第07講5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象課程標準學習目標①理解與掌握正切函數(shù)的性質(zhì)，并能運用正切函數(shù)的性質(zhì)解決與正切函數(shù)相關的周期性、奇偶性，定義域、值域、單調(diào)性等問題。②掌握正切函數(shù)的圖象的畫法，會運用正切函數(shù)的圖象研究正切函數(shù)的性質(zhì)，并能解決與正切函數(shù)有關的相關量問題。會運用正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決與正切函數(shù)有關的周期、奇偶性、單調(diào)性及值域等問題.知識點01：正切函數(shù)的圖象【即學即練1】（23-24高一上·寧夏銀川·期末）函數(shù)（）的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

知識點02：正切（型）函數(shù)的性質(zhì)正切函數(shù)正切型函數(shù)定義域由值域周期性奇偶性奇函數(shù)當時是奇函數(shù)單調(diào)性在，上單調(diào)遞增當,時，由，解出單調(diào)增區(qū)間對稱性對稱中心：；無對稱軸令：，對稱中心為：，無對稱軸【即學即練2】（23-24高一下·陜西咸陽·階段練習）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．在定義域內(nèi)是增函數(shù) B．是奇函數(shù)C．的最小正周期是π D．圖像的對稱中心是，題型01正切函數(shù)的定義域【典例1】（23-24高一上·陜西寶雞·期末）函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．【典例2】（23-24高一上·新疆烏魯木齊·期末）求函數(shù)的定義域．【變式1】（23-24高一下·上海黃浦·期末）設，若函數(shù)的.定義域為，則的值為．【變式2】（23-24高一下·陜西渭南·階段練習）函數(shù)的定義域為.題型02正切函數(shù)的值域【典例1】（23-24高一下·江西·階段練習）函數(shù)，的值域為（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·上海·隨堂練習）已知函數(shù)在，上的最小值、最大值分別為1和7，求m和n的值.【變式1】（23-24高一下·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的值域是（）A． B．C． D．【變式2】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)在x∈[]上的最大值為4，則實數(shù)a為.題型03求正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【典例1】（2024高三·全國·專題練習）的單調(diào)遞減區(qū)間為.【典例2】（24-25高二·上海·假期作業(yè)）求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)；(2).【變式1】（23-24高一·上?！ふn堂例題）求函數(shù)的定義域，并寫出其單調(diào)區(qū)間．【變式2】（23-24高一上·黑龍江雞西·期末）求函數(shù)的定義域和單調(diào)增區(qū)間.題型04正切函數(shù)單調(diào)性的應用【典例1】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）比較與的大小.【典例2】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）求函數(shù)的定義域；【變式1】（23-24高一上·安徽黃山·期末）已知函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，則的取值范圍是A． B． C． D．【變式2】（23-24高一下·廣西欽州·期中）不等式的解集為（

）A． B．C． D．【變式3】（多選）（23-24高一下·浙江杭州·開學考試）下列不等式中，正確的是（

）．A． B．C． D．題型05正切函數(shù)的周期性與奇偶性【典例1】（23-24高一下·廣東佛山·期中）函數(shù)的最小正周期為（

）A．2 B．1 C． D．【典例2】（23-24高一下·四川眉山·階段練習）已知，且，則【典例3】（23-24高一·上?！ふn堂例題）判斷下列函數(shù)的奇偶性，并說明理由：(1)；(2)；(3)；(4)．【變式1】（24-25高一上·上海·隨堂練習）若函數(shù)（）的最小正周期是2，則a的值為.【變式2】（23-24高一下·遼寧沈陽·階段練習）已知，.【變式3】（23-24高一上·河北邢臺·階段練習）已知函數(shù)的圖象關于原點中心對稱，則的最小值為．【變式4】（2024高一·全國·專題練習）判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)；(2).題型06正切函數(shù)圖象的對稱性【典例1】（23-24高一下·河南駐馬店·階段練習）下列是函數(shù)的對稱中心的是（

