第13章軸對(duì)稱（單元測(cè)試-基礎(chǔ)卷）

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.下列常見(jiàn)的手機(jī)軟件圖標(biāo)中，是軸對(duì)稱圖形的是（）

A.口

2.如圖，VN2C與關(guān)于直線對(duì)稱，尸為上任一點(diǎn)（A,P,H不共線），下列結(jié)論中不

B.垂直平分線段44'

C.V/BC與面積相等D.直線A8,N?的交點(diǎn)不一定在直線上

3.如圖，V/2C中，點(diǎn)。在8c邊上，做點(diǎn)。關(guān)于直線48的對(duì)稱點(diǎn)￡,連接/E,做點(diǎn)。關(guān)于直線/C的

對(duì)稱點(diǎn)R連接/月.N2=61。，ZC=54°,則NE/尸的度數(shù)為（）

A.130°B.122°C.115°D.108°

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/（5,-6）關(guān)于點(diǎn)尸（0,加）對(duì)稱的點(diǎn)H在x軸上，則加的值為（）

4章

'、、、、、O

P

5

B.C.一D.3

22

5.如圖，兩條平行直線a,b,從點(diǎn)光源〃射出的光線射到直線。上的/點(diǎn)，入射角為15。，然后反射光

線射到直線6上的3點(diǎn)，當(dāng)這束光線繼續(xù)從8點(diǎn)反射出去后，反射光線與直線6所夾銳角的度數(shù)為（）

A.30°B.25°C.20°D.15°

A.50°B.55°C.60°D.70°

7.如圖’分別以點(diǎn)43為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧'連接兩弧交點(diǎn)的直線交于點(diǎn)?！B接力。若

ZC=3,BC=5,貝UA/OC的周長(zhǎng)是（）

C.11D.13

8.如圖，在V/8C中，AB=AC,/8=30。，點(diǎn)尸為直線5c上一點(diǎn)，且/C=CP,連接NP,貝尸

的度數(shù)是（）

C.45°或135°D.30°或135。

9.如圖，在V48C中，ZABC,N/C2的平分線交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)。作斯〃BC分別交45,/C于點(diǎn)E,

F,若/B=5,AC=4,則△/￡尸的周長(zhǎng)是（）

*

8

A.8B.9C.10D.11

10.如圖，在V4BC中，ZC=90°,NB=30°,以/為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧分別交N8,/C于點(diǎn)M

和N,再分別以M,N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)尸，連接ZP并延長(zhǎng)交3c于點(diǎn)￡）,

若2。=4,則CD的長(zhǎng)為（）

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

11.如果點(diǎn)4-3，°）和點(diǎn)3修,2）關(guān)于>軸對(duì)稱，那么a+6的值是.

12.如圖，在V/8C中，4=32。,48=36。，點(diǎn)。是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)3關(guān)于直線CO的對(duì)稱點(diǎn)為夕，當(dāng)

8'?！╖C時(shí)，則ZBCD的度數(shù)為.

13.如圖，在V/2C中，AB、/C的垂直平分線分別交8c于點(diǎn)￡、RBE=CF=5cm,EF=3cm,則

的周長(zhǎng)為cm.

14.如圖，ZAOB=45°",點(diǎn)、E、歹分別在射線0408上，EF=5,AOE尸的面積為10,點(diǎn)P是直線所

上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為6,點(diǎn)尸關(guān)于08對(duì)稱的點(diǎn)為6，則/平第=人。45的面積最

小值為.

15.如圖，點(diǎn)E在48上，/C與。E相交于點(diǎn)尸，△/38ADEC,//=30。，=70°,則NDK4的度數(shù)

為.

16.如圖，在等邊A/BC中，NB=8,E是以延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且￡/=3,。是BC上一點(diǎn)，且DE=EC,

則BD的長(zhǎng)為.

17.如圖，/AOB=25°,點(diǎn)、M,N分別是邊。4,。3上的定點(diǎn)，點(diǎn)P,0分別是邊。2,CM上的動(dòng)點(diǎn),

記NMP0=a,ZPQN=P,當(dāng)MP+PQ+QN的值最小時(shí)，夕-c的大小=(度).

