06圓周運動[考點04]豎直面內(nèi)圓周運動的臨界問題兩類模型對比輕繩模型(最高點無支撐)輕桿模型(最高點有支撐)實例球與繩連接、水流星、沿內(nèi)軌道運動的“過山車”等球與桿連接、球在光滑管道中運動等圖示受力示意圖F彈向下或等于零F彈向下、等于零或向上力學方程mg＋F彈＝meq\f(v2,R)mg±F彈＝meq\f(v2,R)臨界特征F彈＝0mg＝meq\f(vmin2,R)即vmin＝eq\r(gR)v＝0即F向＝0F彈＝mg討論分析(1)最高點，若v≥eq\r(gR)，F(xiàn)彈＋mg＝meq\f(v2,R)，繩或軌道對球產(chǎn)生彈力F彈(2)若v<eq\r(gR)，則不能到達最高點，即到達最高點前小球已經(jīng)脫離了圓軌道(1)當v＝0時，F(xiàn)彈＝mg，F(xiàn)彈背離圓心(2)當0<v<eq\r(gR)時，mg－F彈＝meq\f(v2,R)，F(xiàn)彈背離圓心并隨v的增大而減小(3)當v＝eq\r(gR)時，F(xiàn)彈＝0(4)當v>eq\r(gR)時，mg＋F彈＝meq\f(v2,R)，F(xiàn)彈指向圓心并隨v的增大而增大解題技巧(1)物體通過圓周運動最低點、最高點時，利用合力提供向心力列牛頓第二定律方程；(2)物體從某一位置到另一位置的過程中，用動能定理找出兩處速度關(guān)系；(3)注意：求對軌道的壓力時，轉(zhuǎn)換研究對象，先求物體所受支持力，再根據(jù)牛頓第三定律求出壓力．典例1(輕繩模型)(2023·陜西延安市黃陵中學)如圖所示，一質(zhì)量為m＝0.5kg的小球(可視為質(zhì)點)，用長為0.4m的輕繩拴著在豎直平面內(nèi)做圓周運動，g＝10m/s2，下列說法不正確的是()A．小球要做完整的圓周運動，在最高點的速度至少為2m/sB．當小球在最高點的速度為4m/s時，輕繩拉力為15NC．若輕繩能承受的最大張力為45N，小球的最大速度不能超過4eq\r(2)m/sD．若輕繩能承受的最大張力為45N，小球的最大速度不能超過4m/s答案D解析設(shè)小球通過最高點時的最小速度為v0，則根據(jù)牛頓第二定律有mg＝meq\f(v02,R)，解得v0＝2m/s，故A正確；當小球在最高點的速度為v1＝4m/s時，設(shè)輕繩拉力大小為FT，根據(jù)牛頓第二定律有FT＋mg＝meq\f(v12,R)，解得FT＝15N，故B正確；小球在軌跡最低點處速度最大，此時輕繩的拉力最大，根據(jù)牛頓第二定律有FTm－mg＝meq\f(vm2,R)，解得vm＝4eq\r(2)m/s，故C正確，D錯誤．典例2(輕桿模型)(多選)(2023·四川·期末)如圖所示，長為l的輕桿，一端固定一個小球，另一端固定在光滑的水平軸上，使小球在豎直面內(nèi)做圓周運動，關(guān)于小球在最高點的速度v，下列說法正確的是()A.v的最小值為eq\r(gl)B.v由零逐漸增大，向心力也增大C.當v由eq\r(gl)逐漸增大時，桿對小球的彈力逐漸增大D.當v由eq\r(gl)逐漸減小時，桿對小球的彈力逐漸增大答案BCD解析由于是輕桿，即使小球在最高點速度為零，小球也不會掉下來，因此v的最小值是零，故A錯誤.v由零逐漸增大，由Fn＝eq\f(mv2,l)可知，F(xiàn)n也增大，故B正確.當v＝eq\r(gl)時，F(xiàn)n＝eq\f(mv2,l)＝mg，此時桿恰好對小球無作用力，向心力只由其自身重力提供；當v＞eq\r(gl)時，桿對球的力為拉力，由mg＋F＝eq\f(mv2,l)可得F＝meq\f(v2,l)－mg，則當v由eq\r(gl)逐漸增大時，拉力F逐漸增大；當v＜eq\r(gl)時，桿對球的力為支持力，此時，mg－F′＝eq\f(mv2,l)可得F′＝mg－eq\f(mv2,l)，當v由eq\r(gl)逐漸減小時，支持力F′逐漸增大，桿對球的拉力、支持力都為彈力，故C、D正確.