【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考通用)

素養(yǎng)拓展14平面向量中等和線的應(yīng)用(精講+精練)

、知識點(diǎn)梳理

一、平面向量共線定理

已知而=49+〃51,若;I+〃=1,則A,B,C三點(diǎn)共線，反之亦然.

二、等和線

平面內(nèi)一組基底無施及任一向量而，而=幾宓+〃5瓦若點(diǎn)P在直線AB上或者在平行

于A8的直線上，則幾+〃=左(定值)，反之也成立，我們把直線A8以及與直線平行的直線稱為等和

線.

(1)當(dāng)?shù)群途€恰為直線A8時(shí)，k=l;、、由

(2)當(dāng)?shù)群途€在。點(diǎn)和直線AB之間時(shí)，左e(0,l);

(3)當(dāng)直線A8在點(diǎn)。與等和線之間時(shí)，ke(l,+oo)；

(4)當(dāng)?shù)群途€過。點(diǎn)時(shí)，k=0；

(5)若兩等和線關(guān)于。點(diǎn)對稱，則定值A(chǔ)互為相反數(shù).°、

三、證明步驟

如圖1,P為AAOB所在平面上一點(diǎn)，過O作直線///AB,由平面向量基本定理知:

存在x,yeR,使得OP=%。4+yOB

圖1

下面根據(jù)點(diǎn)P的位置分幾種情況來考慮系數(shù)和x+y的值

①若Pe/時(shí)，則射線0P與/無交點(diǎn)，由///AB知，存在實(shí)數(shù)4,使得加=4而

而通=礪—0X,所以赤=4歷—2函，于是x+y=4U=0

②若時(shí)，

(i)如圖1,當(dāng)P在/右側(cè)時(shí)，過P作CD//AB,交射線Q4,08于C,。兩點(diǎn)，則

AOCD-AOAB,不妨設(shè)AOC。與AQ43的相似比為人

由P,C,。三點(diǎn)共線可知：存在2eH使得：OP=AOC+(l-A)OD=kAOA+k(l-^OB

所以x+y=kZ+^(1-A)=k

(ii)當(dāng)尸在/左側(cè)時(shí)，射線0P的反向延長線與A5有交點(diǎn)，如圖1作尸關(guān)于。的對稱點(diǎn)P',由6)的

分析知：存在存在/LGH使得：OP'=AOC+(l-^OD=kAOA+(l-^OB

所以聲=-左/l赤+-(1—2)OB于是x+y=-左2+-k(l-A)=-k

?

綜合上面的討論可知：圖1中而用雨,礪線性表示時(shí)，其系數(shù)和x+y只與兩三角形的相似比有關(guān)。

我們知道相似比可以通過對應(yīng)高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑之比來刻畫。因?yàn)?/p>

三角形的高線相對比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖1中，過。作A3邊的垂線設(shè)

點(diǎn)P在/'上的射影為P,直線/'交直線A3于點(diǎn)則次1=告胃(左的符號由點(diǎn)尸的位置確定)，因此

Iu勺I

只需求出QPI的范圍便知y的范圍

一般解題步驟：(1)確定單位線(當(dāng)2+〃=1時(shí)的等和線)；(2)平移等和線，分析何處取得最值；

(3)從長度比計(jì)算最值.

/

二、題型精講精練

【典例1】設(shè)。,E是AABC邊上的點(diǎn)，=若詼〃而，則2+〃=()

【解析】因?yàn)橥?理—近，所以荏一罰=4通+〃/，因?yàn)锳D=gAB,所以

AE=^2+1^AB+//AC,由于此時(shí)等和線為BC,所以2+：+〃=1,即2+〃=g.

【典例2】如圖，四邊形Q43c是邊長為1的正方形，點(diǎn)。在Q4的延長線上，且AZ)=2,點(diǎn)P是AHCD

(含邊界)的動點(diǎn)，設(shè)赤=4祝+〃礪，則2+〃的最大值為()

B

【解析】當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)3時(shí)，過點(diǎn)5作GH//DC,交OC,OD的延長線于G,H，則OP=xOG+yOH,

且X+y=l,所以赤=礪=%而+、聞=—%雙+—丁麗=；1瓦+"赤，所以

333

A+ju=—x+—y=—.

222

3

故答案為：—.

2

【題型訓(xùn)練-刷模擬】

一、單選題

1.已知。為AABC的外心，若A(0,0),8(2,0),AC=1,ABAC=120°,且豆=2AB+//AC,則2+〃=

()

—1-----

2.在AABC中，M為邊2C上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)N在線段AVf上,且滿足4V=1MW,麗=4通+〃正(Z〃eR),

則彳+〃的值為()

A.-B.-C.1D.4

43

3.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,動點(diǎn)P是以C為圓心且與BD相切的圓上，若麗=九誦+〃而，則

4+〃的最大值為()

A.3B.2V2C，V5D.2

4.在AABC中，點(diǎn)D是線段BC上任意一點(diǎn),且滿足AD=3AP，若存在實(shí)數(shù)m和n,使得而=mAB+nAC，

貝Um+n=()

5.已知拋物線V=4y的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)C（0,-2）,過點(diǎn)F且斜率為1的直線交拋物線于AB兩點(diǎn)，點(diǎn)P為拋

物線上任意一點(diǎn)，若而=//五+〃在，則m+n的最小值為（）

1123

A.-B.-C.-D.一

3234

6.在矩形ABCD中，43=1,40=2,動點(diǎn)「在以點(diǎn)。為圓心且與3￡）相切的圓上，若彳巨=力而+〃而,

則的最大值為（）

A3B2V2C75D2

7.已知。是AA3C內(nèi)一點(diǎn)，且8+加+元=0，點(diǎn)M在AO2C內(nèi)（不含邊界），若不0=4通+〃/，則

2+2〃的取值范圍是（）

A.k|）B.（1,2）

8.如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓0,P為圓。上任一點(diǎn)，若Q=x通+則2尤+2y的最大

值為（）

8

A.B.2D.1

33

二、填空題

1.如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量5A無,反的模分別為1,1,、歷，而與。1的夾角為a,且tane=7,

而與的夾角為45°，若/