū)校級月考）如圖，中，，，，一動點從點出發(fā)沿著方向以的速度運動，另一動點從出發(fā)沿著邊以的速度運動，，兩點同時出發(fā)，運動時間為．（1）若的面積是面積的，求的值？（2）的面積能否為面積的一半？若能，求出的值；若不能，說明理由．【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式可以得出面積為，的面積為，由題意列出方程解答即可；（2）由等量關(guān)系列方程求出的值，但方程無解．【解答】解：（1），，，整理得，解得．答：當(dāng)時的面積為面積的；（2）當(dāng)時，，整理得，△，此方程沒有實數(shù)根，的面積不可能是面積的一半．【點評】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，三角形的面積，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．14．（2024春?西湖區(qū)校級月考）如圖，在中，，，，點從點出發(fā)，以的速度向點移動，點從點出發(fā)，以的速度向點移動，當(dāng)一個點到達(dá)終點時，另一個點也隨即停止運動．如果、兩點同時出發(fā)．①經(jīng)過幾秒后的面積等于；②的面積能否等于，并說明理由．【分析】作出輔助線，過點作于，即可得出的面積為，有、點的移動速度，設(shè)時間為秒時，可以得出、關(guān)于的表達(dá)式，代入面積公式，即可得出答案．【解答】解：如圖，①過點作于，則．，．．設(shè)經(jīng)過秒后的面積等于，則，，．根據(jù)題意，．．，．當(dāng)時，，，不合題意舍去，?。穑航?jīng)過2秒后的面積等于；②當(dāng)面積等于5時，．．△，方程沒有實數(shù)根，所以的面積不能等于，【點評】本題考查了一元二次方程的運用，注意求得的值的取舍問題．15．（2023秋?青羊區(qū)校級月考）如圖，四邊形是證明勾股定理時用到的一個圖形，，，是和邊長，易知，這時我們把關(guān)于的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．請解決下列問題：（1）寫出一個“勾系一元二次方程”；（2）求證：關(guān)于的“勾系一元二次方程”必有實數(shù)根；（3）若是“勾系一元二次方程”的一個根，且四邊形的周長是，求面積．【分析】（1）直接找一組勾股數(shù)代入方程即可；（2）通過判斷根的判別式△的正負(fù)來證明結(jié)論；（3）利用根的意義和勾股定理作為相等關(guān)系先求得的值，根據(jù)完全平方公式求得的值，從而可求得面積．【解答】（1）解：當(dāng)，，時勾系一元二次方程為；（2）證明：根據(jù)題意，得△即△勾系一元二次方程必有實數(shù)根；（3）解：當(dāng)時，有，即，即，．【點評】此類題目要讀懂題意，根據(jù)題目中所給的材料結(jié)合勾股定理和根的判別式解題．四．二次函數(shù)的性質(zhì)（共3小題）16．（2023春?武穴市月考）對于二次函數(shù)，規(guī)定函數(shù)是它的相關(guān)函數(shù)．已知點，的坐標(biāo)分別為，，，，連接，若線段與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象有兩個公共點，則的取值范圍為A．或 B．或 C．或 D．或【分析】首先確定出二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)與線段恰好有1個交點、2個交點、3個交點時的值，然后結(jié)合函數(shù)圖象可確定出的取值范圍．【解答】解：如圖1所示：線段與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有1個公共點．所以當(dāng)時，，即，解得．如圖2所示：線段與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有3個公共點．拋物線與軸交點縱坐標(biāo)為1，，解得：．當(dāng)時，線段與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有2個公共點．如圖3所示：線段與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有3個公共點．拋物線經(jīng)過點，．如圖4所示：線段與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有2個公共點．拋物線經(jīng)過點，，，解得：．時，線段與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有2個公共點．綜上所述，的取值范圍是或，故選：．【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系，求得二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)與線段恰好有1個交點、2個交點、3個交點時的值是解題的關(guān)鍵．17．（2023秋?義烏市月考）如圖，四邊形是邊長為的正方形，與軸正半軸的夾角為，點在拋物線的圖象上，則的值為．【分析】連接，根據(jù)正方形的對角線平分一組對角線可得，過點作軸于，然后求出，根據(jù)直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半可得，再利用勾股定理列式求出，從而得到點的坐標(biāo)，再把點的坐標(biāo)代入拋物線解析式求解即可．【解答】解：如圖，連接，四邊形是邊長為的正方形，，，過點作軸于，與軸正半軸的夾角為，，，，點的坐標(biāo)為，，點在拋物線的圖象上，，解得．