10.2平面向量的數(shù)量積（基礎(chǔ)）一、單選題1．（2021·濟(jì)南市歷城第二中學(xué)高三開學(xué)考試）若，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，∴即，設(shè)向量與的夾角為，則，又，∴，.故選：A.2．（2021·甘肅城關(guān)·蘭州一中高三月考（文））已知向量，的夾角為60°，，，則（）A．2 B．C． D．12【答案】C【解析】，所以.故選：C.3．（2021·四川省樂山第一中學(xué)校高三月考（理））已知平面向量，，且，則（）A．4 B． C． D．5【答案】D【解析】由，得，所以，則，，所以.故選：D.4．（2021·江蘇蘇州·高三月考）已知，是單位向量，且，則向量與夾角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知，，則解得故選：A5．（2021·黑龍江哈爾濱·哈師大附中高三月考（理））已知向量則（）A． B． C． D．5【答案】B【解析】由題意，則故選：B6．（2021·安徽鏡湖·蕪湖一中（理））已知，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】.故選：B.7．（2021·安徽鏡湖·蕪湖一中（理））已知，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：由題可知，，，由于，則，解得：.故選：B.8．（2021·四川省樂山第一中學(xué)校高三月考（理））《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的兒何圖形一八卦圖．圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖其余八塊面積相等的圖形代表八卦圖．已知正八邊形的邊長為2，是正八邊形內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：因?yàn)槊總€(gè)三角形的頂角為．的模為2，根據(jù)正八邊形的特征，所以，，所以如下圖所示，在方向上的投影的取值范圍是，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是．故選：D.9．（2021·河西·天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)高三月考）“”是“與夾角為鈍角”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，可得，所以與夾角為鈍角或是，所以由“”得不出“與夾角為鈍角”，故充分性不成立；若“與夾角為鈍角”，即，所以，所以，所以由“與夾角為鈍角”可得出，故必要性成立，所以“”是“與夾角為鈍角”的必要不充分條件，故選：B.10．（2021·湖南天心·長郡中學(xué)高三月考）已知平面向量與的夾角為，，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋裕?，所以，所以，故選：B.11．（2021·吉林白山·高三期末（文））若向量與向量的夾角為，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，又故選：D12．（2021·湖南天心·長郡中學(xué)高三月考）非零向量，滿足，且，則為（）A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等邊三角形 D．等邊三角形【答案】D【解析】，，分別為單位向量，的角平分線與垂直，，，，，為等邊三角形．故選：D．13．（2021·撫順市第二中學(xué)高三模擬預(yù)測）已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，又，又故選：B14．（2021·全國高三月考（文））已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A．， B．，使得C．，與的夾角小于 D．，使得【答案】A【解析】因?yàn)?，，又，所?故正確；，若，則，解得，即當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；設(shè)與的夾角為，則，當(dāng)時(shí)，，夾角為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以不存在，使得，故D錯(cuò)誤.故選：.15．（2021·貴州貴陽一中高三月考（理））已知向量，且，則（）A． B． C．2 D．2【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以，化簡?故選：D.二、多選題16．（2021·廣東荔灣·高三月考）已知向量，，則下列說法正確的是（）A．若，則的值為B．的最小值為1C．若，則的值為2D．若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是且【答案】BCD【解析】選項(xiàng)A，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，，當(dāng)時(shí)取等號，B選項(xiàng)正確；，根據(jù)，解得，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，與的夾角為鈍角，則，且兩個(gè)向量不能反向共線，注意到A選項(xiàng)，時(shí)，，于是且.故選:BCD.17．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知、是平面上夾角為的兩個(gè)單位向量，在該平面上，且，則下列結(jié)論中正確的有（）A． B．C． D．與的夾角是鈍角【答案】BC【解析】對于A選項(xiàng)，，故，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，，故，B對；對于CD選項(xiàng)，作，，，則，，，所以，，故點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，如下圖所示：

設(shè)線段的中點(diǎn)為點(diǎn)，則，，所以，，C對，以、為鄰邊作平行四邊形，則，則為向量與的夾角，當(dāng)與圓相切時(shí)（此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合），此時(shí)，取得最大值，連接，則，則為銳角，即與的夾角是銳角，D錯(cuò)誤.故選：BC.18．（2021·湖北高三開學(xué)考試）已知，，則下列說法正確的有（）A．在方向上的投影為 B．與同向的單位向量是C． D．與平行【答案】ABC【解析】對于A：因?yàn)椋?，所以，，所以在方向上的投影為，故選項(xiàng)A正確；對于B：，所以與同向的單位向量是，即，故選項(xiàng)B正確；對于C：由，因?yàn)?，所以故選項(xiàng)C正確；對于D：因?yàn)?，所以與不平行，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：ABC.19．（2021·湖北高三開學(xué)考試）已知，，且，則（）A．B．C．D．若，則【答案】ACD【解析】因?yàn)?，所以，即，解得或（舍），故選項(xiàng)A正確；由得，所以，故選項(xiàng)B不正確；，故選項(xiàng)C正確；若，則，所以，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.20．（2021·重慶高三開學(xué)考試）已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AC【解析】由，得，則A正確，B錯(cuò)誤；由，得，即，則C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC．21．（2021·江蘇省前黃高級中學(xué)高三模擬預(yù)測）已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．與的夾角為 D．【答案】ABCD【解析】對于A：因?yàn)?，，所以，則，所以，故選項(xiàng)A正確；對于B：由可得：，故選項(xiàng)B正確；對于C：，，，設(shè)與的夾角為，所以，因?yàn)椋?，故選項(xiàng)C正確；對于D：，故選項(xiàng)D正確；故選：ABCD.22．（2021·江蘇高三開學(xué)考試）設(shè)，是兩個(gè)非零向量，下列四個(gè)命題為真命題的是（）A．若，則和的夾角為B．若，則和的夾角為C．若，則和方向相同D．若，則和b的夾角為鈍角【答案】ABC【解析】，，，構(gòu)成等邊三角形，A正確；由向量加法的平行四邊形法則可知，和的夾角為，B正確；，則與同向，C正確；若，則和的夾角為鈍角或者，D錯(cuò)誤，故選：ABC.三、填空題23．（2021·孟津縣第一高級中學(xué)高三月考（理））已知向量，滿足，且，則，夾角的余弦值為___________.【答案】【解析】依題意，，則，故，則.故答案為：24．（2021·孟津縣第一高級中學(xué)（文））已知向量，若，則______.【答案】【解析】因，則，又，且，于是得，即，解得，所以.故答案為：25．（2021·深圳市第七高級中學(xué)高三月考）平面向量與的夾角為，，，則_______.【答案】【解析】∵向量與的夾角為，，，∴，則，故答案為：．26．（2021·云南玉溪·高三月考（文））已知中，，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則______．【答案】

【解析】由題意知，，有，所以為直角三角形，將放在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，，又M是AB的中點(diǎn)，則，有，所以，故答案為：27．（2021·洛陽市第一高級中學(xué)高三月考（文））若非零向量滿足，，則與夾角的大小等于______.【答案】【解析】由得：，即，又，，整理可得：，，，.故答案為：.28．（2021·河北高三月考）若、均為單位向量且夾角為，設(shè)，若，則______.【答案】【解析】，因?yàn)?，所以，?故答案為：29．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)滿足如下條件：向量，，，則的取值