典例3(輕繩與FT－v2圖像)如圖甲所示，用一輕質(zhì)繩拴著一質(zhì)量為m的小球，在豎直平面內(nèi)做圓周運動(不計一切阻力)，小球運動到最高點時繩對小球的拉力為FT，小球在最高點的速度大小為v，其FT－v2圖像如圖乙所示，則()A．數(shù)據(jù)a與小球的質(zhì)量無關(guān)B．當?shù)氐闹亓铀俣葹閑q\f(m,a)C．當v2＝c時，輕質(zhì)繩的拉力大小為eq\f(ac,b)＋aD．當v2＝2b時，小球受到的拉力與重力大小相等答案D解析設(shè)繩長為R，由牛頓第二定律知小球在最高點滿足FT＋mg＝meq\f(v2,R)，即FT＝eq\f(m,R)v2－mg，由題圖乙知a＝mg，b＝gR，所以g＝eq\f(a,m)，R＝eq\f(mb,a)，A、B錯；當v2＝c時，有FT1＋mg＝meq\f(c,R)，將g和R的值代入得FT1＝eq\f(ac,b)－a，C錯；當v2＝2b時，由FT2＋mg＝meq\f(2b,R)可得FT2＝a＝mg，故拉力與重力大小相等，D對．典例4(輕桿與F－v2圖像)(2023·長春市·期末)如圖甲所示，輕桿的一端固定一小球(可視為質(zhì)點)，另一端套在光滑的水平軸O上，O軸的正上方有一速度傳感器，可以測量小球通過最高點時的速度大小v，O軸處有一力傳感器，可以測量小球通過最高點時O軸受到的桿的作用力F，若取豎直向下為F的正方向，在最低點時給小球不同的初速度，得到的F－v2(v為小球在最高點處的速度)圖像如圖乙所示，取g＝10m/s2，則()A．小球恰好通過最高點時的速度大小為5m/sB．小球在最高點的速度大小為eq\r(15)m/s時，桿對球的作用力為支持力C．小球的質(zhì)量為3kgD．O軸到小球的距離為0.5m答案D解析由于是球桿模型，小球恰好通過最高點時的速度為零，A錯誤；當小球通過最高點的速度為零時，桿對小球的支持力恰好等于小球的重力，由題圖乙可知，小球的重力為3N，即質(zhì)量為0.3kg，C錯誤；由題圖乙可知，當小球以v2＝5m2/s2通過最高點時，恰好對桿沒有作用力，此時重力提供向心力，設(shè)O軸到小球的距離為L，根據(jù)mg＝meq\f(v2,L)，得L＝0.5m，故D正確；當小球以eq\r(15)m/s的速度通過最高點時，根據(jù)mg＋F＝meq\f(v2,L)，可得F＝6N，此時桿對球的作用力是向下的拉力，大小為6N，故B錯誤．1.如圖所示，某公園里的過山車駛過軌道的最高點時，乘客在座椅里面頭朝下，若軌道半徑為R，人體重為mg，要使乘客經(jīng)過軌道最高點時對座椅的壓力等于自身的重力，則過山車在最高點時的速度大小為()A.0 B.eq\r(gR)C.eq\r(2gR) D.eq\r(3gR)答案C解析由題意知F＋mg＝2mg＝meq\f(v2,R)，故速度大小v＝eq\r(2gR)，C正確.2.雜技演員表演“水流星”，在長為1.6m的細繩的一端，系一個與水的總質(zhì)量為m＝0.5kg的大小不計的盛水容器，以繩的另一端為圓心，在豎直平面內(nèi)做圓周運動，如圖所示，若“水流星”通過最高點時的速率為4m/s，則下列說法正確的是(g取10m/s2)()A．“水流星”通過最高點時，有水從容器中流出B．“水流星”通過最高點時，繩的張力及容器底部受到的壓力均為零C．“水流星”通過最高點時，處于完全失重狀態(tài)，不受力的作用D．“水流星”通過最高點時，繩子的拉力大小為5N答案B解析“水流星”在最高點的臨界速度v＝eq\r(gL)＝4m/s，由此知繩的拉力恰好為零，“水流星”的重力提供向心力，則水恰好不流出，容器底部受到的壓力為零，故選B.3.