故答案為：．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了正方形的性質(zhì)，直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟記正方形性質(zhì)并求出與軸的夾角為，然后求出點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．18．（2023秋?虎丘區(qū)校級月考）直線與軸交于點，直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到直線，若直線與拋物線有唯一的公共點，則1或．．【分析】根據(jù)直線解析式可得，都經(jīng)過點，分別討論直線與軸重合或與拋物線相切兩種情況，通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形可求出直線上的點坐標(biāo)，進(jìn)而求解．【解答】解：由，可得直線與拋物線交于點，①直線與軸重合滿足題意，則直線與軸交點為，如圖，，，為等腰直角三角形，，點坐標(biāo)為，將代入得，解得．②設(shè)直線解析式為，令，△，當(dāng)時滿足題意．，把代入得，直線與軸交點坐標(biāo)為，，即，作交直線于點，過點作軸于點，，，，，，又，，，，，點坐標(biāo)為，．將，代入得，解得．故答案為：1或．【點評】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，解題關(guān)鍵是掌握函數(shù)與方程的關(guān)系，通過添加輔助線分類討論求解．五．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（共2小題）19．（2023秋?江南區(qū)月考）新定義：若一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍，則稱這個點為二倍點．若二次函數(shù)為常數(shù)）在的圖象上存在兩個二倍點，則的取值范圍是A． B． C． D．【分析】由點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍可得二倍點在直線上，由可得二倍點所在線段的端點坐標(biāo)，結(jié)合圖象，通過求拋物線與線段交點求解．【解答】解：由題意可得二倍點所在直線為，將代入得，將代入得，設(shè)，，如圖，聯(lián)立方程，當(dāng)△時，拋物線與直線有兩個交點，即，解得，此時，直線和直線與拋物線交點在點，上方時，拋物線與線段有兩個交點，把代入得，把代入得，，解得，滿足題意．故選：．【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵掌握函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形問題求解．20．（2023秋?江夏區(qū)校級月考）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：①；②；③；④；⑤的實數(shù)），其中正確結(jié)論的序號有①③④．【分析】由拋物線的開口方向判斷的符號，由拋物線與軸的交點判斷的符號，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與軸交點情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷．【解答】解：①由圖象可知：，，，，，故此選項正確；②當(dāng)時，，故，錯誤；③由對稱知，當(dāng)時，函數(shù)值大于0，即，故此選項正確；④當(dāng)時函數(shù)值小于0，，且，即，代入得，得，故此選項正確；⑤當(dāng)時，的值最大．此時，，而當(dāng)時，，所以，故，即，故此選項錯誤．故①③④正確．故答案為：①③④．【點評】此題主要考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，二次函數(shù)系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸和拋物線與軸的交點、拋物線與軸交點的個數(shù)確定．六．拋物線與x軸的交點（共2小題）21．（2022秋?如皋市校級月考）定義：一個函數(shù)圖象上若存在橫、縱坐標(biāo)相等的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“1倍點”，若存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“2倍點”．例如，點是函數(shù)圖象的“1倍點”，點，是函數(shù)圖象的“2倍點”．（1）函數(shù)的圖象上是否存在“2倍點”？如果存在，求出“2倍點”；（2）若拋物線上有且只有一個“1倍點”，該拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側(cè)）．當(dāng)時，求：①的取值范圍；②直接寫出的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)“2倍點”的概念直接作答即可；（2）①根據(jù)有且只有一個“1倍點”求出與的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)的取值范圍求出的取值范圍；②先求點的坐標(biāo)，然后求點和點的坐標(biāo)，然后比較線段長度，最后求出的度數(shù)．