24屆高三一輪總復(fù)習(xí)驗(yàn)收考試數(shù)學(xué)試卷試卷共4頁(yè)，19小題，滿(mǎn)分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡指定位置上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解出集合，利用交集計(jì)算即可.【詳解】由可知：，即，故，所以.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，找到共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】結(jié)合題意：，所以.故選：B.3.已知向量，，且，則（）A.2 B.3 C.4 D.【答案】A【解析】【分析】由求出，從而可求解.【詳解】由，，所以，因?yàn)椋?，得，所以，故A正確.故選：A.4.曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】確定曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案.【詳解】因?yàn)榍€(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行，故曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為2，因?yàn)?，所以，所以，故選：C.5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】確定函數(shù)的奇偶性排除D選項(xiàng)，再由函數(shù)值的取值范圍排除A、B選項(xiàng)后可得正確結(jié)論．【詳解】由已知，為偶函數(shù)，排除D；當(dāng)時(shí)，，，令，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，即，所以，當(dāng)時(shí)，，即，可排除A、B.故選:C.6.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】合理?yè)Q元，求出關(guān)鍵數(shù)值，結(jié)合誘導(dǎo)公式處理即可.【詳解】令，，得，則，即，整理得，且，那么，則.故選：C.7.《易·系辭上》有“河出圖，洛出書(shū)”之說(shuō)，河圖、洛書(shū)是中華文化，陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源，其中河圖排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白點(diǎn)為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù).若從這10個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù)，已知3個(gè)數(shù)中至多有1個(gè)陰數(shù)，則取出的3個(gè)數(shù)之和是5的倍數(shù)的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出10個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù)，至多有1個(gè)陰數(shù)的總基本事件個(gè)數(shù)，再列舉出取出的3個(gè)數(shù)之和是5的倍數(shù)的基本事件，利用古典概型概率公式即可求解.【詳解】如圖，白點(diǎn)為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)，陽(yáng)數(shù)為，陰數(shù)為若從這10個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù)且3個(gè)數(shù)中至多有1個(gè)陰數(shù)，基本事件總數(shù)為，取出的3個(gè)數(shù)之和是5的倍數(shù)，基本事件包括，共有12個(gè)，取出的3個(gè)數(shù)之和是5的倍數(shù)的概率是.故選：A.8.已知圓柱的底面半徑為1，高為2，，分別為上、下底面圓的直徑，四面體的體積為，則直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，假定的坐標(biāo)，結(jié)合已知解出的坐標(biāo)，利用線(xiàn)線(xiàn)角的向量求法求解即可.【詳解】如圖，找底面圓心，作與底面垂直，//，，故以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，規(guī)定，，設(shè)，，易知底面圓方程為，則，，故，，故，設(shè)到面的距離為，設(shè)面的法向量，故有，，解得，，，故，由點(diǎn)到平面的距離公式得，已知四面體的體積為，故得，解得(負(fù)根舍去)，易得，故，，，，設(shè)直線(xiàn)與所成角，故有.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】對(duì)A：由不等式性質(zhì)計(jì)算即可得；對(duì)B：結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得；對(duì)C、D：舉出反例即可得.【詳解】對(duì)A：由，故，則，即，故A正確；對(duì)B：由，且為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，故，故B正確；對(duì)C：當(dāng)，時(shí)，有，，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：當(dāng)，時(shí)，有，，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10.已知定義在上的奇函數(shù)滿(mǎn)足，且在上單調(diào)遞增，則A.的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng) B.是周期函數(shù)C.在上單調(diào)遞減 D.【答案】BC【解析】【分析】對(duì)A：由可得的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；對(duì)B：結(jié)合為奇函數(shù)與即可得周期性；對(duì)C：結(jié)合對(duì)稱(chēng)性與在上單調(diào)遞增即可得；對(duì)D：結(jié)合周期性與奇函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可得.【詳解】對(duì)A：由，故圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：由為奇函數(shù)，故，又，故，即有，則，即，故是周期函數(shù)且周期為，故B正確；對(duì)C：由在上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，又的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故在上單調(diào)遞減，故C正確；對(duì)D：由為定義在上的奇函數(shù)，故，有，由的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，故，由，故，即有，，故，，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足，，其中，則（）A.為單調(diào)遞減數(shù)列 B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，放縮法證明不等式逐個(gè)選項(xiàng)分析即可.【詳解】對(duì)于AB，由已知得，令，定義域?yàn)?，，令，，?dāng)時(shí)，此時(shí)恒成立，故在上單調(diào)遞減，，也可得，即，故在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，則，故，則，即，故為單調(diào)遞減數(shù)列，故A正確，顯然，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，欲證，且由題意得，即證，即證，取指數(shù)得，又易知，化簡(jiǎn)得，故證明恒成立即可，令，，而，故在上單調(diào)遞增，且，故，即恒成立，故得證，故C正確，對(duì)于D，由C可知，，，，，，上式相加，得，故得證，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)證明數(shù)列的單調(diào)性，再構(gòu)造函數(shù)結(jié)合放縮法證明不等式即可.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)焦點(diǎn)在軸上，焦距為4的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫(xiě)出得解.【詳解】依題意，設(shè)橢圓方程為，其半焦距，顯然，令，得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：（答案不唯一）.13.