穩(wěn)恒磁場習(xí)題課王碩一、內(nèi)容提要1．磁場、磁感應(yīng)強度磁場

在運動電荷(電流)周圍，除了形成電場，還形成磁場。磁場的基本性質(zhì)之一是它對置于其中的運動電荷或電流施加作用力。與電場一樣，磁場也是一種特殊物質(zhì)。磁感應(yīng)強度

是描述磁場對運動電荷或電流有作用力的性質(zhì)的物理量磁感應(yīng)強度的單位是特斯拉()2．畢奧一薩伐爾定律電流元

電流元是矢量，大小等于電流與導(dǎo)線元長度的乘積，方向沿電流正方向。畢奧一薩伐爾定律

電流元在點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為

☆磁場疊加原理

導(dǎo)線中的電流在點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度等于每個電流元單獨存在時，在點所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的矢量和

若空間存在若干載流導(dǎo)線，每一導(dǎo)線在點所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為，則點的磁感應(yīng)強度為☆三種特殊形狀載流導(dǎo)線的磁場：

(3)均勻密繞“無限長”直載流螺線管內(nèi)的磁場為螺絲管單位長度的匝數(shù)

(1)“無限長”直線電流周圍的磁場(2)載流圓線圈中心處磁場☆3．磁高斯定理磁感應(yīng)線

磁感應(yīng)線是一些有向曲線，其上各點切線方向表示該點磁感應(yīng)強度的方向。穩(wěn)恒磁場中每一條磁感應(yīng)線都是與電流套合的無頭無尾的閉合曲線磁感應(yīng)通量

磁高斯定理

它表達了磁場是“無源的”這一特征

☆4．安培環(huán)路定理真空磁場中，磁感應(yīng)強度沿任意閉合路徑的環(huán)流等于正向通過環(huán)路所圍曲面的電流的代數(shù)和乘以它表明磁場是“有旋”場。安培環(huán)路定理可用來計算某些具有高度對稱性的磁場分布?！?．帶電粒子在磁場中的運動洛侖茲力

電荷為的粒子以速度在磁場中運動時所受磁力

洛侖茲力對運動電荷不做功

圓周運動

質(zhì)量為、電荷為的粒子以速度進入磁感應(yīng)強度為的勻強磁場，

當時，粒子作勻速圓周運動

半徑

回轉(zhuǎn)周期

☆6．磁場對電流的作用安培定律

一般任意形狀的載流導(dǎo)線在磁場中受到的安培力

電流元在磁場中受磁力即安培力為

為所在處的磁感應(yīng)強度。

均勻磁場中導(dǎo)線受力為從電流起點指向終點的有向線段

☆磁矩

載流平面線圈的磁矩的大小等于電流乘以線圈平面的面積，方向按右手螺旋法則確定。磁力矩

磁力的功

表示通過線圈平面的磁感應(yīng)通量的增量

磁力矩總是力圖使磁矩轉(zhuǎn)向磁感應(yīng)強度的方向

載流線圈在恒定磁場中轉(zhuǎn)動時，磁力矩所做的功

☆7．介質(zhì)中的磁場相對磁導(dǎo)率

介質(zhì)在磁場中被磁化，介質(zhì)表面出現(xiàn)分子電流，改變了原來的磁場。

在充滿各向同性均勻介質(zhì)的情況下，磁感應(yīng)強度為

相對磁導(dǎo)率

順磁質(zhì)

抗磁質(zhì)

鐵磁質(zhì)

☆磁化強度

磁化強度是表征介質(zhì)磁化程度的物理量，用單位體積的分子磁矩的矢量和來表示

對順磁質(zhì)，為有矩分子的固有磁矩，的方向與外磁場方向相同

對抗磁質(zhì)，為無矩分子在外磁場中出則的附加磁矩，的方向與外磁場方向相反☆磁場強度

引入磁場強度輔助矢量

在各向同性均勻介質(zhì)中

稱為磁化率，是一個純數(shù)。

順磁質(zhì)中，抗磁質(zhì)中。

和的關(guān)系為

稱為介質(zhì)的磁導(dǎo)率

☆介質(zhì)中的安培環(huán)路定理

在穩(wěn)恒磁場中，矢量沿任意閉合路徑的線積分等于正向通過以為邊界的任一曲面的傳導(dǎo)電流代數(shù)和鐵磁質(zhì)