【解答】解：（1）存在，設(shè)“2倍點”的坐標(biāo)為，則，解得：或4，“2倍點”的坐標(biāo)為或；（2）①由題意可知，與有且只有交點，則，整理得：，則該方程有兩個相同的實數(shù)根，即△，，，，；②如圖，過點作于點，由根與系數(shù)的關(guān)系可知，，，又兩個根相等，，點的坐標(biāo)為，，，由①可知，，則，可以寫成，令，則，由求根公式可得，，解得：，，點的坐標(biāo)為，，，，，，．【點評】本題考查拋物線與軸的交點與函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，能夠根據(jù)坐標(biāo)確定線段的長度是解答本題的關(guān)鍵．22．（2024春?濱城區(qū)校級月考）如圖，已知拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，連接交拋物線的對稱軸于點，是拋物線的頂點．（1）求此拋物線的解析式；（2）直接寫出點和點的坐標(biāo)；（3）若點在第一象限內(nèi)的拋物線上，且，求點坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)點、的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）代入求出值，由此可得出點的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出頂點的坐標(biāo)；（3）設(shè)點的坐標(biāo)為，，，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出值，再代入值求出值，取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）將、代入，，解得：，拋物線的解析式為．（2）當(dāng)時，，點的坐標(biāo)為；拋物線的解析式為，頂點的坐標(biāo)為．（3）設(shè)點的坐標(biāo)為，，，，，，，，，解得：（不合題意，舍去），，點的坐標(biāo)為．【點評】本題考查了拋物線與軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）利用二次函數(shù)性質(zhì)求出頂點的坐標(biāo)；（3）根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合求出點的縱坐標(biāo)．七．二次函數(shù)綜合題（共28小題）23．（2024春?東昌府區(qū)月考）如圖，為已知拋物線經(jīng)過，兩點，與軸的另一個交點為，頂點為，連結(jié)．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）點為該拋物線上一動點（與點、不重合），設(shè)點的橫坐標(biāo)為．①當(dāng)時，求的值；②該拋物線上是否存在點，使得？若存在，求出所有點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將點、坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；（2）①，即可求解；②分點在直線下方、上方兩種情況，分別求解即可．【解答】解：（1）將點、坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，故拋物線的表達(dá)式為：①，令，則或，即點；（2）①如圖1，過點作軸的平行線交于點，將點、的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：直線的表達(dá)式為：②，設(shè)點，則點，，或，解得或或或；②設(shè)直線與交于點，當(dāng)點在直線下方時，，點在的中垂線上，線段的中點坐標(biāo)為，，過該點與垂直的直線的值為，設(shè)中垂線的表達(dá)式為：，將點，代入上式并解得：直線中垂線的表達(dá)式為：③，同理直線的表達(dá)式為：④，聯(lián)立③④并解得：，即點，同理可得直線的表達(dá)式為：⑤，聯(lián)立①⑤并解得：或（舍去，故點，；當(dāng)點在直線上方時，，，則直線的表達(dá)式為：，將點坐標(biāo)代入上式并解得：，即直線的表達(dá)式為：⑥，聯(lián)立①⑥并解得：或（舍去，故點；故點的坐標(biāo)為，或．【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、等腰三角形性質(zhì)、圖形的面積計算等，其中（2），要注意分類求解，避免遺漏．24．（2024秋?漢川市校級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過點，，且對稱軸是直線．（1）求直線的解析式；（2）求拋物線的解析式；（3）點是直線下方拋物線上的一動點，過點作軸，垂足為，交直線1于點，過點作，垂足為．求的最大值及此時點的坐標(biāo)．【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）根據(jù)拋物線的對稱軸是直線，可設(shè)，利用待定系數(shù)法即可求得答案；（3）由，，可得，利用解直角三角形可得，設(shè)點，則，可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案．【解答】解：（1）設(shè)直線的解析式為，直線與軸交于點，與軸交于點，，解得：，直線的解析式為；（2）設(shè)拋物線的解析式為，拋物線的對稱軸是直線，，拋物線經(jīng)過點，，，解得：，拋物線的解析式為；（3），，，在中，，，軸，，，在中，，，，，在中，，，，，，設(shè)點，，，，當(dāng)時，有最大值是，此時最大，，當(dāng)時，，，的最大值是，此時點．