如圖所示，質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)的光滑圓環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運動．圓環(huán)半徑為R，小球半徑不計，小球經(jīng)過圓環(huán)內(nèi)側(cè)最高點時剛好不脫離圓環(huán)，則其通過最高點時下列表述不正確的是(重力加速度為g)()A．小球?qū)A環(huán)的壓力大小等于mgB．重力mg充當小球做圓周運動所需的向心力C．小球的線速度大小等于eq\r(gR)D．小球的向心加速度大小等于g答案A解析因為小球經(jīng)過圓環(huán)內(nèi)側(cè)最高點時剛好不脫離圓環(huán)，故在最高點時小球?qū)A環(huán)的壓力為零，選項A錯誤；此時小球只受重力作用，即重力mg充當小球做圓周運動所需的向心力，則有mg＝meq\f(v2,R)＝ma，即v＝eq\r(gR)，a＝g，選項B、C、D正確．4.(多選)(2023·河北高二學業(yè)考試)如圖所示，輕桿一端固定在水平轉(zhuǎn)軸O上，另一端固定一個小球，輕桿隨轉(zhuǎn)軸在豎直平面內(nèi)做圓周運動，當小球運動至最高點時，輕桿對小球的作用力()A．方向一定豎直向上B．方向可能豎直向下C．大小可能為0D．大小不可能為0答案BC解析設(shè)桿長為R，當重力剛好提供小球做圓周運動的向心力時，桿對小球無作用力，此時有mg＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\r(gR)，當v>eq\r(gR)時，桿對小球提供拉力，當v<eq\r(gR)時，桿對小球提供支持力，故B、C正確，A、D錯誤．5.如圖所示，質(zhì)量為m的小球固定在桿的一端，在豎直面內(nèi)繞桿的另一端O做圓周運動.當小球運動到最高點時，瞬時速度大小為v＝eq\r(\f(1,2)Lg)，L是球心到O點的距離，則球?qū)U的作用力是()A.eq\f(1,2)mg的拉力 B.eq\f(1,2)mg的壓力C.零 D.eq\f(3,2)mg的壓力答案B解析當重力完全充當向心力時，球?qū)U的作用力為零，所以mg＝meq\f(v′2,L)，解得：v′＝eq\r(gL)，而eq\r(\f(1,2)gL)<eq\r(gL)，故桿對球的作用力是支持力，即mg－FN＝meq\f(v2,L)，解得FN＝eq\f(1,2)mg，由牛頓第三定律可知，球?qū)U的作用力是壓力，B正確，A、C、D錯誤.6.(多選)如圖所示，一個內(nèi)壁光滑的彎管處于豎直平面內(nèi)，其中管道半徑為R.現(xiàn)有一個半徑略小于彎管橫截面半徑的光滑小球在彎管里運動，當小球通過最高點時速率為v0，則下列說法中正確的是()A.若v0＝eq\r(gR)，則小球?qū)軆?nèi)壁無壓力B.若v0>eq\r(gR)，則小球?qū)軆?nèi)上壁有壓力C.若0<v0<eq\r(gR)，則小球?qū)軆?nèi)下壁有壓力D.不論v0多大，小球?qū)軆?nèi)下壁都有壓力答案ABC解析在最高點，只有重力提供向心力時，由mg＝meq\f(v\o\al(2,0),R)，解得v0＝eq\r(gR)，此時小球?qū)軆?nèi)壁無壓力，選項A正確；若v0＞eq\r(gR)，則有mg＋FN＝meq\f(v\o\al(2,0),R)，表明小球?qū)軆?nèi)上壁有壓力，選項B正確；若0＜v0＜eq\r(gR)，則有mg－FN＝meq\f(v\o\al(2,0),R)，表明小球?qū)軆?nèi)下壁有壓力，選項C正確；綜上分析，選項D錯誤.7.