鐵磁質(zhì)有下列特性：

(2)有剩磁現(xiàn)象；(3)有一臨界溫度(居里點)，超過此溫度時轉(zhuǎn)變?yōu)轫槾刨|(zhì)。(1)與不成比例關(guān)系，不是常數(shù)，與有關(guān)；

☆二、問題討論1．靜止的點電荷能在它的周圍空間任一點激起電場；線電流元是否也能在它的周圍空間任一點激起磁場?答：不一定。

電流元激起的磁場由畢奧-薩伐爾定律給出

在電流元的延長線上各點，電流元不能激起磁場。在線電流元周圍空間的其他位置上，是能夠激發(fā)磁場的。

為電流元到空間任一點(場點)的有向線段，當與的夾角為0或時，

172．按畢奧一薩伐爾定律可求得真空中一有限載流直導(dǎo)線在空間點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度大小方向垂直于，今沿如圖中圓形環(huán)路做的線積分，得到

此結(jié)果與安培環(huán)路定理（）不一致，這是什么緣故?

☆18答：安培環(huán)路定理僅適用于穩(wěn)恒電流，而穩(wěn)恒電流必定是閉合的。若中電流是穩(wěn)恒的，則上面計算的磁場只是閉合電流磁場的一部分，而安培環(huán)路定理中的所表達的是閉合電路磁場的全部，故兩者不相一致。☆3．兩電流元和距離為，并互相垂直，兩電流元之間的相互作用力是否大小相等、方向相反?如果不是，那么是否違反牛頓第三定律?☆方向垂直向里

方向如圖所示

所受作用力大小為

答：由畢奧一薩伐爾定律，在處產(chǎn)生的場強大小為由此可見，這兩個電流元之間的相互作用力不遵守牛頓第三定律

所受作用力大小為在處產(chǎn)生的磁場大小為

☆實際上，電流元受到當?shù)卮艌龅牧?，施力者是磁場，受力者是電流元，的反作用力是電流元給磁場的力，和才是一對作用力和反作用力。因為和不是一對作用力和反作用力，兩者不等，并不違反牛頓第三定律☆4．在沒有電流分布的空間區(qū)域里，是否能存在這樣的穩(wěn)恒磁場：其磁感應(yīng)線為一系列不均勻分布的平行直線?！畲穑翰淮嬖?。假設(shè)存在如問題中所描述的磁場，磁感應(yīng)線如圖所示。當很小時，可得有，即同一條磁感應(yīng)線上的相等

沿磁感應(yīng)線做一柱形高斯面，如圖由磁場的高斯定理說明假想的磁場不遵守穩(wěn)恒磁場的安培環(huán)路定理，即這樣的穩(wěn)恒磁場并不存在

而根據(jù)安培環(huán)路定理，考慮到環(huán)路中不包圍電流，應(yīng)有

如再在該磁場中做一有向矩形安培環(huán)路，讓、與磁感應(yīng)線平行，、與磁感應(yīng)線垂直。設(shè)沿段磁感應(yīng)強度為，沿段磁感應(yīng)強度為，由磁感應(yīng)線疏密不均勻可知，磁感應(yīng)強度沿該回路的線積分為