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解直角三角形等，本題難度適中，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．25．（2023秋?海珠區(qū)月考）拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)），且，，與軸交于點，點的坐標(biāo)為，連接，以為邊，點為對稱中心作菱形．點是軸上的一個動點，設(shè)點的坐標(biāo)為，過點作軸的垂線交拋物線于點，交于點．（1）求拋物線的解析式；（2）軸上是否存在一點，使三角形為等腰三角形，若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）當(dāng)點在線段上運動時，試探究為何值時，四邊形是平行四邊形？請說明理由．【分析】（1）拋物線與軸交于，兩點，故拋物線的表達(dá)式為：，即，解得：，即可求解；（2）分、、三種情況，分別求解即可；（3）直線的解析式為；如圖，當(dāng)時，四邊形是平行四邊形，則，即可求解．【解答】解：（1）由題意可設(shè)拋物線的解析式為：，拋物線與軸交于，兩點，故拋物線的表達(dá)式為：，即，解得：，拋物線的解析式為：；（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，則，，，①當(dāng)時，，解得：；②當(dāng)時，同理可得：；③當(dāng)時，同理可得：（舍去，故點的坐標(biāo)為：，或，或，或；（3）由菱形的對稱性可知，點的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，又解得，直線的解析式為；則點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，如圖，當(dāng)時，四邊形是平行四邊形，解得（不合題意舍去），，當(dāng)時，四邊形是平行四邊形．【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、勾股定理的運用、平行四邊形性質(zhì)、圖形的面積計算等，其中（2），要注意分類求解，避免遺漏．26．（2024春?鄧州市校級月考）如圖①，是一座拋物線型拱橋，小星學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，受到該圖啟示設(shè)計了一建筑物造型，它的截面圖是拋物線的一部分（如圖②所示），拋物線的頂點在處，對稱軸與水平線垂直，，點在拋物線上，且點到對稱軸的距離，點在拋物線上，點到對稱軸的距離是1．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖②，為更加穩(wěn)固，小星想在上找一點，加裝拉桿，，同時使拉桿的長度之和最短，請你幫小星找到點的位置并求出坐標(biāo)；（3）為了造型更加美觀，小星重新設(shè)計拋物線，其表達(dá)式為，當(dāng)時，函數(shù)的值總大于等于9．求的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線的解析式為，待定系數(shù)法求解即可；（2）作點關(guān)于軸的對稱點，連接交于點，則點即為所求；（3）分三種情況進(jìn)行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，建立不等式求得的取值范圍即可．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為，把點代入，得：，解得：，拋物線的解析式為：；（2）作點關(guān)于軸的對稱點，連接交于點，則點即為所求；把代入，得：，設(shè)直線的解析式為，，解得：，，令，得，點的坐標(biāo)為；（3），拋物線的對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為，當(dāng)時，得：，解得：，，當(dāng)時，由，得：，，解得：，；由，得：，，；當(dāng)時，都成立；當(dāng)時，得：，解得：，都成立；綜上所述，的取值范圍為．【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．27．（2023秋?海淀區(qū)校級月考）平面直角坐標(biāo)系中，點，是圖形上任意兩個點，其縱坐標(biāo)分別是，，則稱的最大值為圖形的“縱測寬”．（1）直接寫出下列圖形的“縱測寬”．①，其中，，；②如圖，以原點為圓心，半徑為2的圓在第一象限的部分與線段圍成的圖形，其中，；（2）如果拋物線與經(jīng)過點、的直線圍成的圖形“縱測寬”是3，求實數(shù)的值．【分析】（1）①根據(jù)“縱測寬”的定義求解即可；②根據(jù)“縱測寬”的定義求解即可；（2）根據(jù)“縱測寬”的定義求解，注意分類討論．