《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》下的新高考備考

一、高考評(píng)價(jià)體系的內(nèi)涵

中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系主要由“一核”“四層”"四翼’’三部分內(nèi)容組成.其中，“一核”為高考的核心功能，

即“立德樹(shù)人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”，是對(duì)素質(zhì)教育中高考核心功能的概括，回答“為什么考”的

問(wèn)題;“四層”為考查內(nèi)容，即“核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識(shí)”，是素質(zhì)教育目標(biāo)在高

考中的提煉，回答“考什么”的問(wèn)題廣四翼”為考查要求，即“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”，是

素質(zhì)教育的評(píng)價(jià)維度在高考中的體現(xiàn)，回答"怎么考''的問(wèn)題.

二、高考評(píng)價(jià)體系的重大意義

高考評(píng)價(jià)體系創(chuàng)造性地將立德樹(shù)人根本任務(wù)融入考試評(píng)價(jià)全過(guò)程,以實(shí)現(xiàn)高考評(píng)價(jià)目標(biāo)與素質(zhì)

教育目標(biāo)的內(nèi)在統(tǒng)一，切實(shí)將高考打造成為立德樹(shù)人的重要載體和素質(zhì)教育的關(guān)鍵環(huán)節(jié),使之成

為德智體美勞全面培養(yǎng)教育體系的有機(jī)組成部分，從而實(shí)現(xiàn)“招一考一教一學(xué)”全流程各個(gè)環(huán)節(jié)

無(wú)縫銜接.

三、高考評(píng)價(jià)體系對(duì)高考命題的指導(dǎo)

為實(shí)現(xiàn)高考評(píng)價(jià)體系的“核心價(jià)值引領(lǐng)”，即以立德樹(shù)人統(tǒng)領(lǐng)服務(wù)選才和引導(dǎo)教學(xué),促進(jìn)學(xué)生德智

體美勞全面發(fā)展.近幾年無(wú)論是新課標(biāo)全國(guó)卷，還是高考綜合改革省、市的試卷，都遵循了高考評(píng)

價(jià)體系的精神，在命題理念上逐步實(shí)現(xiàn)了從“知識(shí)立意”“能力立意”向“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能

力為重、知識(shí)為基”的轉(zhuǎn)變，高考評(píng)價(jià)體系的“一核四層四翼”的內(nèi)涵已在近年的高考內(nèi)容改革及

命題當(dāng)中逐步體現(xiàn).

四、高考評(píng)價(jià)體系的要求在高考試題中的體現(xiàn)

認(rèn)真研讀近幾年的高考試題，特別是今年的新高考數(shù)學(xué)山東卷試題，從中能夠清晰地感覺(jué)到“核心

價(jià)值引領(lǐng)”下的高考數(shù)學(xué)試題，發(fā)生了較為深刻的變化.試題落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，貫徹德智體

美勞全面發(fā)展方針,重視數(shù)學(xué)本質(zhì)，突出理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)文化的引領(lǐng)作用.

1.以試題情境體現(xiàn)“核心價(jià)值引領(lǐng)”“核心素養(yǎng)立意”

高考評(píng)價(jià)體系的理念“核心價(jià)值引領(lǐng)”“核心素養(yǎng)立意”，是通過(guò)問(wèn)題情境與情境活動(dòng)兩類(lèi)載體來(lái)實(shí)

現(xiàn)的，即通過(guò)選取適宜的素材，再現(xiàn)學(xué)科理論產(chǎn)生的場(chǎng)景或是呈現(xiàn)現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題情境，讓學(xué)生在真

實(shí)的背景下發(fā)揮核心價(jià)值引領(lǐng)作用，運(yùn)用必備知識(shí)和關(guān)鍵能力去解決實(shí)際問(wèn)題，全面綜合展現(xiàn)學(xué)

科素養(yǎng)水平.

真題再現(xiàn)

【例1】（2020山東,4）日皆是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀器,利用與唇面垂直的唇針投射到唇面

的影子來(lái)測(cè)定時(shí)間.把地球看成一個(gè)球（球心記為O）,地球上一點(diǎn)A的緯度是指04與地球赤道所

在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過(guò)點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日唇,若唇面

與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°,則唇針與點(diǎn)A處的水平面所成的角為（）

A.20°B.40°C.50°D.90°

試題解讀此題以中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀器日騫和地球?yàn)閱?wèn)題情境，考查立體幾何中直線與

平面所成角的概念及計(jì)算，此題既能夠引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注天文、地理等自然學(xué)科，又能引導(dǎo)學(xué)生了解

中國(guó)古代文明，激發(fā)學(xué)生愛(ài)國(guó)情懷.

【例2】(2020山東,6)基本再生數(shù)吊)與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)

指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初

始階段，可以用指數(shù)模型：/(f)=e"描述累計(jì)感染病例數(shù)/⑺隨時(shí)間(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)

率r與島,7近似滿足Ro=l+"有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出Ro=3.28,T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情

初始階段,累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(In2?0.69)()

A.L2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

試題解讀此題以當(dāng)前世界各國(guó)正在防控的重大疫情新冠肺炎的傳染為問(wèn)題情境，用數(shù)學(xué)模型揭

示病毒傳播規(guī)律，貼近生活.讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)源于生活，高于生活，服務(wù)于生活.在考查相關(guān)的數(shù)

學(xué)知識(shí)和從資料中提取信息的能力，突出數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用的同時(shí)，通過(guò)計(jì)算累計(jì)感染

病例數(shù)增加1倍僅需要1.8天的結(jié)果，進(jìn)一步引起學(xué)生重視自身的防護(hù)，感受中國(guó)在抗擊疫情中

取得的重大成就，關(guān)注世界各國(guó)疫情防控的情況，從而堅(jiān)定特色社會(huì)主義制度的優(yōu)越性，樹(shù)立起正

確的人生觀、價(jià)值觀.

【例3】(2020山東,7)已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCOEF內(nèi)的一點(diǎn)，則萬(wàn)?荏的取值范圍

是()

A.(-2,6)B,(-6,2)

C.(-2,4)D.(-4,6)

試題解讀此題給考生以較大的想象空間，以及多樣的選擇性，雖然題干不長(zhǎng)，條件不多，但考查了

“直觀想象''"數(shù)學(xué)抽象”"數(shù)學(xué)運(yùn)算”三大核心素養(yǎng)，以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和建系求解的數(shù)學(xué)方

法.