18.如圖，在V/3C中，/C=8C,CE_L48于點(diǎn)E,將V48c沿著NC翻折得到△/OC,延長(zhǎng)EC交4D于

點(diǎn)尸，連接50,設(shè)/A4c=々(夕＜45。)，以下四個(gè)結(jié)論:

(1)點(diǎn)E是NB的中點(diǎn)；

(2)直線NC是2D的垂直平分線;

(3)/BCD=4a；

（4）ZDC尸=90。一2c；

其中一定正確的是（填寫序號(hào)）.

三、解答題（本大題共6小題，共58分）

19.（8分）如圖1,在RtZ\/8C中，ZACB=90。，NA>NB,CDLAB,垂足為。.如圖2,將A/CZ）沿CD

所在直線翻折，使點(diǎn)A落在邊上，記為H.

（1）若/8=36。，求乙4'CB的度數(shù).

（2）若=則4（8的度數(shù)為（用含a的代數(shù)式表示）.

20.（8分）如圖，在四邊形48CD中，92=90°,點(diǎn)￡為邊4g上一點(diǎn)，連接ED.請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在

切上找一點(diǎn)P,使得NBEP+NBCP=18CP.（保留作圖痕跡，不寫作法）

21.(10分)如圖，在VN8C中，AC=BC,44c8=120°,CD是邊NB上的中線，的垂直平分線￡7,

交BC于點(diǎn)E,交45于點(diǎn)尸，點(diǎn)G是/C上一點(diǎn)，且NCZ)G=15°.

(1)求證：AG=BD；

(2)若￡尸=1,求/C的長(zhǎng).

22.(10分)如圖，在四邊形/8CA中，AD//BC,E是NB的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交C8的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)尸，點(diǎn)M在BC邊上，S.ZMDF=ZADF.

(1)求證：VADE^VBFE.

(2)求證：FM=DM.

(3)連接W,瓦0垂直平分。尸嗎？說(shuō)明理由.

FB

23.(10分)如圖，在VN8C中，AB=AC，以3c為邊作等邊三角形8DC.點(diǎn)￡在VNBC外，ZCBE=150°,

ZACE=60°.

(1)求N4DC的度數(shù)；

(2)求證：△/(7￡是等邊三角形；

(3)連接。E,若DELCD,AD=2,求。E的長(zhǎng).

24.(12分)【問(wèn)題提出】如圖1,在V/BC中，AB=AC,。是3C延長(zhǎng)線上的點(diǎn).連AD,以AD為邊

作V/ZJE（￡、。在/C同側(cè)），使ON=OE、ZADE=ABAC,連CE.若N8/C=90。，判斷CE與4C的位

置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

圖1

(D【問(wèn)題探究】先將問(wèn)題特殊化.如圖2,當(dāng)。在線段8c上,/A4c=60。時(shí)，直接寫出乙4CE的度

數(shù)

⑵再探究具體情形、如圖1,判斷CE與/C的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;

(3汝口圖3,在V48c中，AB^AC.點(diǎn)E為V/2C外1點(diǎn)，AD工BE于D,

NBEC=NBAC,DE=3,EC=2.求BD的長(zhǎng).

參考答案:

1.A

【分析】本題主要考查軸對(duì)稱圖形的識(shí)別，熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義：在一個(gè)平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形;

由此問(wèn)題可求解.

【詳解】解：符合軸對(duì)稱圖形的定義只有A選項(xiàng)；

故選：A.