【解答】解：（1）①在中，，，，其中縱坐標(biāo)最大為點的縱坐標(biāo)4，縱坐標(biāo)最小為點的縱坐標(biāo)為，，的“縱測寬”為5；②以原點為圓心，半徑為2的圓在第一象限的部分與線段圍成的圖形，其中，，如圖，縱坐標(biāo)最大為點的縱坐標(biāo)2，縱坐標(biāo)最小為點的縱坐標(biāo)0，，這個圖形的“縱測寬”為2；（2）設(shè)直線的解析式為，把、代入，得：，解得：，直線解析式為，聯(lián)立方程組得：，整理得：，根據(jù)拋物線與直線能圍成的圖形，可知△，解得：或，又，，，設(shè)直線與拋物線交點坐標(biāo)為，，，，其中，拋物線，拋物線對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為，當(dāng)時，拋物線與直線能圍成的圖形中，縱坐標(biāo)最大為點的縱坐標(biāo)，縱坐標(biāo)最小為頂點的縱坐標(biāo)，拋物線與直線能圍成的圖形“縱測寬”是3，，，把代入，得解得，把，代入得整理得，當(dāng)時，拋物線與直線能圍成的圖形中，縱坐標(biāo)最大時在點，為，縱坐標(biāo)最小時在點，為，拋物線與直線能圍成的圖形“縱測寬”是3，，，，，解得，綜上所述，實數(shù)的值為或．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，根的判別式，“縱測寬”的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用圖象法解決問題，屬于中考創(chuàng)新題目．28．（2023秋?重慶月考）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點（點在點的右側(cè)），與軸交于點，連結(jié)、．（1）求的周長；（2）點為二次函數(shù)的圖象上一點，且位于直線下方．過點作直線軸交直線于點．求線段長度的最大值及此時點的坐標(biāo)；（3）將二次函數(shù)的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移個單位長度得到新的二次函數(shù)的圖象．新二次函數(shù)的圖象的頂點為點．在軸上確定一點，使得是以線段為腰的等腰三角形．請直接寫出所有符合條件的點的坐標(biāo)，并寫出求點的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．【分析】（1）先求得：，，，再運用兩點間距離公式或勾股定理即可求得答案；（2）運用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，設(shè)，則，所以，運用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案；（3）先求得拋物線的頂點坐標(biāo)為，根據(jù)平移可得平移得到新的二次函數(shù)的頂點是，設(shè)，根據(jù)是以線段為腰的等腰三角形，分兩種情況：當(dāng)時，點與點關(guān)于軸對稱，可得；當(dāng)時，利用勾股定理可得，建立方程求解即可．【解答】解：（1）令，得，解得：，，，，令，得，，，在中，，在中，，的周長；（2）設(shè)直線的解析式為，把，代入，得，解得：，直線的解析式為，設(shè)，則，如圖，，，當(dāng)時，有最大值，的最大值，點的縱坐標(biāo)為，線段長度的最大值是，此時點的坐標(biāo)是，；（3），拋物線的頂點坐標(biāo)為，向左平移1個單位長度，再向下平移個單位長度，平移得到新的二次函數(shù)的頂點是，設(shè)，是以線段為腰的等腰三角形，如圖，當(dāng)時，點與點關(guān)于軸對稱，；當(dāng)時，，，解得：或，或；綜上所述，點的坐標(biāo)為或或．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，拋物線的平移，勾股定理，等腰三角形性質(zhì)等，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平移的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．29．（2023秋?明水縣校級月考）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，拋物線的對稱軸交軸于點．已知，．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點，使是以為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；（3）點是線段上的一個動點，過點作軸的垂線與拋物線相交于點，當(dāng)點運動到什么位置時，四邊形的面積最大？求四邊形的最大面積及此時點的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)等腰三角形的定義，可得，，根據(jù)兩點間的距離，勾股定理，可得答案；（3）根據(jù)圖形割補法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：（1）將、點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得，解得拋物線的解析式，（2）如圖：由勾股定理，，，，，時，設(shè)，，解得，綜上所述：，，；（3）當(dāng)時，，，即，．的解析式為，設(shè)點橫坐標(biāo)為，，即，，，，，當(dāng)時，，，．【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用等腰三角形的定義，分類討論是解題關(guān)鍵；圖形割補法是解題關(guān)鍵，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)．30．（2023秋?江干區(qū)校級月考）某地欲搭建一橋，橋的底部兩端間的距離，稱跨度，橋面最高點到的距離稱拱高，當(dāng)和確定時，有兩種設(shè)計方案可供選擇：①拋物線型；②圓弧型．已知這座橋的跨度米，拱高米．