【例4】(2020山東,12)信息燧是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為

nn

1,2,…辦且P(X=i)=p>0(i=l,2,…片1,定義X的信息嫡W(X)=-Sp/log2p/.()

i=li=l

A.若則//(X)=0

B.若〃=2,則"(X)隨著pi的增大而增大

C.若2=#=1,2,…⑼，則”(X)隨著n的增大而增大

D.若〃=2m,隨機(jī)變量丫所有可能的取值為1,2,…，肛且P(y=/)=〃7+p2m+W=l,2,…，加)，則

H(X)WH(Y)

試題解讀此題以信息論中的重要概念信息嫡為問(wèn)題情境，結(jié)合中學(xué)所學(xué)的對(duì)數(shù)，分布列等知識(shí)編

制題目，考查學(xué)生獲取新知識(shí)的能力和對(duì)新問(wèn)題的理解探究能力，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注前沿科學(xué).

【例5】(2020山東,15)某中學(xué)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖所示.0為圓孔

及輪廓圓弧所在圓的圓心,A是圓弧與直線AG的切點(diǎn),8是圓弧AB與直線BC的切點(diǎn)，四

邊形OEFG為矩形,BCLOG,垂足為C,tanZODC=^BH//DG,EF=12cm,DE=2cm,A到直線DE

和EF的距離均為7cm,圓孔半徑為1cm,則圖中陰影部分的面積為cm2.

試題解讀此題以某中學(xué)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件為問(wèn)題情境，給出了一個(gè)較為復(fù)雜的幾

何圖形，以及多個(gè)已知條件，考查學(xué)生處理復(fù)雜問(wèn)題的邏輯思維的嚴(yán)密性,有序性，靈活性及解決實(shí)

際問(wèn)題的能力，此題除對(duì)“邏輯推理”“數(shù)學(xué)運(yùn)算”兩大核心素養(yǎng)考查得比較深刻外，還充分體現(xiàn)了

高考命題對(duì)中學(xué)德智體美勞五育并舉的引導(dǎo).

【例6】(2020山東,19)為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染,環(huán)境監(jiān)測(cè)部門(mén)對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研,

隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位:ng/n?),得下表:

(50,150](150,475]

so2[0,50]

PM2.5

10,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

(1)估計(jì)事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75,且SO2濃度不超過(guò)150”的概率;

(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表：

[0,150](150,4751

SO2

PM2.5

[0,75|

(75,115]

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO?濃度有關(guān)?

試題解讀此題以加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染為問(wèn)題情境，在重點(diǎn)考查學(xué)生概率統(tǒng)計(jì)知識(shí),閱讀理

解能力，“數(shù)據(jù)分析數(shù)學(xué)運(yùn)算”兩大核心素養(yǎng)的同時(shí)，還對(duì)引導(dǎo)學(xué)生增強(qiáng)環(huán)境保護(hù)的意識(shí),提升科

學(xué)發(fā)展經(jīng)濟(jì)理念，對(duì)樹(shù)立正確的人生觀、價(jià)值觀有積極的促進(jìn)作用.

2.評(píng)價(jià)體系中的“四翼”考查要求在高考試題中的體現(xiàn)

(1)基礎(chǔ)性要求的考查:創(chuàng)設(shè)基本層面的問(wèn)題情境,要求學(xué)生調(diào)動(dòng)單一的知識(shí)或技能解決問(wèn)題.這種

考查方式與傳統(tǒng)的考查方式基本上沒(méi)有什么質(zhì)的變化.

真題再現(xiàn)

【例1】(2020山東,1)設(shè)集合A={x|lWxW3},B={x|2<xv4},則4UJ=()

A.{x|2<xW3}B.{x|2WxW3}

C.{x|lWx<4}D.{x|l<x<4}

【例2】(2020山東,2)磊=()

A.lB.-lC.iD.-i

(2)綜合性要求的考查:創(chuàng)設(shè)綜合層面的問(wèn)題情境，要求學(xué)生在正確思想方法引導(dǎo)下，綜合運(yùn)用多種

知識(shí)或技能解決問(wèn)題.這種考查方式要求學(xué)生在學(xué)科內(nèi)要橫向、縱向貫通所學(xué)知識(shí)，還需要有跨

學(xué)科的綜合能力.

真題再現(xiàn)

【例3】(2020山東,8)若定義在R的奇函數(shù)/(x)在(-8,0)單調(diào)遞減，且<2)=0,則滿足動(dòng)>-1)20的

x的取值范圍是()

A.[-l,ljU[3,+oo)B.[-3,-l]U[0,l]

C.[-l,0]Un,+8)D.[-l,0]U[l,3]

(3)應(yīng)用性要求的考查:創(chuàng)設(shè)生活實(shí)踐問(wèn)題情境或?qū)W習(xí)探索問(wèn)題情境,要求學(xué)生在正確思想觀念引

領(lǐng)下,綜合運(yùn)用多種知識(shí)或技能解決生活實(shí)踐中的應(yīng)用性問(wèn)題.例如2020年新高考數(shù)學(xué)山東卷第

3,4,5,6,12,15,19^.

(4)創(chuàng)新性要求的考查:創(chuàng)設(shè)開(kāi)放性生活實(shí)踐問(wèn)題情境或?qū)W習(xí)探索問(wèn)題情境,要求學(xué)生在開(kāi)放性的

或綜合情境中創(chuàng)造性地解決問(wèn)題,解決問(wèn)題的方法應(yīng)該是探究性的、多樣的、創(chuàng)造性的.例

n

如:2020年新高考數(shù)學(xué)山東卷中的第12題探究信息端H(X)=-￡p,log2p的單調(diào)性及函數(shù)值的大

i=l

小;第16題探究球面與側(cè)面BCGS的交線所在的位置、形狀、長(zhǎng)度等;第18題中的第2問(wèn)，探

究?jī)旱耐?xiàng)公式及前100項(xiàng)和;第22題中的第2問(wèn)探究直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)以及AP上存在的定

點(diǎn)。，使得|。。|為定值.

五、高考評(píng)價(jià)體系引導(dǎo)下的題型和試卷結(jié)構(gòu)的改革

1.引入多選題

在高考評(píng)價(jià)體系指導(dǎo)下,2020年新高考數(shù)學(xué)山東卷引入了多選題，多選題從第9題到第12題共

四個(gè)小題，題目要求如下:每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,有選錯(cuò)

的得0分,部分選對(duì)的得3分.多選題的引入為不同層次的學(xué)生提供了發(fā)揮的空間,考查學(xué)生選擇

取舍的能力.

2.增加了結(jié)構(gòu)不良試題

真題再現(xiàn)

【例】(2020山東,17)在0°=百,②bsinA=3,③。這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題

中，若問(wèn)題中的三角形存在，求c的值;若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由.

問(wèn)題:是否存在△ABC,它的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“c,且sinA=gsinB,C=W?

注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.

此題十分新穎，增強(qiáng)了試題條件的開(kāi)放性，引導(dǎo)學(xué)生更加注重思維靈活性及策略選擇，對(duì)數(shù)學(xué)理解

能力,數(shù)學(xué)探究能力的考查起到了積極的作用.