2.D

【分析】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)：軸對(duì)稱圖形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，軸對(duì)稱的

三角形全等由此面積相等是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???△4BC與AZ'B'C'關(guān)于直線對(duì)稱，P為上任意一點(diǎn)，

.L垂直平分

AAP=A'P,A4BC與A/'B'C'面積相等，故A,B,C選項(xiàng)不符合題意；

直線48,關(guān)于直線對(duì)稱，因此交點(diǎn)一定在上，故D選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

3.A

【分析】此題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，由點(diǎn)￡和點(diǎn)尸分別是點(diǎn)。關(guān)于和NC的對(duì)稱點(diǎn)，得

NEAB=NBAD,ZFAC=ZCAD,再根據(jù)N3=61°,ZC=54°,所以

/A4c=/8/。+/。/。=180。一61。-54。=65。，即可求出答案.

【詳解】解：,點(diǎn)￡和點(diǎn)尸分別是點(diǎn)。關(guān)于45和NC的對(duì)稱點(diǎn)，

:.NEAB=NBAD,ZFAC=ZCAD,

ZB=61°,ZC=54°,

ABAC=ABAD+ADAC=180°-61°-54°=65°,

:.NEAF=2NBAC=13Q°,

故選：A.

4.A

【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，全等三角形的性質(zhì)與判定，軸對(duì)稱的性質(zhì)，過(guò)工作軸于

貝1J/"=5,=6,由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到AP=A'P,證明“尸/修A/'O尸(AAS),得到OP=PH=^OH=3,

據(jù)此可得答案.

【詳解】解：過(guò)/作軸于兄

?.?點(diǎn)/（5,-6）,

：.4H=5,OH=6,

:點(diǎn)4與點(diǎn)H關(guān)于點(diǎn)尸（0,加）對(duì)稱,

/.AP=A'P,

在V/PH與△/'尸0中，

ZAHP=ZA'OP=90°

<ZAPH=ZA'PO,

AP=A'P

：.AAPH^AA'OP（AAS）,

OP=PH=-OH=3,

2

/.m=—3,

故選：A.

戶'、、、、、

H1----，A

5.D

【分析】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，根據(jù)"入射光線與直線的夾角始終與反射光線與該直線的

夾角相等"得到Na=15。，由平行線的性質(zhì)可得N/BC=15。，即可得出結(jié)論.熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

【詳解】解:如圖，

.從點(diǎn)光源M射出的光線射到直線“上的/點(diǎn)，入射角為15。，然后反射光線射到直線6上的8點(diǎn),

Na=15°,

a//b,

ZABC=Za=15°，

，當(dāng)這束光線繼續(xù)從B點(diǎn)反射出去后，反射光線與直線6的夾角度數(shù)為15。.

故選：D

6.D

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，先由平行線的性質(zhì)得出N3=N1=4O。，Z2=Z5,因

為折疊得N5=/4,再結(jié)合平角概念列式計(jì)算，即可作答.

B

???紙帶的兩邊平行

Z3=Z1=40°,/2=/5

???翻折

/5=/4=（180。-40。）+2=70°

Z2=Z5=70°

故選：D

7.B

【分析】本題考查了垂直平分線的作圖及性質(zhì)，掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)作圖可得線段4B

的垂直平分線交3C于點(diǎn)。，可得4D=BD,再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)計(jì)算方法即可求解.

【詳解】解：根據(jù)作圖可得，線段48的垂直平分線交8c于點(diǎn)。，

,AD=BD,

的周長(zhǎng)為：AD+DC+AC,

：.AD+DC+AC=BD+DC+AC=BC+AC=5+2>^?,,

故選：B.

8.C

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形外角性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的

關(guān)鍵.注意點(diǎn)尸為直線8c上一點(diǎn)，分別作圖，運(yùn)用三角形內(nèi)角和性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形外角性質(zhì)分別

列式計(jì)算，即可作答.

【詳解】解：如圖所示:

以點(diǎn)。為圓心，4。為半徑畫弧，分別交直線于兩點(diǎn)，即耳連接4片，AP2

：.ZBCA=30°,Z^C=180°-30°x2=120°

?.?AC=CPX

.??APXAC=(180°-/BCA)+2=75°,

AZ^B=120°-75°=45°,

VAB=AC,AB=30°

AZBCA=30°,ABAC=180°-30°x2=120°

?.?AC=CP2

：.ZCAP1=ZAP1C=15°

.??/￡/3=120。+15。=135。，

故選：C

9.B

【分析】本題考查角平分線，等腰三角形，平行線的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定.根據(jù)角

平分線的定義，則乙=ZACO=ZOCB；根據(jù)平行線的性質(zhì)可證得448。=/EO5,

ZACO=ZFOC,然后根據(jù)等角對(duì)等邊，則=FO=FC,最后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)，即可.