）A． B． C．0,1 D．【典例2】（23-24高三上·廣西貴港·階段練習）函數(shù)圖像的對稱軸方程為（

）A． B．C． D．【變式1】（2024高三·全國·專題練習）函數(shù)的對稱中心是（）A． B．，C．， D．，【變式2】（23-24高一下·四川·階段練習）已知函數(shù)的圖象關于點對稱，則.題型07與正切（型）函數(shù)有關的值域（最值）問題【典例1】（23-24高一上·河北張家口·期末）函數(shù)，的值域為（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高一下·陜西漢中·階段練習）函數(shù)在上的值域為．【典例3】（23-24高一下·湖北·階段練習）已知函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為7，最小值為3，則.【變式1】（24-25高一上·全國·課前預習）（1）函數(shù)的定義域是．（2）函數(shù)的值域為．【變式2】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）求函數(shù)的最大值和最小值.【變式3】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）求函數(shù)，的值域.題型08正切函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用【典例1】（24-25高一·上?！るS堂練習）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求方程的解集．【典例2】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）設函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域、最小正周期和單調(diào)區(qū)間；(2)求不等式的解集；(3)作出函數(shù)在一個周期內(nèi)的簡圖.【典例3】（23-24高一下·重慶銅梁·階段練習）已知函數(shù)，，其中．(1)當時，求函數(shù)的最大值和最小值；(2)求函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)時的取值范圍．【變式1】（23-24高一下·河南·階段練習）函數(shù)，已知函數(shù)的圖象與x軸相鄰兩個交點的距離為，且圖象關于點對稱．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求不等式的解集．【變式2】（2024高一上·全國·專題練習）已知函數(shù)．(1)求的定義域和值域．(2)討論的最小正周期和單調(diào)區(qū)間．(3)求的對稱中心．【變式3】（23-24高二·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)的圖像與x軸相交的兩相鄰點的坐標分別為和，且過點.求：（1）函數(shù)的解析式；（2）滿足的x的取值范圍.A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎1．（23-24高一下·陜西渭南·期末）若函數(shù)的圖象與直線沒有交點，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·山東東營·期末）函數(shù)的相鄰兩個零點之間的距離為（

）A． B．6 C． D．123．（23-24高一上·寧夏銀川·期末）函數(shù)在上的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．4．（23-24高一上·河北邢臺·階段練習）當時，函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．4C．為的一個對稱中心 D．最小正周期為三、填空題11．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．12．（24-25高一·上海·隨堂練習）函數(shù)（，）為奇函數(shù)需滿足條件為．四、解答題13．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）求函數(shù)的定義域，并討論它的單調(diào)性.B能力提升1．（2024·天津河西·二模）若，，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·遼寧葫蘆島·期末）設集合，則集合A的元素個數(shù)為（

）A．1013 B．1014 C．2024 D．20253．（23-24高一上·福建福州）已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；（2）若在上有零點，求實數(shù)的取值范圍.C綜合素養(yǎng)1．（23-24高一下·江西·階段練習）已知函數(shù)與函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖中陰影部分的面積為4．