（1）如果設(shè)計成拋物線型，如圖1，以所在直線為軸，的垂直平分線為軸建立坐標(biāo)系，求橋拱的函數(shù)解析式；（2）如果設(shè)計成圓弧型，如圖2，求該圓弧所在圓的半徑；（3）有一艘寬為12米的貨船，船艙頂部為方形，并高出水面1.8米，在兩種方案下，此貨船能否順利通過該橋？并說明理由．【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的解析式為，將點代入，求出的值，即可確定函數(shù)的解析式；（2）設(shè)圓心為，連接交于點，連接，在中，，解得，即可求該圓弧所在圓的半徑10米；（3）①在拋物線型上時，當(dāng)時，，由米米，可知貨船不能順利通過該橋；②在圓弧型時，設(shè)米，過點作交弧于點，過點作交于點，連接，在中，，求出米，可得米，再由2米米，即可判斷貨船能順利通過該橋．【解答】解：（1），，，，，設(shè)拋物線的解析式為，，解得，拋物線的解析式為；（2）設(shè)圓心為，連接交于點，連接，，，，，在中，，，解得，該圓弧所在圓的半徑10米；（3）①在拋物線型上時，當(dāng)時，，米米，貨船不能順利通過該橋；②在圓弧型時，設(shè)米，過點作交弧于點，過點作交于點，連接，米，在中，，，米，米，米，米米，貨船能順利通過該橋．【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，圓的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．31．（2022秋?天心區(qū)校級月考）如圖，已知拋物線與軸交于、兩點（點在點的左邊），與軸交于點，連接．（1）求、、三點的坐標(biāo)；（2）若點為線段上的一點（不與、重合），軸，且交拋物線于點，交軸于點，當(dāng)線段的長度最大時，求點的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，當(dāng)線段的長度最大時，在拋物線的對稱軸上有一點，使得為直角三角形，直接寫出點的坐標(biāo)．【分析】（1）在拋物線解析式中，令可求得點坐標(biāo)，令則可求得、的坐標(biāo)；（2）由、的坐標(biāo)可求得直線的解析式為，則可表示出點坐標(biāo)，則可求得的長，從而可用表示出的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得當(dāng)面積最大值時的值，可求得點坐標(biāo)；（3）由（2）可知點坐標(biāo)，設(shè)點坐標(biāo)為，則可用分別表示出、及，分點為直角頂點、點為直角頂點和點為直角頂點三種情況，分別根據(jù)勾股定理可得到關(guān)于的方程，可求出的值，可求得點坐標(biāo)．【解答】解：（1）對于，令，則，，令，則，解得：，，，；（2）設(shè)的表達(dá)式為，則，解得，直線的表達(dá)式為，設(shè)點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為，，時，最大，此時點坐標(biāo)，；（3），拋物線的對稱軸為直線，設(shè)，且，，，，，，為直角三角形，分點為直角頂點、點為直角頂點和點為直角頂點三種情況，①當(dāng)點為直角頂點時，則有即，解得：，此時點坐標(biāo)為，②當(dāng)點為直角頂點時，則有，即，解得：，，此時點坐標(biāo)為或，③當(dāng)點為直角頂點時，則有，即，解得：，此時點坐標(biāo)為，綜上所述，點坐標(biāo)為或或或．【點評】此題是二次函數(shù)綜合應(yīng)用題，主要考查了待定系數(shù)法函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點、三角形的面積、二次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理、方程思想以及分類討論思想等知識．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．32．（2023秋?中山市月考）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點在圖形的內(nèi)部，或在圖形上，且點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等時，則稱點為圖形的“夢之點”．（1）如圖①，矩形的頂點坐標(biāo)分別是，，，，在點，，中，是矩形“夢之點”的是，；（2）如圖②，已知點，是拋物線上的“夢之點”，點是拋物線的頂點．連接，，，求的面積；（3）在（2）的條件下，點為拋物線上一點，點為平面內(nèi)一點，是否存在點、，使得以為對角線，以、、、為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)“夢之點”的定義判斷這幾個點是否在矩形的內(nèi)部或邊上；（2）根據(jù)“夢之點”的定義可得：，，利用二次函數(shù)的頂點式可得拋物線的頂點為，拋物線的對稱軸為直線，由，即可求得答案；（3）設(shè)，由以為對角線，以、、、為頂點的四邊形是菱形，可得，利用兩點間距離公式建立方程求解即可求得答案．【解答】解：（1）矩形的頂點坐標(biāo)分別是，，，，矩形的“夢之點”滿足，，點，是矩形的“夢之點”，點不是矩形的“夢之點”，故答案為：，；（2）點，是拋物線上的“夢之點”，點，是直線上的點，，解得：，，，，，拋物線的頂點為，拋物線的對稱軸為直線，設(shè)拋物線的對稱軸交于，則，，；（3）存在，理由如下：設(shè)，以為對角線，以、、、為頂點的四邊形是菱形，，，解得：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，點坐標(biāo)為，或，．