3.取消了選考內(nèi)容，主觀題還是6道，全卷總題量還是22個(gè)題，這樣“三角”和“數(shù)歹『，兩部分內(nèi)容成

為六道解答題的必選內(nèi)容.

第1講選擇題、填空題的解法

方法思路概述

高考選擇題、填空題注重多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的小型綜合，滲透各種數(shù)學(xué)思想和方法，體現(xiàn)利用基礎(chǔ)知識(shí)

深度考基礎(chǔ)、考能力的導(dǎo)向;使作為中低檔題的選擇題、填空題成為具備較佳區(qū)分度的基本題

型.因此能否在選擇題、填空題上獲取高分，對(duì)高考數(shù)學(xué)成績(jī)影響重大.解答選擇題、填空題的基

本策略是準(zhǔn)確、迅速.

（1）解題策略:小題巧解，不需“小題大做''，在準(zhǔn)確、迅速、合理、簡(jiǎn)潔的原則下，充分利用題設(shè)和

選擇支這兩方面提供的信息作出判斷先定性后定量,先特殊后一般，先間接后直接,多種思路選最

簡(jiǎn).對(duì)于選擇題可先排除后求解，既熟悉通法又結(jié)合選項(xiàng)支中的暗示及知識(shí)能力，運(yùn)用特例法、篩

選法、圖解法等技巧求解.

（2）解決方法:主要分直接法和間接法兩大類(lèi)，具體方法為直接法，特值、特例法，篩選法，數(shù)形結(jié)合

法，等價(jià)轉(zhuǎn)化法，構(gòu)造法，代入法等.

解法分類(lèi)指導(dǎo)

方法二—直接法…一

直接法，就是直接從題設(shè)的條件出發(fā)，運(yùn)用有關(guān)的概念、性質(zhì)、公理、定理、法則和公式等，通過(guò)

嚴(yán)密的推理和準(zhǔn)確的計(jì)算，然后對(duì)照題目所給出的選擇支“對(duì)號(hào)入座”作出相應(yīng)的選擇.多用于涉

及概念、性質(zhì)的辨析或運(yùn)算較簡(jiǎn)單的定性題目.

【例1】（1）（2020山東泰安一模,2）已知復(fù)數(shù)一=1-尤其中a,b6R,i是虛數(shù)單位，則|a+bi|=（）

A.-l+2iB.lC.5D.V5

（2）（多選）（2020山東濟(jì)寧模擬,11）已知函數(shù)＜x）=cos（2x-*2sin（x+^cos（x+；）（xGR）,現(xiàn)給出

下列四個(gè)命題，其中正確的是（）

A.函數(shù)/（X）的最小正周期為2兀

B.函數(shù)7U）的最大值為1

C.函數(shù)於）在［艮］上單調(diào)遞增

D.將函數(shù)於）的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,得到的函數(shù)解析式為g（x）=sin2x

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（1）（2020福建福州模擬，理6）已知數(shù)列｛”“｝為等差數(shù)歹U,若即恁為函數(shù)式x）=/-

9x+14的兩個(gè)零點(diǎn)，則a3a4=（）

A.-14B.9C.14D.20

（2）（2020浙江,17）已知平面單位向量e應(yīng)滿足|2e「e2|WVX設(shè)a=?+e2,b=3ei+e2,向量a,b的夾角

為。，則cos?。的最小值是.

方法二—特值葭特例法…

特值、特例法是在題設(shè)普遍條件都成立的情況下，用特殊值（取得越簡(jiǎn)單越好）進(jìn)行探求,從而清

晰、快捷地得到正確的答案,即通過(guò)對(duì)特殊情況的研究來(lái)判斷一般規(guī)律，從而“小題小做”或“小題

巧做

當(dāng)題目已知條件中含有某些不確定的量時(shí)，可將題目中變化的不定量選取一些符合條件的特殊

值（或特殊函數(shù)，特殊角，特殊數(shù)列，特殊圖形，圖形特殊位置,特殊點(diǎn)，特殊方程,特殊模型等）進(jìn)行處

理,從而得出探求的結(jié)論.這樣可大大地簡(jiǎn)化推理、論證的過(guò)程.

【例2】（1）（2020山東?？季?8）若a>b>c>],S.ac<b12M）

A.log?/?log/,c>log（-aB.log（/?>log/>a>log?c

C.logcZ>>loga&>logcaD.logi>a>logc&>logac

BDC

⑵如圖，在“8C中，。是8c的中點(diǎn)，區(qū)尸是A。上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，瓦？-CA=W-~CF=-\,^\BE-

CE=.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（1）（2020浙江高考?jí)狠S卷,8）已知MGR,且。>"則（）

A.-<7B.sina>sinb

ab

c竊<G）b…

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)A,B,C是曲線上三個(gè)不同的點(diǎn)，且￡>,瓦尸分別為8C,CA,A8的中

X-1

點(diǎn)，則過(guò)￡）,E,F三點(diǎn)的圓一定經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

方法三…等價(jià)轉(zhuǎn)化法.…

在應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化法解決問(wèn)題時(shí),沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的模式去進(jìn)行.可以在數(shù)與數(shù)、形與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)

換;可以在宏觀上進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換;也可以在函數(shù)、方程、不等式之間進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.但都需要保持

命題的真假不變.等價(jià)轉(zhuǎn)化法的轉(zhuǎn)化原則是將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化

為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀的問(wèn)題，比如從超越式到代數(shù)式、從無(wú)理式到有理式，從

分式到整式.

【例3】⑴函數(shù)段）=[%2y>0,有且只有一個(gè)零點(diǎn)的充分不必要條件是（）

十CL,XS：U,

1

A.Q<0B.0<a<±

2

C.*lD.aWO或a>l

（2）已知/U）與函數(shù)y=-asinx關(guān)于點(diǎn)C，。）對(duì)稱,g（x）與函數(shù)y=e*關(guān)于直線y=x對(duì)稱，若對(duì)任意X\￡

（0,1],存在及七[Q]液g（M）-xW/U2）成立,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】⑴在四面體P-ABC中,△A8C為等邊三角形，邊長(zhǎng)為3,PA=3,P8=4,PC=5,則四面

體P-ABC的體積為()

A.3B.2A/3

C.V11D.V10

,,3_____

⑵(2020福建福州模擬,16)已知函數(shù)?r)=ax-lnx-l,g(x)=r^，用max{〃?,〃}表不m,n中的最大值，設(shè)

p(x)=max{/(x),g(x)}.若夕(x)》g在(0,+oo)上恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

方法四….數(shù)形結(jié)合法—

數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的題設(shè)和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其數(shù)量關(guān)系，又揭示其幾何意

義，使數(shù)量關(guān)系和兒何圖形巧妙地結(jié)合起來(lái)，并充分地利用這種結(jié)合，探求解決問(wèn)題的思路,使問(wèn)題

得以解決的思考方法.每個(gè)幾何圖形中蘊(yùn)含著一定的數(shù)量關(guān)系，而數(shù)量關(guān)系常常又通過(guò)圖形的直

觀性作出反映和描述，數(shù)與形之間可以相互轉(zhuǎn)化，將問(wèn)題化難為易,化抽象為具體.數(shù)形結(jié)合的思想

方法通過(guò)借數(shù)解形、以形助數(shù)，能使某些較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題迎刃而解.