(2023·山東省·期中)一輕桿一端固定質(zhì)量為m的小球，以另一端O為圓心，使小球在豎直面內(nèi)做半徑為R的圓周運動，如圖所示，則下列說法正確的是()A．小球過最高點時，桿所受到的彈力可以等于零B．小球過最高點的最小速度是eq\r(gR)C．小球過最高點時，桿對球的作用力一定隨速度增大而增大D．小球過最高點時，桿對球的作用力一定隨速度增大而減小答案A解析當小球到達最高點彈力為零時，有mg＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\r(gR)，即當速度v＝eq\r(gR)時，輕桿所受的彈力為零，所以A正確．小球通過最高點的最小速度為零，所以B錯誤．小球在最高點，若v<eq\r(gR)，則有：mg－F＝meq\f(v2,R)，輕桿的作用力隨著速度的增大先減小后反向增大，若v>eq\r(gR)，則有：mg＋F＝meq\f(v2,R)，輕桿的作用力隨著速度增大而增大，所以C、D錯誤．8．(2023·四川綿陽市診斷)如圖所示，輕桿長3L，在桿兩端分別固定質(zhì)量均為m的球A和B(均可視為質(zhì)點)，光滑水平轉(zhuǎn)軸穿過桿上距球A為L處的O點，外界給系統(tǒng)一定能量后，桿和球在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，球B運動到最高點時，桿對球B恰好無作用力．忽略空氣阻力，重力加速度為g，則球B在最高點時()A．球B的速度為零B．球A的速度大小為eq\r(2gL)C．水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為1.5mgD．水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為2.5mg答案C解析球B運動到最高點時，桿對球B恰好無作用力，即僅重力提供向心力，則有mg＝meq\f(vB2,2L)，解得vB＝eq\r(2gL)，故A錯誤；由于A、B兩球的角速度相等，則球A的速度大小vA＝eq\f(1,2)eq\r(2gL)，故B錯誤；B球在最高點時，對桿無彈力，此時A球受到的重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝meq\f(vA2,L)，解得F＝1.5mg，即桿受到的彈力大小為1.5mg，可知水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為1.5mg，C正確，D錯誤．9.(多選)如圖甲所示，一長為R的輕繩，一端系在過O點的水平轉(zhuǎn)軸上，另一端固定一質(zhì)量未知的小球，整個裝置繞O點在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動，小球通過最高點時，繩對小球的拉力F與其速度平方v2的關(guān)系圖像如圖乙所示，圖線與縱軸的交點坐標為a，下列判斷正確的是()A.利用該裝置可以得出重力加速度，且g＝eq\f(R,a)B.繩長不變，用質(zhì)量較大的球做實驗，得到的圖線斜率更大C.繩長不變，用質(zhì)量較小的球做實驗，得到的圖線斜率更大D.繩長不變，用質(zhì)量較小的球做實驗，圖線與縱軸的交點坐標不變答案CD解析小球在最高點，根據(jù)牛頓第二定律得mg＋F＝meq\f(v2,R)，解得v2＝eq\f(FR,m)＋gR；由題圖乙知，縱軸截距a＝gR，解得重力加速度g＝eq\f(a,R)，故A錯誤；由v2＝eq\f(FR,m)＋gR知，圖線的斜率k＝eq\f(R,m)，繩長不變，用質(zhì)量較大的球做實驗，得到的圖線的斜率更小，故B錯誤；用質(zhì)量較小的球做實驗，得到的圖線斜率更大，故C正確；由v2＝eq\f(FR,m)＋gR知，縱軸截距為gR，繩長不變，則圖線與縱軸交點坐標不變，故D正確.10.