☆5．介質(zhì)中安培環(huán)路定理為，為正向穿過閉合回路的傳導(dǎo)電流的代數(shù)和，這是否可以說，只與傳導(dǎo)電流有關(guān)，與分子電流無關(guān)☆答：不可以這樣認為。介質(zhì)中的安培環(huán)路定理說明磁場強度的環(huán)路積分只與穿過環(huán)路的傳導(dǎo)電流有關(guān)，與分子電流無關(guān)，但不能由此得出本身與分子電流無關(guān)或與磁介質(zhì)無關(guān)的結(jié)論。在一般情況下，是與分子電流有關(guān)的，因為介質(zhì)磁化產(chǎn)生的分子電流也激發(fā)磁場。這可以從公式或中看出6．在一載流螺線管外，做一平面圓回路，且其平面垂直于螺線管的軸，圓心在軸上。則環(huán)路積分等于多少?有人說，，有人根據(jù)安培環(huán)路定理認為，究竟哪種說法正確?☆答：密繞的無限長螺線管，常用緊密排列的封閉圓電流組來近似，因而管內(nèi)，管外。所以，緊密排列的封閉圓電流組產(chǎn)生的磁場中，在管外繞一周，積分。30但實際的螺線管并不等同于緊密排列的封閉圓電流組，電流總是從一端輸入，一端輸出，以管外任一閉合回路為邊界的曲面總和一根電線相交，因而。☆7．在穩(wěn)恒磁場中，穿出以封閉曲線為邊界的各曲面的通量是否均相等?穿出以封閉曲線為邊界的各曲面的通量是否均相等☆答：因為磁場是渦旋場，根據(jù)磁高斯定理，對任意閉合曲面均有，因此正向穿出以為邊界的諸曲面的磁通量相等。或者形象地說磁感應(yīng)線是閉合的，不能中斷，穿出以為邊界的各曲面的磁感應(yīng)線的數(shù)目是相同的所以，由磁高斯定理得到如果不能保證任何閉合曲面上各點的都相等，就不能將移到積分號外，也就不能推出。因此，一般說來，不能得出通過以閉合曲線為邊界的各曲面的通量均相等的結(jié)論但對于則不同，因為☆例如，一永磁棒，設(shè)棒內(nèi)為一常值，對以為邊界的二曲面和，有對面上各點，

，因此☆對上各點，因此顯然

☆四、解題指導(dǎo)例1.載流的圓形線圈（半徑）與正方形線圈（邊長）通有相同電流，若兩個線圈中心，處的磁感應(yīng)強度大小相同，求半徑與邊長之比為?！罾?.四條平行的無限長直導(dǎo)線，垂直通過邊長為正方形頂點，每條導(dǎo)線中的電流都是，這四條導(dǎo)線在正方形中心點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為[]?！預(yù).B.C.D.例3.一根無限長直導(dǎo)線彎成圖所示的形狀，中部是半徑為、對圓心張角為的圓弧當通以電流時，處磁感應(yīng)強度的大小

，方向為

?！罾?.兩個同心半圓弧組成一閉合線圈，通有電流，設(shè)線圈平面法向垂直紙面向里。則圓心點的磁感應(yīng)強度

，線圈的磁矩

?！罾?.在一半徑的無限長半圓柱形金屬薄片中，自上而下地有電流通過，試求：圓柱軸線上任一點的磁感應(yīng)強度例6.有一很長的載流導(dǎo)體直圓管，內(nèi)半徑為，外半徑為，電流強度為，電流沿軸線方向流動，且均勻地分布在管壁的橫截面上，求空間各點的磁感應(yīng)強度，并畫出曲線（為場點到軸線的垂直距離）。☆例7.一無限長圓柱形直導(dǎo)線，外包一層相對磁導(dǎo)率為的圓筒形磁介質(zhì)，導(dǎo)線半徑為，磁介質(zhì)外半徑為，導(dǎo)線內(nèi)有電流通過（見圖）。求：（1）介質(zhì)內(nèi)、外的磁感應(yīng)強度的分布，（2）介質(zhì)內(nèi)、外的磁場強度的分布，導(dǎo)體磁介質(zhì)☆例8內(nèi)、外半徑分別為、，面電荷密度為的均勻帶電非導(dǎo)體平面圓環(huán)，繞軸線以勻角速度旋轉(zhuǎn)時，求圓環(huán)中心的磁感應(yīng)強度。

例9半徑為的無限長金屬圓柱體內(nèi)挖去一半徑為(