【詳解】?：BO,OC分別是/ZBC,//CB的角平分線，

:?ZABO=/CBO,ZACO=ZOCB,

EF//BC,

:?/EOB=/CBO,/FOC=/OCB,

:?AABO=/EOB,ZACO=ZFOC,

；.EO=EB,FO=FC,

,?AB=5,AC=4,

：.AE+EB=AE+EO^5,AF+FCAF+FO=4,

：.CAAFE=AE+AF+EF=AE+AF+EO+FO=5-t4=9,

故選:B.

10.C

【分析】作。E上48于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得?！?CD,由28=30。知8D=2D￡=4.本題主要考

查作圖-基本作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的尺規(guī)作圖和角平分線的性質(zhì).

【詳解】解:如圖，作DE/4B于點(diǎn)E,

<AD為/CAB的平分線，

/.DE=CD,

???4=30。,

則5。=2?！?4,

：.DE=CD=2

故選：C.

11.5

【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化一軸對(duì)稱，根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)為互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相

同進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：a)和點(diǎn)30,2)關(guān)于了軸對(duì)稱,

/.b=—(—3)=3,a=2,

a+6=2+3=5,

故答案為：5.

12.38°/38度

【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，利用平行線的性質(zhì)得到

ZADB'=ZA=32°,則由平角的定義可得N8D3'=180。-/402'=148°,然后根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到

ZCDB'=ZCDB,則可得NCD5的度數(shù)，進(jìn)而問(wèn)題可求解.

【詳解】解：

ZADB'=ZA=32°,

ZBDB'=180°-ZADB'=148°,

,/點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)為B',

：.NCDB，=ZCDB=gx（360。一ZBDB'）=106°,

：.ZBCD=180°-ZS-ZCDB=38°.

故答案為：38°.

13.13

【分析】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相

等是解答此題的關(guān)鍵.直接根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：???48、4C的垂直平分線分別交5C于點(diǎn)E、F,

:.BE=AE,CF=AF,

BE=CF=5cm,EF=3cm,

AAEF的周長(zhǎng)為/E+/W+跖=3￡+￡F+C尸=13cm,

故答案為：13.

14.90°/90度8

【分析】本題考查了軸對(duì)稱、垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，連接OP,過(guò)點(diǎn)。作尸交所的延長(zhǎng)線于“，，

先利用三角形的面積公式求出OH,再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得/4沖=/4B，NSQP=N8（線，

OPt=OP=OP2,從而可得/4。￡=90。，然后利用三角形的面積公式可得的面積為:。產(chǎn)，根據(jù)垂

線段最短可得當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)H重合時(shí)，。尸取得最小值，的面積最小，由此即可得.

【詳解】解：如圖，連接OP,過(guò)點(diǎn)。作尸交所的延長(zhǎng)線于方，

0/7=4,

???點(diǎn)尸關(guān)于。4對(duì)稱的點(diǎn)為々，點(diǎn)尸關(guān)于08對(duì)稱的點(diǎn)為鳥(niǎo),

AZAOP=ZACF[,ZBOP=ZBOR,OPX=OP=OP2,

???ZAOB=45°f

APXOP2=2(ZAOP+ZBOP)=2ZAOB=90°,

：.^OPXP2的面積為；。公?。￡=g。尸?,

由垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)”重合時(shí)，OP取得最小值，最小值為OH=4,

ag的面積的最小值為:x4?=8,

故答案為：90°；8.

15.700/70度

【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)、等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意得//C2,結(jié)合全

等二角形的性質(zhì)有NCED=NB和CB=CE,利用等邊對(duì)等角和二角形內(nèi)角和定理可求得NECB和ZACE,

即可求得答案.