【例4】(1)(2020山東?？季?6)已知點(diǎn)A為曲線y=x+：(x>0)上的動(dòng)點(diǎn),8為圓?！┊a(chǎn)+丁勺上的動(dòng)

點(diǎn)，則|AB|的最小值是()

A.3B.4C.3V2D.4V2

(2)(2020山東,5)某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉,其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳,60%的學(xué)

生喜歡足球,82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的

比例是()

A.62%B.56%C.46%D.42%

(2)(2020山東,5)某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉,其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳,60%的學(xué)

生喜歡足球,82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的

比例是()

A.62%B.56%C.46%D.42%

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】⑴已知函數(shù)<，若存在實(shí)數(shù)風(fēng)立,滿足加)=M)守⑷,其中

c>b>”,則3+份/(c)的取值范圍是()

A.(24,36)B.(48,54)

C.(24,27)D.(48,+oo)

(2)(多選X2020山東濟(jì)南一模,12)已知函數(shù)氏O=(sinx+cosx)|sinx-cosx|,下列說(shuō)法正確的是()

A.7(x)是周期函數(shù)

B.7(x)在區(qū)間屋身上是增函數(shù)

C.若曲D|+1/3）I=2,則XI+X2=郛GZ）

D.函數(shù)g（x）寸力+1在區(qū)間［0,2汨上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)

方法五…構(gòu)造法一…

利用已知條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)模型，從而簡(jiǎn)化推理與計(jì)算過(guò)程，使較復(fù)雜的數(shù)學(xué)

問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷的解決.構(gòu)造法是建立在觀察聯(lián)想、分析綜合的基礎(chǔ)之上的,從曾經(jīng)遇到過(guò)的類(lèi)似

問(wèn)題中尋找靈感,構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)、概率、幾何等具體的數(shù)學(xué)模型，使問(wèn)題得到快速解決.

【例5】（1）（2020全國(guó)〃，理11）若2,-2%3三3-，,則（）

A.ln（j-x+1）>0B.ln（^-x+1）<0

C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<0

（2）（2020山東煙臺(tái)模擬,16）設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)7U）滿足八則不等式3一力>）勺（2r1）的解

集為.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（1）（2020天津和平區(qū)一模,7）函數(shù)負(fù)處是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意兩個(gè)正數(shù)

xi,X2（X!<乃）,都有圖12>—32。=25的密）力=八1）,c=-log53（logi5）,則a,b,c大小關(guān)系為（）

Xx

123

K.c>b>aB.b>c>a

C.a>b>cD.a>c>b

（2）（2020浙江,9）已知。力￡R且必M,對(duì)于任意x20均有（x-a）（x-份（六2〃包）20,則（）

A.〃v0B.67>0C.b<0D.b>0

方法六…排除法（針對(duì)選擇題工…

數(shù)學(xué)選擇題的解題本質(zhì)就是去偽存真,舍棄不符合題目要求的選項(xiàng)，找到符合題意的正確結(jié)論.排

除法（又叫篩選法）就是通過(guò)觀察分析或推理運(yùn)算各項(xiàng)提供的信息或通過(guò)特例，對(duì)于錯(cuò)誤的選項(xiàng)逐

一剔除，從而獲得正確的結(jié)論.

［例6］（1）（2020全國(guó)〃，文5）已知單位向量a,b的夾角為60°,則在下列向量中，與b垂直的是

（）

A.a+2bB.2a+b

C.a-2bD.2a-b

（2）（2020浙江高考?jí)狠S卷,7）函數(shù)於尸嚀*（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的圖象大致為（）

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（1）（多選X2020山東聯(lián)考,9）在下列函數(shù)中，最小值是2的是（）

1

A.y=x+-

B.尸2'+2/

C.y=sinx+-^―（0,；）

sinx\2/

口.產(chǎn)f-21'+3

（2）（2020浙江,4）函數(shù)y=xcosx+sinx在區(qū)間［-兀，兀］上的圖象可能是（）

方法上…他算法…

選擇題提供了正確的選擇支，解答又無(wú)需過(guò)程.因此，有些題目,不必進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算，只需對(duì)其數(shù)

值特點(diǎn)和取值界限作出適當(dāng)?shù)墓烙?jì)，便能作出正確的判斷,這就是估算法.估算法往往可以減少運(yùn)

算量，但是加強(qiáng)了思維的層次.

［例7］（2019全國(guó)/,文4,理4）古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足

底的長(zhǎng)度之比是亨（與幺0.618,稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美

人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是合.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例,

且腿長(zhǎng)為105cm，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm,則其身高可能是（）

A.165cmB.175cm

C.185cmD.190cm

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】已知正數(shù)滿足2x+y<4廁空的取值范圍是（）

C.(-8j)U(5,+8)

D.(-a),i]uf5,+?))

專(zhuān)題方法歸納

L解選擇題、填空題的基本方法比較多，但大部分選擇題、填空題的解法是直接法，在解題時(shí)要

根據(jù)題意靈活運(yùn)用上述一種或幾種方法“巧解”，在“小題小做”“小題巧做”上做文章，切忌盲目地

采用直接法.

2.由于選擇題供選選項(xiàng)多、信息量大、正誤混雜、迷惑性強(qiáng)，稍不留心就會(huì)誤入“陷阱”，應(yīng)該從

正反兩個(gè)方向肯定、否定、篩選、驗(yàn)證，既謹(jǐn)慎選擇，又大膽跳躍.

3.解填空題不要求求解過(guò)程，從而結(jié)論是判斷正確的唯一標(biāo)準(zhǔn)，因此解填空題時(shí)要注意以下幾個(gè)

方面：

⑴要認(rèn)真審題，明確要求，思維嚴(yán)謹(jǐn)、周密,計(jì)算要準(zhǔn)確；

(2)要盡量利用已知的定理、性質(zhì)及已有的結(jié)論；

(3)要重視對(duì)所求結(jié)果的檢驗(yàn).

4.作為平時(shí)訓(xùn)練,解完一道題后，還應(yīng)考慮一下能不能用其他方法進(jìn)行“巧算”，并注意及時(shí)總結(jié)，這

樣才能有效地提高解題能力.

第2講函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想

一、函數(shù)與方程思想

函數(shù)與方程思想,滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，是歷年高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn).一般通過(guò)函數(shù)與導(dǎo)

數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列及解析幾何等知識(shí)運(yùn)用的交匯處,思想方法和相關(guān)能力的結(jié)合處進(jìn)行考查.