動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，滿(mǎn)足，則點(diǎn)到直線(xiàn)：的距離的最大值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】利用兩點(diǎn)距離公式及已知求得的軌跡是圓心為，半徑為2的圓上，再確定直線(xiàn)所過(guò)的定點(diǎn)并判斷其與圓的位置關(guān)系，要使圓上點(diǎn)到直線(xiàn)距離最大，有圓心與定點(diǎn)所在直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，進(jìn)而求最大值.【詳解】令，則，整理得，所以的軌跡是圓心為，半徑為2的圓上，又直線(xiàn)：可化為，易知過(guò)定點(diǎn)，由，故點(diǎn)在圓外，則圓心與定點(diǎn)所在直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，圓心與直線(xiàn)距離最大，所以點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值為.故答案為：14.函數(shù)（）在區(qū)間上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【詳解】利用三角函數(shù)的性質(zhì)分析求解即可.由于區(qū)間上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，即，由得，，，∵，∴，∴或，解得或，所以的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用整體法得到，再根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)得到不等式組，解出即可.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知某種業(yè)公司培育了新品種的軟籽石榴，從收獲的果實(shí)中隨機(jī)抽取了50個(gè)軟籽石榴，按質(zhì)量（單位：g）將它們分成5組：，，，，，得到如下頻率分布直方圖.（1）用樣本估計(jì)總體，求該品種石榴的平均質(zhì)量；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（2）按分層隨機(jī)抽樣，在樣本中，從質(zhì)量在區(qū)間，，內(nèi)的石榴中抽取7個(gè)石榴進(jìn)行檢測(cè)，再?gòu)闹谐槿?個(gè)石榴作進(jìn)一步檢測(cè).記這3個(gè)石榴中質(zhì)量在區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）416g（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)的計(jì)算公式求解；（2）由分層抽樣，計(jì)算這三個(gè)組中抽取的個(gè)數(shù)，根據(jù)可能的取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，由公式求數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)1詳解】該品種石榴的平均質(zhì)量為，所以該品種石榴的平均質(zhì)量為416g.【小問(wèn)2詳解】質(zhì)量在區(qū)間，，內(nèi)的頻率比為，所以分層抽樣抽取時(shí)，質(zhì)量在區(qū)間，，內(nèi)的石榴個(gè)數(shù)分別為2，2，3.由題意X的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，所以X的分布列為X0123P.16.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，為數(shù)列的前項(xiàng)積，證明：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列定義可得，由與的關(guān)系即可得；（2）由與可得，即可得，由，可得，借助等比數(shù)列求和公式計(jì)算即可得證.【小問(wèn)1詳解】由是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列，故，即，當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，符合上式，故；【小問(wèn)2詳解】由，，故，則，由，故，則.17.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，.（1）證明：；（2）點(diǎn)在線(xiàn)段上，當(dāng)直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為時(shí)，求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）要證，需要證過(guò)的平面與垂直即可，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理及線(xiàn)面垂直的判定定理結(jié)合條件即得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，先根據(jù)條件確定點(diǎn)的坐標(biāo)，再求二面角.【小問(wèn)1詳解】如圖：由于平面平面，平面平面，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，則平面.連接交于，連接，∵，，∴，∴，又，，∴四邊形為矩形，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，即，又平面，平面，∴，又平面，∴平面，又∵平面，∴.【小問(wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，由于在上，設(shè)，則，∴，又平面的法向量，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，∴，解得或（舍去），∴，∴，，，設(shè)平面的法向共，平而的法向共，則即，取，得，，∴，故平面與平面夾角的余弦值為.18.已知雙曲線(xiàn)：（，）的左焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離為，點(diǎn)在上.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線(xiàn)與交于，（不與點(diǎn)重合）兩點(diǎn)，記直線(xiàn)，，的斜率分別為，，，且，是否存在值，使得.若存在，求出的值和直線(xiàn)的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）；直線(xiàn)為【解析】【分析】（1）借助漸近線(xiàn)公式及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，并代入點(diǎn)計(jì)算即可得；（2）借助韋達(dá)定理結(jié)合從而得到直線(xiàn)中所設(shè)參數(shù)的關(guān)系，取線(xiàn)段中點(diǎn)，由可得，即可得的值和直線(xiàn)的方程.【小問(wèn)1詳解】由雙曲線(xiàn)：可得，漸近線(xiàn)方程為：，則有，化簡(jiǎn)得，又上，即，即，故：；【小問(wèn)2詳解】由題意可知直線(xiàn)的斜率存在且斜率為，設(shè)直線(xiàn)為，、，聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)，消去可得，則有且，即且，有，，由，故、，則，即有，即，故或，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)為，過(guò)點(diǎn)，故舍去，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)為，由、，則線(xiàn)段中點(diǎn)為，，，即，由，，，故有，即，解得，故，則直線(xiàn)為，即存在，使得，此時(shí)直線(xiàn)的方程為..【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于借助韋達(dá)定理結(jié)合題目所給，計(jì)算出直線(xiàn)中參數(shù)得關(guān)系.19.若函數(shù)在上有定義，且對(duì)于任意不同的，都有，則稱(chēng)為上的“類(lèi)函數(shù)”.（1）若，判斷是否為上的“3類(lèi)函數(shù)”；（2）若為上的“2類(lèi)函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若為上的“2類(lèi)函數(shù)”，且，證明：，，.【答案】（1）是上的“3類(lèi)函數(shù)”，理由見(jiàn)詳解.（2）（3）證明過(guò)程見(jiàn)詳解.【解析】【分析】（1）由新定義可知，利用作差及不等式的性質(zhì)證明即可；（2）由已知條件轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意，都有，，只需且，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可.（3）分和兩種情況進(jìn)行證明，，用放縮法進(jìn)行證明即可.【小問(wèn)1詳解】對(duì)于任意不同的，有，，所以，，所以是上的“3類(lèi)函數(shù)”.【小問(wèn)2詳解