【詳解】解：；乙4=30。，4=70°,

AACB=80°,

△4BC空△DEC,

AZCED=ZB=70°,CB=CE,

：.^CEB=^B=10o,

：.ZECB=180°-Z5-ZCEB=40°,

則ZACE=ZACB-ZECB=40°,

那么，ZDFA=ZCFE=180°-ZCED-ZACE=70°.

故答案為：70。.

16.3

【分析】過(guò)點(diǎn)E作跖工8C于尸，先根據(jù)含30。的直角三角形的性質(zhì)求出8尸，再根據(jù)等腰三角形的三線合

一性質(zhì)求出。尸，即可得出50.本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及含30。的直角三角

形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)￡作成工8c于尸；如圖所示：

BDFC

貝ij/毋E=90。，

???△/BC是等邊三角形，

ZB=60°,BC=AB=8,

ZFEB=90o-60°=30°,

'：BE=AB+AE=^+3=\\,

/.BF=—BE=5.5,

2

:.CF=BC-BF=2.5,

?：ED=EC,EFIBC,

：.DF=CF=2.5,

:.BD=BF-DF=3；

故答案為：3.

17.50

【分析】本題主要考查最短路徑問(wèn)題、軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，作M關(guān)于02的對(duì)稱點(diǎn)AT,N

關(guān)于。4的對(duì)稱點(diǎn)N',連接MN,交。2于點(diǎn)尸，交。/于點(diǎn)。，連接“P,QN,可知此時(shí)“P+PQ+QN

最小，止匕時(shí)NOm=NOW=0PN,AOQP=AAQN=AAQN',再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和平角的定義

即可得出結(jié)論.

【詳解】解：作M關(guān)于08的對(duì)稱點(diǎn)AT,N關(guān)于CM的對(duì)稱點(diǎn)N',連接MN',交02于點(diǎn)尸，交。4于點(diǎn)。,

連接MP,QN,如圖所示.

根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可知此時(shí)MP+PQ+0N最小，即MP+PQ+QN=MN',

ZOPM=ZOPM'=QPN,ZOQP=ZAQN=ZAQN',

,/ZMPQ=a,ZPQN=/3,

：.ZQPN=1(180°-(z),ZOQP=g(l80P-〃)，

ZQPN=ZAOB+ZOQP,ZAOB=25°,

1(180o-a)=25°+1(180°-/?),

_a=50°,

故答案為：50.

18.①②③

【分析】本題主要考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，根據(jù)等腰

三角形三線合一的性質(zhì)以及翻折的性質(zhì)可判斷①②，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平角的定義可判定③④.

【詳解】解：???NC=BC,CE1AB,

：.AE=EB,ABAC=NCBA

即點(diǎn)E是NB的中點(diǎn)，故①正確.

,將VABC沿著AC翻折得到AADC,

AB=AD,ABACADAC,NABC=NADC,ZACB=ZACD,

AC1BD,且/C平分2D,

即直線/C是8。的垂直平分線；故②正確.

■.-ZBAC=a[a<45°),

ZCBA=NADC=ADAC=ABAC=a,

ZACB=N4CD=180°-2a,

...ZBCD=360°-ZACB-ZACD=360°-2(180°-2a)=4(z,故③正確.

???ZylCS=180°-2a,

ZECB=-ZACB=90P-?,

2

ZDCF=180°-/BCD-NECB=180°-4a-(90°-a)=90°-3a,故④錯(cuò)誤.

綜上①②③正確，

故答案為：①②③

19.(1)18°

(2)90°-2?

【分析】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的定義以及性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，掌握翻折的性質(zhì)

是解本題的關(guān)鍵；

(1)先得到乙4=54。，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得WC=54。，根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可求解；

(2)由已知條件可得出A點(diǎn)落在線段3。上時(shí)，同(1)解題過(guò)程一樣求解即可.

