4.4.1曲線的凹凸性及拐點(diǎn)左圖中的曲線弧是向下凸的,它具有兩個(gè)特征:

(1)連接曲線上任意兩點(diǎn)的弦(2)曲線切線的斜率單調(diào)遞增.

4.4

函數(shù)圖形總位于這兩點(diǎn)間的曲線弧的上方;

右圖中的曲線弧是向上凸的,它具有兩個(gè)特征:

(1)連接曲線上任意兩點(diǎn)的弦(2)曲線切線的斜率單調(diào)遞減.

有時(shí)把向下凸的弧稱為凹的,而把向上凸的弧總位于這兩點(diǎn)間的曲線弧下方;

稱為凸的.曲線的這種性質(zhì)稱作曲線的凹凸性.

恒有設(shè)在區(qū)間I上連續(xù),如果

恒有如果

定義1如果單調(diào)遞增,

定義2設(shè)在區(qū)間I可導(dǎo),如果單調(diào)遞減,

在區(qū)間I是向上凸的,或稱凸的.定理4.9

設(shè)解例4.30

判斷曲線的凹凸性.解例4.31

判斷曲線的凹凸性.解定義4.2連續(xù)曲線上凹凸性發(fā)生變化的點(diǎn)稱為練習(xí)判斷曲線的凹凸性.曲線的拐點(diǎn).定理4.10(拐點(diǎn)的第一充分條件)

設(shè)函數(shù)在x0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，在空心鄰域內(nèi)存在,(1)(2)定理4.11(拐點(diǎn)的第二充分條件)

曲線的拐點(diǎn).解凹的凸的凹的拐點(diǎn)不是拐點(diǎn)例4.32求曲線的拐點(diǎn)及凹凸區(qū)間.

函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).不存在練習(xí)

證明證所以曲線在上是嚴(yán)格向下凸的.有即令1.垂直漸近線

(垂直于x軸的漸近線)4.4.2曲線的漸近線一條漸近線.移向無(wú)窮點(diǎn)時(shí),如果點(diǎn)P到某定直線L的距離趨向于零,如果例如有兩條垂直漸近線:2.水平漸近線

(平行于x軸的漸近線)例如有兩條水平漸近線:如果3.斜漸近線斜漸近線求法如果或若且注意:解如果定義域?yàn)榫毩?xí)求的漸近線.不存在;不存在;可以斷定不存在斜漸近線.所以,是曲線的垂直漸近線.所以,是曲線的一條斜漸近線.(1)確定函數(shù)的定義域、間斷點(diǎn)、奇偶性和周期性.和拐點(diǎn).(2)確定曲線的漸近線,把握函數(shù)的變化趨勢(shì).

確定曲線的凹凸性(4)適當(dāng)計(jì)算曲線上一些點(diǎn)的坐標(biāo),如極值,拐點(diǎn)的坐標(biāo),注意曲線是否與坐標(biāo)軸是否有交點(diǎn).函數(shù)作圖的具體步驟可歸納如下:

(3)求出函數(shù)的單調(diào)性和極值,例4.33描繪函數(shù)的圖形.解函數(shù)非奇非偶.定義域?yàn)樗綕u近線:垂直漸近線:無(wú)斜漸近線.極大值拐點(diǎn)列表確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn):作圖拐點(diǎn)極大值補(bǔ)充點(diǎn)水平漸近線:垂直漸近線:極大值拐點(diǎn)練習(xí)描繪函數(shù)的圖形.解函數(shù)非奇非偶.定義域?yàn)樗綕u近線:不存在拐點(diǎn)極小值間斷點(diǎn)無(wú)斜漸近