思想方法詮釋

1.函數(shù)的思想:是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系,是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí),

建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，從而使問(wèn)題獲得解決.

2.方程的思想:就是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程,通過(guò)解

方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使問(wèn)題獲得解決.方程思想是動(dòng)中求靜，研

究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系.

3.函數(shù)思想與方程思想的聯(lián)系：

函數(shù)思想與方程思想密切相關(guān)，對(duì)于函數(shù))，=<刈,當(dāng)y=0時(shí),轉(zhuǎn)化為方程式x)=0,也可以把函數(shù)

y=/(x)看作二元方程y：/(x)=O.

函數(shù)與方程的問(wèn)題可相互轉(zhuǎn)化.求方程/x)=0的解就是求函數(shù)/式x)的零點(diǎn)?求方程7U)=g(x)的

解的問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=/(x)-g(x)與X軸的交點(diǎn)問(wèn)題.

思想分類(lèi)應(yīng)用

應(yīng)用二―函數(shù)思想與方程思想的轉(zhuǎn)換…

【例1】設(shè)函數(shù)/(幻=：，8(犬)=0?2+公(4/6艮存0),若y=/(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且僅有兩個(gè)

不同的公共點(diǎn)&汨幼),伏/2,丁2),則下列判斷正確的是()

A.當(dāng)a<0時(shí)用+工2〈0田+丁2>0

B.當(dāng)a<0時(shí)可+x2>0,)，i+y2<0

C.當(dāng)a>0時(shí),xi+x2<0,yi+y2<0

D.當(dāng)a>0時(shí)㈤+x2>0,yi+”>0

思維升華求兩個(gè)函數(shù)./(x),g(x)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)&x)=/(x)-g(x)的零點(diǎn)問(wèn)題.而函

數(shù)尸(X)的零點(diǎn)問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】已知函數(shù)段)的定義域?yàn)镽,且有賀幻+凡己1)=1,則小魚(yú)尸.

應(yīng)用二.…函數(shù)與方程思想在解三角形中的應(yīng)用.…

【例2】為了豎一塊廣告牌，要制造三角形支架，如圖，要求NACB=60°,BC的長(zhǎng)度大于1m,且

AC比AB長(zhǎng)3m,為了穩(wěn)固廣告牌，要求AC越短越好，則AC最短為()

A.(l+})mB.2m

C.(l+V3)mD.(2+V3)m

思維升華函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是使用函數(shù)方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題(不一定只是函數(shù)問(wèn)題)，構(gòu)造函數(shù)解題是

函數(shù)思想的一種主要體現(xiàn).方程思想的本質(zhì)是根據(jù)已知得出方程(組)，通過(guò)解方程(組)解決問(wèn)題.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2］已知a,"c分別為AABC的內(nèi)角A.B,C的對(duì)邊,S為4ABC的面積,sin(8+0=T^.

a'-c"

(1)證明:A=2C;

(2)若〃=2,且為銳角三角形，求S的取值范圍.

應(yīng)用三…函數(shù)與方程思想在比較大小或丕等式中的應(yīng)用…一

【例3】(1)(2020全國(guó)/,理12)若2"+1082。=43210g也則()

A.a>2bB.a<2b

C.a>b2D.a<b2

⑵（2020安徽合肥一中模擬，理12）已知關(guān)于x的不等式afei-Zdnx-lW0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取

值范圍是（）

A.[0,l]B.（-oo,0]

D.（-8曰

思維升華1.在解決不等式問(wèn)題時(shí)，一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的圖象

和性質(zhì)解決問(wèn)題.

2.函數(shù)1》）>0或兀￥）<0恒成立，一般可轉(zhuǎn)化為人X）min>0或1AX）max<0.已知恒成立求參數(shù)取值范圍

可先分離參數(shù)，再利用函數(shù)最值求解.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】⑴（2020全國(guó)以文10）設(shè)a=log32,/?=log53,c=|,KiJ（）

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

（2）若（0,+8）,｝2x-lnx+a恒成立，則a的最大值為（）

1

A.lB.-C.OD.-e

e

應(yīng)用四.…函數(shù)與方程思想在數(shù)列史的應(yīng)用….

[例4]（2020湖南長(zhǎng)郡中學(xué)四模，文4）設(shè)等差數(shù)列｛?。那啊?xiàng)和為S“，若S13-JIIJ

COS2?5+COS2?7+COS2?9=（）

35

A.lB.-C.-D.2

22

思維升華在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)，應(yīng)充分利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，解題往往以函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)

為紐帶，建立起函數(shù)與數(shù)列間的橋梁,揭示它們內(nèi)在的聯(lián)系，從而有效快速解決數(shù)列問(wèn)題.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】已知在數(shù)列｛而中，前〃項(xiàng)和為，，且S,尸小曲則區(qū)的最大值為（）

3an-l

A.-3B.-lC.3D.l

應(yīng)用五—函數(shù)與方程思想在概率史的應(yīng)用—

[例5]（2020河北滄州一模，理12）2019年末,武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎（COVID-19）疫情，并快

速席卷我國(guó)其他地區(qū)，傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，所

以目前沒(méi)有特異治療方法，防控難度很大.武漢市出現(xiàn)疫情最早，感染人員最多,防控壓力最大，武

漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門(mén)排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無(wú)法

明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類(lèi)”人員，強(qiáng)化網(wǎng)格化管理，不落

一戶、不漏一人.在排查期間，一戶6口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)

護(hù)人員要對(duì)其家庭成員隨機(jī)地逐一進(jìn)行“核糖核酸”檢測(cè)，若出現(xiàn)陽(yáng)性，則該家庭為“感染高危戶”.

設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率均為P(O<P<1)且相互獨(dú)立，該家庭至少檢測(cè)了5個(gè)人才能

確定為“感染高危戶''的概率為/(p),當(dāng)p=po時(shí)1Ap)最大，則po=()

A.1-—B.—C.-D.1--

3323

思維升華關(guān)于概率的應(yīng)用題，首先應(yīng)用概率的相關(guān)知識(shí)得到兩個(gè)量的等量關(guān)系，然后利用函數(shù)模

型研究函數(shù)的最值、極值問(wèn)題，重在考查考生的“數(shù)學(xué)建?！钡暮诵乃仞B(yǎng)和知識(shí)的遷移能力等.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】(2018全國(guó)1,理20)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付

用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí),先從這箱產(chǎn)品中任取20

件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都

為p(0<p<l),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.

(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為%)，求加)的最大值點(diǎn)po；

(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品似⑴中確定的外作為p的值.已知每件產(chǎn)

品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元,若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)

用.