【詳解】(1)解：?.?乙4c3=90。，48=36。，

N4=54°,

由翻折的性質(zhì)可得出ZAA'C==54。，

,/ZAA'C=ZB+ZA'CB,

.,.乙4'。8=54-36。=18。；

(2)；NA>NB,且A點(diǎn)落在線段8〃上時(shí)，

,/ZB=a,ZACB=90°

:.ZA=90°-a,

由翻折可知NAA'C=ZA=90°-a

ZA,C3=ZAA,C-Z3=90o-a-a=90°-2a.

20.見(jiàn)解析.

【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.過(guò)點(diǎn)C作CP_LOE

于點(diǎn)P即可.

【詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所求.

(2)4

【分析】(工)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得==ZACD=ZBCD=60°,由此可得

N4DG=N4GD=75。,進(jìn)而得/G=40,據(jù)此可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得=則/ED8=/8=30。，進(jìn)而得/CED=60。，從而得

△CDE為等邊三角形，貝=在比ABEF中根據(jù)所=1,/8=30。得3￡=2,由此得3c=4,進(jìn)

而可得ZC的長(zhǎng).

【詳解】(1)證明：在△45。中，AC=BC,ZACB=120°

ZA=AB=)(180。-ZACB)=30°

???CZ)是邊48上的中線

:.CD上AB,AD=BD,ZACD=ZBCD=-ZACB=60°

2

.\ZADC=90°

?/ZCDG=15°

/.ZADG=ZADC-ZCDG=75°

/.ZAGD=180°~(ZA+ZADG)=180。—(30。+75。)=75°

/.ZADG=ZAGD=15°

/.AG=AD

AG=BD

(2),.?跖是線段8。的垂直平分線

:.DE=BE,EFLBD

:.ZEDB=ZB=30°

ZCED=ZEDB+/B=60°

???/BCD=60°

「.△COE為等邊三角形

:.CE=DE

:.CE=BE

在R^BEF中,EF=1,ZB=30°

BE=2EF=2

:.CE=BE=2

BC=CE+BE=4

：.AC=BC=4

【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及含30度角的直角三角形,

熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、含30度角的直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

22.⑴見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

⑶瓦1/垂直平分。/，見(jiàn)解析

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)：

(1)根據(jù)可得/ADE=/F,可利用AAS證明V4DE之VAFE,即可；

(2)根據(jù)4D〃3C,可得/4DE=NF,再由乙如甲=乙4。9，可得/b=/〃0￡,即可;

(3)根據(jù)V4QE也VB/￡,可得DE=EF,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答，即可.

【詳解】(1)證明：???/。|5。，

/.ZADE=/F,

???￡是Z5的中點(diǎn)，

AE=BE,

在丫40￡和△8FE中，

'/ADE=/F

<NAED=/BEF,

AE=BE

:JDE知BFE(AAS)；

(2)ffiBl：'：AD\\BCf

：.ZADE=/F,

???ZMDF=ZADF,

/.ZF=ZMDE,

:.MD=MF.

(3)解：結(jié)論：EM垂直平分線段DP.理由如下：

VVADE@BFE,

DE=EF,

?：MD=MF,

:.ME1DF,

/.EM垂直平分線段DF.

23.(1)N4QC=15O。

⑵見(jiàn)解析

⑶。E=4

【分析】本題考查了等邊三角形的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、含30。角的直角三角形的特征:

(1)利用等邊三角形的性質(zhì)及SSS可得ANDBGAZDC,進(jìn)而可得=則可求解；

(2)利用ASA可證得△NC。之△EC2,進(jìn)而可得ZC=CE,再根據(jù)等邊三角形的判定即可證結(jié)論；

(3)連接。E,可得N￡D8=30。，進(jìn)而可得即=40=2,再根據(jù)DE=2EB即可求解；

熟練掌握相關(guān)的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：?.?△3DC是等邊三角形，

：.DB=DC,ZBDC=ZDBC=ZDCB=60°.

在和4ADC中，

AB=AC

<AD=AD,

DB=DC

：.AADB卷△/DC(SSS),