(多選)如圖甲所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓周運動．當小球運動到圓形管道的最高點時，管道對小球的彈力與過最高點時小球的速度平方的關(guān)系如圖乙所示(取豎直向下為正方向)．MN為通過圓心的一條水平線．不計小球半徑、管道的粗細，重力加速度為g.則下列說法中正確的是()A．管道的半徑為eq\f(b,g)B．小球的質(zhì)量為eq\f(a,g)C．小球在MN以下的管道中運動時，內(nèi)側(cè)管壁對小球可能有作用力D．小球在MN以上的管道中運動時，外側(cè)管壁對小球一定有作用力答案AB解析由題圖乙可知，當v2＝b，F(xiàn)N＝0時，mg＝meq\f(v2,R)，解得R＝eq\f(b,g)，故A正確；當v2＝0時，mg＝a，所以m＝eq\f(a,g)，故B正確；小球在水平線MN以下的管道中運動時，由于向心力的方向要指向圓心，則管壁必然要提供指向圓心的支持力，只有外壁才可以提供這個力，所以內(nèi)側(cè)管壁對小球沒有力，故C錯誤；小球在水平線MN以上的管道中運動時，重力沿徑向的分量必然參與提供向心力，故可能是外側(cè)管壁受力，也可能是內(nèi)側(cè)管壁對小球有作用力，還可能均無作用力，故D錯誤．11.(多選)如圖甲所示，輕桿一端固定在O點，另一端固定一小球(大小不計)，現(xiàn)讓小球在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運動.小球運動到最高點時，桿與小球間彈力大小為F，小球在最高點的速度大小為v，其F－v2圖像如圖乙所示.則()A.小球的質(zhì)量為eq\f(aR,b)B.當?shù)氐闹亓铀俣却笮閑q\f(R,b)C.v2＝c時，小球?qū)U的彈力方向向上D.v2＝2b時，小球受到的彈力與重力大小相等答案ACD解析當小球受到的彈力方向向下時，有F＋mg＝eq\f(mv2,R)，解得F＝eq\f(m,R)v2－mg；當彈力方向向上時，有mg－F＝meq\f(v2,R)，解得F＝mg－meq\f(v2,R).對比F－v2圖像可知，a＝mg，當v2＝b時，F(xiàn)＝0，可得b＝gR，則g＝eq\f(b,R)，m＝eq\f(aR,b)，A正確，B錯誤；v2＝c時，小球受到的彈力方向向下，則小球?qū)U的彈力方向向上，C正確；v2＝2b時，小球受到的彈力與重力大小相等，D正確.12.(多選)(2023·四川省·三模)如圖所示，兩段長均為L的輕繩共同系住一質(zhì)量為m的小球，另一端固定在等高的兩點O1、O2，兩點的距離也為L，在最低點給小球一個水平向里的初速度v0，小球恰能在豎直面內(nèi)做圓周運動，重力加速度為g，則()A．小球運動到最高點的速度v＝eq\r(\f(\r(3),2)Lg)B．小球運動到最高點的速度v＝eq\r(Lg)C．小球在最低點時每段繩子的拉力F＝mg＋meq\f(2\r(3)v02,3L)D．小球在最低點時每段繩子的拉力F＝eq\f(\r(3),3)mg＋meq\f(2v02,3L)答案AD解析小球恰能在豎直面內(nèi)做圓周運動的條件是在最高點重力恰好提供向心力，則mg＝meq\f(v2,r)，r＝Lsin60°，解得v＝eq\r(\f(\r(3),2)gL)，A正確，B錯誤；小球在最低點，由向心力公式得：FT－mg＝meq\f(v02,r)，每段繩子的拉力F＝eq\f(FT,2sin60°)，由以上兩式解得：F＝eq\f(\r(3