【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握兩點間的距離公式，理解新定義是解題的關(guān)鍵．33．（2023秋?和平區(qū)校級月考）如圖，已知拋物線經(jīng)過，兩點，與軸的另一個交點為，頂點為，連接．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）點為該拋物線上一動點（與點，不重合），設(shè)點的橫坐標(biāo)為．①當(dāng)點在直線的下方運動時，求的面積的最大值及點的坐標(biāo)；②該拋物線上是否存在點，使得？若存在，求出所有點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將點、坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；（2）①利用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，如圖1，過點作軸的平行線交于點，設(shè)點，則點，，根據(jù)，即可求解；②分點在直線下方、上方兩種情況，分別求解即可．【解答】解：（1）將點、代入拋物線，得：，解得：，該拋物線的表達(dá)式為：①；（2）①令，得，解得：，，點，設(shè)直線的解析式為，將點、的坐標(biāo)代入得：，解得：，直線的解析式為②，如圖1，過點作軸的平行線交于點，設(shè)點，則點，，，，有最大值，當(dāng)時，其最大值為，此時，；②，頂點，設(shè)直線與交于點，當(dāng)點在直線下方時，，點在的中垂線上，線段的中點坐標(biāo)為，，過該點與垂直的直線的值為，設(shè)中垂線的表達(dá)式為：，將點，代入上式得，解得：，直線中垂線的表達(dá)式為：③，設(shè)直線的解析式為，把，代入得：，解得：，直線的解析式為：④，聯(lián)立③④得：，解得：，點，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為：⑤，聯(lián)立①⑤得，解得：，（舍去），故點，；當(dāng)點在直線上方時，，，則直線的表達(dá)式為：，將點坐標(biāo)代入上式并解得：，即直線的表達(dá)式為：⑥，聯(lián)立①⑥并解得：或（舍去，故點；綜上所述，點的坐標(biāo)為，或．【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、等腰三角形性質(zhì)、圖形的面積計算等，其中（2），要注意分類求解，避免遺漏．34．（2023春?清江浦區(qū)月考）如圖，直線與拋物線相交于點，和點，拋物線與軸的交點分別為、（點在點的左側(cè)），點在線段上運動（不與點、重合），過點作直線軸于點，交拋物線于點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，連接，是否存在點，使是直角三角形？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（3）如圖2，過點作于點，當(dāng)?shù)闹荛L最大時，過點作任意直線，把沿直線翻折，翻折后點的對應(yīng)點記為點．當(dāng)?shù)闹荛L最大時：①求出點的坐標(biāo)；②直接寫出翻折過程中線段長度的取值范圍是．【分析】（1）先把點代入直線的解析式，求出的值，再把點和點代入，即可求出拋物線的解析式；（2）先設(shè)出的坐標(biāo)，然后分和兩種情況，利用等腰直角三角形得性質(zhì)即可求出點的坐標(biāo)；（3）①先設(shè)出點的坐標(biāo)，再得出點的坐標(biāo)，然后表示出三角形的周長，求出周長取最大值時點的坐標(biāo)即可；②折疊過程中，當(dāng)，，共線，且和在兩側(cè)時，的最大，和在同側(cè)時，的最小．【解答】解：（1）把代入，得，，把，和代入，得，解得：，拋物線的解析式為；（2）存在點，使是直角三角形．設(shè)直線交軸于點，則，設(shè)，則，，，，，軸，，是等腰直角三角形，，當(dāng)時，過點作于，如圖，則軸，點的縱坐標(biāo)為，是等腰直角三角形，，即點是的中點，，解得：（舍去），，；當(dāng)時，即，軸，軸，點的縱坐標(biāo)為，，解得：（舍去），，，；綜上所述，存在點，使是直角三角形，點的坐標(biāo)為或，；（3）①設(shè)，則，，由（2）得，即，，，是等腰直角三角形，，的周長，，當(dāng)時，的周長最大，此時點，；②折疊過程中，當(dāng)，，共線，且和在兩側(cè)時，的最大，和在同側(cè)時，的最小，，當(dāng)時，，解得：，，，，，的最大值為，的最小值為，長度的取值范圍是；故答案為．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形周長，兩點間距離公式，翻折變換的性質(zhì)等．對于翻折問題可考慮特殊的位置，比如平行，共線，垂直等．35．（2023秋?來鳳縣校級月考）如圖，已知二次函數(shù)的頂點是，且圖象過點，與軸交于點．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求直線的解析式；（3）在直線上方的拋物線上是否存在一點，使得，如果存在，請求出點的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由．