①若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求￡(X);

②以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？

應(yīng)用方法歸納

函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：

(1)借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì),解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等

問(wèn)題；

(2)在研究問(wèn)題中通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù),把研究的問(wèn)題化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),

達(dá)到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的目的.

二、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，在高考試題中,數(shù)形結(jié)合思想主要用

于解選擇題和填空題，有直觀、簡(jiǎn)單、快捷等特點(diǎn);而在解答題中，考慮到推理論證的嚴(yán)密性，圖形

只是輔助手段，最終要用"數(shù)'’寫(xiě)出完整的解答過(guò)程.

思想方法詮釋

以形助數(shù)(數(shù)題形解)以數(shù)輔形(形題數(shù)解)

借助形的生動(dòng)性和直觀性來(lái)闡述數(shù)形之間借助于數(shù)的精確性和規(guī)范性及嚴(yán)密性來(lái)闡明形

的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的

數(shù)形結(jié)合思想通過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，能夠變抽象思維

為形象思維,有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)

思想分類(lèi)應(yīng)用

應(yīng)用二…利用數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的變點(diǎn)—

［例1］(2020天津⑼已知函數(shù).於)=卮晨：喏函數(shù)8(》)=/)-|依-2川依對(duì)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則

女的取值范圍是()

A.(-a>,-|)U(2V2,+a))

B(*)U(O,2物

C.(-OO,0)U(0,2A/2)

D.(-oo,0)U(2V2,+oo)

思維升華討論方程的解(或函數(shù)的零點(diǎn))的個(gè)數(shù)一般可構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為討論兩曲線(或曲線

與直線等)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，其基本步驟是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)熟悉函數(shù)的表達(dá)式(不熟

悉時(shí),需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù))，再在同一平面直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,

圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程解(或函數(shù)零點(diǎn))的個(gè)數(shù).

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1］(2020安徽安慶二模，理12)函數(shù)/(x)=|ln讓以恰有兩個(gè)零點(diǎn)為死,且制〃2,則Xi

所在區(qū)間為()

A(0《)

CG,JD.al)

應(yīng)用二…利用數(shù)形結(jié)合思想求參數(shù)的范圍或解丕笠式…

【例2】(2020湖南永州二模，理9)已知函數(shù)加:)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)段)=2-|x+2|.

若對(duì)任意的［-1,2］人"4)習(xí)沁成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,2)B.(0,2)U(-oo,-6)

C.(-2,0)D.(-2,0)U(6,+oo)

思維升華在解含有參數(shù)的不等式時(shí)，由于涉及參數(shù),往往需要討論，導(dǎo)致演算過(guò)程煩瑣冗長(zhǎng).如果題

設(shè)與幾何圖形有聯(lián)系，那么利用數(shù)形結(jié)合的方法，問(wèn)題將會(huì)簡(jiǎn)練地得到解決.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】(2020北京,6)已知函數(shù)於)=2**1,則不等式兀v)>0的解集是()

A.(-l,l)B.(-<?,-l)U(l,+oo)

C.(0,l)D.(-oo,0)U(l,+oo)

應(yīng)用三―數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的應(yīng)用…一

【例31(2020山東棗莊二模,8)已知點(diǎn)是函數(shù)y=S尤2_2%圖象上的動(dòng)點(diǎn)，則|4加+3〃-21|的

最小值是()

A.25B.21C.20D.4

思維升華1.如果等式、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含著明顯的幾何特征，那么就要考慮用數(shù)形結(jié)合的思想

方法來(lái)解題，即用幾何法求解，比較常見(jiàn)的有：

(1)處?表示兩點(diǎn)(。力),(加,〃)連線的斜率；

a-m

(2)J(a-m)2+(b-n)2表示兩點(diǎn)(°力),(〃2,〃)[或(匕,初(”,加)]之間的距離.

2.解析幾何中的一些范圍及最值問(wèn)題，常結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)，使問(wèn)題得到簡(jiǎn)便快捷地解決.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3]已知拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F且斜率為I的直線與拋物線C交于A,B

兩點(diǎn)，若在以線段A8為直徑的圓上存在兩點(diǎn)MN,在直線/:x+y+“=O上存在一點(diǎn)。，使得N

MQV=90°,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.[-13,3]BJ-3,1]

C.[-3,13]D,[-13,13]

應(yīng)用方法歸納

方程思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在四個(gè)方面：

(1)解方程或解不等式；

(2)含參數(shù)的方程或不等式的討論，常涉及一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、區(qū)間根、

區(qū)間上恒成立等知識(shí)的應(yīng)用；

(3)需要轉(zhuǎn)化為方程的討論，如Illi線的位置關(guān)系等；

(4)構(gòu)造方程或不等式求解問(wèn)題.

第3講分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想

一、分類(lèi)討論思想

分類(lèi)討論思想是解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一,

尤其在解決含參數(shù)問(wèn)題中發(fā)揮著重要作用，大大提高了學(xué)生的解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的

關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，并快速找準(zhǔn)突破點(diǎn).充分利用分類(lèi)討論思想將復(fù)雜問(wèn)題分解成若干題

目涉及的知識(shí)角度進(jìn)行求解.解題時(shí)要注意,按主元分類(lèi)的結(jié)果應(yīng)求并集，按參數(shù)分類(lèi)的結(jié)果要分

類(lèi)給出.

思想方法詮釋

1.分類(lèi)討論的思想含義

分類(lèi)討論，就是當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí),就需要對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)，然后

對(duì)每一類(lèi)分別研究得出每一類(lèi)的結(jié)論，最后綜合各類(lèi)結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的結(jié)果.實(shí)質(zhì)上，分類(lèi)討論

是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略.

2.分類(lèi)討論的原則

(1)不重不漏;(2)標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一,層次要分明;(3)能不分類(lèi)的要盡量避免,決不無(wú)原則地討論.

3.分類(lèi)討論的常見(jiàn)類(lèi)型

(1)由數(shù)學(xué)概念而引起的分類(lèi)討論;(2)由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求而引起的分類(lèi)討論;(3)由性質(zhì)、定理、公

式的限制而引起的分類(lèi)討論;(4)由圖形的不確定性而引起的分類(lèi)討論;(5)由參數(shù)的變化而引起的

分類(lèi)討論;(6)由實(shí)際意義引起的討論.

思想分類(lèi)應(yīng)用

應(yīng)用工.…由數(shù)學(xué)的概念*定理,…公式引起的分類(lèi)述論…

【例1】(1)(2020安徽合肥二模，文10)記ME為橢圓C;^+y2=l的兩個(gè)焦點(diǎn)，若C上存在點(diǎn)M

滿足研?麗=0,則實(shí)數(shù)，"的取值范圍是()

A.(O,|]U[2,+^)B.[|,l)U[2,+?))

