人教B版

數(shù)學(xué)

必修第三冊第七章三角函數(shù)7.2.1三角函數(shù)的定義課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.理解任意角的正弦、余弦、正切的定義.2.會求角的正弦、余弦、正切值.3.掌握三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號.4.培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、任意角的正弦、余弦與正切的定義1.若α∈

,點(diǎn)P(3,4)在角α的終邊上,由此能否求出sinα,cosα,tanα的值?若能求出,簡述過程;若不能,請說明理由.提示:能.過點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為點(diǎn)M,則有2.上題中,若在角α的終邊上另取一個(gè)不同于坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)P',則sinα,cosα,tanα的值有變化嗎?提示:沒有變化.3.當(dāng)α為任意角時(shí),能否用上述方法求sinα,cosα,tanα的值?提示:能.(2)對于每一個(gè)角α,都有唯一確定的正弦、余弦與之對應(yīng);當(dāng)α≠kπ+,k∈Z時(shí),有唯一的正切與之對應(yīng).角α的正弦、余弦與正切,都稱為角α的三角函數(shù).5.若點(diǎn)(-1,-2)在角α的終邊上,則sinα=

;cosα=

;tanα=

.

二、正弦、余弦與正切在各象限的符號【問題思考】2.(1)正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限的符號

(2)三角函數(shù)符號的記憶口訣三角函數(shù)在各象限的符號可簡記為“全正切余”,即按象限依次為:第一象限全為正;第二象限正弦為正;第三象限正切為正;第四象限余弦為正.(3)角αsinαcosαtanαα=2kπ(k∈Z)010α=2kπ+(k∈Z)10不存在α=2kπ+π(k∈Z)0-10α=2kπ+(k∈Z)-10不存在3.若cosα>0,tanα<0,則角α是第四象限角.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)三角函數(shù)也是函數(shù),它們都是以角為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù).(

)(2)若sinα=sinβ,則α=β.(

)(3)已知α是三角形的內(nèi)角,則必有sinα>0.(

)(4)存在角α,使sinα<0,cosα<0,tanα<0.(

)(5)角α的三角函數(shù)值隨點(diǎn)P在α終邊的位置不同而不同.(

)√×√××合作探究釋疑解惑探究一三角函數(shù)的定義【例1】

若點(diǎn)P(2m,-3m)(m>0)是角α的終邊上一點(diǎn),求sinα,cosα,tanα的值.例1中,若將m>0變?yōu)閙<0,其他不變,求sinα,cosα,tanα的值.利用三角函數(shù)的定義求角的三角函數(shù)值的步驟:(1)確定任意角α的終邊上一個(gè)不同于坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)P(x,y).(2)求出(3)代入任意角三角函數(shù)的定義求值.探究二三角函數(shù)符號的判斷【例2】

判斷下列各式的符號.(1)sin1020°cos1021°tan1022°;(2)tan191°-cos191°;(3)sin2cos3tan4.分析:先判斷角所在的象限,再判斷相應(yīng)三角函數(shù)值的符號.解:(1)∵1

020°=2×360°+300°,1

021°=2×360°+301°,1

022°=2×360°+302°,∴它們都是第四象限角,∴sin

1

020°<0,cos

1

021°>0,tan

1

022°<0,∴sin

1

020°cos

1

021°tan

1

022°>0.(2)∵191°角是第三象限角,∴tan

191°>0,cos

191°<0,∴tan

191°-cos

191°>0.∴2是第二象限角,3是第二象限角,4是第三象限角,∴sin

2>0,cos

3<0,tan

4>0,∴sin

2cos

3tan

4<0.1.三角函數(shù)值的符號是根據(jù)三角函數(shù)的定義,由各象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)的符號得出的.2.符號規(guī)律:第一象限全是正值,第二象限正弦是正值,第三象限正切是正值,第四象限余弦是正值.答案:2探究三應(yīng)用三角函數(shù)的符號求參數(shù)值(或取值范圍)【例3】

已知角α的終邊上一個(gè)不同于坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)P(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析:P(x,y)是α的終邊上不同于坐標(biāo)原點(diǎn)的一點(diǎn),cos

α≤0,則x≤0;sin

α>0,則y>0.解:由題意可知,3a-9≤0,a+2>0,∴a≤3,且a>-2.∴-2<a≤3.【變式訓(xùn)練3】

已知角α的終邊上一點(diǎn)P(8,x),且sinα=,tanα<0,求x的值.思想方法用分類討論的思想求三角函數(shù)值【典例】

已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(3t,-4t),t≠0,求sinθ,cosθ,tanθ的值.【變式訓(xùn)練】

若角α的終邊落在直線y=2x上,則sinα的值為

.

隨堂練習(xí)答案:D答案:AB3.若sinα<0,cosα>0,則角α是第

象限角.

答案:四4.若|sinx