(1)求的定義域；(2)若是定義在上的函數(shù)，求關于x的不等式的解集．第07講5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象課程標準學習目標①理解與掌握正切函數(shù)的性質(zhì)，并能運用正切函數(shù)的性質(zhì)解決與正切函數(shù)相關的周期性、奇偶性，定義域、值域、單調(diào)性等問題。②掌握正切函數(shù)的圖象的畫法，會運用正切函數(shù)的圖象研究正切函數(shù)的性質(zhì)，并能解決與正切函數(shù)有關的相關量問題。會運用正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決與正切函數(shù)有關的周期、奇偶性、單調(diào)性及值域等問題.知識點01：正切函數(shù)的圖象【即學即練1】（23-24高一上·寧夏銀川·期末）函數(shù)（）的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性排除不符合的兩個選項，再根據(jù)f1【詳解】因為函數(shù)（）所以，則函數(shù)為偶函數(shù)，故排除A，C選項；又，故排除D選項，故選B符合.故選：B.知識點02：正切（型）函數(shù)的性質(zhì)正切函數(shù)正切型函數(shù)定義域由值域周期性奇偶性奇函數(shù)當時是奇函數(shù)單調(diào)性在，上單調(diào)遞增當,時，由，解出單調(diào)增區(qū)間對稱性對稱中心：；無對稱軸令：，對稱中心為：，無對稱軸【即學即練2】（23-24高一下·陜西咸陽·階段練習）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．在定義域內(nèi)是增函數(shù) B．是奇函數(shù)C．的最小正周期是π D．圖像的對稱中心是，【答案】D【分析】根據(jù)題意結合正切函數(shù)性質(zhì)逐項分析判斷.【詳解】對于選項AC：因為的最小正周期是，可知在定義域內(nèi)不單調(diào)，故AC錯誤；對于選項B：，可知不是奇函數(shù)，故B錯誤；對于選項D：令，解得，所以圖像的對稱中心是，，故D正確；故選：D.題型01正切函數(shù)的定義域【典例1】（23-24高一上·陜西寶雞·期末）函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正切函數(shù)特征，得到不等式，求出定義域.【詳解】由正切函數(shù)的定義域，令，即，所以函數(shù)的定義域為.故選：C.【典例2】（23-24高一上·新疆烏魯木齊·期末）求函數(shù)的定義域．【答案】【分析】利用正切函數(shù)的定義，列出不等式求解即得.【詳解】函數(shù)有意義，則，解得，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：【變式1】（23-24高一下·上海黃浦·期末）設，若函數(shù)的.定義域為，則的值為．【答案】/【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義域，列式求解.【詳解】由題意可知，，，所以.故答案為：【變式2】（23-24高一下·陜西渭南·階段練習）函數(shù)的定義域為.【答案】.【分析】根據(jù)題意，利用正切函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.【詳解】由函數(shù)，則滿足，解得，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：.題型02正切函數(shù)的值域【典例1】（23-24高一下·江西·階段練習）函數(shù)，的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出的范圍，再由正切函數(shù)的性質(zhì)求出范圍，再乘以3即可.【詳解】故選：C.【典例2】（24-25高一上·上?！るS堂練習）已知函數(shù)在，上的最小值、最大值分別為1和7，求m和n的值.【答案】或.【分析】根據(jù)的正負分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性分別表達出最值關系式，解方程組可得.【詳解】正切函數(shù)在，單調(diào)遞增，且，，由題意函數(shù)最小值、最大值分別為1和7，可知，①當時，函數(shù)在，單調(diào)遞增，，解得；②當時，函數(shù)在，單調(diào)遞減，即.綜上所述，或.【變式1】（23-24高一下·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的值域是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的有界性與正切函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的值域．【詳解】∵，∴.∵在上是單調(diào)遞增的．即∴函數(shù)的值域為.故選：C【變式2】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)在x∈[]上的最大值為4，則實數(shù)a為.【答案】/【分析】利用正切函數(shù)單調(diào)性求出最大值作答.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當時，，因此，解得，所以實數(shù)a為.故答案為：題型03求正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【典例1】（2024高三·全國·專題練習）的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】【分析】化簡函數(shù)為，由正切函數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】函數(shù)，由正切函數(shù)的性質(zhì)知，解得所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為故答案為：【典例2】（24-25高二·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)；(2).【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，，無單調(diào)遞減區(qū)間(2)單調(diào)遞減區(qū)間為，，無單調(diào)遞增區(qū)間【分析】（1）直接根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（2）首先利用誘導公式將函數(shù)化簡，再結合正切函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】（1）由題意得，，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，無單調(diào)遞減區(qū)間；（2），由題意得，，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，無單調(diào)遞增區(qū)間.