C.(0,i]u(l,2]D.[1,1)U(1,2]

(2)設(shè)等比數(shù)列｛4,｝的公比為公前"項(xiàng)和S“>0(”=l,2,3,…)，則q的取值范圍是.

思維升華1.在中學(xué)數(shù)學(xué)中，一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，基本不等式，等

比數(shù)列的求和公式等在不同的條件下有不同的結(jié)論，或者在一定的限制條件下才成立，應(yīng)根據(jù)題

目條件確定是否進(jìn)行分類(lèi)討論.

2.有些分類(lèi)討論的問(wèn)題是由運(yùn)算的需要引發(fā)的.比如除以一個(gè)數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)能否為零的討論;解方

程及不等式時(shí)，兩邊同乘一個(gè)數(shù),這個(gè)數(shù)是零、是正數(shù)還是負(fù)數(shù)的討論;二次方程運(yùn)算中對(duì)兩根大

小的討論;差值比較中的差的正負(fù)的討論;有關(guān)去絕對(duì)值或根號(hào)問(wèn)題中等價(jià)變形引發(fā)的討論等.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1](1)“后0”是“函數(shù)./(x)=|(ax-l)x|在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

(2)(2020廣東茂名一模，理12)已知函數(shù)人工戶無(wú)1[：；；['：-l'(aWR),若函數(shù)/x)有四個(gè)零點(diǎn)，則

a的取值范圍是()

A.(-oo,0)B.(e,+oo)

C.(4,+oo)D.(4,e2)

應(yīng)用二―由參數(shù)引起的分一類(lèi)討論—

[例2]設(shè)函數(shù)/)=13+4)+爐.若1x)存在極值，求a的取值范圍，并證明所有極值之和大于1號(hào)

思維升華含有參數(shù)的分類(lèi)討論問(wèn)題主要包括：(1)含有參數(shù)的不等式的求解;(2)含有參數(shù)的方程的

求解;(3)函數(shù)解析式中含參數(shù)的最值與單調(diào)性問(wèn)題;(4)二元二次方程表示曲線類(lèi)型的判定等.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】(2020山東濰坊臨胸模擬一,22)已知函數(shù)於)=Mnx-x+^^eR).

(1)討論_Ax)的單調(diào)性；

⑵略

應(yīng)用三…曲圖形位置或形狀引起的分類(lèi)討論―

【例3］設(shè)長(zhǎng)出為橢圓1+1=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn).已知產(chǎn),BE是一個(gè)直角三角

94

形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|所|>|「川，則蜀的值為.

思維升華圓錐曲線形狀不確定時(shí)，常按橢圓、雙曲線來(lái)分類(lèi)討論,求圓錐曲線的方程時(shí)，常按焦點(diǎn)

的位置不同來(lái)分類(lèi)討論.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練31設(shè)圓錐曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為若曲線C上存在點(diǎn)尸滿足|PFi|；

|PF2|=4：3；2,則曲線C的離心率等于.

應(yīng)用方法歸納

1.簡(jiǎn)化分類(lèi)討論的策略：(1)消去參數(shù);(2)整體換元;(3)變更主元;(4)考慮反面;(5)整體變形;(6)數(shù)形

結(jié)合;(7)縮小范圍等.

2.分類(lèi)討論遵循的原則:不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次,不越級(jí)討論.

二、轉(zhuǎn)化化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)

化，進(jìn)而得到解決的一種方法.一般總是將復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題,將難解的問(wèn)題

通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問(wèn)題，將未解決的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題.

思想方法詮釋

1.轉(zhuǎn)化與化歸思想的含義

轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之

轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得到解決的一種思想方法.

2.轉(zhuǎn)化與化歸的原則

⑴熟悉化原則;(2)簡(jiǎn)單化原則;(3)直觀化原則;(4)正難則反原則;(5)等價(jià)性原則.

3.常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化與化歸的方法

(1)直接轉(zhuǎn)化法;(2)換元法;(3)數(shù)形結(jié)合法;(4)構(gòu)造法;(5)坐標(biāo)法;(6)類(lèi)比法;(7)特殊化方法;(8)等價(jià)

問(wèn)題法;(9)補(bǔ)集法;(10)參數(shù)法.

思想分類(lèi)應(yīng)用

應(yīng)用工…特殊與二般化…

【例1】⑴白總當(dāng)其中e為自然常數(shù))的大小關(guān)系是()

loZbJo

e4e5e6

A.——<--<——

162536

e，e，

晦＜3短

⑵(2020河北武邑中學(xué)三模,16)已知實(shí)數(shù)”,"c,d滿足啜=3=1,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，那

Dd-k

么(a-c)2+(b-(/)2的最小值為.

思維升華1.當(dāng)問(wèn)題難以入手時(shí)，應(yīng)先對(duì)特殊情形進(jìn)行觀察、分析，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中特殊的數(shù)量或關(guān)系,

再推廣到一般情形，以完成從特殊情形的研究到一般問(wèn)題的解答的過(guò)渡，這就是特殊化的化歸策

略.

2.數(shù)學(xué)題目有的具有一般性，有的具有特殊性,解題時(shí)，有時(shí)需要把一般問(wèn)題化歸為特殊問(wèn)題，有時(shí)

需要把特殊問(wèn)題化歸為一般問(wèn)題.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】(2020湖南長(zhǎng)郡中學(xué)四模,11)若0令＜1,則誓,手，晝的大小關(guān)系是()

2

Ax+l、ln3+l、x+1

A.-5->---->--

ex3ex

口x2+lx+1ln3+l

「ln3+lx+1x2+l

C-k>F>h

In3+1xz+lx+1

*3＞五＞『

應(yīng)用二.…命題等價(jià)轉(zhuǎn)化…

[例2](2020上?？记皦狠S卷,11)已知a,b,2c是平面內(nèi)三個(gè)單位向量，若a_Lb,則

|a+4c|+213a+2b-c|的最小值是.

思維升華本例題充分體現(xiàn)了命題等價(jià)轉(zhuǎn)化的重要性，首先將條件”三個(gè)向量都是單位向量及a_L

b”,等價(jià)轉(zhuǎn)化為“2c=e及a=(l,0),b=(0』)”,這樣就達(dá)到了變陌生為熟悉的目的;其次將“|a+2e|”等

價(jià)轉(zhuǎn)化為“|2a+e|”,為求最值創(chuàng)造了有利條件同時(shí)也簡(jiǎn)化了運(yùn)算;然后將“兩向量模的和的最值”等

價(jià)轉(zhuǎn)化為“兩根式和的最值''，最后根據(jù)兩根式和的幾何意義，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)的距離.