【分析】（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為頂點式：，將點的坐標(biāo)代入求得的值即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)解析式求得點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法確定直線解析式；（3）由二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可設(shè)其中，結(jié)合三角形的面積公式可以求得點的坐標(biāo)．【解答】解：（1）是二次函數(shù)的頂點，設(shè)二次函數(shù)的解析式為．又圖象過點，代入可得，解得，或；（2）由可知，為．設(shè)直線的解析式為：，將和代入可得，直線的解析式為：；（3）在直線上方的拋物線上，可設(shè)其中，過作軸，交于點．則坐標(biāo)為，又，，解得，，2，代入得4或3．點坐標(biāo)為或．【點評】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標(biāo)的意義表示線段的長度是解題關(guān)鍵．36．（2024春?陽新縣校級月考）拋物線，交軸于，兩點在的左邊），是拋物線的頂點．（1）當(dāng)時，直接寫出，，三點的坐標(biāo)；（2）如圖1，點是對稱軸右側(cè)拋物線上一點，，求線段長度；（3）如圖2，將拋物線平移使其頂點為，點為直線上的一點，過點的直線，與拋物線只有一個公共點，問直線是否過定點，請說明理由．【分析】（1）當(dāng)時，拋物線的表達(dá)式為：，即可求解；（2）延長交軸于點，過點作于點，則三角形是等腰三角形，所以，，然后利用交點坐標(biāo)特征，先后求出點、、的坐標(biāo)，再由兩點之間的距離公式求得的長即可；（3）先根據(jù)平移變換，求出平移后的拋物線的解析式為．再由直線與拋物線的交點個數(shù)寫出對應(yīng)的函數(shù)解析式，最終把方程整理成是解決問題的關(guān)鍵所在．【解答】解：（1）當(dāng)時，拋物線的表達(dá)式為：，令，解得：或4，點、、的坐標(biāo)分別為：、、；（2）延長交軸于點，過點作于點，，點的坐標(biāo)為，設(shè)的解析式為，則有：，，直線的解析式；，，，點是、的中點，則點，，設(shè)的解析式為，把點，代入得：，解得：，，由得，，點的坐標(biāo)為，，設(shè)直線的解析為，則有：，解得：，，由，得：，，的坐標(biāo)為，；，即的長為；（3）拋物線平移后的頂點坐標(biāo)為，平移后的拋物線的解析式為．點為直線上一點，．設(shè)過點的直線的解析式為，，．過點的直線解析式為．．即：．過點的直線、與拋物線只有一個公共點，△．．，．直線的解析式為，直線的解析式為．，．設(shè)點的橫坐標(biāo)為，則是方程的根，過點的直線與拋物線只有一個公共點，．同理可求：，，，，是方程的兩根，整理得：，即：點，的坐標(biāo)滿足方程組，點，點是拋物線與直線的交點，，直線一定經(jīng)過定點，．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征，待定系數(shù)法，一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征，等腰三角形的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與直線的交點，利用點的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．37．（2023秋?蕭山區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，拋物線與軸正半軸交于點，與軸交于點．點為該拋物線上的任意一點，過點分別向軸、軸作垂線，構(gòu)造矩形，垂足分別為、．設(shè)點的橫坐標(biāo)為．（1）分別求點、點的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點在軸上方時，此時矩形的周長是否存在最值？若存在，請求出最值；若不存在，請說明理由；（3）當(dāng)拋物線在矩形內(nèi)的部分所對應(yīng)的函數(shù)值隨的增大而增大時，直接寫出的取值范圍．【分析】（1）分別令，，解方程即可求得答案；（2）由題意得：，點在軸上方，則，，分三種情況：①當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，分別根據(jù)矩形的周長公式和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案；（3）分四種情況：當(dāng)點在軸的下邊，軸的左側(cè)時，當(dāng)點在軸的上邊，軸左邊時，當(dāng)點在上方時，當(dāng)點在下方，軸右邊時，分別畫出圖象，結(jié)合圖象即可求得答案．【解答】解：（1）當(dāng)時，，，當(dāng)時，，解得：，，；（2）點的橫坐標(biāo)為，，點在軸上方，，，①當(dāng)時，此時構(gòu)造產(chǎn)生的圖形為一條線段，不存在矩形，舍去；②當(dāng)時，，，矩形的周長，，開口向下，對稱軸不在范圍內(nèi)，在內(nèi)，隨的增大而增大，當(dāng)時，；③當(dāng)時，則，，矩形的周長，，開口向下，對稱軸在范圍內(nèi)，當(dāng)時，有最大值，的最大值為，，當(dāng)時，此時，當(dāng)時，；綜上所述，矩形的周長，當(dāng)時，矩形的周長的最大值為．（3）拋物線的對稱軸為直線，，點的對稱點為，令，得，解得：，，，根據(jù)題意可知，需要分類討論：當(dāng)點在軸的下邊，軸的左側(cè)時，拋物線在矩形內(nèi)的部分所對應(yīng)的函數(shù)值隨的增大而增大，如圖1，此時；當(dāng)點在軸的上邊，軸左邊時，如圖2，不合題意；當(dāng)點在上方時，如圖3，