【變式1】（23-24高一·上?！ふn堂例題）求函數(shù)的定義域，并寫出其單調(diào)區(qū)間．【答案】定義域為，單調(diào)遞增區(qū)間為，沒有減區(qū)間【分析】根據(jù)正切型函數(shù)定義域和單調(diào)區(qū)間的求法求得正確答案.【詳解】由解得，所以函數(shù)的定義域為，由解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒有減區(qū)間.【變式2】（23-24高一上·黑龍江雞西·期末）求函數(shù)的定義域和單調(diào)增區(qū)間.【答案】；.【分析】求正切型函數(shù)的定義域和遞增區(qū)間，首先都要把角看成整體角，再利用正切函數(shù)的定義域和遞增區(qū)間處理即可.【詳解】由函數(shù)有意義可得：，解得，即函數(shù)的定義域為：又由可得：，即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：.題型04正切函數(shù)單調(diào)性的應用【典例1】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）比較與的大小.【答案】.【分析】根據(jù)誘導公式結合正切函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】，，∵，在上為嚴格增函數(shù)，∴，即.【典例2】（24-25高一上·上海·課堂例題）求函數(shù)的定義域；【答案】.【分析】由題意得，然后根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】由，得.在內(nèi)滿足上述不等式的x的取值范圍為.又的周期為，所以所求x的范圍是.【變式1】（23-24高一上·安徽黃山·期末）已知函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題設有為減函數(shù)，且，恒成立，所以，解得，選B.【變式2】（23-24高一下·廣西欽州·期中）不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用正切函數(shù)的單調(diào)性解不等式即得.【詳解】依題意，得，解得，所以不等式的解集為.故選：A【變式3】（多選）（23-24高一下·浙江杭州·開學考試）下列不等式中，正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用誘導公式及三角函數(shù)的單調(diào)性判斷A、B，利用三角函數(shù)線證明當時，即可判斷C、D.【詳解】對于A：，，所以，故A錯誤；對于B：因為，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，所以，故B正確；對于C、D：首先證明當時，構造單位圓，如圖所示：則，設，則，過點作直線垂直于軸，交所在直線于點，由，得，所以，由圖可知，即，即，所以，，故C正確，D錯誤；故選：BC題型05正切函數(shù)的周期性與奇偶性【典例1】（23-24高一下·廣東佛山·期中）函數(shù)的最小正周期為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)周期公式直接求解即可【詳解】的最小正周期為.故選：B【典例2】（23-24高一下·四川眉山·階段練習）已知，且，則【答案】【分析】根據(jù)題意可證，令運算求解即可.【詳解】由題意可知：的定義域為，關于原點對稱，且，即，顯然，則，即，解得.故答案為：.【典例3】（23-24高一·上?！ふn堂例題）判斷下列函數(shù)的奇偶性，并說明理由：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)奇函數(shù)，理由見解析(2)偶函數(shù)，理由見解析(3)奇函數(shù)，理由見解析(4)偶函數(shù)，理由見解析【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性以及正切函數(shù)的知識求得正確答案.【詳解】（1）是奇函數(shù)，理由如下：設，由解得，所以的定義域為，，所以是奇函數(shù).（2）是偶函數(shù)，理由如下：設，則的定義域是，，所以是偶函數(shù).（3）是奇函數(shù)，理由如下：設，則定義域是，，所以是奇函數(shù).（4）是偶函數(shù)，理由如下：設，則的定義域是，，所以是偶函數(shù).【變式1】（24-25高一上·上?！るS堂練習）若函數(shù)（）的最小正周期是2，則a的值為.【答案】/【分析】由正切函數(shù)的周期公式計算可得答案.【詳解】由正切函數(shù)的周期公式得，，解得，，故答案為：.【變式2】（23-24高一下·遼寧沈陽·階段練習）已知，.【答案】【分析】利用正弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)直接求解.【詳解】∵，∴，，，，∴.故答案為：【變式3】（23-24高一上·河北邢臺·階段練習）已知函數(shù)的圖象關于原點中心對稱，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的奇偶性列式運算得解.【詳解】因為的圖象關于原點中心對稱，所以，又，故的最小值為．故答案為：.【變式4】（2024高一·全國·專題練習）判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)；(2).【答案】(1)既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)(2)奇函數(shù)【分析】(1)求函數(shù)的定義域，可得定義域不關于原點對稱，由此判斷函數(shù)既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)，(2)求函數(shù)的定義域，確定定義域關于原點對稱，再通過比較與的關系判斷函數(shù)的奇偶性.【詳解】（1）由得的定義域為且，由于的定義域不關于原點對稱，所以函數(shù)既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)；（2）由題知函數(shù)的定義域為且，定義域關于原點對稱，又，所以函數(shù)是奇函數(shù).題型06正切函數(shù)圖象的對稱性【典例1】（23-24高一下·河南駐馬店·階段練習）下列是函數(shù)的對稱中心的是（