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】⑴已知在(-8,1]上單調(diào)遞減的函數(shù)段)=/2x+1，且對(duì)任意的心,也G6+1],總有

依為)力也)|W2,則實(shí)數(shù)t的取值范圍為()

A.[-V2,V2]B，L1,V2]

C.[2,31D.[l,2]

(2)(2020河北武邑中學(xué)三模,5)若數(shù)列｛小｝的前〃項(xiàng)和為S“,且ai=1,a2=2,(S?+1)(S?+2+1)=(Sn+1+

1產(chǎn),則S“=()

C.2n-1D.2,H+1

應(yīng)用三.…常量與變量的轉(zhuǎn)化.…

【例3】已知函數(shù)/(x)=2+3"l,g(x)=/3-ar-5淇中八x)是/U)的導(dǎo)函數(shù).對(duì)滿足-1WaWl的一

切a的值，都有g(shù)(x)<0,則實(shí)數(shù)x的取值范圍為.

思維升華在處理多變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題中,在常量(或參數(shù))在某一范圍取值的前提下求變量x的范圍

時(shí)，經(jīng)常進(jìn)行常量與變量之間的轉(zhuǎn)化，即可以選取其中的參數(shù)，將其看做是變量，而把變量看做是常

量,從而達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3]設(shè)火x)是定義在R上的增函數(shù)，若川-6-/)0(2-4)對(duì)任意“e[-11]恒成立，則x

的取值范圍為.

應(yīng)用四.…函.數(shù)、…方程,…丕等式之間的轉(zhuǎn)化.…

【例4】已知不等式對(duì)于xG[l,2],yG[2,3]恒成立，則a的取值范圍是()

A.[l,+oo)B.[-l,4)

C.[-l,+oo)D.[-l,6]

思維升華函數(shù)、方程與不等式三者之間存在著密不可分的聯(lián)系，解決方程、不等式的問(wèn)題需要

函數(shù)幫助,解決函數(shù)的問(wèn)題需要方程、不等式的幫助，因此借助于函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)

化可以將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，常將不等式的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題;將不等式證明問(wèn)題轉(zhuǎn)

化為函數(shù)的單調(diào)性與最值問(wèn)題;將方程的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題、兩個(gè)函數(shù)圖象的交

點(diǎn)問(wèn)題等.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】(1)(2020山東荷澤一模,8)已知大于1的三個(gè)實(shí)數(shù)“力,c滿足(lga)2-21g〃lgb+lg

bigc=0,則a,h,c的大小關(guān)系不可能是()

A.a=b=cB.a>b>c

C.b>c>aD.b>a>c

(2)己知函數(shù)府)=3網(wǎng)若存在實(shí)數(shù)y[-1,+8),使得對(duì)任意的工引1切,加?工且心1,都有

/x+f)W3ex,求m的最大值.

應(yīng)用五…一正難則反的轉(zhuǎn)化.…

【例5]若對(duì)于任意店[1,2],函數(shù)g(x)=/+0+2)/辦在區(qū)間”,3)上總不為單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)m

的取值范圍是.

思維升華否定性命題，常要利用正反的相互轉(zhuǎn)化，先從正面求解，再取正面答案的補(bǔ)集即可.一般地,

題目若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對(duì)很少，從反面考慮較簡(jiǎn)單.因此，間接法多用于含

有“至多，，“至少，，及否定性命題情形的問(wèn)題中.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】安排甲、乙、丙、丁4人參加3個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目,每人只參加一個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目都

有人參加.若甲、乙2人不能參加同一個(gè)項(xiàng)目,則不同的安排方案的種數(shù)為.(用數(shù)字

作答)

應(yīng)用方法歸納

1.在應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的模式，它可以在數(shù)與數(shù)、形

與形、數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.

2.轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用

(1)在三角函數(shù)和解三角形中,主要的方法有公式的“三用”(順用、逆用、變形用)，角度的轉(zhuǎn)化，函

數(shù)的轉(zhuǎn)化，通過(guò)正弦、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.

(2)在解決平面向量與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等知識(shí)的交匯題目時(shí)，常將平面向量語(yǔ)言

與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何語(yǔ)言進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

(3)在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí),常將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求解.

（4）在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)，常將函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）、切線問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為由其導(dǎo)函數(shù)

八x）構(gòu)成的方程、不等式問(wèn)題求解.

第4講從審題中尋找解題思路

審題亦即提取有效信息，挖掘隱含信息,提煉關(guān)鍵信息.條件是題目的“泉眼為考核學(xué)生的觀察、

理解、分析、推理等能力,高考試題往往變換概念的表述形式，精簡(jiǎn)試題從條件到結(jié)論的中間環(huán)

節(jié),透析試題的條件之間的聯(lián)系，隱去問(wèn)題涉及的數(shù)學(xué)思想及背景.如何科學(xué)地審題是同學(xué)們最需

要掌握的基本技能.事實(shí)上，審題能力的培養(yǎng)并未引起應(yīng)有的重視，很多同學(xué)熱衷于題型的總結(jié)與

解題方法和技巧的訓(xùn)練,把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等同于解題訓(xùn)練，一味地機(jī)械模仿導(dǎo)致應(yīng)變能力不強(qiáng),遇到陌

生的問(wèn)題往往束手無(wú)策,致使解題失誤或陷入誤區(qū).

審題與解題的關(guān)系

審題和解題是解答數(shù)學(xué)試題的重要兩步，其中，審題是解題的前提，詳細(xì)全面地審題為順利解題掃

除大部分障礙，正確把握數(shù)學(xué)試題中的已知條件和所求，從題目關(guān)鍵詞語(yǔ)中挖掘隱含條件、啟發(fā)

解題思路,最短時(shí)間內(nèi)理解條件和結(jié)論所包含的詳細(xì)信息是保障解題效率與解題質(zhì)量的必需條

件.解題作為審題活動(dòng)的升華，是全面解答數(shù)學(xué)試題的核心.

怎樣算是審清題意

怎樣才算審清題意了呢?主要是弄清題目已經(jīng)告訴了什么信息，需要我們?nèi)プ鍪裁?，從題目本身獲

取“如何解這道題”的邏輯起點(diǎn)、推理目標(biāo)以及溝通起點(diǎn)與目標(biāo)之間聯(lián)系的更多信息.試題的條

件和結(jié)論是兩個(gè)信息源，為了從中獲取盡可能多的信息，我們要字斟句酌地分析條件、分析結(jié)論、

分析條件與結(jié)論之間的關(guān)系，常常還要輔以圖形或記號(hào)，以求手段與目標(biāo)的統(tǒng)一.

審題典例示范

一'審清條件信息

審視條件一般包括“挖掘隱含信息、洞察結(jié)構(gòu)特征、洞悉圖形趨勢(shì)、研讀圖表數(shù)據(jù)”等幾方面.

審題時(shí)要避開(kāi)過(guò)去熟悉的同類(lèi)題目的影響，看似相同，就按過(guò)去同類(lèi)型題目進(jìn)行求解，要審出同還

是不同，不能似是而非.

【例1】（1）（2019廣