）A． B． C．0,1 D．【答案】D【分析】整體法求出函數(shù)的對稱中心為，一一檢驗得到答案.【詳解】令，解得，故函數(shù)的對稱中心為，故AB錯誤；當時，，故對稱中心為，D正確，經(jīng)檢驗，C不滿足要求.故選：D【典例2】（23-24高三上·廣西貴港·階段練習）函數(shù)圖像的對稱軸方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由的對稱軸為，代換解出即可【詳解】由函數(shù)的對稱軸為令，得：所以函數(shù)圖像的對稱軸方程為：故選：A.【變式1】（2024高三·全國·專題練習）函數(shù)的對稱中心是（）A． B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)整體法即可求解.【詳解】令（），解得（），故函數(shù)的對稱中心為，．故選:D．【變式2】（23-24高一下·四川·階段練習）已知函數(shù)的圖象關于點對稱，則.【答案】/【分析】由正切函數(shù)的圖象關于點對稱求解．【詳解】因為的圖象關于點對稱，所以，所以，因為，所以.故答案為：．題型07與正切（型）函數(shù)有關的值域（最值）問題【典例1】（23-24高一上·河北張家口·期末）函數(shù)，的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用配方法，進而利用二次函數(shù)即可.【詳解】函數(shù)，由，則，所以函數(shù)的值域為.故選：C.【點睛】本題考查了函數(shù)值域的求法，高中函數(shù)值域求法有：1.觀察法，2.配方法，3.反函數(shù)法，4.判別式法，5.換元法，6.數(shù)形結合法，7.不等式法，8.分離常數(shù)法，9.單調(diào)性法，10.利用導數(shù)求函數(shù)的值域，11.最值法，12.構造法，13.比例法，要根據(jù)題意選擇，屬于基礎題．【典例2】（23-24高一下·陜西漢中·階段練習）函數(shù)在上的值域為．【答案】【分析】根據(jù)題意求得，結合正切函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由，可得，根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，可得，即函數(shù)在上的值域為.故答案為：.【典例3】（23-24高一下·湖北·階段練習）已知函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為7，最小值為3，則.【答案】/【分析】分析在的單調(diào)性，求出的范圍，根據(jù)最值建立等式，解出即可.【詳解】解：取，解得，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞減，因為在閉區(qū)間上有最大值為7，最小值為3，所以，且，，即，解得，因為，所以，故.故答案為：【變式1】（24-25高一上·全國·課前預習）（1）函數(shù)的定義域是．（2）函數(shù)的值域為．【答案】【分析】（1）由被開方數(shù)非負建立不等式，再結合正切函數(shù)圖象可解；（2）令，換元法轉化為求二次函數(shù)值域即可.【詳解】（1）要使有意義，則，解得，解得.故函數(shù)的定義域是；（2）設，則，當時，.所以的值域是．故答案為：；.【變式2】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）求函數(shù)的最大值和最小值.【答案】最大值為，最小值為.【分析】結合分離常數(shù)法和基本不等式，然后分類討論即可求解.【詳解】解：①當時，；②時，，由可知，當且僅當，即時等號成立，∴.③當時，，由知，當且僅當,故，即.綜上，的最大值為，最小值為.【變式3】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）求函數(shù)，的值域.【答案】.【分析】應用復合函數(shù)的單調(diào)性，結合正切函數(shù)及二次函數(shù)求值域即可.【詳解】.∵，∴.當，即時，y取最小值-1；當，即時，y取最大值.∴函數(shù)的值域為.題型08正切函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用【典例1】（24-25高一·上?！るS堂練習）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求方程的解集．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正切函數(shù)的最小正周期公式計算即可;（2）由，可得，然后解正切函數(shù)方程即可.【詳解】（1）最小正周期．（2）由，，由題意可得，，解得，，故方程的解集為．【典例2】（24-25高一上·上海·課堂例題）設函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域、最小正周期和單調(diào)區(qū)間；(2)求不等式的解集；(3)作出函數(shù)在一個周期內(nèi)的簡圖.【答案】(1)定義域是，最小正周期，單調(diào)增區(qū)間是（）.(2)；(3)答案見解析.【分析】（1）由整體代換即可求出正切函數(shù)的定義域，由周期公式可得最小正周期，由單調(diào)性解不等式可得單調(diào)增區(qū)間.（2）由（1）中的單調(diào)性解不等式，可得其解集.（3）利用五點作圖法即可得一個周期內(nèi)的簡圖.【詳解】（1）由，得（），∴的定義域是,∵，∴最小正周期，由（），得（）.∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（）.所以函數(shù)定義域是，最小正周期，單調(diào)增區(qū)間是（）.（2）由，得（）.解得（）.∴不等式的解集是.（3）令，則；令，則；令，則.∴函數(shù)的圖像與x軸的一個交點坐標是，在這個交點左、右兩側相鄰的兩條漸近線方程分別是，.從而得函數(shù)y=fx在一個周期內(nèi)的簡圖如下：【典例3】（23-24高一下·重慶銅梁·階段練習）已知函數(shù)，，其中．(1)當時，求函數(shù)的最大值和最小值；(2)求函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)時的取值范圍．【答案】(1)最大值為，最小值為；(2).【分析】（1）求出函數(shù)的解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值.（2）利用二次函數(shù)單調(diào)性列出不等式，再利用正切函數(shù)單調(diào)性解不等式即得.【詳解】（1）當時，函數(shù)，而，則當時，，當時，，所以函數(shù)的最大值和最小值分別為和.（2）函數(shù)圖象的對稱軸為，依題意，或，解得或，又，解得或，所以的取值范圍是.【變式1】（23-24高一下·河南·階段練習）函數(shù)，已知函數(shù)的圖象與x軸相鄰兩個交點的距離為，且圖象關于點對稱．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求不等式的解集．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，，無單調(diào)遞減區(qū)間；(2).【分析】（1）由三角函數(shù)的性質(zhì)求出，令，即可求出的單調(diào)區(qū)間；（2）由，解不等式即可得出答案.【詳解】（1）由題意知，函數(shù)的最小正周期為，因為，所以，所以因為函數(shù)y=fx的圖象關于點對稱，所以，，即，，因為，所以，故．令，，得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，無單調(diào)遞減區(qū)間．（2）由（1）知，．由，得，，即，

所以不等式的解集為：.【變式2】（2024高一上·全國·專題練習）已知函數(shù)．(1)求的定義域和值域．(2)討論的最小正周期和單調(diào)區(qū)間．(3)求的對稱中心．【答案】(1)定義域為，，值域為；(2)最小正周期是；單調(diào)增區(qū)間為，，；無減區(qū)間；(3)，，．【分析】（1）由已知函數(shù)的解析式可直接求解其定義域、值域；（2）由已知，可通過來求解函數(shù)的最小正周期，可令求解函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）可令來求解函數(shù)的對稱中心.【詳解】（1）函數(shù)，，，即，；的定義域為，，值域為；（2），的最小正周期是；又令，，，，的單調(diào)增區(qū)間為，，，無減區(qū)間；（3）令，，解得，，此時；函數(shù)的對稱中心為，，．【變式3】（23-24高二·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)的圖像與x軸相交的兩相鄰點的坐標分別為和，且過點.求：（1）函數(shù)的解析式；（2）滿足的x的取值范圍.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的最小正周期求出，根據(jù)它的圖像過點求出，根據(jù)它的圖像過點，求出的值即得解；（2）利用正切函數(shù)的圖象得到，化簡即得解.【詳解】（1）由題意可得的周期為，所以，所以，因為它的圖像過點，所以，即，所以，即.又，所以，于是.又它的圖像過點，所以，得.所以.（2）由（1）得，所以，即.解得.所以滿足的x的取值范圍是A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎1．（23-24高一下·陜西渭南·期末）若函數(shù)的圖象與直線沒有交點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，代入求值即可.【詳解】函數(shù)的圖象與直線沒有交點．若函數(shù)的圖象與直線沒有交點，則，，則的最小值為．故選：B.2．（23-24高一下·山東東營·期末）函數(shù)的相鄰兩個零點之間的距離為（

）A． B．6 C． D．12【答案】B【分析】函數(shù)的相鄰兩個零點之間的距離即為最小正周期，求解即可.【詳解】由正切函數(shù)的圖象可知，函數(shù)的相鄰兩個零點之間的距離即為最小正周期，又最小正周期為，所以函數(shù)的相鄰兩個零點之間的距離為.故選：B.3．（23-24高一上·寧夏銀川·期末）函數(shù)在上的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】利用正切函數(shù)的單調(diào)性可得在處取得最小值.【詳解】由正切函數(shù)的單調(diào)性可知，在上為單調(diào)遞增，所以其最小值為.故選：D4．（23-24高一上·河北邢臺·階段練習）當時，函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】作出函數(shù)在上的圖象與在的圖象即可得解.【詳解】作出函數(shù)在上的圖象與在的圖象，如圖，觀察圖象，得函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為2.故選：C5．（23-24高三下·四川德陽·階段練習）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，若，則的取值范圍是（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性得，解出即可.【詳解】因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，則，即，即，則，解得（）.故選：D.6．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，求與的值，則下列答案不可能的是（

）A．8和6 B．3和1C．7和1 D．5和2【答案】D【分析】令，判斷其奇偶性，從而得，2c為偶數(shù)，結合選項，即可得答案.【詳解】令，則，即為奇函數(shù)，則，由，得，2c為偶數(shù)，而選項D中兩數(shù)之和為7，因此不可能為D.故選：D7．（2024·天津河北·二模）函數(shù)，則y=fx的部分圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)奇偶性排除AB；根據(jù)特殊值的函數(shù)值排除D，即可得解.【詳解】函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故排除AB；又因為，故排除D.故選：C.8．（23-24高三下·福建廈門·強基計劃）在上的零點個數(shù)（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】借助因式分解的方法，結合特殊角的三角函數(shù)值求解即得.【詳解】依題意，，而，顯然且，因此，由，得，解得或，所以在上的零點個數(shù)是2.故選：B二、多選題9．（23-24高一下·河南信陽·期中）下列函數(shù)中，同時滿足：①在上是增函數(shù)；②為偶函數(shù)的是（

）A． B．y=tanx C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，逐項判斷即可.【詳解】選項A：為偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，故A正確；選項B：為偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，故B正確；選項C：為偶函數(shù)，但在上是減函數(shù)，故C不正確；選項D：為偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，故D正確.故選：ABD10．（2